初中第十七章 勾股定理综合与测试精品当堂达标检测题

人教版“寒假衔接”八年级数学下册单元同步测试

第17章《勾股定理》

一、选择题(共30分)

1．下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ）

A．2，3，4 B．4，5，6 C．6，8，11 D．5，12，13

2．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是有（    ）

A．三内角之比为3：4：5 B．三边长的平方之比为1：2：3

C．三边长之比为3：4：5 D．三内角比为1：2：3

3．如图，大正方形是由4个小正方形组成，小正方形的边长为2，连接小正方形的三个顶点，得到△ABC，则△ABC的边AC上的高为（　　）

A． B． C． D．

4．如图，在中，，以点C为圆心，长为半径画弧，交于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线交于点E．若，则的长度是（    ）

A．3 B． C．2 D．

5． 如图所示，一场台风过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B 恰好碰到地面，经测量AB=2，则树高为（　　）米．

A．1+ B．1+ C．2-1 D．3

6．利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点，使，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，以长为半径作弧，弧与数轴的交点为，那么点表示的无理数是（    ）

A． B． C． D．

7．已知的三边，，满足：，则边上的高为（  ）

A．1.2 B．2 C．2.4 D．4.8

8．如图，在平面直角坐标系中，顶点A，B的坐标分别是，，，则顶点C的坐标为（　　　）

A． B． C． D．

9．有一圆柱高为12cm ，底面半径为cm ，在圆柱下底面点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，则沿侧面爬行的最短路程是（    ）

A．12cm B．13cm C．10cm D．16cm

10．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝6，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为（　　）

A．8 B．6 C．4 D．3

二、填空题(共21分)

11．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝12，CA＝5，AB＝________．

12．如图，中，，，边上的中线，则________．

13．点A（4，-3）到x轴的距离是________，到原点的距离是________．

14．如图，学校有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路（假设步为米），却踩伤了花草．

15．在中，AC＝8，，AB＝6，则BC＝___________．

16．在中，斜边则的值为____________．

17．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形，，的面积分别是，则正方形的面积是________．

三、解答题(共49分)

18．(5分)如图，在四边形ABCD中，，，，．求的度数．

19．(6分)若△ABC的三边为：且满足，请判断这个三角形的形状．

20．(7分)如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2．

（1）求证：∠A＝90°；

（2）若AB＝8，AD：BD＝3：5，求AC的长．

21．(7分)如图，在△ABC中，∠C=90°，若CD=1.5，BD=2.5；

(1)∠2=∠B，求AC的长；

(2)，求的长．

22．(7分)如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米．

（1）若梯子底端离墙角的距离OB为0.7米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？

（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.4米到点A′，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB′为多少米？

23．(8分)如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x．

（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；

（2）求AC+CE的最小值；

（3）根据（2）中的规律和结论，请构图并直接写出代数式的最小值．

24．(9分)如图，在中，，动点P从点C出发，按的路径，以每秒的速度运动，设运动时间为t秒．

（1）当时，求的面积；

（2）当t为何值时，线段恰好平分？

（3）当t为何值时，是等腰三角形？

参考答案

1．D

【分析】

欲求证是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理即可．这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．

【详解】

解：A、22+32≠42，故不是直角三角形，故错误；

B、42+52≠62，故不是直角三角形，故错误；

C、62+82≠112，故不是直角三角形，故错误；

D、52+122=132，故是直角三角形，故正确．

故选D．

2．A

【分析】

根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形．

【详解】

A、设三个内角的度数为，根据三角形内角和公式，求得，所以各角分别为45°，60°，75°，故此三角形不是直角三角形；

B、三边符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；

C、设三条边为，则有，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；

D、设三个内角的度数为，根据三角形内角和公式，求得，所以各角分别为30°，60°，90°，所以此三角形是直角三角形；

故选：A．

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．

3．A

【分析】

根据三角形的面积公式求出的面积，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可．

【详解】

的面积=，

由勾股定理得，

∴AC边上的高=，

故选：A．

【点睛】

本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．

4．A

【分析】

利用基本作图得到CE⊥AB，再根据等腰三角形的性质得到AC＝5，然后利用勾股定理计算CE的长．

【详解】

解：由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°，

AC＝AB＝BE+AE＝4+1＝5，

在Rt△ACE中，CE==3，

故选：A．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．

5．A

【分析】

根据题意利用勾股定理得出BC的长，进而得出答案．

【详解】

解：由题意得：在直角△ABC中，

AC2+AB2=BC2，

则12+22=BC2，

∴BC=，

∴树高为：（1+）m．

故选：A．

【点睛】

此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理得出BC的长是解题关键．

6．B

【分析】

利用勾股定理列式求出OB判断即可．

【详解】

由勾股定理得，OB＝，

∴点C表示的无理数是．

故选：B．

【点睛】

本题考查了勾股定理，熟记定理并求出OB的长是解题的关键．

7．C

【分析】

先将已知条件配方后，利用非负数和为零，求出、b、c的值，利用勾股定理确定三角形的形状，设出c边上的高，利用面积求解即可．

【详解】

解：变形得，

，

，，，

解得：，，，

，

是直角三角形，

设C边上的高为h，

由直角三角形ABC的面积为：，

整理得，

边上的高为：，

故选择：．

【点睛】

本题考查非负数的性质，勾股定理的逆定理，三角形面积问题，掌握判断非负数的标准，会利用非负数和求、b、c的值，会用勾股定理判断三角形的形状，会用多种方法求面积是解题的关键．

8．B

【分析】

作CD⊥AB于D，根据题意求出AB，根据等腰三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出CD，得到答案．

【详解】

解：作CD⊥AB于D，

∵点A，B的坐标分别是(0，4)，(0．-2)，

∴AB=6，

∵CA=CB，CD⊥AB，

∴AD=DB=3，

∴OD=1，

由勾股定理得，CD==4，

∴顶点C的坐标为(4，1)，

故选：B．

【点睛】

本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质、以及图形与坐标的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．

9．B

【分析】

要想求得最短路程，首先要把A和B展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短求出蚂蚁爬行的最短路程．

【详解】

解：展开圆柱的半个侧面是矩形，

矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即=5cm，矩形的宽是圆柱的高12cm．

根据两点之间线段最短，

知最短路程是矩形的对角线AB的长，即AB=cm

故选：B．

【点睛】

此题考查最短路径问题，求两个不在同一平面内的两个点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短．确定要求的长，再运用勾股定理进行计算．

10．C

【分析】

根据勾股定理可得，利用整体代入的思想求出（a−b）2的值即可．

【详解】

解：根据勾股定理得：，且ab＝6，

∴小正方形的面积＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝16﹣12＝4，

故选：C．

【点睛】

本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理并能准确对代数式进行变形、求值．

11．13．

【分析】

直接根据勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方进行计算即可．

【详解】

解：根据勾股定理可得AB==13，

故答案为：13．

【点睛】

本题主要考查了勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．掌握勾股定理的内容是解题的关键．

12．

【分析】

根据中线的性质及勾股定理的逆定理即可求出的度数．

【详解】

∵，，边上的中线，

∴，

∵，

∴．

【点睛】

本题考查中线的性质勾股定理的逆定理的应用，掌握相应的性质定理是解答此题的关键．

13．3    5   

【分析】

直角坐标系中，某点到x轴的距离是它的纵坐标的绝对值，到y轴的确距离是它的横坐标的绝对值，到原点的距离为．

【详解】

解：点A（4，-3）到x轴的距离为3、到原点的距离为=5，
故答案为：3，5．

【点睛】

本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的几何意义，在解答此题时要注意求点到原点的距离时要用到勾股定理．

14．

【分析】

少走的距离是AC+BC-AB，在直角△ABC中根据勾股定理求得AB的长即可．

【详解】

解：如图，

∵在中，，

∴ ，

则少走的距离为：，

∵步为米，

∴少走了步．

故答案为：．

【点睛】

本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息，掌握勾股定理是解题的关键．

15．

【分析】

有两种情况，可能是锐角三角形，可能是钝角三角形，过A点作AD垂直于BC，当为锐角三角时，BC=CD+BD，当为钝角三角形时，BC=CD-BD利用勾股定理求出各边即可得到答案．

【详解】

如图，过点A作 垂足为D

当为锐角三角时，

AC＝8，，

AD=CD=

在Rt中

BD= =2

BC=CD+BD=

当为钝角三角时，同理可得 CD= ,BD=2

BC=CD-BD=

故答案为：

【点睛】

本题考查了三角形的分类，勾股定理的应用，准确的画出图形是解决本题的关键．

16．10

【分析】

由勾股定理计算出的值，再求解即可．

【详解】

∵在中，斜边，

由勾股定理得

∴=5+5=10

故答案为10．

【点睛】

本题考查了勾股定理的运用，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．

17．．

【分析】

先利用正方形的面积公式与勾股定理，证明：，从而可得：，再解方程可得答案．

【详解】

解：如图，记正方形的边长分别为：，

则三个正方形的面积依次为：，

由直角三角形的性质有：

,

同理：，，

∴，

∴正方形的面积．

故答案为：．

【点睛】

本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理与图形面积之间的联系是解题的关键．

18．

【分析】

连接AC，利用等腰三角形的性质及勾股定理求出AC，，根据勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，，再利用角度的和差计算出答案．

【详解】

连接AC，

在Rt△ABC中，，，

∴AC=，，

∵，，

∴，

∴△ACD是直角三角形，，

∴．

．

【点睛】

此题考查等腰三角形的等边对等角的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，熟记勾股定理的逆定理是解题的关键．

19．等腰三角形或直角三角形

【分析】

将化为，进而求得或  ，即可判断三角形形状．

【详解】

解：∵，

∴ ，

∴=0，

 ∵

∴或，

即或  ，

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．

【点睛】

本题考查了因式分解的应用、勾股定理逆定理、等腰三角形等知识，熟练运用因式分解从而得到a、b、c的关系是解题关键．

20．（1）见解析；（2）4

【分析】

（1）由垂直平分线的性质可知：CD=BD，将已知条件中的BD等量代换，利用勾股定理的逆定理即可证得结论．

（2）由已知条件可得AD、CD的长，在中利用勾股定理即可求出答案．

【详解】

（1）证明：连接CD，

∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，

∴CD＝DB，

∵BD2﹣DA2＝AC2，

∴CD2﹣DA2＝AC2，

∴CD2＝AD2+AC2，

∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°；

（2）解：∵AB＝8，AD：BD＝3：5，

∴AD＝3，BD＝5，

∴CD＝BD＝5，

∴在中，．

【点睛】

本题考查了垂直平分线的性质、勾股定理及其逆定理，牢固掌握垂直平分线的性质，能灵活应用勾股定理及其逆定理是解决本题的关键．

21．（1）2；（2）3．

【分析】

（1）根据∠2=∠B可得AD=BD=2.5，再根据勾股定理即可求出AC的长；

（2）过D作DE⊥AB，垂足为E，由角平分线的性质可知CD=DE，根据勾股定理可得出BE的长，再判断出Rt△ACD≌Rt△AED，进而可得出AC=AE，根据勾股定理即可解答．

【详解】

解：（1）∵∠2=∠B，BD=2.5，

∴AD=BD=2.5，

在RtACD中，， 

∵CD=1.5，

∴； 

（2）过D作DE⊥AB，垂足为E，

∵∠1=∠2，
 

∴CD=DE=1.5，
 

在Rt△BDE中，BE=，
 

∵CD=DE，AD=AD，
 

∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
 

∴AC=AE，

∴AB=AE+BE=AC+2，
 

∴AB2=AC2+BC2，即（AC+2）2=AC2+（1.5+2.5）2，
 

解得AC=3．

【点睛】

本题主要考查的是角平分线的性质及勾股定理、直角三角形全等的判定定理与性质，熟知角平分线的性质是解答此题的关键，难度适中．

22．（1）2.4米；（2）0.8米

【分析】

（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．

（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑0.4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为0.7米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．

【详解】

解：（1）根据勾股定理：

所以梯子距离地面的高度为：AO=═2.4米；

（2）梯子下滑了0.4米即梯子距离地面的高度为OA′=（2.4-0.4）=2米，

∴OB′==1.5米，

∵1.5-0.7=0.8米

∴当梯子的顶端下滑0.4米时，梯子的底端B在水平方向滑动的距离是0.8米.

【点睛】

本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解.

23．（1）；（2）10；（3）13．

【分析】

（1）利用勾股定理表示出AC、CE的长再求和即可；

（2）利用两点之间线段最短得到AC+CE的最小值为AE的长，然后利用勾股定理计算出AE的长即可；

（3）利用（2）中的规律和结论画出对应的图形，然后利用同样的方法求解．

【详解】

（1），

，

；

（2）如图1，连接AE，

当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，即AC+CE的最小值为AE的长，即C为AE与BD的交点，

作于F，则BF=DE=1，EF=BD=8，AF=5+1=6，

所以在Rt中，AE==

即AC+CE最小值为10；

（3）如图2，AB=3，DE=2，BD=12，设CD=x，

代数式的最小值为AE的长，

同（2）的计算方法的AE=，

即它的最小值为13．

【点睛】

此题主要考查了轴对称-最短路线问题，还涉及勾股定理的运算，需要掌握最短路线问题的解法，能正确构图，并且所列线段的长度正确是解决本题的关键．

24．（1）18cm2；（2）3；（3）6秒或13秒或12秒或10.8秒时

【分析】

（1）根据题意求出CP，根据三角形面积公式计算；
（2）作PD⊥AB于D，根据角平分线的性质得到PC=PD，根据勾股定理列式计算；
（3）分CA=CP、PA=PC、AC=AP、AC=CP四种情况，根据等腰三角形的性质解答．

【详解】

解：（1）由题意得，当t=2时，CP=2，则BP=8-2=6，
∴△ABP的面积=×BP×AC=×6×6=18（cm2）；

（2）当线段AP恰好平分∠CAB时，作PD⊥AB于D，
∵线段AP平分∠CAB，∠ACB=90°，PD⊥AB，
∴PC=PD，AC=AD=6，
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB==10，

∴BD=AB-AD=4，
在Rt△BPD中，PB2=PD2+BD2，即（8-PC）2=PC2+42，
解得，PC=3，
∴当t=3时，线段AP恰好平分∠CAB；

（3）当CA=CP时，CP=6cm，
∴t=6÷1=6秒；
当PA=PC时，∠PAC=∠PCA，
∵∠PAC+∠B=90°，∠ACP+∠PCB=90°，
∴∠PCB=∠PBC，
∴PA=PC=PB=5cm，
∴t=（CB+BP）÷1=13秒；

当AC=AP时，AP=6cm，AB=10cm，
∴PB=AB-AP=4cm，
∴t=（CB+BP）÷1=12秒；

当AC=CP时，作CD⊥AB于点D，
△ABC的面积=×AC×BC=×AB×CD，即×6×8=×10×CD，

解得，CD=4.8，
在Rt△ACD中，AD==3.6，
∴AP=2AD=7.2，
∴BP=AB-AP=2.8，
∴t=（CB+BP）÷1=10.8秒；

综上所述，当t为6秒或13秒或12秒或10.8秒时，△ACP是等腰三角形．

【点睛】

本题考查的是勾股定理，等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想、掌握勾股定理和等腰三角形的性质定理是解题的关键．