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专题八 三角函数变换与三角函数的应用-2021届高三《新题速递•数学》1月刊（江苏专用 适用于高考复习）
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这是一份专题八 三角函数变换与三角函数的应用-2021届高三《新题速递•数学》1月刊（江苏专用 适用于高考复习），文件包含专题八三角函数变换与三角函数的应用原卷版docx、专题八三角函数变换与三角函数的应用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共68页， 欢迎下载使用。
专题八 三角函数变换与三角函数的应用
一、单选题
1．（2020·全国高三专题练习）已知是第四象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题求出，，再求得解.
【详解】
∵，，是第四象限角，
∴，，
则，
故选：A.
【点睛】
方法点睛：三角恒等变换常用的方法：三看（看角看名看式）三变（变角变名变式）.要根据已知条件灵活选择方法求解.
2．（2021·浙江高一期末）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由图形可知三角形的直角边长度差为1，设直角边分别为，根据大正方形的边长是直角三角形的斜边长列方程组求出直角边，然后得出，代入二倍角公式即可得出答案．
【详解】
由题意可知小正方形的边长为1，直角边长度差为1，大正方形的面积为25，
边长为5，大正方形的边长是直角三角形的斜边长，
设直角三角形的直角边分别为，且，则，
所以，得，所以或舍去，
所以，∴，，．
故选：D．
【点睛】
关键点点睛：本题考查了三角函数值、二倍角公式的计算，解答本题的关键是根据直角三角形的斜边长等于大正方形的边长求出直角三角形的一个直角边，考查了学生的运算求解能力.
3．（2020·上海青浦区·高三一模）已知顶点在原点的锐角绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
本题首先可根据终边交单位圆于得出，然后根据得出以及，最后根据两角差的正弦公式即可得出结果.
【详解】
因为锐角绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，
所以，或（舍去），，
则，，
故
，
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题考查根据角的终边经过的点的坐标求角的正弦值和余弦值，考查两角差的正弦公式，求出点坐标、以及的值是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.
4．（2020·全国高一单元测试）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用两角和与差的正弦公式，诱导公式化简已知等式可得，进而利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可求解．
【详解】
因为
，
所以，
故选：D
5．（2020·江苏高一课时练习）函数，若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
化简得，由可知在，处取到最大值和最小值，不妨设在处有最大值，处取到最小值，可得,，,即可求出的最小值.
【详解】
，
∴函数的最大值为3，最小值为﹣1，
又，∴在，处取到最大值和最小值，
不妨设在处有最大值，则，即，
处取到最小值，则，即，
所以，,，
所以当时，的最小值为.
【点睛】
结论点睛：正弦型函数最值：
① ，当， 时取最大值；
② ，当， 时取最小值.
6．（2020·海口市·海南中学高三月考）已知且，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据已知条件结合二倍角余弦公式有，求得，又的范围和符号确定角的象限，进而由同角三角函数关系求，即可求值.
【详解】
知：，解得或（舍），
又，所以为第四象限角，即，
∴由，得：，而.
故选：C
7．（2020·全国高一课时练习）已知函数，，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
本题首先通过三角恒等变换将函数转化为，然后通过得出，最后通过正弦函数性质即可得出结果.
【详解】
，
因为，所以，
当时，；当时，，
即函数的值域为，
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题考查三角函数值域的求法，能否根据三角恒等变换将函数转化为是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.
8．（2020·梅河口市第五中学高三月考（文））已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若角的终边过点，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用三角函数的定义求出和的值，再结合可得为第一象限角，，利用两角差的正弦公式展开即可求解.
【详解】
因为角的终边过点，所以是第一象限角，
所以，，
因为，，所以为第一象限角，，
所以，
所以
，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是利用三角函数的定义求出和的值，再利用求出，再利用展开即可求值.
9．（2020·全国高一单元测试）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先由任意角的三角函数的定义求得的值，而后再由两角和的正切公式展开计算即可得解.
【详解】
由题意，利用任意角的三角函数的定义可得，
所以.
故选：.
10．（2020·四川成都市·中和中学）若，是第三象限的角，则（ ）
A． B． C． D．-2
【答案】D
【分析】
根据，是第三象限的角，先利用半角公式求得，然后代入求解.
【详解】
因为为第三象限角，
所以可能为二､四象限角，
所以，
所以.
故选：D.
11．（2020·四川省成都市盐道街中学高一期中）若角，均为锐角，，，则（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【分析】
由平方关系求得，，然后由两角差的余弦公式计算．
【详解】
，均为锐角，，，
，，
．
故选：A．
12．（2020·江西新余市·新余一中高三其他模拟（文））已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，若是角终边上一点，且，则（ ）
A． B．3 C．或3 D．或-3
【答案】C
【分析】
根据，利用利用两角和的正切和二倍角正切公式求得，然后根据，利用正切函数的定义求解.
【详解】
因为，
得，即，
解得.
所以，
解得或.
当时，，解得；
当时，，解得.
综上，或.
故选：C.
13．（2020·四川师范大学附属中学高一期中（理））将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简 ，再根据三角函数的变换规则求出的解析式，最后根据正弦函数的性质求出函数的对称中心；
【详解】
解：
将向右平移个单位长度得到，
，
∴的对称中心为，
当时为.
故选：B.
14．（2020·四川省都江堰中学高一期中）要得到函数的图象，需将的图象（ ）.
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】C
【分析】
把两个函数都由三角恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，然后由三角函数的图象变换得出结论．
【详解】
，
又.
.
故选：C．
15．（2020·山东菏泽市·高三期中）《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积（弦×矢+矢×矢）.弧田是由圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差，现有一弧田，其弧田弦等于6米，其弧田弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由弧田面积求出矢，设半径为，圆心到弧田弦的距离为，列出方程组求出，，从而得到，再由，能求出结果．
【详解】
如图，由题意可得：，
弧田面积（弦矢矢矢矢平方米．
解得矢，或矢（舍，
设半径为，圆心到弧田弦的距离为，
则，解得，，
，
，可得．
故选：D
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键在于求出，其中涉及直角三角函数，这个问题解决了，后面的问题就迎刃而解了.
16．（2020·河北高三月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先由三角恒等变换得出且，再由得出答案.
【详解】
因为
所以，且
又，所以.
故选：C
二、多选题
17．（2020·重庆市凤鸣山中学高三月考）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且的面积为，则角不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】
利用三角恒等变换和三角形的面积公式求出的值，再根据的范围求出角.
【详解】
，
即，
所以，，
利用正弦定理得：，
将代入可得：，
因为，所以或，
因为，且，所以，
所以，
角不可能是,,
故选：ACD
【点睛】
本题主要考查了利用三角恒等变换和三角形的面积公式解三角形，属于中档题.
关键点睛：利用得到,进而缩小角的范围是解题的关键.
18．（2020·湖南长沙市·雅礼中学高三月考）已知函数，，则（ ）
A．
B．在区间上只有1个零点
C．的最小正周期为
D．为图象的一条对称轴
【答案】AC
【分析】
根据二倍角的余弦公式、辅助角公式，把函数的解析式化简成正弦型函数解析式的形式，再结合正弦型函数的性质逐一判断即可.
【详解】
.
A：因为，所以，因此本选项说法正确；
B：当时，，
当时，即当时，，因此在区间上有2个零点，因此本选项说法不正确；
C：的最小正周期为：，因此本选项说法正确；
D：当时，，显然不是最值，
因此本选项说法不正确；
故选：AC
19．（2020·全国高一单元测试）已知函数，若，，使得成立，且在区间上的值域为，则实数的取值可能是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】CD
【分析】
根据，，使得成立， 结合解析式，得到，求得，得到，再结合题意，列出不等式，即可求解.
【详解】
因为，，使得成立，
所以，即，
又由在区间上的值域为，
则，
综上，解得
此时，
因为在区间上的值域为，
所以，即，
当时，，
所以，即.
故选：CD.
【点睛】
解答三角函数的图象与性质的基本方法：
1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为的形式；
2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.
20．（2020·广东深圳市·明德学校高三月考）若函数在上为增函数，则（ ）
A．实数a的取值范围为 B．实数a的取值范围为
C．点为曲线的对称中心 D．直线为曲线的对称轴
【答案】ACD
【分析】
化简函数，结合三角函数的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，函数
，
令，可得，所以，所以A正确，B不正确；
令，可得，
所以点为曲线的对称中心，所以C正确；
令，可得，所以为曲线的对称轴，所以D正确.
故选：ACD
【点睛】
解答三角函数的图象与性质的基本方法：
1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为的形式；
2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.
第II卷（非选择题）
三、解答题
21．（2020·上海杨浦区·高三一模）设常数，，.
（1）若是奇函数，求实数的值；
（2）设，中，内角的对边分别为.若，，，求的面积.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）由，知，再对进行检验，即可；
（2）结合二倍角公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质，可推出，再由余弦定理求出的值，最后根据，即可得解．
【详解】
（1）解：由题意
检验：
对任意都有
是奇函数
.
（2）解：，整理得，
A是三角形的内角
所以
由余弦定理，即
整理得，解得或
，或.
22．（2020·上海浦东新区·高三一模）已知函数的最小正周期为.
（1）求与的单调递增区间；
（2）在中，若，求的取值范围.
【答案】（1），；（2）
【分析】
（1）根据函数的最小正周期为，可求，并写出函数式进而求的单调递增区间；
（2）由（1）结论，求角，根据三角形内角和的性质可知角B、C的关系，进而求B的范围，即可求的取值范围.
【详解】
（1）因为的最小正周期为，即
∴，令
解得
∴的单调递增区间是
（2）在中，若，
由（1）得，，所以
因为 所以，即
因为，所以；
所以
所以的取值范围
【点睛】
关键点点睛：
（1）由最小正周期求参数，利用整体代入法求的单调递增区间；
（2）应用三角形内角和性质可得内角B、C的关系，进而用其中一角表示另一角并确定角的范围，进而求函数值的范围.
23．（2021·浙江高三学业考试）已知函数，.
（1）求的值；
（2）求函数的最小正周期；
（3）当时，求函数的值域.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）本题将代入中进行计算即可得出结果；
（2）本题首先可通过两角和的正弦公式将函数转化为，然后通过周期计算公式即可得出结果；
（3）本题首先可根据得出，然后通过正弦函数性质即可求出值域.
【详解】
（1），即.
（2），
故的最小正周期.
（3）因为，所以，
当，即时，；
当，即时，，
故在上的值域为.
24．（2020·全国高一单元测试）已知函数，，图象上相邻两个最低点的距离为．
（1）若函数有一个零点为，求的值；
（2）若存在，使得（a）（b）（c）成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）化简函数解析式，根据周期计算，根据零点计算；
（2）求出在，上的最值，解不等式得出的范围．
【详解】
（1），
的图象上相邻两个最低点的距离为，
的最小正周期为：，故．
是的一个零点，
，，
（2），
若，，则，，
，
故在，上的最大值为，最小值为，
若存在，使得（a）（b）（c）成立，
则，
．
【点睛】
关键点点睛：本题第二问属于存在，使不等式成立，即转化为，转化为三角函数求最值.
25．（2020·天津和平区·高一期末）已知函数，将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．
（1）求的值；
（2）求函数的解析式；
（3）若，求．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）利用三角恒等变换公式化简函数得解析式，再代入即可求解；
（2）利用图像平移变换“左加右减”即可得到的解析式；
（3）由，可求出或，再分类讨论求出．
【详解】
（1）
（2）根据图像平移变换可知：
（3），，即，
解得：或
所以：或
当时，
当时，
综上可知，
【点睛】
方法点睛：本题主要考查函数的图像变换规律，做题时要注意三点：
（1）弄清楚是平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像；
（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由的图像得到的图像时，需平移的单位数应为，而不是．
26．（2020·天津和平区·高一期末）已知函数，．
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调递增区间；
（3）求图像的对称轴方程和对称中心的坐标．
【答案】（1）；（2）；
（3）对称轴为，对称中心为.
【分析】
（1）首先可通过三角恒等变换将函数转化为，然后根据周期计算公式即可得出结果；
（2）可通过正弦函数的单调性得出结果；
（3）可通过正弦函数的对称性得出结果.
【详解】
（1）
，
最小正周期.
（2）当时，
即时，函数单调递增，
故函数的单调递增区间为.
（3），即，
，即，
则函数的对称轴方程为，对称中心为.
27．（2020·天津和平区·高一期末）已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据利用两角差的正切公式计算可得；
（2）利用弦化切代入计算可得；
【详解】
（1），
又，．
（2）
【点睛】
方法点睛：三角函数化简求值，常用拼凑角：
（1）再利用诱导公式求值或化简时，巧用相关角的关系会简化解题过程，常见的互余关系有：与，与，与等；常见的互补关系有： 与，与等；
（2）在利用两角和与差的三角函数公式求值或化简时，常根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论的差异，使问题获解，常见角的变换方式有：，，等等.
28．（2020·宁夏固原市·固原一中高三月考（文））已知函数，．
（1）求的最小正周期；
（2）求在闭区间上的值域．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由已知利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将的解析式化为，即可求得函数的最小正周期；
（2）由可得，再利用正弦函数的性质即可求出.
【详解】
（1）由已知，有
，
的最小正周期；
（2）∵，，
当，即时，取得最大值为，
当，即时，取得最小值为，
的值域为.
【点睛】
关键点睛：本题考查正弦函数的性质，解题的关键是利用三角恒等变换化简得出.
29．（2021·安徽师范大学附属中学高一期末）已知函数.
（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（2）是否同时存在实数和正整数，使得函数在上恰有个零点?若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，当时，；当时，.
【分析】
（1）利用三角恒等变换思想得出，令，，由题意可知对任意的，可得出，进而可解得实数的取值范围；
（2）由题意可知，函数与直线在上恰有个交点，然后对实数的取值进行分类讨论，考查实数在不同取值下两个函数的交点个数，由此可得出结论.
【详解】
（1），
当时，，，则，
要使对任意恒成立，
令，则，对任意恒成立，
只需，解得，
实数的取值范围为；
（2）假设同时存在实数和正整数满足条件，
函数在上恰有个零点，
即函数与直线在上恰有个交点.
当时，，作出函数在区间上的图象如下图所示：
①当或时，函数与直线在上无交点；
②当或时，函数与直线在上仅有一个交点，
此时要使函数与直线在上有个交点，则；
③当或时，函数直线在上有两个交点，
此时函数与直线在上有偶数个交点，不可能有个交点，不符合；
④当时，函数与直线在上有个交点，
此时要使函数与直线在上恰有个交点，则.
综上所述，存在实数和正整数满足条件：
当时，；当时，.
【点睛】
关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，利用函数在区间上的零点个数求参数，解本题第（2）问的关键就是要注意到函数与直线的图象在区间上的图象的交点个数，结合周期性求解.
30．（2020·全国高一单元测试）已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间和最小正周期；
（Ⅱ）若当时，关于的不等式______，求实数的取值范围．
请选择①和②中的一个条件，补全问题（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立．
【答案】（Ⅰ）单调递增区间为：，；；（Ⅱ）答案见解析.
【分析】
（Ⅰ）先将函数整理，得到，利用正弦函数的周期性与单调性，即可求出其单调递增区间与最小正周期；
（Ⅱ）若选①，可得，根据正弦函数的性质，求出函数在给定区间的最大值，即可得出结果；若选②，可得，根据正弦函数的性质，求出函数在给定区间的最小值，即可得出结果.
【详解】
（Ⅰ）解：因为
．
所以函数的最小正周期；
因为函数的单调增区间为，，
所以，，
解得，，
所以函数的单调增区间为，；
（Ⅱ）解：若选择①
由题意可知，不等式有解，即；
因为，所以，
故当，即时，取得最大值，且最大值为，
所以；
若选择②
由题意可知，不等式恒成立，即．
因为，所以．
故当，即时，取得最小值，且最小值为．
所以．
【点睛】
思路点睛：
求解三角函数最值问题时，一般需要根据三角恒等变换将函数化简整理，化为正弦型函数或余弦型函数的形式，结合正弦函数或余弦函数的性质，即可求解.
31．（2020·全国高一课时练习）已知sin α＝－，sin β＝，且180°＜α＜270°，90°＜β＜180°，求cos(α－β)的值．
【答案】
【分析】
根据同角三角函数的基本关系求出，再利用差的余弦公式即可求出.
【详解】
，，
，，
.
故答案为：.
32．（2020·浙江高一期末）已知函数的图象关于直线对称，且图象相邻两个最高点的距离为.
（1）求和的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1），；（2）．
【分析】
（1）根据对称轴和周期可求和的值．
（2）由题设可得，利用同角的三角函数的基本关系式可得，利用诱导公式和两角和的正弦可求的值．
【详解】
（1）因为图象相邻两个最高点的距离为，故周期为，
所以，故．
又图象关于直线，故，
所以，因为，故．
（2）由（1）得，
因为，故，
因为，故，故．
又
．
【点睛】
方法点睛：三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.
33．（2020·山西高三期中（理））已知向量，，设函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若方程有两个不相等的实数根，，求，的值．
【答案】（1）时，单调递增；时，单调递减；（2）,．
【分析】
（1）根据平面向量的数量积和三角恒等变换，求出函数的解析式，再根据x的范围，即可得到的单调性；
（2）由方程有两个不相等的实数根、，根据对称性求出的值，再计算和的值即可．
【详解】
（1）因为向量，，
所以函数
，，
当时，，
令，解得，
所以时，即时，单调递增，
时，即时，单调递减；
（2）当时，；
所以，即；
又方程在上有两个不相等的实数根、，
所以，解得，
所以；
由，
所以．
【点睛】
解题的关键是熟练掌握三角函数的图象与性质、数量积公式、三角恒等变换公式，并灵活应用，需结合余弦函数的对称性与值域进行求解，综合性较强，属中档题.
34．（2020·辽宁高三期中）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，求函数的值域.
【答案】（1）单调递增区间为：，；单调递减区间为：，；（2）.
【分析】
（1）利用三角函数恒等变换化简函数解析式可得，进而根据正弦函数的单调性即可求解.
（2）由题意可求范围，利用正弦函数的性质即可求解其值域.
【详解】
解：（1）
，
令，，解得，，
令，，解得，，
故函数的单调递增区间为：，，
单调递减区间为：，.
（2）当时，，
可得，
可得，故函数的值域为.
35．（2020·成都市实验外国语学校（西区）高一期中）已知，为锐角，，.
（1）求的值.
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用同角三角函数的关系以及二倍角公式即可求值；
（2）先求出，再利用即可求解.
【详解】
解：（1）由题意知：为锐角，且，
解得：，
；
（2）由（1）知，，
则，
，
，
故.
36．（2020·通榆县第一中学校高三月考（文））已知函数
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的值域.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据降幂公式与辅助角公式化简得，进而根据最小正周期公式即可得答案；
（2）由得，进而根据正弦函数的性质即可得值域.
【详解】
解：
故函数的最小正周期
当时，
则
所以
即函数在上的值域是.
【点睛】
本题解题的关键是利用降幂公式和辅助角公式化简得，进而结合正弦函数的性质求解，考查运算求解能力，是基础题.
37．（2020·四川省都江堰中学高一期中）已知函数.
（1）求函数的最小正周期，及函数在区间上的最大值和最小值.
（2）若，，求的值.
【答案】（1），最大值为0，最小值为；（2）.
【分析】
（1）由二倍角公式和两角差正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的性质求解；
（2）由（1）知，，求得的范围后求得，然后利用两角和的余弦公式求得．
【详解】
（1），
故的最小正周期为，
当，，，
∴，
，
∴的最大值为0，最小值为.
（2）
，
∵，，，
∴，
故.
【点睛】
关键点点睛：本题考查两角和与差的正弦、余弦公式，考查正弦函数的性质．解题方法是利用三角恒等变换公式化函数的一个角的一个三角函数形式（一次的）：，然后利用正弦函数的性质求解的性质．三角函数求值时要注意已知角和未知角之间的关系，以确定先用什么公式及选用公式的顺序计算．
38．（2020·四川省成都市第十七中学高一期中）已知函数.
（1）求的最小正周期和值域.
（2）求的单调区间.
【答案】（1）周期为，值域为；（2）单调递增区间为，单调递减区间为.
【分析】
（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简可得，则可求出周期和值域；
（2）解不等式可得单调递增区间，解不等式可得单调递减区间.
【详解】
（1）∵，
所以，函数的周期为，值域为.
（2）解不等式，得，
所以，函数的单调递增区间为，
解不等式，得，
因比，函数的单调递减区间为.
39．（2020·济南旅游学校（济南第三职业中等专业学校）高三期中）已知函数已知函数．
（1）求函数的最小值及取最小值时的x的集合；
（2）求函数在上的单调增区间．
【答案】（1）最小值，；（2），．
【分析】
（1）化简，令,，进而求解即可；
（2）令,，结果与求交集即可.
【详解】
（1）由题
故当,，即,时，取得最小值，且
所以函数的最小值是，此时x的集合为；
（2）由（1）令,，则,,
所以在上单调递增,
当时,单调增区间为；当时,单调增区间为；
所以在中的单调增区间为和
【点睛】
方法点睛：函数的性质：
(1) .
(2)周期
(3)由 求对称轴
(4)由求增区间;由求减区间.
40．（2020·深圳市龙岗区龙城高级中学高三月考）已知函数，将的图像向左平移个单位后得到的图像，且在区间内的最大值为．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数在区间上的单调性．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）在上单调递增，在，上单调递减.
【分析】
（Ⅰ）由题设根据三角恒等变换化简，再利用图象的平移得函数，由函数的最大值求得，从而得函数的解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由正弦型函数的单调区间可求得答案.
【详解】
解：（Ⅰ）由题设得，
，
因为当时，，
所以由已知得，即时，，解得，
故所求函数的解析式为；
（Ⅱ）由（Ⅰ），
解不等式，，得，，
所以函数在区间，上单调递增，在区间，单调递减．
当时，，就是，相对区间，所以函数在上单调递增，在，上单调递减.
【点睛】
易错点点睛：对于三角函数左右平移时，注意平移的对象是，不是.如本题中将函数的图像向左平移个单位后得到的图像，，而就是错误的.
41．（2020·上海市建平中学高三期中）已知函数，其中．
（1）若，是否存在实数使得函数为偶函数，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（2）若为函数的对称轴，求函数的单调增区间．
【答案】（1）不存在，理由见解析；（2）时，单调增区间是，，时，单调增区间是，．
【分析】
（1）利用函数奇偶性的定义可得答案；
（2）由条件结合辅助角公式可得，化简可得，，然后分、两种情况讨论.
【详解】
（1）当时，
若存在实数使得函数为偶函数，则恒成立，
即恒成立，
整理得恒成立，所以，与矛盾，
故不存在；
（2）结合三角函数的性质知，三角函数在对称轴处取最值，
又由辅助角公式知的最值为，
所以，
两边平方，得，所以，
即，所以，
所以，
当时，令，，
解得，，
所以单调增区间是，，
当时，令，，
解得，，
所以单调增区间是，．
四、填空题
42．（2020·甘肃天水市·高三月考（文））已知，则__________.
【答案】
【分析】
根据两角和的正弦公式，将原式化简整理，即可得出结果.
【详解】
由可得，
则，因此，
从而有，
即.
故答案为：.
43．（2020·全国高一课时练习）若，是第三象限角，则___________.
【答案】
【分析】
先化简，再结合同角三角函数关系求解即可得答案.
【详解】
解：，
，
，
为第三象限角，
，
故答案为：
【点睛】
本题解题的关键在于结合半角公式化简，考查运算求解能力，是基础题.
44．（2020·罗山县楠杆高级中学高三月考（文））函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形，则的值为________．
【答案】-3
【分析】
化简可得，根据为正三角形，可求得BC的长，根据正弦型函数的图象与性质，可求得周期T，进而可求得的值，即可得的解析式，代入数据，即可求得答案.
【详解】
函数
，
∴，∴，即，
∴，
∴.
故答案为：．
五、双空题
45．（2020·浙江高三月考）已知，且，则______，______.
【答案】
【分析】
①根据x的范围利用平方关系求出余弦，即可求得正切，
②利用二倍角公式化简，利用商数关系求解 .
【详解】
①由题：，且，所以，
所以
②
=
故答案为：；
专题八 三角函数变换与三角函数的应用
一、单选题
1．（2020·全国高三专题练习）已知是第四象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题求出，，再求得解.
【详解】
∵，，是第四象限角，
∴，，
则，
故选：A.
【点睛】
方法点睛：三角恒等变换常用的方法：三看（看角看名看式）三变（变角变名变式）.要根据已知条件灵活选择方法求解.
2．（2021·浙江高一期末）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由图形可知三角形的直角边长度差为1，设直角边分别为，根据大正方形的边长是直角三角形的斜边长列方程组求出直角边，然后得出，代入二倍角公式即可得出答案．
【详解】
由题意可知小正方形的边长为1，直角边长度差为1，大正方形的面积为25，
边长为5，大正方形的边长是直角三角形的斜边长，
设直角三角形的直角边分别为，且，则，
所以，得，所以或舍去，
所以，∴，，．
故选：D．
【点睛】
关键点点睛：本题考查了三角函数值、二倍角公式的计算，解答本题的关键是根据直角三角形的斜边长等于大正方形的边长求出直角三角形的一个直角边，考查了学生的运算求解能力.
3．（2020·上海青浦区·高三一模）已知顶点在原点的锐角绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
本题首先可根据终边交单位圆于得出，然后根据得出以及，最后根据两角差的正弦公式即可得出结果.
【详解】
因为锐角绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，
所以，或（舍去），，
则，，
故
，
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题考查根据角的终边经过的点的坐标求角的正弦值和余弦值，考查两角差的正弦公式，求出点坐标、以及的值是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.
4．（2020·全国高一单元测试）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用两角和与差的正弦公式，诱导公式化简已知等式可得，进而利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可求解．
【详解】
因为
，
所以，
故选：D
5．（2020·江苏高一课时练习）函数，若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
化简得，由可知在，处取到最大值和最小值，不妨设在处有最大值，处取到最小值，可得,，,即可求出的最小值.
【详解】
，
∴函数的最大值为3，最小值为﹣1，
又，∴在，处取到最大值和最小值，
不妨设在处有最大值，则，即，
处取到最小值，则，即，
所以，,，
所以当时，的最小值为.
【点睛】
结论点睛：正弦型函数最值：
① ，当， 时取最大值；
② ，当， 时取最小值.
6．（2020·海口市·海南中学高三月考）已知且，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据已知条件结合二倍角余弦公式有，求得，又的范围和符号确定角的象限，进而由同角三角函数关系求，即可求值.
【详解】
知：，解得或（舍），
又，所以为第四象限角，即，
∴由，得：，而.
故选：C
7．（2020·全国高一课时练习）已知函数，，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
本题首先通过三角恒等变换将函数转化为，然后通过得出，最后通过正弦函数性质即可得出结果.
【详解】
，
因为，所以，
当时，；当时，，
即函数的值域为，
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题考查三角函数值域的求法，能否根据三角恒等变换将函数转化为是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.
8．（2020·梅河口市第五中学高三月考（文））已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若角的终边过点，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用三角函数的定义求出和的值，再结合可得为第一象限角，，利用两角差的正弦公式展开即可求解.
【详解】
因为角的终边过点，所以是第一象限角，
所以，，
因为，，所以为第一象限角，，
所以，
所以
，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是利用三角函数的定义求出和的值，再利用求出，再利用展开即可求值.
9．（2020·全国高一单元测试）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先由任意角的三角函数的定义求得的值，而后再由两角和的正切公式展开计算即可得解.
【详解】
由题意，利用任意角的三角函数的定义可得，
所以.
故选：.
10．（2020·四川成都市·中和中学）若，是第三象限的角，则（ ）
A． B． C． D．-2
【答案】D
【分析】
根据，是第三象限的角，先利用半角公式求得，然后代入求解.
【详解】
因为为第三象限角，
所以可能为二､四象限角，
所以，
所以.
故选：D.
11．（2020·四川省成都市盐道街中学高一期中）若角，均为锐角，，，则（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【分析】
由平方关系求得，，然后由两角差的余弦公式计算．
【详解】
，均为锐角，，，
，，
．
故选：A．
12．（2020·江西新余市·新余一中高三其他模拟（文））已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，若是角终边上一点，且，则（ ）
A． B．3 C．或3 D．或-3
【答案】C
【分析】
根据，利用利用两角和的正切和二倍角正切公式求得，然后根据，利用正切函数的定义求解.
【详解】
因为，
得，即，
解得.
所以，
解得或.
当时，，解得；
当时，，解得.
综上，或.
故选：C.
13．（2020·四川师范大学附属中学高一期中（理））将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简 ，再根据三角函数的变换规则求出的解析式，最后根据正弦函数的性质求出函数的对称中心；
【详解】
解：
将向右平移个单位长度得到，
，
∴的对称中心为，
当时为.
故选：B.
14．（2020·四川省都江堰中学高一期中）要得到函数的图象，需将的图象（ ）.
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】C
【分析】
把两个函数都由三角恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，然后由三角函数的图象变换得出结论．
【详解】
，
又.
.
故选：C．
15．（2020·山东菏泽市·高三期中）《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积（弦×矢+矢×矢）.弧田是由圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差，现有一弧田，其弧田弦等于6米，其弧田弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由弧田面积求出矢，设半径为，圆心到弧田弦的距离为，列出方程组求出，，从而得到，再由，能求出结果．
【详解】
如图，由题意可得：，
弧田面积（弦矢矢矢矢平方米．
解得矢，或矢（舍，
设半径为，圆心到弧田弦的距离为，
则，解得，，
，
，可得．
故选：D
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键在于求出，其中涉及直角三角函数，这个问题解决了，后面的问题就迎刃而解了.
16．（2020·河北高三月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先由三角恒等变换得出且，再由得出答案.
【详解】
因为
所以，且
又，所以.
故选：C
二、多选题
17．（2020·重庆市凤鸣山中学高三月考）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且的面积为，则角不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】
利用三角恒等变换和三角形的面积公式求出的值，再根据的范围求出角.
【详解】
，
即，
所以，，
利用正弦定理得：，
将代入可得：，
因为，所以或，
因为，且，所以，
所以，
角不可能是,,
故选：ACD
【点睛】
本题主要考查了利用三角恒等变换和三角形的面积公式解三角形，属于中档题.
关键点睛：利用得到,进而缩小角的范围是解题的关键.
18．（2020·湖南长沙市·雅礼中学高三月考）已知函数，，则（ ）
A．
B．在区间上只有1个零点
C．的最小正周期为
D．为图象的一条对称轴
【答案】AC
【分析】
根据二倍角的余弦公式、辅助角公式，把函数的解析式化简成正弦型函数解析式的形式，再结合正弦型函数的性质逐一判断即可.
【详解】
.
A：因为，所以，因此本选项说法正确；
B：当时，，
当时，即当时，，因此在区间上有2个零点，因此本选项说法不正确；
C：的最小正周期为：，因此本选项说法正确；
D：当时，，显然不是最值，
因此本选项说法不正确；
故选：AC
19．（2020·全国高一单元测试）已知函数，若，，使得成立，且在区间上的值域为，则实数的取值可能是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】CD
【分析】
根据，，使得成立， 结合解析式，得到，求得，得到，再结合题意，列出不等式，即可求解.
【详解】
因为，，使得成立，
所以，即，
又由在区间上的值域为，
则，
综上，解得
此时，
因为在区间上的值域为，
所以，即，
当时，，
所以，即.
故选：CD.
【点睛】
解答三角函数的图象与性质的基本方法：
1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为的形式；
2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.
20．（2020·广东深圳市·明德学校高三月考）若函数在上为增函数，则（ ）
A．实数a的取值范围为 B．实数a的取值范围为
C．点为曲线的对称中心 D．直线为曲线的对称轴
【答案】ACD
【分析】
化简函数，结合三角函数的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，函数
，
令，可得，所以，所以A正确，B不正确；
令，可得，
所以点为曲线的对称中心，所以C正确；
令，可得，所以为曲线的对称轴，所以D正确.
故选：ACD
【点睛】
解答三角函数的图象与性质的基本方法：
1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为的形式；
2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.
第II卷（非选择题）
三、解答题
21．（2020·上海杨浦区·高三一模）设常数，，.
（1）若是奇函数，求实数的值；
（2）设，中，内角的对边分别为.若，，，求的面积.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）由，知，再对进行检验，即可；
（2）结合二倍角公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质，可推出，再由余弦定理求出的值，最后根据，即可得解．
【详解】
（1）解：由题意
检验：
对任意都有
是奇函数
.
（2）解：，整理得，
A是三角形的内角
所以
由余弦定理，即
整理得，解得或
，或.
22．（2020·上海浦东新区·高三一模）已知函数的最小正周期为.
（1）求与的单调递增区间；
（2）在中，若，求的取值范围.
【答案】（1），；（2）
【分析】
（1）根据函数的最小正周期为，可求，并写出函数式进而求的单调递增区间；
（2）由（1）结论，求角，根据三角形内角和的性质可知角B、C的关系，进而求B的范围，即可求的取值范围.
【详解】
（1）因为的最小正周期为，即
∴，令
解得
∴的单调递增区间是
（2）在中，若，
由（1）得，，所以
因为 所以，即
因为，所以；
所以
所以的取值范围
【点睛】
关键点点睛：
（1）由最小正周期求参数，利用整体代入法求的单调递增区间；
（2）应用三角形内角和性质可得内角B、C的关系，进而用其中一角表示另一角并确定角的范围，进而求函数值的范围.
23．（2021·浙江高三学业考试）已知函数，.
（1）求的值；
（2）求函数的最小正周期；
（3）当时，求函数的值域.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）本题将代入中进行计算即可得出结果；
（2）本题首先可通过两角和的正弦公式将函数转化为，然后通过周期计算公式即可得出结果；
（3）本题首先可根据得出，然后通过正弦函数性质即可求出值域.
【详解】
（1），即.
（2），
故的最小正周期.
（3）因为，所以，
当，即时，；
当，即时，，
故在上的值域为.
24．（2020·全国高一单元测试）已知函数，，图象上相邻两个最低点的距离为．
（1）若函数有一个零点为，求的值；
（2）若存在，使得（a）（b）（c）成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）化简函数解析式，根据周期计算，根据零点计算；
（2）求出在，上的最值，解不等式得出的范围．
【详解】
（1），
的图象上相邻两个最低点的距离为，
的最小正周期为：，故．
是的一个零点，
，，
（2），
若，，则，，
，
故在，上的最大值为，最小值为，
若存在，使得（a）（b）（c）成立，
则，
．
【点睛】
关键点点睛：本题第二问属于存在，使不等式成立，即转化为，转化为三角函数求最值.
25．（2020·天津和平区·高一期末）已知函数，将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．
（1）求的值；
（2）求函数的解析式；
（3）若，求．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）利用三角恒等变换公式化简函数得解析式，再代入即可求解；
（2）利用图像平移变换“左加右减”即可得到的解析式；
（3）由，可求出或，再分类讨论求出．
【详解】
（1）
（2）根据图像平移变换可知：
（3），，即，
解得：或
所以：或
当时，
当时，
综上可知，
【点睛】
方法点睛：本题主要考查函数的图像变换规律，做题时要注意三点：
（1）弄清楚是平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像；
（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由的图像得到的图像时，需平移的单位数应为，而不是．
26．（2020·天津和平区·高一期末）已知函数，．
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调递增区间；
（3）求图像的对称轴方程和对称中心的坐标．
【答案】（1）；（2）；
（3）对称轴为，对称中心为.
【分析】
（1）首先可通过三角恒等变换将函数转化为，然后根据周期计算公式即可得出结果；
（2）可通过正弦函数的单调性得出结果；
（3）可通过正弦函数的对称性得出结果.
【详解】
（1）
，
最小正周期.
（2）当时，
即时，函数单调递增，
故函数的单调递增区间为.
（3），即，
，即，
则函数的对称轴方程为，对称中心为.
27．（2020·天津和平区·高一期末）已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据利用两角差的正切公式计算可得；
（2）利用弦化切代入计算可得；
【详解】
（1），
又，．
（2）
【点睛】
方法点睛：三角函数化简求值，常用拼凑角：
（1）再利用诱导公式求值或化简时，巧用相关角的关系会简化解题过程，常见的互余关系有：与，与，与等；常见的互补关系有： 与，与等；
（2）在利用两角和与差的三角函数公式求值或化简时，常根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论的差异，使问题获解，常见角的变换方式有：，，等等.
28．（2020·宁夏固原市·固原一中高三月考（文））已知函数，．
（1）求的最小正周期；
（2）求在闭区间上的值域．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由已知利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将的解析式化为，即可求得函数的最小正周期；
（2）由可得，再利用正弦函数的性质即可求出.
【详解】
（1）由已知，有
，
的最小正周期；
（2）∵，，
当，即时，取得最大值为，
当，即时，取得最小值为，
的值域为.
【点睛】
关键点睛：本题考查正弦函数的性质，解题的关键是利用三角恒等变换化简得出.
29．（2021·安徽师范大学附属中学高一期末）已知函数.
（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（2）是否同时存在实数和正整数，使得函数在上恰有个零点?若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，当时，；当时，.
【分析】
（1）利用三角恒等变换思想得出，令，，由题意可知对任意的，可得出，进而可解得实数的取值范围；
（2）由题意可知，函数与直线在上恰有个交点，然后对实数的取值进行分类讨论，考查实数在不同取值下两个函数的交点个数，由此可得出结论.
【详解】
（1），
当时，，，则，
要使对任意恒成立，
令，则，对任意恒成立，
只需，解得，
实数的取值范围为；
（2）假设同时存在实数和正整数满足条件，
函数在上恰有个零点，
即函数与直线在上恰有个交点.
当时，，作出函数在区间上的图象如下图所示：
①当或时，函数与直线在上无交点；
②当或时，函数与直线在上仅有一个交点，
此时要使函数与直线在上有个交点，则；
③当或时，函数直线在上有两个交点，
此时函数与直线在上有偶数个交点，不可能有个交点，不符合；
④当时，函数与直线在上有个交点，
此时要使函数与直线在上恰有个交点，则.
综上所述，存在实数和正整数满足条件：
当时，；当时，.
【点睛】
关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，利用函数在区间上的零点个数求参数，解本题第（2）问的关键就是要注意到函数与直线的图象在区间上的图象的交点个数，结合周期性求解.
30．（2020·全国高一单元测试）已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间和最小正周期；
（Ⅱ）若当时，关于的不等式______，求实数的取值范围．
请选择①和②中的一个条件，补全问题（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立．
【答案】（Ⅰ）单调递增区间为：，；；（Ⅱ）答案见解析.
【分析】
（Ⅰ）先将函数整理，得到，利用正弦函数的周期性与单调性，即可求出其单调递增区间与最小正周期；
（Ⅱ）若选①，可得，根据正弦函数的性质，求出函数在给定区间的最大值，即可得出结果；若选②，可得，根据正弦函数的性质，求出函数在给定区间的最小值，即可得出结果.
【详解】
（Ⅰ）解：因为
．
所以函数的最小正周期；
因为函数的单调增区间为，，
所以，，
解得，，
所以函数的单调增区间为，；
（Ⅱ）解：若选择①
由题意可知，不等式有解，即；
因为，所以，
故当，即时，取得最大值，且最大值为，
所以；
若选择②
由题意可知，不等式恒成立，即．
因为，所以．
故当，即时，取得最小值，且最小值为．
所以．
【点睛】
思路点睛：
求解三角函数最值问题时，一般需要根据三角恒等变换将函数化简整理，化为正弦型函数或余弦型函数的形式，结合正弦函数或余弦函数的性质，即可求解.
31．（2020·全国高一课时练习）已知sin α＝－，sin β＝，且180°＜α＜270°，90°＜β＜180°，求cos(α－β)的值．
【答案】
【分析】
根据同角三角函数的基本关系求出，再利用差的余弦公式即可求出.
【详解】
，，
，，
.
故答案为：.
32．（2020·浙江高一期末）已知函数的图象关于直线对称，且图象相邻两个最高点的距离为.
（1）求和的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1），；（2）．
【分析】
（1）根据对称轴和周期可求和的值．
（2）由题设可得，利用同角的三角函数的基本关系式可得，利用诱导公式和两角和的正弦可求的值．
【详解】
（1）因为图象相邻两个最高点的距离为，故周期为，
所以，故．
又图象关于直线，故，
所以，因为，故．
（2）由（1）得，
因为，故，
因为，故，故．
又
．
【点睛】
方法点睛：三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.
33．（2020·山西高三期中（理））已知向量，，设函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若方程有两个不相等的实数根，，求，的值．
【答案】（1）时，单调递增；时，单调递减；（2）,．
【分析】
（1）根据平面向量的数量积和三角恒等变换，求出函数的解析式，再根据x的范围，即可得到的单调性；
（2）由方程有两个不相等的实数根、，根据对称性求出的值，再计算和的值即可．
【详解】
（1）因为向量，，
所以函数
，，
当时，，
令，解得，
所以时，即时，单调递增，
时，即时，单调递减；
（2）当时，；
所以，即；
又方程在上有两个不相等的实数根、，
所以，解得，
所以；
由，
所以．
【点睛】
解题的关键是熟练掌握三角函数的图象与性质、数量积公式、三角恒等变换公式，并灵活应用，需结合余弦函数的对称性与值域进行求解，综合性较强，属中档题.
34．（2020·辽宁高三期中）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，求函数的值域.
【答案】（1）单调递增区间为：，；单调递减区间为：，；（2）.
【分析】
（1）利用三角函数恒等变换化简函数解析式可得，进而根据正弦函数的单调性即可求解.
（2）由题意可求范围，利用正弦函数的性质即可求解其值域.
【详解】
解：（1）
，
令，，解得，，
令，，解得，，
故函数的单调递增区间为：，，
单调递减区间为：，.
（2）当时，，
可得，
可得，故函数的值域为.
35．（2020·成都市实验外国语学校（西区）高一期中）已知，为锐角，，.
（1）求的值.
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用同角三角函数的关系以及二倍角公式即可求值；
（2）先求出，再利用即可求解.
【详解】
解：（1）由题意知：为锐角，且，
解得：，
；
（2）由（1）知，，
则，
，
，
故.
36．（2020·通榆县第一中学校高三月考（文））已知函数
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的值域.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据降幂公式与辅助角公式化简得，进而根据最小正周期公式即可得答案；
（2）由得，进而根据正弦函数的性质即可得值域.
【详解】
解：
故函数的最小正周期
当时，
则
所以
即函数在上的值域是.
【点睛】
本题解题的关键是利用降幂公式和辅助角公式化简得，进而结合正弦函数的性质求解，考查运算求解能力，是基础题.
37．（2020·四川省都江堰中学高一期中）已知函数.
（1）求函数的最小正周期，及函数在区间上的最大值和最小值.
（2）若，，求的值.
【答案】（1），最大值为0，最小值为；（2）.
【分析】
（1）由二倍角公式和两角差正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的性质求解；
（2）由（1）知，，求得的范围后求得，然后利用两角和的余弦公式求得．
【详解】
（1），
故的最小正周期为，
当，，，
∴，
，
∴的最大值为0，最小值为.
（2）
，
∵，，，
∴，
故.
【点睛】
关键点点睛：本题考查两角和与差的正弦、余弦公式，考查正弦函数的性质．解题方法是利用三角恒等变换公式化函数的一个角的一个三角函数形式（一次的）：，然后利用正弦函数的性质求解的性质．三角函数求值时要注意已知角和未知角之间的关系，以确定先用什么公式及选用公式的顺序计算．
38．（2020·四川省成都市第十七中学高一期中）已知函数.
（1）求的最小正周期和值域.
（2）求的单调区间.
【答案】（1）周期为，值域为；（2）单调递增区间为，单调递减区间为.
【分析】
（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简可得，则可求出周期和值域；
（2）解不等式可得单调递增区间，解不等式可得单调递减区间.
【详解】
（1）∵，
所以，函数的周期为，值域为.
（2）解不等式，得，
所以，函数的单调递增区间为，
解不等式，得，
因比，函数的单调递减区间为.
39．（2020·济南旅游学校（济南第三职业中等专业学校）高三期中）已知函数已知函数．
（1）求函数的最小值及取最小值时的x的集合；
（2）求函数在上的单调增区间．
【答案】（1）最小值，；（2），．
【分析】
（1）化简，令,，进而求解即可；
（2）令,，结果与求交集即可.
【详解】
（1）由题
故当,，即,时，取得最小值，且
所以函数的最小值是，此时x的集合为；
（2）由（1）令,，则,,
所以在上单调递增,
当时,单调增区间为；当时,单调增区间为；
所以在中的单调增区间为和
【点睛】
方法点睛：函数的性质：
(1) .
(2)周期
(3)由 求对称轴
(4)由求增区间;由求减区间.
40．（2020·深圳市龙岗区龙城高级中学高三月考）已知函数，将的图像向左平移个单位后得到的图像，且在区间内的最大值为．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数在区间上的单调性．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）在上单调递增，在，上单调递减.
【分析】
（Ⅰ）由题设根据三角恒等变换化简，再利用图象的平移得函数，由函数的最大值求得，从而得函数的解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由正弦型函数的单调区间可求得答案.
【详解】
解：（Ⅰ）由题设得，
，
因为当时，，
所以由已知得，即时，，解得，
故所求函数的解析式为；
（Ⅱ）由（Ⅰ），
解不等式，，得，，
所以函数在区间，上单调递增，在区间，单调递减．
当时，，就是，相对区间，所以函数在上单调递增，在，上单调递减.
【点睛】
易错点点睛：对于三角函数左右平移时，注意平移的对象是，不是.如本题中将函数的图像向左平移个单位后得到的图像，，而就是错误的.
41．（2020·上海市建平中学高三期中）已知函数，其中．
（1）若，是否存在实数使得函数为偶函数，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（2）若为函数的对称轴，求函数的单调增区间．
【答案】（1）不存在，理由见解析；（2）时，单调增区间是，，时，单调增区间是，．
【分析】
（1）利用函数奇偶性的定义可得答案；
（2）由条件结合辅助角公式可得，化简可得，，然后分、两种情况讨论.
【详解】
（1）当时，
若存在实数使得函数为偶函数，则恒成立，
即恒成立，
整理得恒成立，所以，与矛盾，
故不存在；
（2）结合三角函数的性质知，三角函数在对称轴处取最值，
又由辅助角公式知的最值为，
所以，
两边平方，得，所以，
即，所以，
所以，
当时，令，，
解得，，
所以单调增区间是，，
当时，令，，
解得，，
所以单调增区间是，．
四、填空题
42．（2020·甘肃天水市·高三月考（文））已知，则__________.
【答案】
【分析】
根据两角和的正弦公式，将原式化简整理，即可得出结果.
【详解】
由可得，
则，因此，
从而有，
即.
故答案为：.
43．（2020·全国高一课时练习）若，是第三象限角，则___________.
【答案】
【分析】
先化简，再结合同角三角函数关系求解即可得答案.
【详解】
解：，
，
，
为第三象限角，
，
故答案为：
【点睛】
本题解题的关键在于结合半角公式化简，考查运算求解能力，是基础题.
44．（2020·罗山县楠杆高级中学高三月考（文））函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形，则的值为________．
【答案】-3
【分析】
化简可得，根据为正三角形，可求得BC的长，根据正弦型函数的图象与性质，可求得周期T，进而可求得的值，即可得的解析式，代入数据，即可求得答案.
【详解】
函数
，
∴，∴，即，
∴，
∴.
故答案为：．
五、双空题
45．（2020·浙江高三月考）已知，且，则______，______.
【答案】
【分析】
①根据x的范围利用平方关系求出余弦，即可求得正切，
②利用二倍角公式化简，利用商数关系求解 .
【详解】
①由题：，且，所以，
所以
②
=
故答案为：；
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