专题03 三角函数与解三角形-2021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）

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2021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）  专题03 三角函数与解三角形姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________一、 选择题1．若，则 （    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：，，故选：C.2．在中，，则等于（   ）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】由正弦定理得，所以，又，所以，所以或．选D．3．已知，，、，则的值为（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】解：、，，，，...故选：A.4．在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，它的面积为，则角A等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：由余弦定理得，又根据三角形面积公式得，∴，又角为的内角，∴，故选：B．5．设当时，函数取得最大值，则（  ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题得f(x)=,其中当，即时，函数取到最大值.所以.6．函数的最小正周期是（    ）A． B． C．2π D．5π【答案】D【解析】由题意，函数，所以函数的最小正周期是：.7．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角、间的圆弧长为，嘴角间的距离为，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则、和所满足的恒等关系为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设该圆弧所对应的圆的半径为，则，，两式相除得 8．在中，内角的对边分别为，，的面积为，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：，，，又，，由余弦定理可得，，当且仅等号成立．9．函数部分图象如图所示，对不同的，若，有，则（    ）A．在上是减函数 B．在上是减函数C．在上是增函数 D．在上是增函数【答案】C【解析】由题中图像可知，由图像，因为对不同的，都有，易知函数在取到最大值，所以，故，又，故，得，因为，所以，所以．由解得：；即函数的递增区间为；由解得：；即函数的递减区间为；故C选项正确，ABD都错；故选：C.10．如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为45°，，则两山顶A、C之间的距离为（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】过作，垂足为，在直角三角形中，，在直角三角形中，，在中，，在直角三角形中，，所以.故选：B.11．关于函数，给出下列命题：（1）函数在上是增函数；（2）函数的图像关于点对称；（3）为得到函数的图像，只要把函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度．其中正确命题的个数是（　　）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】当，即，函数是增函数，故（1）错；，即，则函数的图像关于点对称，（2）正确；将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，得到函数，（3）正确，故选：C.12．在中，内角，，的对边分别为，，，且，，为的面积，则的最大值为（    ）A．1 B．2 C． D．【答案】C【解析】因为，所以可化为，即，可得，所以.又由正弦定理得，，所以，当且仅当时，取得最大值.13．知函数（，）满足，其图象与直线的某两个交点横坐标为，，且的最小值为．现给出了以下结论．①且        ②在上单调递减且③在上单调递增且    ④是的对称中心则以上正确的结论编号为（    ）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】C【解析】根据及条件的最小值为，可知函数的最大值为2，的最小正周期为，∴，因为，所以，因为，所以函数是偶函数，而，所以．于是序号①正确，进而知；对于序号②：∵，于是序号②错误；对于序号③，当且仅当取时，解得，即为的单调增区间，显然，又，故序号③正确；对于序号④，令，解得，即为函数的对称中心，显然是的其中一个对称中心，故④序号正确，综上知正确的序号为①③④．14．函数的单调递增区间是（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】 ，因为，由，得，函数的单调递增区间是，故选D.15．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位【答案】B【解析】，故只需向左平移个单位就可得到.16．（多选题）函数的图象的一个对称中心为（    ）A． B． C． D．【答案】AB【解析】 令,当k=1时，,对称中心是;当k=2时，,对称中心是.17．（多选题）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的函数图象，则下列说法正确的是（    ）A．是奇函数 B．的周期是C．的图象关于直线对称 D．的图象关于对称【答案】AC【解析】将函数的图象向左平移个单位，可得，所以是奇函数，且图象关于直线对称.18．（多选题）下图是函数（其中，，）的部分图象，下列结论正确的是（    ）A．函数的图象关于顶点对称B．函数的图象关于点对称C．函数在区间上单调递增D．方程在区间上的所有实根之和为【答案】ABD【解析】由已知，，，因此，∴，所以，过点，因此，，又，所以，∴，对A，图象关于原点对称，故A正确；对B，当时，，故B正确；对C，由，有，故C不正确；对D，当时，，所以与函数有4个交点令横坐标为，，，，，故D正确.二、 解答题19．如图，在中，，点在边上，（1）求的度数；（2）求的长度.【解析】解：（1）在中，，，由余弦定理，有，在中，；（2）由（1）知，在中，由正弦定理，有，．20．已知（为常数）.（1）求的单调递增区间；（2）若当时，的最大值为4，求的值.【解析】（1）由得，所以函数的单调递增区间为；（2），，的最大值为2，在的最大值为4，，．21．在中，角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，角的平分线交于点，求的面积.【解析】（1）由及正弦定理知， 又，由余弦定理得.，.（2）由（1）知， 又，在中，由正弦定理知：，在中，由正弦定理及，解得， 故.22．设函数.（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角中，若，且能盖住的最小圆的面积为，求周长的取值范围.【解析】（Ⅰ）因为由，解得，所以函数的单调递增区间为. （Ⅱ）因为，所以.又因为为锐角三角形，所以，.所以，故有.已知能盖住的最小圆为的外接圆，而其面积为.所以，解得，的角，，所对的边分别为,,.由正弦定理.所以，，，由为锐角三角形，所以. 所以，则，故， 所以.故此的周长的取值范围为.