数学七年级下册9.2 多边形的内角和与外角和优秀学案

第9章 多边形

9.1 三角形

9.1.2 三角形的内角和与外角和

学习目标：1．掌握三角形的内角和定理、直角三角形两锐角的关系、外角的性质及外角和；

      2．会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°；

3．能运用三角形的内角和定理进行简单的证明或计算．

重点：三角形的内角和定理与外角的性质．

难点：三角形的内角和定理的推导过程．

自主学习

一、知识链接

1．三角形按角的分类，可以分为_________、_________、_______．

2．画图说明什么是三角形的内角，什么是三角形的外角．

3．分别用量角器量出下面三个三角形的内角度数，并填表：

二、新知预习

1．在小学我们通过拼接、测量就已经知道三角形的内角和为   ，与其形状、大小____（填“有关”或“无关”）．

2．直角三角形的两个锐角_______．

3．三角形的一个外角等于_______的和，并且大于______________．

4．三角形的外角和等于________．

三、自学自测

1．在△ABC中，若∠A＝35°，∠B＝65°，则∠C＝______．

2．如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD=120°，∠A=80°，则∠B=_____．

四、我的疑惑

____________________________________________________________________________________________

合作探究

一、要点探究

探究点1：三角形的内角和定理及其证明

活动：在纸上任意画一个三角形，将它的三个内角撕开拼合在一起，使它们共一个顶点．

结论：三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个_____，这说明三角形的内角和为______．

问题1：观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明．根据上面的操作思路，完成下面的证明过程．

已知：△ABC如图所示．

求证：∠A+∠B+∠C=180°．

证法1：延长BC到D，过点C作CE∥BA，

证法2：过点A作l∥BC，

问题2：根据三角形的内角和，你能推导出直角三角形中两锐角之间的关系吗？

要点归纳：借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角，就能证明三角形的内角和定理；          三角形的内角和为_______，直角三角形的两锐角_______．

探究点2：三角形的外角的性质

问题1：如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACD有什么关系？

问题2：如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两个内角(∠A和∠B)有什么关系？

问题3： 你能证明问题2中的结论吗？

要点归纳：三角形的外角等于______________________的和．

典例精析

例1 如图，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求∠BFC的度数．

例2 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．

【变式题】如图，∠A=60°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数．（提示：延长BD与AC相交）

方法总结：关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解．

例3 （1）如图①，试比较∠2 、∠1的大小；

（2）如图②，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小．

方法总结：三角形的外角______与它不相邻的任意一个内角（填“小于”“等于”或“大于”）．

针对训练：

说出下列图形中∠1和∠2的度数：

探究点3：三角形的外角和

想一想：∠BAE， ∠CBF， ∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？

解法一：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得

解法二：∠BAE+∠1=180°，∠CBF+∠2=180°，∠ACD+∠3=180°，

解法三：如图，过点A作AM平行于BC．

要点归纳：三角形的外角和等于_______°．  

探究点4：三角形内角和定理与外角性质的应用

典例精析

例5 如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．

方法总结：平行线、角平分线与三角形的内角和定理相结合时，找到相等的角是关键．

二、课堂小结

当堂检测

1．求下列各图中的x值．

（1）             （2）              （3）                  （4）

2．判断下列说法的对错.（对的打“√”，错误的打“×”）

（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和.       （     ）

（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍.           （      ）

（3）三角形的一个外角等于两个内角的和.             （      ）

（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. （      ）

（5）三角形的一个外角大于任何一个内角.             （      ）

3．如图，AB∥CD，∠A＝37°，∠C＝63°，那么∠F等于（     ）

  A．26°         B．63°     C．37°        D．60°

第3题图                             第4题图

4．如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=____．

5．如图，∠B=45 °， ∠BAE=36 °，∠BCE=20 °，试求∠AEC的度数．

6．如图，四边形ABCD中，点E在BC上，∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．

参考答案

自主学习

一、知识链接

1． 锐角三角形  直角三角形   钝角三角形

2．解：略。

3．填表略.

二、新知预习

1． 180°   无关

2．互余   

3．与它不相邻的两个内角     任何一个与它不相邻的内角

4．360°

三、自学自测

1．180°

2．40°

一、要点探究

探究点1：三角形的内角和定理及其证明

结论：平角    180°

问题1：

证明：因为CE∥BA，所以∠A=∠ACE，∠B=∠ECD.

又因为 ∠ACE+∠ECD+∠ACB=180°，所以∠A+∠B+∠C=180°.

证法2：

证明：因为l∥BC，所以∠1=∠B,∠2=∠C.又因为∠1+∠2+∠A=180°，所以∠A+∠B+∠C=180°.     

问题2：

要点归纳：180° 互余

探究点2：三角形的外角的性质

问题1：

∠ACB=180°-∠BCD.

问题2：

∠BCD=∠A+∠B.

问题3：

证明：因为∠ACB+∠BCD=∠ACD，而∠A+∠B+∠ACB=180°，所以∠BCD=∠A+∠B.

要点归纳 ：与它不相邻的两个内角

典例精析

例1  解：因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°,而∠A=42°，所以∠ABC+∠ACB=180°-42°=138°.

又因为 ∠ABC=∠ABD+∠CBD,∠ACB=∠ACE+∠BCF,所以∠CBD+BCF=∠ABC+∠ACB- ∠ABD-

∠ACE=138°-28°-18°=92°.在△BFC中，∠FBC+∠BFC+∠FCB=180°，所以∠BFC=180°-92°=88°.

【变式题】 解：  因为∠BPC+∠PBC +∠PCB=180°, ∠BPC＝150°,所以∠PBC +∠PCB=180°— ∠BPC=30°. 又因为 ∠A+∠ABC+∠ACB=180 °,所以    ∠A+∠ABP+∠PBC+∠ACP+∠PCB =180 ° ,  所以 ∠A= 180 °- ∠ABP-   ∠PBC-∠ACP- ∠PCB= 180 °- 20° -30°- 30°=100°.                                    

【例2】解：延长BD交AC于H，∠BDC=∠DHC+∠C，∠DHC=∠A+∠B
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°．

例3 ． 解：（1）∵∠2=∠1+∠B，∴∠2＞∠1．

（2）∵∠3=∠D+∠2,∠2=∠1+∠B,∴∠3＞∠2＞∠1.

方法总结：大于

针对训练：

解：（1）∠2=140°，∠1=40°   （2）∠1=18°，∠2=130°

探究点3：三角形的外角和

想一想：

解法一：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得

∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2，

又因为∠1+∠2+∠3=180°，而∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=180×2=360°.

解法二：∠BAE+∠1=180°，∠CBF+∠2=180°，∠ACD+∠3=180°，

∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°，而∠1+∠2+∠3=180°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°.

解法三：过点A作AM平行于BC．

解：因为AM∥BC,所以∠EAM=∠ACD，∠CBF=∠EAF.又∵∠1+∠4+∠MAB=360°.∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°

要点归纳：36

探究点4：三角形内角和定理与外角性质的应用

典例精析

例5 解：∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB,∠BDE+∠B=180°.∠A＝50°，∠B＝70°.∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-50°-70°=60°.,又∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=30°.∴∠EDC=30°.

∠BDC+∠EDC+

∠B=180°，∴∠BDC=180°-30°-70°=80°.

二、课堂小结

180  互余  360°

当堂检测

1．解（1）x=70  （2）x=60  （3）x=30 （ 4）x=50

2（1）   ×  （2）√  （3） × （4）√ （5）  ×    3  A  

4．280°

5．解：∵∠B=45 °，∠BCE=20 °，，∴∠BDC=180°-45 °-20 °=115°.又∵∠BDC=∠BAE+∠AED=115°.

∴∠AED=∠BDC-∠BAE=115°-36 °=79°.∴∠AEC=180°-79°=101°.

6．解：∵∠A+∠ADE=180°，∴AB∥DE.∴∠B=∠DEC=78°.又∵∠C=60°，∴∠EDC=180°-∠DEC-∠C=180°-60°-78°=42°.