初中数学第9章 多边形9.1 三角形1 认识三角形优秀第2课时学案设计
展开第9章 多边形
9.1 三角形
9.1.1 认识三角形
第2课时 三角形中的重要线段
学习目标：1．理解三角形的高、中线与角平分线的概念，了解三角形的稳定性．
2．会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线．
重点：三角形的高、中线与角平分线的特征．
难点：三角形的高、中线与角平分线的应用．
自主学习
一、知识链接
如图,按要求作图：
（1）在左图中，过点P作线段AB的垂线PD和AB的中点E．则有______=_______．
（2）在右图中，作出∠AOB的平分线OD，则有∠_____=∠______=____∠AOB．
二、新知预习
1．三角形的高：
（1）小学我们已经学过三角形的高，在图①中作出△ABC的高AD．
（2）自主归纳：
① 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作_____，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高；
② 一个三角形有_____条高， 请在图①中作出△ABC的另外两条高；
③ 三角形的高是一条 _____．
图① 图② 图③
画图略。
2．三角形的中线：
（1）如图②，连结△ABC的顶点A和它的边BC的中点D，类比三角形高线的定义，则所得的线段AD应叫做△ABC的边BC上的_______．并画出△ABC的其他中线．
（2）自主归纳：
① 在三角形中，连结一个顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三角形的___ __；
② 一个三角形有____条中线，每条中线都是一条______．
3．三角形的角平分线：
（1）如图③，你能用同样的方法画出任意一个三角形的一个内角的平分线吗?
（2）自主归纳
① 三角形角平分线定义：________________________________________________________________．
② 三角形的角平分线与角的平分线的区别是：____________________________________________________________________________________________________.
③ 一个三角形有____条角平分线．
4．用几何语言表示三角形的高、中线、角平分线：
| 几何推理 | 图例 |
三角形的高 | ∵AD是△ABC的高， ∴①______⊥______， ②∠ADB=______=______°． | |
三角形的中线 | ∵CE是△ABC的中线， ∴AE=______=______AB．
| |
三角形的角平分线 | ∵BF为△ABC的角平分线， ∴①∠1=∠______=______∠ABC． ②∠ABC=______∠1=______∠2． |
三、自学自测
按要求画出下列三角形的中线、高线、角平分线．
A D G
H
B C E F I
画中线AD，BE，CF 画高DG，EH，FM 画角平分线GM，HN，IP
四、我的疑惑
__________________________________________________________________________________________
合作探究
一、要点探究
探究点1：三角形的高
做一做：请在下图中分别画出△ABC的高线．
【归纳总结】三角形的高或其延长线相交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的顶点上，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部．
典例精析
例1 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值．
方法总结：面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积（但不求出面积），利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解．
探究点2：三角形的中线
问题1：任意作一个三角形，画出它的三条中线，观察它们的交点，有什么结论？
问题2：如图，AD为△ABC的中线，猜想△ABD与△ACD的面积关系，并证明．
问题3：求△ABD与△ACD的周长之差，你有什么发现？
【归纳总结】①三角形的三条中线相交于一点；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；③三角形的中线将三角形分成两个小三角形,它们的周长之差等于它们与大三角形的公共边的边长之差．
典例精析
例2 如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF-S△BEF的值．
方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．
探究点3：三角形的角平分线
例3 如图，DC平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠ECD的度数．
二、课堂小结
三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段．
三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．一条中线把三角形分为面积相等的两个小三角形，它们的周长之差等于它们与大三角形的公共边的边长之差．
三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点与交点的线段．
当堂检测
1．画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是（ ）（建议作为第1题）
A B C D
2．如图，△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的高的有 （
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
3．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，有以下等式：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
第2题图 第3题图
4．下列说法正确的是（ ）
A．三角形三条高都在三角形内
B．三角形三条中线相交于一点
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外
D．三角形的角平分线是射线
5．看图填空：
（1）∵BE是△ABC的角平分线，∴ ______ = ______= ______．
（2）∵CF是△ABC的角平分线，∴∠ACB= 2________= 2________
第5题图 第6题图
6．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△AEC=3 cm 2，则S△ABC= ______cm 2．
7．在△ABC中，CD是中线，已知BC-AC=5 cm，△DBC的周长为25 cm，求△ADC的周长．
答案
自主学习
一、知识链接
（1）作图略. AE，BE （2）作图略. AOD，BOD，
二、新知预习
（1）作图略. ① 垂线 ② 3 ③作图略. 垂线段
2 (1) 中线 (2) ① 中线 ② 3 线段
3．三角形的角平分线：
(1) 作图略.
(2) 三角形的一个角的平分线与这个内角的对边相交,连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线
③ 3
4．AD，BC ∠ADB，∠ADC，90°BE， ∠2， 2 2
三、自学自测 解 图略.
合作探究
一、要点探究
探究点1：三角形的高 解：图略.
典例精析
例1 解：根据垂线段最短，当BP⊥AC时，BP的值最小.根据三角形的面积法可知：
×BC×AD＝×AC×BP，所以有×6×4=×5×BP，得BP=4.8.即BP的最小值是4.8.
探究点2：三角形的中线
问题1：三角形的三条中线相交于一点.
问题2解：面积相等。因为AD为△ABC的中线，所以有BD=CD.又因为△ABD与△ACD同底等高，所以△ABD与△ACD的面积相等.
问题3：解：因为△ABD的周长为AB+AD+BD,△ACD的周长为AD+CD+AC.因为BD=CD,所以△ABD与△ACD的周长之差为AB—AC.
典例精析
例2 解：∵点D是AC的中点，∴AD= AC，∵S△ABC =12，
∴S△ABD =S△ABC= ×12=6．∵EC=2BE，S△ABC=12，
∴S△ABE =S△ABC = ×12=4，∵S△ABD -S△ABE =（S△ADF +S△ABF ）-（S△ABF +S△BEF ）= S△ADF -S△BEF
即S△ADF-S△BEF=S△ABD -S△ABE=6- 4=2.
探究点3：三角形的角平分线
解：因为DE∥BC，所以∠AED=∠ACB=80°.又因为DC平分∠ACB，所以∠ACD=∠DCB.所以∠ECD=40°.
当堂检测
- C 2.B 3.B 4.D 5．（1）∠ABE ∠CBE ∠ABC （2）∠ACF ∠BCF
6．12
7．解：因为△DBC的周长=DB+DC+BC,△ADC的周长为DA+AC+DC,所以△DBC的周长—△ADC的周长 为DB+DC+BC-（DA+AC+DC）.又因为CD是中线，所以AD=BD. 所以 △DBC的周长—△ADC的周长 = BC-AC=5 cm.所以 △ADC的周长= △DBC的周长-5cm=20cm.
华师大版 初中数学 八年级上册 13.2 4 第2课时 角角边及对应线段相等 学案（含答案）： 这是一份华师大版 初中数学 八年级上册 13.2 4 第2课时 角角边及对应线段相等 学案（含答案），共6页。学案主要包含了知识链接，新知预习等内容，欢迎下载使用。
数学八年级上册11.1.3 三角形的稳定性第2课时导学案及答案： 这是一份数学八年级上册11.1.3 三角形的稳定性第2课时导学案及答案，共5页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
华师大版七年级下册9.2 多边形的内角和与外角和优质第2课时学案： 这是一份华师大版七年级下册9.2 多边形的内角和与外角和优质第2课时学案，共7页。学案主要包含了知识链接，新知预习，我的疑惑等内容，欢迎下载使用。
