数学5.4 二次函数与一元二次方程测试题

这是一份数学5.4 二次函数与一元二次方程测试题，共7页。试卷主要包含了23 B．3，37＝0的根是，故选A等内容，欢迎下载使用。

一、选择题


1、二次函数y＝x2－2x＋1的图像与x轴的交点情况是( )


A．有一个交点 B．有两个交点 C．没有交点 D．无法确定


2、在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+1的图象如图所示，


则方程ax2+bx+1＝0的根的情况是（ ）


A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断





3、关于x的不等式组无解，则二次函数图象y=ax2﹣2x﹣1与x轴的交点（ ）


A．没有交点B．一个交点C．两个交点D．不能确定


4、已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图像与x轴的一个交点坐标为(1，0)，


则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是( )


A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3


5、若二次函数y＝kx2+2x﹣1的图象与x轴仅有一个公共点，则常数k的值为（ ）


A．1B．±1C．﹣1D．


6、根据下列表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解的范围是( )


A.3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26


7、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如下表所示：


则方程ax2＋bx＋1.37＝0的根是（ ）


A．0或4B．或 C．1或5D．无实根


8、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－n＝0没有实数根．有下列结论，其中正确结论的个数是( )


①b2－4ac＞0；②abc＜0；③n＞2.


A． 0 B．1 C．2 D．3





9、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：


①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c=0；③若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，


则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（ ）


A．1个B．2个C．3个D．4个





10、若实数，，，满足，且，抛物线与轴交于，，则线段的最大值是（ ）


A．B． C．D．


11、若函数y＝x2－2x＋b的图像与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是( )


A．b＜1且b≠0 B．b＞1 C．0＜b＜1 D．b＜1


二、填空题


12、若关于x的一元二次方程a(x＋m)2－3＝0的两个实数根分别为x1＝－1，x2＝3，


则抛物线y＝a(x＋m－2)2－3与x轴的交点坐标为______________


13、若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图像经过点(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的解为( )


A．x1＝－3，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－3，x2＝1


14、已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根的和为_____．





15、若抛物线y＝x2－6x＋m与x轴没有交点，则m的取值范围是________


16、已知关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1＝1，x2＝－5，


则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像的对称轴是________．


17、如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A(3，0)，则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是______________________.





18、已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图像如图所示，


则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为____________.





三、解答题


19、如图所示，y1＝ax2＋bx＋c与y2＝mx＋n的图象交于两点，根据图象信息回答下列问题：


(1)x为何值时，y1＜y2?


(2)x为何值时，y1＝y2?


(3)x为何值时，y1＞y2?





20、如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且C是线段AB的中点．


(1)求这条抛物线对应的函数表达式；


(2)求直线AB对应的函数表达式．








21、已知直线l：y＝kx＋1与抛物线y＝x2－4x.


(1)求证：直线l与该拋物线总有两个交点；


(2)设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k＝－2时，求△OAB的面积.


























22、已知过原点O的两直线与圆心为M（0，4），半径为2的圆相切，切点分别为P、Q，PQ交y轴于点K，抛物线经过P、Q两点，顶点为N（0，6），且与x轴交于A、B两点．


（1）求点P的坐标；


（2）求抛物线解析式；


（3）在直线y=nx+m中，当n=0，m≠0时，y=m是平行于x轴的直线，设直线y=m与抛物线相交于


点C、D，当该直线与⊙M相切时，求点A、B、C、D围成的多边形的面积（结果保留根号）．






































5.4二次函数与一元二次方程 -苏科版九年级数学下册 专题培优训练（答案）


一、选择题


1、二次函数y＝x2－2x＋1的图像与x轴的交点情况是( )


A．有一个交点 B．有两个交点 C．没有交点 D．无法确定


[解析] 二次函数y＝x2－2x＋1，∵b2－4ac＝4－4＝0，∴二次函数图像与x轴的交点情况是有一个交点．


故选A.





2、在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+1的图象如图所示，


则方程ax2+bx+1＝0的根的情况是（ B ）


A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断





3、关于x的不等式组无解，则二次函数图象y=ax2﹣2x﹣1与x轴的交点（ C ）


A．没有交点B．一个交点C．两个交点D．不能确定


4、已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图像与x轴的一个交点坐标为(1，0)，


则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是( )


A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3


[解析] ∵二次函数y＝x2－3x＋m的图像与x轴的一个交点坐标为(1，0)，∴0＝12－3＋m，解得m＝2，


∴二次函数为y＝x2－3x＋2.令y＝0，则x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2，


这就是一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根．故选B.





5、若二次函数y＝kx2+2x﹣1的图象与x轴仅有一个公共点，则常数k的值为（ C ）


A．1B．±1C．﹣1D．


6、根据下列表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解的范围是( C )


A.3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26


7、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如下表所示：


则方程ax2＋bx＋1.37＝0的根是（ B ）


A．0或4B．或 C．1或5D．无实根





8、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－n＝0没有实数根．有下列结论，其中正确结论的个数是( D )


①b2－4ac＞0；②abc＜0；③n＞2.


A． 0 B．1 C．2 D．3





9、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：


①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c=0；③若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，


则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（ B）


A．1个B．2个C．3个D．4个





10、若实数，，，满足，且，抛物线与轴交于，，则线段的最大值是（ D ）


A．B． C．D．


11、若函数y＝x2－2x＋b的图像与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是( )


A．b＜1且b≠0 B．b＞1 C．0＜b＜1 D．b＜1


[解析] ∵函数y＝x2－2x＋b的图像与坐标轴有三个交点，∴(－2)2－4b＞0，解得b＜1，而b≠0，则b＜1且b≠0.故选A.





二、填空题


12、若关于x的一元二次方程a(x＋m)2－3＝0的两个实数根分别为x1＝－1，x2＝3，


则抛物线y＝a(x＋m－2)2－3与x轴的交点坐标为___ (1，0)，(5，0) ___________


13、若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图像经过点(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的解为( )


A．x1＝－3，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－3，x2＝1


[解析] C ∵二次函数y＝ax2－2ax＋c的图像经过点(－1，0)，


∴方程ax2－2ax＋c＝0一定有一个根为x＝－1.∵抛物线的对称轴为直线x＝1，


∴二次函数y＝ax2－2ax＋c的图像与x轴的另一个交点坐标为(3，0)，


∴方程ax2－2ax＋c＝0的解为x1＝－1，x2＝3.





14、已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根的和为_ 2 ____．





15、若抛物线y＝x2－6x＋m与x轴没有交点，则m的取值范围是__m＞9______


16、已知关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1＝1，x2＝－5，


则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像的对称轴是________．


[解析] ∵关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1＝1，x2＝－5，∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴的两个交点的横坐标分别为1，－5，∴对称轴为直线x＝eq \f(1－5,2)＝－2.


17、如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A(3，0)，则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是_____x＜－1或x＞3___________________.





18、已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图像如图所示，


则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为____________.





[解析] 依题意得二次函数y＝－x2＋2x＋m的图像的对称轴为直线x＝1，


与x轴的一个交点坐标为(3，0)，


∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为1－(3－1)＝－1，


∴另一个交点的坐标为(－1，0)，


∴当x＝－1或x＝3时，函数值y＝0，


即－x2＋2x＋m＝0，


∴关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为x1＝－1，x2＝3.





三、解答题


19、如图所示，y1＝ax2＋bx＋c与y2＝mx＋n的图象交于两点，根据图象信息回答下列问题：


(1)x为何值时，y1＜y2?


(2)x为何值时，y1＝y2?


(3)x为何值时，y1＞y2?





解：(1)当－2＜x＜1时，y1＜y2


(2)x＝－2或x＝1时，y1＝y2


(3)当x＜－2或x＞1时，y1＞y2





20、如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且C是线段AB的中点．


(1)求这条抛物线对应的函数表达式；


(2)求直线AB对应的函数表达式．





解：(1)∵抛物线y＝ax2＋2ax＋1与x轴仅有一个公共点A.


∴一元二次方程ax2＋2ax＋1＝0的根的判别式等于0，即4a2－4a＝0，


解得a1＝0(舍去)，a2＝1，


∴这条抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋2x＋1.


(2)∵y＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2， ∴顶点A的坐标为(－1，0)．


∵C是线段AB的中点，即点A与点B关于点C对称，∴点B的横坐标为1.


当x＝1时，y＝x2＋2x＋1＝1＋2＋1＝4， ∴点B的坐标为(1，4)．


设直线AB对应的函数表达式为y＝kx＋b.


把A(－1，0)，B(1，4)分别代入y＝kx＋b，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0＝－k＋b，,4＝k＋b，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝2，,b＝2，))


∴直线AB对应的函数表达式为y＝2x＋2.





21、已知直线l：y＝kx＋1与抛物线y＝x2－4x.


(1)求证：直线l与该拋物线总有两个交点；


(2)设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k＝－2时，求△OAB的面积.


解：(1)证明：令x2－4x＝kx＋1，则x2－(4＋k)x－1＝0.


∵Δ＝(4＋k)2＋4＞0， ∴直线l与该抛物线总有两个交点.


(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)(x2，y2)，直线l与y轴交点为C(0，1).


由(1)知x1＋x2＝4＋k＝2，x1x2＝－1. ∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4＋4＝8，


|x1－x2|＝2eq \r(2). ∴S△OAB＝eq \f(1,2)·OC·|x1－x2|＝eq \f(1,2)×1×2eq \r(2)＝eq \r(2).





22、已知过原点O的两直线与圆心为M（0，4），半径为2的圆相切，切点分别为P、Q，PQ交y轴于点K，抛物线经过P、Q两点，顶点为N（0，6），且与x轴交于A、B两点．


（1）求点P的坐标；


（2）求抛物线解析式；


（3）在直线y=nx+m中，当n=0，m≠0时，y=m是平行于x轴的直线，设直线y=m与抛物线相交于


点C、D，当该直线与⊙M相切时，求点A、B、C、D围成的多边形的面积（结果保留根号）．





（1）如图1， ∵⊙M与OP相切于点P， ∴MP⊥OP，即∠MPO=90°．


∵点M（0，4）即OM=4，MP=2， ∴OP=2 ．


∵⊙M与OP相切于点P，⊙M与OQ相切于点Q， ∴OQ=OP，∠POK=∠QOK． ∴OK⊥PQ，QK=PK．


∴PK= ． ∴OK= =3． ∴点P的坐标为（ ，3）．


（2）如图2， 设顶点为（0，6）的抛物线的解析式为y=ax 2 +6，


∵点P（ ，3）在抛物线y=ax 2 +6上， ∴3a+6=3． 解得：a=1．


则该抛物线的解析式为y=x 2 +6．





（3）当直线y=m与⊙M相切时， 则有 =2． 解得；m 1 =2，m 2 =6．


①m=2时，如图3， 则有OH=2．


当y=2时，解方程x 2 +6=2得：x=±2， 则点C（2，2），D（2，2），CD=4．


同理可得：AB=2 ． 则S 梯形ABCD = （DC+AB）OH= ×（4+2 ）×2=4+2 ．


②m=6时，如图4， 此时点C、点D与点N重合． S △ABC = ABOC= ×2 ×6=6 ．


综上所述：点A、B、C、D围成的多边形的面积为4+2 或6 ．














x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2＋bx＋c
－0.06
－0.02
0.03
0.09
x
…
0
4
…
y
…
0.37
-1
0.37
…
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2＋bx＋c
－0.06
－0.02
0.03
0.09
x
…
0
4
…
y
…
0.37
-1
0.37
…