初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数3 确定二次函数的表达式优秀教案设计

这是一份初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数3 确定二次函数的表达式优秀教案设计，共10页。教案主要包含了教学目标，教学过程分析等内容，欢迎下载使用。

一、教学目标


知识与技能


1．通过运用解析式、列表、画图象三种方法表示二次函数，比较这三种方法表示二次函数的优缺点，从而为解决函数类实际问题打下坚实的基础。


2．通过学生实际解题过程，达到灵活掌握用解析式、列表、画图这三种方法表示二次函数。


3．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究。


过程与方法


1．能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题。


2．让学生在学习活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和归纳总结的能力。


情感态度与价值观


在学习过程中体会学以致用，提高运用所学知识解决实际问题的能力。


教学重点：三种方法表示二次函数的优缺点；为解决函数类实际问题打下坚实的基础


教学难点：三种方法表示二次函数的优缺点；为解决函数类实际问题打下坚实的基础


三、教学过程分析


第一环节 解决问题


活动内容：


1．问题一：已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2. y随x的而变化的规律是什么？你能分别用函数表达式，表格和图象表示出来吗？


2．当学生完成上述的三个任务之后，进一步帮助学生明晰以下问题：


（1）在上述问题中,自变量x的取值范围是什么？


（2）当x取何值时,长方形的面积最大？它的最大面积是多少?


（3）请你描述一下y随x的变化而变化的情况.


3．问题二：两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的?


（1）你能分别用函数表达式,表格和图象表示这种变化吗?


（2）自变量x的取值范围是什么?


（3）图象的对称轴和顶点坐标分别是什么?


（4）如何描述y随x的变化而变化的情况?


（5）你是分别通过哪种表示方式回答上面三个问题的？


第二环节 课堂小结


活动内容：


1．二次函数的三种表示方式各有什么特点?它们之间有什么联系? 与同伴进行交流.





2．对本节知识进行巩固，原则上由学生复述内容及要点。


第三环节 布置作业


P43习题2.6第


小组合作讨论更具实效性。


2.4二次函数的应用1


一、教学目标


(一)知识与技能


能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．


(二)过程与方法


1．通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力．


2．通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力．


(三)情感态度与价值观


1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值．


2．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．


3．进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力．


教学重点


1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值．


2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．


教学难点


能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积的问题．


三、教学过程分析


第一环节 创设问题情境，引入新课


上节课我们利用二次函数解决了最大利润问题，知道了求最大利润就是求二次函数的最大值，实际上就是利用二次函数来解决实际问题．解决这类问题的关键是要审清题意，明确要解决的是什么，分析问题中各个量之间的关系，建立数学模型。在此基础上，利用我们所学过的数学知识，逐步得到问题的解答过程．


本节课我们将继续利用二次函数解决最大面积的问题．


活动内容：由四个实际问题构成


1．问题一：如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上．





(1)设长方形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示？


(2)设长方形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？


下面请小组开始讨论并写出解题步骤．


(1)∵BC∥AD，


∴△EBC∽△EAF．∴．


又AB＝x，BE＝40－x，


∴．∴BC＝(40－x)．


∴AD＝BC＝(40－x)＝30－x．


(2)y＝AB·AD＝x(30－x)＝－x2＋30x


＝－(x2－40x＋400－400)


＝－(x2－40x＋400)＋300


＝－(x－20)2＋300．


当x＝20时，y最大＝300．


即当x取20m时，y的值最大，最大值是300m2．


2．问题二：将问题一变式：“设AD边的长为x m，则问题会怎样呢？”


解：∵DC∥AB，


∴△FDC∽△FAE．


∴．


∵AD＝x，FD＝30－x．


∴．


∴DC＝(30－x)．


∴AB＝DC＝(30－x)．


y＝AB·AD＝x·(30－x)


＝－x2＋40x


＝－(x2－30x＋225－225)


＝－(x－15)2＋300．


当x＝15时，y最大＝300．


即当AD的长为15m时，长方形的面积最大，最大面积是300m2．


3．问题三：对问题一再变式


如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.





(1).设矩形的一边BC=xm,那么AB边的长度如何表示？


(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?


4．问题四：


某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m．当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)？此时，窗户的面积是多少？





分析：x为半圆的半径，也是矩形的较长边，因此x与半圆面积和矩形面积都有关系．要求透过窗户的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大，即2xy＋x2最大，而由于4y＋4x＋3x＋πx＝7x＋4y＋πx＝15，所以y＝．面积S＝πx2＋2xy＝πx2＋2x·＝πx2＋＝－3.5x2＋7.5x，这时已经转化为数学问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可．


解：∵7x＋4y＋πx＝15，


∴y＝．


设窗户的面积是S(m2)，则


S＝πx2＋2xy


＝πx2＋2x·


＝πx2＋


＝－3.5x2＋7.5x


＝－3.5(x2－x)


＝－3.5(x－)2＋．


∴当x＝≈1.07时，


S最大＝≈4.02．


即当x≈1.07m时，S最大≈4.02m2，此时，窗户通过的光线最多．


第二环节 归纳升华


解决此类问题的基本思路是：


(1)理解问题；


(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；


(3)用数学的方式表示它们之间的关系；


(4)做函数求解；


(5)检验结果的合理性，拓展等．


第三环节 课堂练习，活动探究


活动内容：


用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?


M


A


B


C


D


P


Q


R


正方形ABCD边长5cm,等腰三角形PQR,PQ=PR=5cm,QR=8cm,点B、C、Q、R在同一直线l上，当C、Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l向左方向开始匀速运动，ts后正方形与等腰三角形重合部分面积为Scm2，解答下列问题：


(1)当t=3s时，求S的值；


(2)当t=3s时，求S的值；


(3)当5s≤t≤8s时，求S与t的函数关系式，并求S的最大值。





第四环节 课时小结


本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决最大面积的问题，增强了应用数学知识的意识，获得了利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受了数学建模思想和数学知识的应用价值．





第五环节 课后作业


习题2．8





















































表示
优点
缺点
表达式
变量间关系简捷明了,便于分析计算.
需要通过计算,才能得到所需结果
表格
能直接得到某些具体的对应值
不能反映函数整体的变化情况
图象
直观表示了变量间变化过程和变化趋势.
函数值只能是近似值
关系
表达式是基础,是重点,表格是画图象的关键,图象是在表达式和表格的基础上对函数的总体概括和形象化的表达.