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初中数学苏科版九年级下册5.5 用二次函数解决问题同步训练题
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这是一份初中数学苏科版九年级下册5.5 用二次函数解决问题同步训练题，共9页。试卷主要包含了5用二次函数解决问题 课时作业等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1、某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x元，则可卖出(350－10x)件，则商店所获得的利润y(元)与每件商品售价x(元)之间的函数表达式为( )
A．y＝－10x2－560x＋7350 B．y＝－10x2＋560x－7350
C．y＝－10x2＋350x D．y＝－10x2＋350x－7350
2、用长8 m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是( )
A.eq \f(64,25) m2 B.eq \f(4,3) m2 C.eq \f(8,3) m2 D.4 m2
3、生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y=-n2+14n-24，则该企业一年中利润最高的月份是( )
A. 5月 B. 6月 C. 7月 D. 8月
4、一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( )
A．5元 B．10元 C．0元 D．6元
5、将进价为70元/个的某种商品按销售单价100元/个售出时,每天能卖出20个.若这种商品的销售单价在一定范围内每降低1元,其日销量就增加1个,为了获取最大利润应降价( )
A.20元 B.15元 C.10元 D.5元
6、便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（ ）
A. 20 B. 1508 C. 1558 D. 1585
7、某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆．当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高20元，则相应地减少了10张床位租出．如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是( )
A. 140元 B. 150元 C. 160元 D. 180元
8、如图，线段的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在的同侧作两个等腰直角三角形∆ACD和∆BCE，那么DE长的最小值是_______.
二、填空题
9、某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m，则能建成的饲养室面积最大为____
10、如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙(墙的长度超过10米)，围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关于x的函数表达式是__________________________，
当边长x为________ 米时，花圃有最大面积，最大面积为________ 平方米．
11、某商店出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出(6－x)个，则当x＝________时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．
12、已知商场某商品的进价为每件40元,现在的销售单价是60元/件,一周内可卖出300件.市场调查反映:售价每件每涨价1元,一周内要少卖出10件商品.设售价每件涨价x元,当x= 时,商场能在一周内获得最大利润.
13、如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过________s，四边形APQC的面积最小．
14、两个数的和为6，这两个数的积最大可以达到______
15、某果园有90棵橘子树，平均每棵树结520个橘子．根据经验估计，每多种一棵橘子树，平均每棵树就会少结4个橘子．设果园里增种x棵橘子树，橘子总个数为y个，则果园里增种________棵橘子树时，橘子总个数最多．
16、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是________cm2
三、解答题
17、如图所示，已知平行四边形ABCD的周长为8 cm，∠B＝30°，若边长AB＝x cm：
(1)写出▱ABCD的面积y(cm2)与x(cm)的函数关系式，并求自变量x的取值范围；
(2)当x取什么值时，y的值最大？并求最大值．
18、某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m．设饲养室的一边长为x(m)，占地面积为y(m2)．
(1)如图①，则饲养室的一边长x为多少时，占地面积y最大？
(2)如图②，现要求在所示位置留2 m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室的一边长x比(1)中的长多2 m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．
19、为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25 m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40 m的栅栏围住(如图)．设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)当x为何值时，绿化带的面积最大？
20、某食品零售店为食品厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家．经统计销售情况发现，当这种面包的单价定为７角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高１角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是５角．
设这种面包的单价提高到（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为（角）．
（1）用含的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；
（2）求与之间的函数关系式；
（3）当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？
21、小明大学毕业后回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，经调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元，每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；
②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2(单位：元)．
(1)用含x的代数式表示W1，W2；
(2)当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？
22、已知：如图，直角梯形中，，，，．
（1）求梯形的面积；
（2）点分别是上的动点，点从点出发向点运动，点从点出发向点运动，若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接．求面积的最大值，并说明此时的位置．
23、东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/千克，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p(元/千克)与时间t(天)之间的函数关系式为p＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)t＋30（1≤t≤24，t为整数），,－\f(1,2)t＋48（25≤t≤48，t为整数），))且其日销售量y(千克)与时间t(天)的关系如下表：
(1)已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少；
(2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
(3)在实际销售的前24天中，公司决定每销售1千克水果就捐款n元利润(n<9)给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐款后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．
5.5用二次函数解决问题 （1）-苏科版九年级数学下册 培优训练（答案）
一、选择题
1、某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x元，则可卖出(350－10x)件，则商店所获得的利润y(元)与每件商品售价x(元)之间的函数表达式为( )
A．y＝－10x2－560x＋7350 B．y＝－10x2＋560x－7350
C．y＝－10x2＋350x D．y＝－10x2＋350x－7350
[解析]B 由题意，得y＝(x－21)(350－10x)＝－10x2＋560x－7350.
2、用长8 m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是(C )
A.eq \f(64,25) m2 B.eq \f(4,3) m2 C.eq \f(8,3) m2 D.4 m2
3、生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y=-n2+14n-24，则该企业一年中利润最高的月份是( )
A. 5月 B. 6月 C. 7月 D. 8月
【解析】试题解析：y=-n2+14n-24=-（n-7）2+25，
∵-1＜0，∴开口向下，y有最大值，
即n=7时，y取最大值25，故7月能够获得最大利润, 故选C.
4、一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为(A )
A．5元 B．10元 C．0元 D．6元
5、将进价为70元/个的某种商品按销售单价100元/个售出时,每天能卖出20个.若这种商品的销售单价在一定范围内每降低1元,其日销量就增加1个,为了获取最大利润应降价( )
A.20元 B.15元 C.10元 D.5元
[解析] D 设这种商品每个降价x元,每天的利润为y元,则降价后,每个商品的利润为100-70-x=(30-x)元,平均每天的销售量为(20+x)个,所以y=(30-x)(20+x)=-x2+10x+600.当x=-=5时,y取得最大值.
6、便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（ ）
A. 20 B. 1508 C. 1558 D. 1585
【解析】由题意知，一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足，
且15≤x≤22，根据二次函数的开口方向向下，可知当x=20时， ． 故选：C．
7、某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆．当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高20元，则相应地减少了10张床位租出．如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是( )
A. 140元 B. 150元 C. 160元 D. 180元
【解析】设每张床位提高x个20元，每天收入为y元．
则有y=（100+20x）（100-10x）=-200x2+1000x+10000．
当x=-时，可使y有最大值．
又x为整数，则x=2时，y=11200；
x=3时，y=11200；
则为使租出的床位少且租金高，每张床收费=100+3×20=160元． 故选C．
8、如图，线段的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在的同侧作两个等腰直角三角形∆ACD和∆BCE，那么DE长的最小值是_______.
【详解】设AC=x，则BC=2-x，
∵△ACD和△BCE分别是等腰直角三角形，
∴∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC=x，CE=（2-x），
∴∠DCE=90°， 故DE2=DC2+CE2=x2+（2-x）2=x2-2x+2=（x-1）2+1，
当x=1时，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1，
故答案为：1．
二、填空题
9、某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m，则能建成的饲养室面积最大为75m2 .
10、如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙(墙的长度超过10米)，围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关于x的函数表达式是__________________________，
当边长x为________ 米时，花圃有最大面积，最大面积为________ 平方米．
答案：S＝－2x2＋10x eq \f(5,2) eq \f(25,2)
[解析] 由题意知平行于墙的一边长为(10－2x)米，则S＝x(10－2x)＝－2(x－eq \f(5,2))2＋eq \f(25,2)(0
所以当x＝eq \f(5,2)时，花圃有最大面积，最大面积为eq \f(25,2)平方米．
11、某商店出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出(6－x)个，则当x＝________时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．
[解析] 由题意可得y＝(6－x)x，即y＝－x2＋6x，当x＝3时，y有最大值．
12、已知商场某商品的进价为每件40元,现在的销售单价是60元/件,一周内可卖出300件.市场调查反映:售价每件每涨价1元,一周内要少卖出10件商品.设售价每件涨价x元,当x= 时,商场能在一周内获得最大利润.
[解析] 设销售单价涨价x元,一周内获得的利润为y元,则涨价后,每件的利润为60+x-40=(x+20)元,平均每天的销售量为(300-10x)个,所以y=(x+20)(300-10x)=-10x2+100x+6000.当x=-=5时,y取得最大值.
13、如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过________s，四边形APQC的面积最小．
[解析] 设P，Q同时出发后，经过的时间为t s，四边形APQC的面积为S mm2，
则有S＝S△ABC－S△PBQ＝eq \f(1,2)×12×24－eq \f(1,2)×4t×(12－2t)＝4t2－24t＋144＝4(t－3)2＋108.
∵4＞0， ∴当t＝3时，S取得最小值．故答案为3.
14、两个数的和为6，这两个数的积最大可以达到__9____
15、某果园有90棵橘子树，平均每棵树结520个橘子．根据经验估计，每多种一棵橘子树，平均每棵树就会少结4个橘子．设果园里增种x棵橘子树，橘子总个数为y个，则果园里增种________棵橘子树时，橘子总个数最多．
[解析] 设果园里增种x棵橘子树，那么果园里共有(x＋90)棵橘子树，
∵每多种一棵树，平均每棵树就会少结4个橘子，∴平均每棵树结(520－4x)个橘子．
∴y＝(x＋90)(520－4x)＝－4x2＋160x＋46800，
∴当x＝－eq \f(b,2a)＝－eq \f(160,2×（－4）)＝20时，y最大，橘子总个数最多．
16、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是____12.5____cm2
三、解答题
17、如图所示，已知平行四边形ABCD的周长为8 cm，∠B＝30°，若边长AB＝x cm：
(1)写出▱ABCD的面积y(cm2)与x(cm)的函数关系式，并求自变量x的取值范围；
(2)当x取什么值时，y的值最大？并求最大值．
答案：(1)y＝－eq \f(1,2)x2＋2x(0
18、某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m．设饲养室的一边长为x(m)，占地面积为y(m2)．
(1)如图①，则饲养室的一边长x为多少时，占地面积y最大？
(2)如图②，现要求在所示位置留2 m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室的一边长x比(1)中的长多2 m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．
解：(1)∵y＝x·eq \f(50－x,2)＝－eq \f(1,2)(x－25)2＋eq \f(625,2)(0
∴当x＝25时，占地面积y最大，即当饲养室的一边长x为25 m时，占地面积y最大．
(2)∵y＝x·eq \f(50－（x－2）,2)＝－eq \f(1,2)(x－26)2＋338，
∴当x＝26时，占地面积y最大．
∵26－25＝1(m)≠2 m，∴小敏的说法不正确．
19、为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25 m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40 m的栅栏围住(如图)．设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)当x为何值时，绿化带的面积最大？
解： (1)∵四边形ABCD为矩形，BC＝x m， ∴AB＝eq \f(40－x,2) m.
根据题意，得y＝AB·BC＝eq \f(40－x,2)·x＝－eq \f(1,2)x2＋20x(0＜x≤25)．
(2)∵y＝－eq \f(1,2)x2＋20x＝－eq \f(1,2)(x－20)2＋200， ∴当x＝20时，绿化带的面积最大．
20、某食品零售店为食品厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家．经统计销售情况发现，当这种面包的单价定为７角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高１角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是５角．
设这种面包的单价提高到（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为（角）．
（1）用含的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；
（2）求与之间的函数关系式；
（3）当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？
答案：（1），
（2）,
（3）=-20(x-10)+500
当定价为10角时，利润最大，为500角.
21、小明大学毕业后回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，经调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元，每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；
②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2(单位：元)．
(1)用含x的代数式表示W1，W2；
(2)当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？
解：(1)W1＝(50＋x)(160－2x)＝－2x 2＋60x＋8000，
W2＝19(50－x)＝－19x＋950.
(2)W＝W1＋W2＝－2x2＋41x＋8950(x为整数)．
∵－2＜0，抛物线的开口向下，－eq \f(41,2×（－2）)＝eq \f(41,4)，
∴当0≤x
当eq \f(41,4)
又∵x取整数，故当x＝10时，W最大，
W最大＝－2×102＋41×10＋8950＝9160.
即当x＝10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润最大，最大总利润是9160元．
22、已知：如图，直角梯形中，，，，．
（1）求梯形的面积；
（2）点分别是上的动点，点从点出发向点运动，点从点出发向点运动，若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接．求面积的最大值，并说明此时的位置．
答案： (1)S ＝,
(2)()，
当t＝5时，S最大值＝此时E在BC中点，F在CD中点.
23、东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/千克，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p(元/千克)与时间t(天)之间的函数关系式为p＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)t＋30（1≤t≤24，t为整数），,－\f(1,2)t＋48（25≤t≤48，t为整数），))且其日销售量y(千克)与时间t(天)的关系如下表：
(1)已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少；
(2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
(3)在实际销售的前24天中，公司决定每销售1千克水果就捐款n元利润(n<9)给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐款后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．
解：(1)依题意，得y＝120－2t.
当t＝30时，y＝120－60＝60. 答：在第30天的日销售量为60千克．
(2)设日销售利润为W元，则W＝(p－20)y.
当1≤t≤24时，W＝(eq \f(1,4)t＋30－20)(120－2t)＝－eq \f(1,2)t2＋10t＋1200＝－eq \f(1,2)(t－10)2＋1250.
当t＝10时，W最大＝1250.
当25≤t≤48时，W＝(－eq \f(1,2)t＋48－20)(120－2t)＝t2－116t＋3360＝(t－58)2－4.
由二次函数的图象及性质知，当t＝25时，W最大＝1085.
∵1250>1085， ∴在第10天的销售利润最大，最大日销售利润为1250元．
(3)依题意，得
每天扣除捐款后的日销售利润W＝(eq \f(1,4)t＋30－20－n)(120－2t)＝－eq \f(1,2)t2＋2(n＋5)t＋1200－120n.
其图象对称轴为直线t＝2n＋10，要使W随t的增大而增大．
由二次函数的图象及性质知，2n＋10≥24，解得n≥7.
又∵n<9，∴7≤n<9.
时间t(天)
1
3
6
10
20
40
…
日销售量y(千克)
118
114
108
100
80
40
…
时间t(天)
1
3
6
10
20
40
…
日销售量y(千克)
118
114
108
100
80
40
…
一、选择题
1、某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x元，则可卖出(350－10x)件，则商店所获得的利润y(元)与每件商品售价x(元)之间的函数表达式为( )
A．y＝－10x2－560x＋7350 B．y＝－10x2＋560x－7350
C．y＝－10x2＋350x D．y＝－10x2＋350x－7350
2、用长8 m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是( )
A.eq \f(64,25) m2 B.eq \f(4,3) m2 C.eq \f(8,3) m2 D.4 m2
3、生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y=-n2+14n-24，则该企业一年中利润最高的月份是( )
A. 5月 B. 6月 C. 7月 D. 8月
4、一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( )
A．5元 B．10元 C．0元 D．6元
5、将进价为70元/个的某种商品按销售单价100元/个售出时,每天能卖出20个.若这种商品的销售单价在一定范围内每降低1元,其日销量就增加1个,为了获取最大利润应降价( )
A.20元 B.15元 C.10元 D.5元
6、便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（ ）
A. 20 B. 1508 C. 1558 D. 1585
7、某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆．当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高20元，则相应地减少了10张床位租出．如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是( )
A. 140元 B. 150元 C. 160元 D. 180元
8、如图，线段的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在的同侧作两个等腰直角三角形∆ACD和∆BCE，那么DE长的最小值是_______.
二、填空题
9、某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m，则能建成的饲养室面积最大为____
10、如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙(墙的长度超过10米)，围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关于x的函数表达式是__________________________，
当边长x为________ 米时，花圃有最大面积，最大面积为________ 平方米．
11、某商店出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出(6－x)个，则当x＝________时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．
12、已知商场某商品的进价为每件40元,现在的销售单价是60元/件,一周内可卖出300件.市场调查反映:售价每件每涨价1元,一周内要少卖出10件商品.设售价每件涨价x元,当x= 时,商场能在一周内获得最大利润.
13、如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过________s，四边形APQC的面积最小．
14、两个数的和为6，这两个数的积最大可以达到______
15、某果园有90棵橘子树，平均每棵树结520个橘子．根据经验估计，每多种一棵橘子树，平均每棵树就会少结4个橘子．设果园里增种x棵橘子树，橘子总个数为y个，则果园里增种________棵橘子树时，橘子总个数最多．
16、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是________cm2
三、解答题
17、如图所示，已知平行四边形ABCD的周长为8 cm，∠B＝30°，若边长AB＝x cm：
(1)写出▱ABCD的面积y(cm2)与x(cm)的函数关系式，并求自变量x的取值范围；
(2)当x取什么值时，y的值最大？并求最大值．
18、某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m．设饲养室的一边长为x(m)，占地面积为y(m2)．
(1)如图①，则饲养室的一边长x为多少时，占地面积y最大？
(2)如图②，现要求在所示位置留2 m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室的一边长x比(1)中的长多2 m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．
19、为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25 m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40 m的栅栏围住(如图)．设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)当x为何值时，绿化带的面积最大？
20、某食品零售店为食品厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家．经统计销售情况发现，当这种面包的单价定为７角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高１角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是５角．
设这种面包的单价提高到（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为（角）．
（1）用含的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；
（2）求与之间的函数关系式；
（3）当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？
21、小明大学毕业后回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，经调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元，每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；
②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2(单位：元)．
(1)用含x的代数式表示W1，W2；
(2)当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？
22、已知：如图，直角梯形中，，，，．
（1）求梯形的面积；
（2）点分别是上的动点，点从点出发向点运动，点从点出发向点运动，若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接．求面积的最大值，并说明此时的位置．
23、东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/千克，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p(元/千克)与时间t(天)之间的函数关系式为p＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)t＋30（1≤t≤24，t为整数），,－\f(1,2)t＋48（25≤t≤48，t为整数），))且其日销售量y(千克)与时间t(天)的关系如下表：
(1)已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少；
(2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
(3)在实际销售的前24天中，公司决定每销售1千克水果就捐款n元利润(n<9)给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐款后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．
5.5用二次函数解决问题 （1）-苏科版九年级数学下册 培优训练（答案）
一、选择题
1、某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x元，则可卖出(350－10x)件，则商店所获得的利润y(元)与每件商品售价x(元)之间的函数表达式为( )
A．y＝－10x2－560x＋7350 B．y＝－10x2＋560x－7350
C．y＝－10x2＋350x D．y＝－10x2＋350x－7350
[解析]B 由题意，得y＝(x－21)(350－10x)＝－10x2＋560x－7350.
2、用长8 m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是(C )
A.eq \f(64,25) m2 B.eq \f(4,3) m2 C.eq \f(8,3) m2 D.4 m2
3、生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y=-n2+14n-24，则该企业一年中利润最高的月份是( )
A. 5月 B. 6月 C. 7月 D. 8月
【解析】试题解析：y=-n2+14n-24=-（n-7）2+25，
∵-1＜0，∴开口向下，y有最大值，
即n=7时，y取最大值25，故7月能够获得最大利润, 故选C.
4、一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为(A )
A．5元 B．10元 C．0元 D．6元
5、将进价为70元/个的某种商品按销售单价100元/个售出时,每天能卖出20个.若这种商品的销售单价在一定范围内每降低1元,其日销量就增加1个,为了获取最大利润应降价( )
A.20元 B.15元 C.10元 D.5元
[解析] D 设这种商品每个降价x元,每天的利润为y元,则降价后,每个商品的利润为100-70-x=(30-x)元,平均每天的销售量为(20+x)个,所以y=(30-x)(20+x)=-x2+10x+600.当x=-=5时,y取得最大值.
6、便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（ ）
A. 20 B. 1508 C. 1558 D. 1585
【解析】由题意知，一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足，
且15≤x≤22，根据二次函数的开口方向向下，可知当x=20时， ． 故选：C．
7、某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆．当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高20元，则相应地减少了10张床位租出．如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是( )
A. 140元 B. 150元 C. 160元 D. 180元
【解析】设每张床位提高x个20元，每天收入为y元．
则有y=（100+20x）（100-10x）=-200x2+1000x+10000．
当x=-时，可使y有最大值．
又x为整数，则x=2时，y=11200；
x=3时，y=11200；
则为使租出的床位少且租金高，每张床收费=100+3×20=160元． 故选C．
8、如图，线段的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在的同侧作两个等腰直角三角形∆ACD和∆BCE，那么DE长的最小值是_______.
【详解】设AC=x，则BC=2-x，
∵△ACD和△BCE分别是等腰直角三角形，
∴∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC=x，CE=（2-x），
∴∠DCE=90°， 故DE2=DC2+CE2=x2+（2-x）2=x2-2x+2=（x-1）2+1，
当x=1时，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1，
故答案为：1．
二、填空题
9、某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m，则能建成的饲养室面积最大为75m2 .
10、如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙(墙的长度超过10米)，围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关于x的函数表达式是__________________________，
当边长x为________ 米时，花圃有最大面积，最大面积为________ 平方米．
答案：S＝－2x2＋10x eq \f(5,2) eq \f(25,2)
[解析] 由题意知平行于墙的一边长为(10－2x)米，则S＝x(10－2x)＝－2(x－eq \f(5,2))2＋eq \f(25,2)(0
所以当x＝eq \f(5,2)时，花圃有最大面积，最大面积为eq \f(25,2)平方米．
11、某商店出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出(6－x)个，则当x＝________时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．
[解析] 由题意可得y＝(6－x)x，即y＝－x2＋6x，当x＝3时，y有最大值．
12、已知商场某商品的进价为每件40元,现在的销售单价是60元/件,一周内可卖出300件.市场调查反映:售价每件每涨价1元,一周内要少卖出10件商品.设售价每件涨价x元,当x= 时,商场能在一周内获得最大利润.
[解析] 设销售单价涨价x元,一周内获得的利润为y元,则涨价后,每件的利润为60+x-40=(x+20)元,平均每天的销售量为(300-10x)个,所以y=(x+20)(300-10x)=-10x2+100x+6000.当x=-=5时,y取得最大值.
13、如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过________s，四边形APQC的面积最小．
[解析] 设P，Q同时出发后，经过的时间为t s，四边形APQC的面积为S mm2，
则有S＝S△ABC－S△PBQ＝eq \f(1,2)×12×24－eq \f(1,2)×4t×(12－2t)＝4t2－24t＋144＝4(t－3)2＋108.
∵4＞0， ∴当t＝3时，S取得最小值．故答案为3.
14、两个数的和为6，这两个数的积最大可以达到__9____
15、某果园有90棵橘子树，平均每棵树结520个橘子．根据经验估计，每多种一棵橘子树，平均每棵树就会少结4个橘子．设果园里增种x棵橘子树，橘子总个数为y个，则果园里增种________棵橘子树时，橘子总个数最多．
[解析] 设果园里增种x棵橘子树，那么果园里共有(x＋90)棵橘子树，
∵每多种一棵树，平均每棵树就会少结4个橘子，∴平均每棵树结(520－4x)个橘子．
∴y＝(x＋90)(520－4x)＝－4x2＋160x＋46800，
∴当x＝－eq \f(b,2a)＝－eq \f(160,2×（－4）)＝20时，y最大，橘子总个数最多．
16、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是____12.5____cm2
三、解答题
17、如图所示，已知平行四边形ABCD的周长为8 cm，∠B＝30°，若边长AB＝x cm：
(1)写出▱ABCD的面积y(cm2)与x(cm)的函数关系式，并求自变量x的取值范围；
(2)当x取什么值时，y的值最大？并求最大值．
答案：(1)y＝－eq \f(1,2)x2＋2x(0
18、某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m．设饲养室的一边长为x(m)，占地面积为y(m2)．
(1)如图①，则饲养室的一边长x为多少时，占地面积y最大？
(2)如图②，现要求在所示位置留2 m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室的一边长x比(1)中的长多2 m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．
解：(1)∵y＝x·eq \f(50－x,2)＝－eq \f(1,2)(x－25)2＋eq \f(625,2)(0
∴当x＝25时，占地面积y最大，即当饲养室的一边长x为25 m时，占地面积y最大．
(2)∵y＝x·eq \f(50－（x－2）,2)＝－eq \f(1,2)(x－26)2＋338，
∴当x＝26时，占地面积y最大．
∵26－25＝1(m)≠2 m，∴小敏的说法不正确．
19、为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25 m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40 m的栅栏围住(如图)．设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)当x为何值时，绿化带的面积最大？
解： (1)∵四边形ABCD为矩形，BC＝x m， ∴AB＝eq \f(40－x,2) m.
根据题意，得y＝AB·BC＝eq \f(40－x,2)·x＝－eq \f(1,2)x2＋20x(0＜x≤25)．
(2)∵y＝－eq \f(1,2)x2＋20x＝－eq \f(1,2)(x－20)2＋200， ∴当x＝20时，绿化带的面积最大．
20、某食品零售店为食品厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家．经统计销售情况发现，当这种面包的单价定为７角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高１角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是５角．
设这种面包的单价提高到（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为（角）．
（1）用含的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；
（2）求与之间的函数关系式；
（3）当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？
答案：（1），
（2）,
（3）=-20(x-10)+500
当定价为10角时，利润最大，为500角.
21、小明大学毕业后回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，经调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元，每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；
②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2(单位：元)．
(1)用含x的代数式表示W1，W2；
(2)当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？
解：(1)W1＝(50＋x)(160－2x)＝－2x 2＋60x＋8000，
W2＝19(50－x)＝－19x＋950.
(2)W＝W1＋W2＝－2x2＋41x＋8950(x为整数)．
∵－2＜0，抛物线的开口向下，－eq \f(41,2×（－2）)＝eq \f(41,4)，
∴当0≤x
当eq \f(41,4)
又∵x取整数，故当x＝10时，W最大，
W最大＝－2×102＋41×10＋8950＝9160.
即当x＝10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润最大，最大总利润是9160元．
22、已知：如图，直角梯形中，，，，．
（1）求梯形的面积；
（2）点分别是上的动点，点从点出发向点运动，点从点出发向点运动，若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接．求面积的最大值，并说明此时的位置．
答案： (1)S ＝,
(2)()，
当t＝5时，S最大值＝此时E在BC中点，F在CD中点.
23、东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/千克，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p(元/千克)与时间t(天)之间的函数关系式为p＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)t＋30（1≤t≤24，t为整数），,－\f(1,2)t＋48（25≤t≤48，t为整数），))且其日销售量y(千克)与时间t(天)的关系如下表：
(1)已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少；
(2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
(3)在实际销售的前24天中，公司决定每销售1千克水果就捐款n元利润(n<9)给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐款后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．
解：(1)依题意，得y＝120－2t.
当t＝30时，y＝120－60＝60. 答：在第30天的日销售量为60千克．
(2)设日销售利润为W元，则W＝(p－20)y.
当1≤t≤24时，W＝(eq \f(1,4)t＋30－20)(120－2t)＝－eq \f(1,2)t2＋10t＋1200＝－eq \f(1,2)(t－10)2＋1250.
当t＝10时，W最大＝1250.
当25≤t≤48时，W＝(－eq \f(1,2)t＋48－20)(120－2t)＝t2－116t＋3360＝(t－58)2－4.
由二次函数的图象及性质知，当t＝25时，W最大＝1085.
∵1250>1085， ∴在第10天的销售利润最大，最大日销售利润为1250元．
(3)依题意，得
每天扣除捐款后的日销售利润W＝(eq \f(1,4)t＋30－20－n)(120－2t)＝－eq \f(1,2)t2＋2(n＋5)t＋1200－120n.
其图象对称轴为直线t＝2n＋10，要使W随t的增大而增大．
由二次函数的图象及性质知，2n＋10≥24，解得n≥7.
又∵n<9，∴7≤n<9.
时间t(天)
1
3
6
10
20
40
…
日销售量y(千克)
118
114
108
100
80
40
…
时间t(天)
1
3
6
10
20
40
…
日销售量y(千克)
118
114
108
100
80
40
…
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