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专题三 函数的概念、图像和性质-2021届高三《新题速递•数学》1月刊（江苏专用 适用于高考复习）
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这是一份专题三 函数的概念、图像和性质-2021届高三《新题速递•数学》1月刊（江苏专用 适用于高考复习），文件包含专题三函数的概念图像和性质原卷版docx、专题三函数的概念图像和性质解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共62页， 欢迎下载使用。
专题三 函数的概念、图像和性质
一、单选题
1．（2020·陕西宝鸡市·高三月考（理））已知函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意都有，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
先求出当，的解析式画出函数的图象，求出函数的值域，依次类推，解方程得或，数形结合分析得解.
【详解】
①当时，；
②当时，，；
③当时，.
又由方程的解或，
由函数的草图可知，
若对任意都有，则实数m的取值范围为.
故选：C
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是求出函数在，的解析式，得到整个函数的图象.
2．（2020·湖南长沙市·雅礼中学高三月考）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据函数的定义域，排除B项；根据函数的奇偶性，排除D项，由，排除A，即可求解.
【详解】
由题意，函数满足且 ，解得且，排除B；
又由，所以函数为奇函数，排除D；
当时，，排除A.
故选：C.
3．（2020·平罗中学高一期中）下列图形中，不是函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．．
【答案】B
【分析】
根据函数的定义可判断.
【详解】
根据函数的定义：对于定义域内每一个，都有唯一一个与之对应，
在B选项中，存在，有两个与之对应，故不是函数图象.
故选：B.
4．（2020·平罗中学高一期中）下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】
函数是同一函数的条件为：定义域相同，对应关系一致，由此逐项判断，即可得出结果.
【详解】
A选项，函数的定义域都是，又，
所以两函数是同一函数；
B选项，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，故两函数不是同一函数；
C选项，函数的定义域为，函数的定义域是，定义域不同，故两函数不是同一函数；
D选项，易知：函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，故两函数不是同一函数.
故选：A.
5．（2020·成都市温江区东辰外国语学校高一月考）已知定义在上的函数满足，且在上是增函数.不等式对于恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由已知可判断函数的对称性和单调性，从而可得在上恒成立，进而可求出的取值范围.
【详解】
由题可知，的图象关于轴对称，且在上单调递减，
由得在上恒成立，
得在上恒成立，因为和单调递增，
所以当时，取最大值为；当时，取最小值为，
所以.
故选:A.
6．（2020·成都市温江区东辰外国语学校高一月考）设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据函数的单调性与奇偶性，把不等式转化为不等式组或，结合函数的性质，即可求解.
【详解】
根据题意，函数在上单调递增且，
则在区间上，，在区间上，，
又由为奇函数，在区间上，，
在区间上，
则，
可得：或
解得：，
即的取值范围为：
故选：C.
7．（2020·吉林吉林市·蛟河一中高一月考）函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
令，分别求出函数值，利用排除法可得答案.
【详解】
因为，
所以，排除C；
，排除A；
，排除B.
故选：D.
8．（2020·吉林吉林市·蛟河一中高一月考）已知的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由的定义域为，可得的定义域为，再根据可得答案.
【详解】
由的定义域为，
得，所以，
所以，的定义域为，
令，得，即，
所以的定义域为.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：对于抽象函数，若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.，若已知函数的定义域为，则的定义域为在时的值域.
9．（2020·河北张家口市·高一期中）若是定义R上的奇函数，且当时，则时，（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】C
【分析】
先根据得到，由此求解出的解析式，再根据函数的奇偶性求解出时的解析式.
【详解】
因为，所以，所以，
又因为是奇函数，所以，所以，
所以时,
故选：C.
【点睛】
方法点睛：利用函数奇偶性求解函数解析式的方法（已知奇偶性以及的解析式）：
（1）先设，则，根据的解析式求解出；
（2）根据函数的奇偶性，得到与的关系，由此求解出时的解析式；
（3）结合（1）（2）可求解出的解析式.
10．（2020·怀仁县大地学校高一月考）若是偶函数，且当时，，则的解集是（ ）
A． B．或
C． D．
【答案】C
【分析】
根据是偶函数，先得到的解集，再由，将代入求解.
【详解】
因为时，，
所以由，解得，
又因为是偶函数，
所以的解集是，
所以，得，
解得
所以的解集是，
故选：C
11．（2020·全国高三月考）设，若的最小值为，则的值为（ ）
A．0 B．1或4 C．1 D．4
【答案】C
【分析】
根据分段函数解析式分别求出两段的最小值，再根据为函数最小值，建立方程与不等关系，即可求解.
【详解】
当时，，
当且仅当，即时等号成立.
故时，，
由二次函数性质可知对称轴，且，
解得或（舍去），
故选：C
【点睛】
关键点点睛：分别求出分段函数在两段上的最小值，同时注意二次函数的最小值与对称轴的关系.
12．（2021·河北张家口市·高三期末）已知是R上的奇函数，且对，有，当时，，则（ ）
A．40 B． C． D．
【答案】C
【分析】
由已知得，由对数函数性质估计出，然后利用已知条件把自变量变小为，再由奇函数定义可求得函数值．
【详解】
，，
故.
∵，故.
故选：C．
【点睛】
本题考查求函数值，方法是由已知条件得出函数的周期性，利用周期性和已知等式把函数自变量变小到上，然后由奇函数定义变到上，从而由已知解析式求得函数值．
13．（2020·重庆九龙坡区·渝西中学高三月考（理））已知函数，且f（5a﹣2）＞﹣f（a﹣2），则a的取值范围是（ ）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C． D．
【答案】D
【分析】
由定义可求函数的奇偶性，进而将所求不等式转化为f（5a﹣2）＞f（﹣a+2），结合函数的单调性可得关于a的不等式，从而可求出a的取值范围.
【详解】
解：根据题意，函数，其定义域为R，
又由f（﹣x）f（x），f（x）为奇函数，
又，函数y＝9x+1为增函数，则f（x）在R上单调递增；
f（5a﹣2）＞﹣f（a﹣2）⇒f（5a﹣2）＞f（﹣a+2）⇒5a﹣2＞﹣a+2，解可得，
故选:D.
【点睛】
关键点睛：本题的关键是由奇偶性转化已知不等式，再求出函数单调性求出关于a的不等式.
14．（2020·江苏高一课时练习）若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|﹣2≤x≤2}，值域为＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据函数的定义进行判断即可.
【详解】
A：当时，在集合中，没有对应的实数，所以不构成函数，不符合题意；
B：根据函数的定义本选项符合题意；
C：出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，不符合题意；
D：值域当中有的元素在集合中没有对应的实数，不符合题意.
故选：B．
15．（2020·江苏高一课时练习）函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
化简函数，判断函数的奇偶性，即可用排除法得出答案.
【详解】
根据题意，函数，，所以，所以函数f（x）为奇函数，排除A、B、D.
故选：C．
【点睛】
本题主要考查函数的图象，解题的关键是会判断函数的奇偶性，奇函数，图象关于原点对称，偶函数，图象关于轴对称，属于基础题.
二、多选题
16．（2020·江苏高一课时练习）定义在上的奇函数为减函数，偶函数在区间上的图象与的图象重合，设，则下列不等式中成立为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】
根据奇偶性和单调性可确定，利用作差法，结合奇偶性可比较出选项中各式的大小关系.
【详解】
为上的奇函数且为减函数，，；
为奇函数，为偶函数，
，，，，
对于AB，，
又在区间上的图象与的图象重合，，，
，，
则A正确，B错误；
对于CD，，，则C正确，D错误.
故选：AC.
17．（2020·全国高一单元测试）设y=f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x+1)=﹣f(x)，且在[﹣1，0]上是增函数，给出下列关于函数y=f(x)的判断正确的是（ ）
A．y=f(x)是周期为2的函数
B．y=f(x)的图象关于直线x=1对称
C．y=f(x)在[0，1]上是增函数
D．
【答案】ABD
【分析】
利用周期性判断A选项的正确性，利用对称性判断B选项的正确性，利用偶函数的性质判断C选项的正确性，通过计算判断D选项的正确性.
【详解】
因为y=f(x)是定义在R上的偶函数，满足，
所以函数的周期T=2，所以A正确，
因为f(﹣x)=f(x)，所以f(﹣x)=f(x+2)，所以对称轴x1，即关于x=1对称，所以B正确；
由函数f(x)为偶函数关于y轴对称，又在[﹣1，0]上是增函数，所以在[0，1]上单调递减，故C不正确；
因为f(x+1)=﹣f(x)，令x可得f()=﹣f()可得f()=﹣f()，所以f()=0，所以D正确.
故选：ABD
第II卷（非选择题）
三、解答题
18．（2020·大同市第四中学校高一期中）已知函数．
（1）求的值；
（2）求证：是定值．
【答案】（1）1，1；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据函数解析式代入即可求解.
（2）根据解析式，代入整理即可求解.
【详解】
（1）因为，
所以，
．
（2），是定值．
19．（2020·吉林吉林市·蛟河一中高一月考）已知函数().
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）当时，判断函数在上的单调性，并求其值域.
【答案】（1）函数是奇函数，理由见解析；（2）函数在上是减函数，值域为.
【分析】
（1）先求定义域，再根据函数奇偶性定义进行判断；
（2）根据函数单调性定义进行判断与证明，再根据单调性求值域.
【详解】
（1）由题意得函数的定义域为，关于原点对称.
对于任意，
因为，
所以函数是奇函数.
（2）任取，不妨设，
则
.
因为，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以函数在上是减函数，
所以，无最大值，
所以函数的值域为.
20．（2020·吉林吉林市·蛟河一中高一月考）已知函数，.
（1）求的值；
（2）用定义证明函数在上为增函数；
（3）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【分析】
（1）先求的值，再求的值即可；
（2）任取，且，作差、通分、分解因式，判断出，即可证明函数在上为增函数；
（3）利用函数单调性，结合函数的定义域，将不等式转化为不等式组，即可求实数的取值范围.
【详解】
因为，
所以.
（2）任取，且，
则
因为，所以，，
所以，即，
所以函数在上为增函数.
（3）由（2）知在上为增函数.
又，所以
解得即，
所以实数的取值范围是.
【点睛】
方法点睛：解决抽象不等式时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意应用函数的单调性．若函数为增函数，则；若函数为减函数，则．解题过程中，一定注意抽象函数的定义域.
21．（2020·河北张家口市·高一期中）设函数的定义域是，且对任意的正实数都有恒成立，已知，且时，．
（1）求的值；
（2）判断在上的单调性，并给出你的证明；
（3）解不等式．
【答案】（1）； （2）函数单调递增，证明见解析； （3）或.
【分析】
（1）利用赋值法，即可求得所求的函数值，得到答案；
（2）首先判定函数为增函数，然后利用函数的单调性的定义和所给条件进行证明即可；
（3）利用函数的单调性和所得函数值对应的自变量得到函数不等式，得出不等式组，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数对任意的正实数x，y都有恒成立，
令，可得，所以，
令，可得，即，解得.
（2）函数为增函数，证明如下：
设且，
令，根据题意，可得，即，
又由时，，
因为，可得，即，即，
所以函数在上的单调性.
（3）由题意和（1）可得，
又由不等式，即，
可得，解得或，
即不等式的解集为或.
【点睛】
求解函数有关的不等式的方法及策略：
1、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，
具体步骤：①将函数不等式转化为的形式；②根据函数的单调性去掉对应法则“”转化为形如：“”或“”的常规不等式，从而得解.
2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
22．（2020·毕节市实验高级中学高一期中）已知定义在R上的函数是奇函数
（1）求函数的解析式；
（2）判断的单调性，并用单调性定义证明；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）减函数，证明见解析；（3）.
【分析】
（1）利用即可求出；
（2）任取，计算化简并判断正负即可得出；
（3）利用函数为奇函数得，再由单调性可得，求出的最大值即可.
【详解】
（1）∵是定义在R上的奇函数，∴，∴，
此时，，是奇函数，满足题意，
；
（2），在R上是减函数，
证明：设且，
则
∵，∴，，，
∴，
即，∴在R上是减函数；
（3）是奇函数，
故不等式等价于，
又是R上的减函数， ∴，
∴对恒成立，
∴.
【点睛】
本题考查利用奇偶性和单调性解不等式，解题的关键是将不等式等价于，利用单调性解出.
23．（2020·江苏高一课时练习）（1）已知f （x+1）=x2+4x+1，求f（x）；
（2）已知f （）=+1，求f（x）；
（3）设f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，并且f（x）﹣g（x）=x2﹣x，求f（x）．
【答案】（1）f（x）=x2+2x﹣2；（2）f（x）=x2+3；（3）f（x）=﹣x.
【分析】
（1）利用换元法可求出；
（2）利用拼凑法得出，即可求出；
（3）根据奇偶函数的性质列出方程组即可求出.
【详解】
解：（1），
令，则，
，
；
（2），
；
（3）为奇函数，，
为偶函数，，
，，
从而，，
由，得
.
24．（2020·江苏高一课时练习）已知函数，用分段函数的形式表示该函数.
【答案】.
【分析】
根据已知解析式，分和两种情况，即可得出结果.
【详解】
因为，
当时，；
当时，；
综上，.
25．（2020·江苏高一课时练习）设函数的图象关于直线对称，
（1）求实数的值；
（2）在（1）的条件下若对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）、在数轴上表示点到点、的距离，可得点、关于对称，即可求的值；
（2）不等式恒成立即为，求出的最小值，代入求解即可.
【详解】
（1）、在数轴上表示点到点、的距离，
他们的和关于对称，
因此点、关于对称，
所以；
（2），
∵对任意实数恒成立，
∴对任意实数x恒成立，
∵，即，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了绝对值的对称问题和恒成立问题，解题的关键是会将恒成立问题转化成最值问题，考查了转化思想的应用，属于中档题.
26．（2020·江苏高一课时练习）已知函数是一次函数，且，求的表达式．
【答案】．
【分析】
设，根据，列出方程组，求得的值，即可得到答案.
【详解】
由题意，设一次函数的解析式为，
因为，可得，
整理得，即，解得，
所以函数的表达式为.
27．（2020·浙江高一期末）函数．
（1）若，且，试求实数、的值；
（2）设，若对任意、，都有恒成立，求的取值范围；
（3）当时，已知，设，是否存在正数，使得对于区间上任意三个实数、、，都存在以、、为边长的三角形？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）；（3）存在，且实数的取值范围是.
【分析】
（1）由可得出关于实数、的方程组，进而可求得实数、的值；
（2）由题意可知，对任意的，，然后对实数的取值进行分类讨论，求得、，可得出关于实数的不等式，进而可解得实数的取值范围；
（3）设，由已知条件分析得到对任意的，，然后对实数的取值进行分类讨论，求出和，可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围，由此可得出结论.
【详解】
（1）当时，，
由可得，解得；
（2）当时，.
对任意的、，都有，等价于.
二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.
①当时，即当时，函数在区间上单调递增，
则，，
所以，，解得，此时；
②当时，即当时，
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，，
又，，
则，整理得，解得，此时；
③当时，即当时，
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，，
又，，
则，整理得，解得，此时；
④当时，即当时，函数在区间上单调递减，
所以，，，
所以，，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是；
（3）设，
由可得，
当时，，则，则，
令，由题意知，对任意的，.
当时，证明出函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
任取、，则，
，则，，所以，，
所以，函数在区间上单调递减，
同理可证函数在区间上单调递增.
①当时，即当时，函数在区间上单调递增，
则，，所以，，解得，此时；
②当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则，，，.
（i）当时，即当时，，
则，解得，此时；
（ii）当时，即当时，，
则，解得，此时；
③当时，即当时，函数在区间上单调递减，
所以，，，
则，解得，此时.
综上所述，存在正实数，使得对于区间上任意三个实数、、，都存在以、、为边长的三角形.
【点睛】
方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法：
（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；
（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；
（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.
28．（2020·江苏高一课时练习）对任意实数a，b，定义函数，已知函数，，记．
（1）若对于任意实数x，不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若2m﹣n＝2，且m∈[6，+∞），求使得等式H(x)＝f(x)成立的x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求H(x)在区间[0，6]上的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）利用判别式可求的取值范围.
（2）由题设可得当时，有恒成立，就、分类讨论后可得的取值范围.
（3）根据（2）的结论可得，就、分类讨论后可得所求的最小值.
【详解】
解：（1）由题意可得，恒成立，
即对任意的x恒成立，
所以＝m2﹣12≤0，解得；
（2）因为2m﹣n＝2，所以f(x)＝x2﹣mx+2m﹣2，
由知，，
若当时，，
则当时，有恒成立，
①当时，，所以，
又因为，所以；
②当时，，所以，
因为，，所以2﹣x＞0，m﹣2＞0，所以上式不成立；
综上可知，x的取值范围是；
（3）由（2）知，且 ，
即，
所以当时，，
当时，，
①当时，有，
此时，
当时，，
当时，，
故在上，，
②当时，即时，；
故在上，.
综上．
【点睛】
方法点睛：（1）对于恒成立，要弄清楚在什么范围上恒成立，如果在上恒成立，可考虑利用判别式的正负来讨论.
（2）分段函数的最小值问题，应该逐段讨论，取各段中的最小值的最小值，必要时需分类讨论.
29．（2020·江苏高一课时练习）设函数f（x）对任意实数x满足，讨论的周期性．
【答案】f（x）的一个周期为3a．
【分析】
根据周期性的定义先后计算，，可得，即可得出周期性.
【详解】
解：，
可得，
将x换为，可得，
将x换为x+a，可得，
代入，化简可得，
由周期函数的定义可得f（x）的一个周期为3a．
【点睛】
本题考查函数周期性的判断，解题的关键是清楚周期函数的定义，即函数满足，则是以a为周期的函数.
30．（2020·江苏高一课时练习）（1）已知f(x)的定义域为[0，2]，求y=f(x+1)的定义域；
（2）已知y=f(x+1)的定义域为[0，2]，求f(x)的定义域；
（3）已知函数y=f(2x﹣1)的定义域为[﹣1，1]，求函数y=f(x﹣2)的定义域.
【答案】（1）[﹣1，1]；（2）[1，3]；（3）[﹣1，3].
【分析】
（1）由f(x)的定义域为[0，2]，可得0≤x≤2，进而得出0≤x+1≤2，解不等式可得y=f(x+1)的定义域；
（2）由y=f(x+1)的定义域为[0，2]，可得0≤x≤2，进而求出x+1的范围，即为f(x)的定义域；
（3）由函数y=f(2x﹣1)的定义域为[﹣1，1]，可得﹣1≤x≤1，进而求出2x﹣1的范围，即为x﹣2的范围，解不等式得出x的范围，为所求函数定义域．
【详解】
（1）已知f(x)的定义域为[0，2]，
则0≤x≤2，
由0≤x+1≤2，得﹣1≤x≤1
即y=f(x+1)的定义域为[﹣1，1]；
（2）已知y=f(x+1)的定义域为[0，2]，
则0≤x≤2，
则1≤x+1≤3，
即y=f(x)的定义域为[1，3]；
（3）已知函数y=f(2x﹣1)的定义域为[﹣1，1]，
则﹣1≤x≤1，则﹣2≤2x≤2，﹣3≤2x﹣1≤1
由﹣3≤x﹣2≤1，得﹣1≤x≤3，
即函数y=f(x﹣2)的定义域为[﹣1，3].
31．（2020·江苏高一课时练习）如图，已知，，点P从B点沿直线BC运动到C点，过P做BC的垂线l，记直线l左侧部分的多边形为Ω，设，Ω的面积为，Ω的周长为．
（1）求和的解析式；
（2）记，求的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）作的高，当时，根据，计算得到与；从而计算和；当时根据，计算得到，，从而计算和；（2）根据（1）的结果分别计算和时的最值，再比较大小可得.
【详解】
（1）作的高，，，
当，，所以，，，.
当，，所以，，；
（2）当，，最大值为.
当时，，
当且仅当时，有最大值，又，
故最大值为．
【点睛】
本题考查分段函数以及分段函数的最值问题，解决这类问题需要注意：
（1）在实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型.
（2）求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．
32．（2020·尤溪县第五中学高一期末）设函数，.
（1）判断函数的单调性，并用定义证明；
（2）若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围.
【答案】（1）在上为增函数，证明见解析；（2）
【分析】
（1）任取且，作差，整理计算判断出正负即可；
（2）将关于x的方程在上有解转化为在上有解，进一步转化为在上的值域问题，求出值域即可.
【详解】
解：（1）任取且，
，
因为，所以，，
所以，
所以，所以在上为增函数；
（2）由题意，得在上有解，
即在上有解.
由（1）知在上为增函数，
所以，所以a的取值范围是.
【点睛】
方法点睛：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.
33．（2020·清远市清新区凤霞中学高一期中）已知函数f(x)＝，
（1）证明f(x)在区间[2，＋∞）上单调递增；
（2）若x[2，8]，求f(x)的最大值和最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为4，最大值为
【分析】
（1）任取，化简判断的正负即可得出；
（2）由在单调递增即可求出.
【详解】
（1）任取，
，
，，
，
f(x)在区间上单调递增；
（2）由（1）可知在单调递增，
，
【点睛】
思路点睛：利用定义判断函数单调性的步骤：
（1）在定义域内任取；
（2）计算并化简整理；
（3）判断的正负；
（4）得出结论，若，则单调递增；若，则单调递减.
四、填空题
34．（2020·成都市温江区东辰外国语学校高一月考）设函数，给出四个命题：
①是偶函数；
②是实数集上的增函数；
③，函数的图象关于原点对称；
④方程有两个解.
上述命题中，正确命题的序号是_______.（把所有正确命题的序号都填上）
【答案】②③
【分析】
①结合奇偶性的定义即可判断；②分，两种情况讨论，结合二次函数的性质即可判断；③代入即可判断函数的对称性；④结合函数的单调性即可判断零点个数.
【详解】
①错，，，不是偶函数.
②，当时，，单调递增，当时，
，单调递增，则在上单调递增，正确；
③时，，关于原点对称，正确；
④由②得，在上单调递增，且图象与轴只有一个交点，
故有两解，错误；综上，正确命题为②③
故答案为：②③.
35．（2020·洮南市第一中学高三月考（文））对于函数，若存在非零常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为“类奇函数”，给出下列函数：①，②，③，④，⑤其中所有“类奇函数”的序号是_______.
【答案】②④⑤
【分析】
根据题意可得若的图象关于点（且）对称，则为“类奇函数”，依次判定各个函数是否为中心对称图形即可.
【详解】
根据题意可得若的图象关于点（且）对称，则为“类奇函数”，
对于①，的图象无对称中心，不满足题意，故①错误；
对于②，可看作是的图象向左平移1个单位再向上平移1个单位得到，故关于对称，满足题意，故②正确；
对于③，的图象关于对称，不满足题意，故③错误；
对于④，的图象关于对称，符合题意，故④正确；
对于⑤，令，可得，即为奇函数，则的图象可看作为的图象先向右平移1个单位再向上平移2个单位得到，故的图象关于对称，满足题意，故⑤正确.
故答案为：②④⑤.
【点睛】
关键点睛：本题考查函数的对称性，解题的关键是得出若的图象关于点（且）对称，则为“类奇函数”，将题转化为找函数的对称中心.
36．（2020·洮南市第一中学高三月考（文））已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则_______.
【答案】
【分析】
由题设可得函数的周期为，结合可得关于的方程，从而可求的值．
【详解】
因为的图象关于原点对称，故为奇函数，故，
所以，所以，
所以函数的周期为，故，
，
所以，故．
故答案为：．
【点睛】
方法点睛：对于函数的函数值的计算问题，注意根据函数的对称性、奇偶性找出函数的周期，再利用奇偶性、周期性转化到已知的范围上求解．
37．（2020·江苏高一课时练习）已知定义在上的函数满足：是奇函数，是偶函数，则等于__________.
【答案】
【分析】
根据已知条件可得出关于和的方程组，即可解得的值.
【详解】
根据题意，是奇函数，则，
由于是偶函数，则，
所以，解得.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题考查利用函数的奇偶性求函数值，解题的关键就是利用两个函数奇偶性列举出关于和的方程组求解，容易出错的地方在于错误地理解为由为奇函数得出为奇函数，由为偶函数得出函数为偶函数，导致错解.
38．（2020·江苏高一课时练习）已知是奇函数，且在上是增函数且最大值为，那么在上是___函数，且最___值是____．
【答案】增 小
【分析】
根据奇函数的对称性，可得直接得出在上的单调性；进而可得最值.
【详解】
由于奇函数在对称的区间上单调性相同，
又是奇函数，且在上是增函数且最大值为，
那么在上是增函数，其最小值为.
故答案为：增；小；.
39．（2020·重庆九龙坡区·渝西中学高三月考（理））已知是定义在R上的偶函数，且当时，，则_____．
【答案】
【分析】
根据条件可得，然后可算出答案.
【详解】
因为是定义在R上的偶函数，且当时，
所以，所以
故答案为：1
40．（2020·江苏高一课时练习）已知，则函数f(x)的解析式为___________.
【答案】
【分析】
以代替得出，与已知等式联立，解出函数f(x)的解析式．
【详解】
∵，①
∴，②
①×3﹣②×5，得：
﹣16f(x)=﹣10x﹣2，
∴
故答案为：
41．（2020·清远市清新区凤霞中学高一期中）已知f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为________.
【答案】
【分析】
由题可得在单调递增，在单调递增，且，列出不等式即可求出.
【详解】
令，，
是R上的单调递增函数，
在单调递增，在单调递增，且，
，解得，
故实数a的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】
易错点睛：本题考查根据分段函数的单调性求参数范围，注意在考虑的时候需要考虑端点处的情况，这是往往容易漏掉的地方.
五、双空题
42．（2020·江苏高一课时练习）若函数为R上的减函数，则函数的单调增区间为___________，单调减区间为___________.
【答案】
【分析】
根据条件可得，然后根据二次函数的知识可得答案.
【详解】
为R上的减函数，
∴，
的对称轴为，且，
∴该函数的单调增区间为，单调减区间为.
故答案为：；
43．（2020·尤溪县第五中学高一期末）高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为，其中表示不超过x的最大整数.例如：，.已知函数，若，则________；不等式的解集为________.
【答案】
【分析】
第一空：”根据“高斯函数”的定义，可得，进而再分类讨论建立方程求值即可；第二空：分类讨论建立不等式求解即可.
【详解】
由题意，得，
当时，，即；
当时，，即(舍)，
综上；
当时，，即，
当时，，即，
综上，.
故答案为：；.
【点睛】
关键点睛：求解分段函数相关问题的关键是“分段归类”，即应用分类讨论思想.
专题三 函数的概念、图像和性质
一、单选题
1．（2020·陕西宝鸡市·高三月考（理））已知函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意都有，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
先求出当，的解析式画出函数的图象，求出函数的值域，依次类推，解方程得或，数形结合分析得解.
【详解】
①当时，；
②当时，，；
③当时，.
又由方程的解或，
由函数的草图可知，
若对任意都有，则实数m的取值范围为.
故选：C
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是求出函数在，的解析式，得到整个函数的图象.
2．（2020·湖南长沙市·雅礼中学高三月考）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据函数的定义域，排除B项；根据函数的奇偶性，排除D项，由，排除A，即可求解.
【详解】
由题意，函数满足且 ，解得且，排除B；
又由，所以函数为奇函数，排除D；
当时，，排除A.
故选：C.
3．（2020·平罗中学高一期中）下列图形中，不是函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．．
【答案】B
【分析】
根据函数的定义可判断.
【详解】
根据函数的定义：对于定义域内每一个，都有唯一一个与之对应，
在B选项中，存在，有两个与之对应，故不是函数图象.
故选：B.
4．（2020·平罗中学高一期中）下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】
函数是同一函数的条件为：定义域相同，对应关系一致，由此逐项判断，即可得出结果.
【详解】
A选项，函数的定义域都是，又，
所以两函数是同一函数；
B选项，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，故两函数不是同一函数；
C选项，函数的定义域为，函数的定义域是，定义域不同，故两函数不是同一函数；
D选项，易知：函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，故两函数不是同一函数.
故选：A.
5．（2020·成都市温江区东辰外国语学校高一月考）已知定义在上的函数满足，且在上是增函数.不等式对于恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由已知可判断函数的对称性和单调性，从而可得在上恒成立，进而可求出的取值范围.
【详解】
由题可知，的图象关于轴对称，且在上单调递减，
由得在上恒成立，
得在上恒成立，因为和单调递增，
所以当时，取最大值为；当时，取最小值为，
所以.
故选:A.
6．（2020·成都市温江区东辰外国语学校高一月考）设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据函数的单调性与奇偶性，把不等式转化为不等式组或，结合函数的性质，即可求解.
【详解】
根据题意，函数在上单调递增且，
则在区间上，，在区间上，，
又由为奇函数，在区间上，，
在区间上，
则，
可得：或
解得：，
即的取值范围为：
故选：C.
7．（2020·吉林吉林市·蛟河一中高一月考）函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
令，分别求出函数值，利用排除法可得答案.
【详解】
因为，
所以，排除C；
，排除A；
，排除B.
故选：D.
8．（2020·吉林吉林市·蛟河一中高一月考）已知的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由的定义域为，可得的定义域为，再根据可得答案.
【详解】
由的定义域为，
得，所以，
所以，的定义域为，
令，得，即，
所以的定义域为.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：对于抽象函数，若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.，若已知函数的定义域为，则的定义域为在时的值域.
9．（2020·河北张家口市·高一期中）若是定义R上的奇函数，且当时，则时，（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】C
【分析】
先根据得到，由此求解出的解析式，再根据函数的奇偶性求解出时的解析式.
【详解】
因为，所以，所以，
又因为是奇函数，所以，所以，
所以时,
故选：C.
【点睛】
方法点睛：利用函数奇偶性求解函数解析式的方法（已知奇偶性以及的解析式）：
（1）先设，则，根据的解析式求解出；
（2）根据函数的奇偶性，得到与的关系，由此求解出时的解析式；
（3）结合（1）（2）可求解出的解析式.
10．（2020·怀仁县大地学校高一月考）若是偶函数，且当时，，则的解集是（ ）
A． B．或
C． D．
【答案】C
【分析】
根据是偶函数，先得到的解集，再由，将代入求解.
【详解】
因为时，，
所以由，解得，
又因为是偶函数，
所以的解集是，
所以，得，
解得
所以的解集是，
故选：C
11．（2020·全国高三月考）设，若的最小值为，则的值为（ ）
A．0 B．1或4 C．1 D．4
【答案】C
【分析】
根据分段函数解析式分别求出两段的最小值，再根据为函数最小值，建立方程与不等关系，即可求解.
【详解】
当时，，
当且仅当，即时等号成立.
故时，，
由二次函数性质可知对称轴，且，
解得或（舍去），
故选：C
【点睛】
关键点点睛：分别求出分段函数在两段上的最小值，同时注意二次函数的最小值与对称轴的关系.
12．（2021·河北张家口市·高三期末）已知是R上的奇函数，且对，有，当时，，则（ ）
A．40 B． C． D．
【答案】C
【分析】
由已知得，由对数函数性质估计出，然后利用已知条件把自变量变小为，再由奇函数定义可求得函数值．
【详解】
，，
故.
∵，故.
故选：C．
【点睛】
本题考查求函数值，方法是由已知条件得出函数的周期性，利用周期性和已知等式把函数自变量变小到上，然后由奇函数定义变到上，从而由已知解析式求得函数值．
13．（2020·重庆九龙坡区·渝西中学高三月考（理））已知函数，且f（5a﹣2）＞﹣f（a﹣2），则a的取值范围是（ ）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C． D．
【答案】D
【分析】
由定义可求函数的奇偶性，进而将所求不等式转化为f（5a﹣2）＞f（﹣a+2），结合函数的单调性可得关于a的不等式，从而可求出a的取值范围.
【详解】
解：根据题意，函数，其定义域为R，
又由f（﹣x）f（x），f（x）为奇函数，
又，函数y＝9x+1为增函数，则f（x）在R上单调递增；
f（5a﹣2）＞﹣f（a﹣2）⇒f（5a﹣2）＞f（﹣a+2）⇒5a﹣2＞﹣a+2，解可得，
故选:D.
【点睛】
关键点睛：本题的关键是由奇偶性转化已知不等式，再求出函数单调性求出关于a的不等式.
14．（2020·江苏高一课时练习）若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|﹣2≤x≤2}，值域为＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据函数的定义进行判断即可.
【详解】
A：当时，在集合中，没有对应的实数，所以不构成函数，不符合题意；
B：根据函数的定义本选项符合题意；
C：出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，不符合题意；
D：值域当中有的元素在集合中没有对应的实数，不符合题意.
故选：B．
15．（2020·江苏高一课时练习）函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
化简函数，判断函数的奇偶性，即可用排除法得出答案.
【详解】
根据题意，函数，，所以，所以函数f（x）为奇函数，排除A、B、D.
故选：C．
【点睛】
本题主要考查函数的图象，解题的关键是会判断函数的奇偶性，奇函数，图象关于原点对称，偶函数，图象关于轴对称，属于基础题.
二、多选题
16．（2020·江苏高一课时练习）定义在上的奇函数为减函数，偶函数在区间上的图象与的图象重合，设，则下列不等式中成立为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】
根据奇偶性和单调性可确定，利用作差法，结合奇偶性可比较出选项中各式的大小关系.
【详解】
为上的奇函数且为减函数，，；
为奇函数，为偶函数，
，，，，
对于AB，，
又在区间上的图象与的图象重合，，，
，，
则A正确，B错误；
对于CD，，，则C正确，D错误.
故选：AC.
17．（2020·全国高一单元测试）设y=f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x+1)=﹣f(x)，且在[﹣1，0]上是增函数，给出下列关于函数y=f(x)的判断正确的是（ ）
A．y=f(x)是周期为2的函数
B．y=f(x)的图象关于直线x=1对称
C．y=f(x)在[0，1]上是增函数
D．
【答案】ABD
【分析】
利用周期性判断A选项的正确性，利用对称性判断B选项的正确性，利用偶函数的性质判断C选项的正确性，通过计算判断D选项的正确性.
【详解】
因为y=f(x)是定义在R上的偶函数，满足，
所以函数的周期T=2，所以A正确，
因为f(﹣x)=f(x)，所以f(﹣x)=f(x+2)，所以对称轴x1，即关于x=1对称，所以B正确；
由函数f(x)为偶函数关于y轴对称，又在[﹣1，0]上是增函数，所以在[0，1]上单调递减，故C不正确；
因为f(x+1)=﹣f(x)，令x可得f()=﹣f()可得f()=﹣f()，所以f()=0，所以D正确.
故选：ABD
第II卷（非选择题）
三、解答题
18．（2020·大同市第四中学校高一期中）已知函数．
（1）求的值；
（2）求证：是定值．
【答案】（1）1，1；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据函数解析式代入即可求解.
（2）根据解析式，代入整理即可求解.
【详解】
（1）因为，
所以，
．
（2），是定值．
19．（2020·吉林吉林市·蛟河一中高一月考）已知函数().
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）当时，判断函数在上的单调性，并求其值域.
【答案】（1）函数是奇函数，理由见解析；（2）函数在上是减函数，值域为.
【分析】
（1）先求定义域，再根据函数奇偶性定义进行判断；
（2）根据函数单调性定义进行判断与证明，再根据单调性求值域.
【详解】
（1）由题意得函数的定义域为，关于原点对称.
对于任意，
因为，
所以函数是奇函数.
（2）任取，不妨设，
则
.
因为，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以函数在上是减函数，
所以，无最大值，
所以函数的值域为.
20．（2020·吉林吉林市·蛟河一中高一月考）已知函数，.
（1）求的值；
（2）用定义证明函数在上为增函数；
（3）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【分析】
（1）先求的值，再求的值即可；
（2）任取，且，作差、通分、分解因式，判断出，即可证明函数在上为增函数；
（3）利用函数单调性，结合函数的定义域，将不等式转化为不等式组，即可求实数的取值范围.
【详解】
因为，
所以.
（2）任取，且，
则
因为，所以，，
所以，即，
所以函数在上为增函数.
（3）由（2）知在上为增函数.
又，所以
解得即，
所以实数的取值范围是.
【点睛】
方法点睛：解决抽象不等式时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意应用函数的单调性．若函数为增函数，则；若函数为减函数，则．解题过程中，一定注意抽象函数的定义域.
21．（2020·河北张家口市·高一期中）设函数的定义域是，且对任意的正实数都有恒成立，已知，且时，．
（1）求的值；
（2）判断在上的单调性，并给出你的证明；
（3）解不等式．
【答案】（1）； （2）函数单调递增，证明见解析； （3）或.
【分析】
（1）利用赋值法，即可求得所求的函数值，得到答案；
（2）首先判定函数为增函数，然后利用函数的单调性的定义和所给条件进行证明即可；
（3）利用函数的单调性和所得函数值对应的自变量得到函数不等式，得出不等式组，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数对任意的正实数x，y都有恒成立，
令，可得，所以，
令，可得，即，解得.
（2）函数为增函数，证明如下：
设且，
令，根据题意，可得，即，
又由时，，
因为，可得，即，即，
所以函数在上的单调性.
（3）由题意和（1）可得，
又由不等式，即，
可得，解得或，
即不等式的解集为或.
【点睛】
求解函数有关的不等式的方法及策略：
1、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，
具体步骤：①将函数不等式转化为的形式；②根据函数的单调性去掉对应法则“”转化为形如：“”或“”的常规不等式，从而得解.
2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
22．（2020·毕节市实验高级中学高一期中）已知定义在R上的函数是奇函数
（1）求函数的解析式；
（2）判断的单调性，并用单调性定义证明；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）减函数，证明见解析；（3）.
【分析】
（1）利用即可求出；
（2）任取，计算化简并判断正负即可得出；
（3）利用函数为奇函数得，再由单调性可得，求出的最大值即可.
【详解】
（1）∵是定义在R上的奇函数，∴，∴，
此时，，是奇函数，满足题意，
；
（2），在R上是减函数，
证明：设且，
则
∵，∴，，，
∴，
即，∴在R上是减函数；
（3）是奇函数，
故不等式等价于，
又是R上的减函数， ∴，
∴对恒成立，
∴.
【点睛】
本题考查利用奇偶性和单调性解不等式，解题的关键是将不等式等价于，利用单调性解出.
23．（2020·江苏高一课时练习）（1）已知f （x+1）=x2+4x+1，求f（x）；
（2）已知f （）=+1，求f（x）；
（3）设f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，并且f（x）﹣g（x）=x2﹣x，求f（x）．
【答案】（1）f（x）=x2+2x﹣2；（2）f（x）=x2+3；（3）f（x）=﹣x.
【分析】
（1）利用换元法可求出；
（2）利用拼凑法得出，即可求出；
（3）根据奇偶函数的性质列出方程组即可求出.
【详解】
解：（1），
令，则，
，
；
（2），
；
（3）为奇函数，，
为偶函数，，
，，
从而，，
由，得
.
24．（2020·江苏高一课时练习）已知函数，用分段函数的形式表示该函数.
【答案】.
【分析】
根据已知解析式，分和两种情况，即可得出结果.
【详解】
因为，
当时，；
当时，；
综上，.
25．（2020·江苏高一课时练习）设函数的图象关于直线对称，
（1）求实数的值；
（2）在（1）的条件下若对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）、在数轴上表示点到点、的距离，可得点、关于对称，即可求的值；
（2）不等式恒成立即为，求出的最小值，代入求解即可.
【详解】
（1）、在数轴上表示点到点、的距离，
他们的和关于对称，
因此点、关于对称，
所以；
（2），
∵对任意实数恒成立，
∴对任意实数x恒成立，
∵，即，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了绝对值的对称问题和恒成立问题，解题的关键是会将恒成立问题转化成最值问题，考查了转化思想的应用，属于中档题.
26．（2020·江苏高一课时练习）已知函数是一次函数，且，求的表达式．
【答案】．
【分析】
设，根据，列出方程组，求得的值，即可得到答案.
【详解】
由题意，设一次函数的解析式为，
因为，可得，
整理得，即，解得，
所以函数的表达式为.
27．（2020·浙江高一期末）函数．
（1）若，且，试求实数、的值；
（2）设，若对任意、，都有恒成立，求的取值范围；
（3）当时，已知，设，是否存在正数，使得对于区间上任意三个实数、、，都存在以、、为边长的三角形？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）；（3）存在，且实数的取值范围是.
【分析】
（1）由可得出关于实数、的方程组，进而可求得实数、的值；
（2）由题意可知，对任意的，，然后对实数的取值进行分类讨论，求得、，可得出关于实数的不等式，进而可解得实数的取值范围；
（3）设，由已知条件分析得到对任意的，，然后对实数的取值进行分类讨论，求出和，可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围，由此可得出结论.
【详解】
（1）当时，，
由可得，解得；
（2）当时，.
对任意的、，都有，等价于.
二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.
①当时，即当时，函数在区间上单调递增，
则，，
所以，，解得，此时；
②当时，即当时，
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，，
又，，
则，整理得，解得，此时；
③当时，即当时，
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，，
又，，
则，整理得，解得，此时；
④当时，即当时，函数在区间上单调递减，
所以，，，
所以，，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是；
（3）设，
由可得，
当时，，则，则，
令，由题意知，对任意的，.
当时，证明出函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
任取、，则，
，则，，所以，，
所以，函数在区间上单调递减，
同理可证函数在区间上单调递增.
①当时，即当时，函数在区间上单调递增，
则，，所以，，解得，此时；
②当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则，，，.
（i）当时，即当时，，
则，解得，此时；
（ii）当时，即当时，，
则，解得，此时；
③当时，即当时，函数在区间上单调递减，
所以，，，
则，解得，此时.
综上所述，存在正实数，使得对于区间上任意三个实数、、，都存在以、、为边长的三角形.
【点睛】
方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法：
（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；
（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；
（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.
28．（2020·江苏高一课时练习）对任意实数a，b，定义函数，已知函数，，记．
（1）若对于任意实数x，不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若2m﹣n＝2，且m∈[6，+∞），求使得等式H(x)＝f(x)成立的x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求H(x)在区间[0，6]上的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）利用判别式可求的取值范围.
（2）由题设可得当时，有恒成立，就、分类讨论后可得的取值范围.
（3）根据（2）的结论可得，就、分类讨论后可得所求的最小值.
【详解】
解：（1）由题意可得，恒成立，
即对任意的x恒成立，
所以＝m2﹣12≤0，解得；
（2）因为2m﹣n＝2，所以f(x)＝x2﹣mx+2m﹣2，
由知，，
若当时，，
则当时，有恒成立，
①当时，，所以，
又因为，所以；
②当时，，所以，
因为，，所以2﹣x＞0，m﹣2＞0，所以上式不成立；
综上可知，x的取值范围是；
（3）由（2）知，且 ，
即，
所以当时，，
当时，，
①当时，有，
此时，
当时，，
当时，，
故在上，，
②当时，即时，；
故在上，.
综上．
【点睛】
方法点睛：（1）对于恒成立，要弄清楚在什么范围上恒成立，如果在上恒成立，可考虑利用判别式的正负来讨论.
（2）分段函数的最小值问题，应该逐段讨论，取各段中的最小值的最小值，必要时需分类讨论.
29．（2020·江苏高一课时练习）设函数f（x）对任意实数x满足，讨论的周期性．
【答案】f（x）的一个周期为3a．
【分析】
根据周期性的定义先后计算，，可得，即可得出周期性.
【详解】
解：，
可得，
将x换为，可得，
将x换为x+a，可得，
代入，化简可得，
由周期函数的定义可得f（x）的一个周期为3a．
【点睛】
本题考查函数周期性的判断，解题的关键是清楚周期函数的定义，即函数满足，则是以a为周期的函数.
30．（2020·江苏高一课时练习）（1）已知f(x)的定义域为[0，2]，求y=f(x+1)的定义域；
（2）已知y=f(x+1)的定义域为[0，2]，求f(x)的定义域；
（3）已知函数y=f(2x﹣1)的定义域为[﹣1，1]，求函数y=f(x﹣2)的定义域.
【答案】（1）[﹣1，1]；（2）[1，3]；（3）[﹣1，3].
【分析】
（1）由f(x)的定义域为[0，2]，可得0≤x≤2，进而得出0≤x+1≤2，解不等式可得y=f(x+1)的定义域；
（2）由y=f(x+1)的定义域为[0，2]，可得0≤x≤2，进而求出x+1的范围，即为f(x)的定义域；
（3）由函数y=f(2x﹣1)的定义域为[﹣1，1]，可得﹣1≤x≤1，进而求出2x﹣1的范围，即为x﹣2的范围，解不等式得出x的范围，为所求函数定义域．
【详解】
（1）已知f(x)的定义域为[0，2]，
则0≤x≤2，
由0≤x+1≤2，得﹣1≤x≤1
即y=f(x+1)的定义域为[﹣1，1]；
（2）已知y=f(x+1)的定义域为[0，2]，
则0≤x≤2，
则1≤x+1≤3，
即y=f(x)的定义域为[1，3]；
（3）已知函数y=f(2x﹣1)的定义域为[﹣1，1]，
则﹣1≤x≤1，则﹣2≤2x≤2，﹣3≤2x﹣1≤1
由﹣3≤x﹣2≤1，得﹣1≤x≤3，
即函数y=f(x﹣2)的定义域为[﹣1，3].
31．（2020·江苏高一课时练习）如图，已知，，点P从B点沿直线BC运动到C点，过P做BC的垂线l，记直线l左侧部分的多边形为Ω，设，Ω的面积为，Ω的周长为．
（1）求和的解析式；
（2）记，求的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）作的高，当时，根据，计算得到与；从而计算和；当时根据，计算得到，，从而计算和；（2）根据（1）的结果分别计算和时的最值，再比较大小可得.
【详解】
（1）作的高，，，
当，，所以，，，.
当，，所以，，；
（2）当，，最大值为.
当时，，
当且仅当时，有最大值，又，
故最大值为．
【点睛】
本题考查分段函数以及分段函数的最值问题，解决这类问题需要注意：
（1）在实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型.
（2）求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．
32．（2020·尤溪县第五中学高一期末）设函数，.
（1）判断函数的单调性，并用定义证明；
（2）若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围.
【答案】（1）在上为增函数，证明见解析；（2）
【分析】
（1）任取且，作差，整理计算判断出正负即可；
（2）将关于x的方程在上有解转化为在上有解，进一步转化为在上的值域问题，求出值域即可.
【详解】
解：（1）任取且，
，
因为，所以，，
所以，
所以，所以在上为增函数；
（2）由题意，得在上有解，
即在上有解.
由（1）知在上为增函数，
所以，所以a的取值范围是.
【点睛】
方法点睛：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.
33．（2020·清远市清新区凤霞中学高一期中）已知函数f(x)＝，
（1）证明f(x)在区间[2，＋∞）上单调递增；
（2）若x[2，8]，求f(x)的最大值和最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为4，最大值为
【分析】
（1）任取，化简判断的正负即可得出；
（2）由在单调递增即可求出.
【详解】
（1）任取，
，
，，
，
f(x)在区间上单调递增；
（2）由（1）可知在单调递增，
，
【点睛】
思路点睛：利用定义判断函数单调性的步骤：
（1）在定义域内任取；
（2）计算并化简整理；
（3）判断的正负；
（4）得出结论，若，则单调递增；若，则单调递减.
四、填空题
34．（2020·成都市温江区东辰外国语学校高一月考）设函数，给出四个命题：
①是偶函数；
②是实数集上的增函数；
③，函数的图象关于原点对称；
④方程有两个解.
上述命题中，正确命题的序号是_______.（把所有正确命题的序号都填上）
【答案】②③
【分析】
①结合奇偶性的定义即可判断；②分，两种情况讨论，结合二次函数的性质即可判断；③代入即可判断函数的对称性；④结合函数的单调性即可判断零点个数.
【详解】
①错，，，不是偶函数.
②，当时，，单调递增，当时，
，单调递增，则在上单调递增，正确；
③时，，关于原点对称，正确；
④由②得，在上单调递增，且图象与轴只有一个交点，
故有两解，错误；综上，正确命题为②③
故答案为：②③.
35．（2020·洮南市第一中学高三月考（文））对于函数，若存在非零常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为“类奇函数”，给出下列函数：①，②，③，④，⑤其中所有“类奇函数”的序号是_______.
【答案】②④⑤
【分析】
根据题意可得若的图象关于点（且）对称，则为“类奇函数”，依次判定各个函数是否为中心对称图形即可.
【详解】
根据题意可得若的图象关于点（且）对称，则为“类奇函数”，
对于①，的图象无对称中心，不满足题意，故①错误；
对于②，可看作是的图象向左平移1个单位再向上平移1个单位得到，故关于对称，满足题意，故②正确；
对于③，的图象关于对称，不满足题意，故③错误；
对于④，的图象关于对称，符合题意，故④正确；
对于⑤，令，可得，即为奇函数，则的图象可看作为的图象先向右平移1个单位再向上平移2个单位得到，故的图象关于对称，满足题意，故⑤正确.
故答案为：②④⑤.
【点睛】
关键点睛：本题考查函数的对称性，解题的关键是得出若的图象关于点（且）对称，则为“类奇函数”，将题转化为找函数的对称中心.
36．（2020·洮南市第一中学高三月考（文））已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则_______.
【答案】
【分析】
由题设可得函数的周期为，结合可得关于的方程，从而可求的值．
【详解】
因为的图象关于原点对称，故为奇函数，故，
所以，所以，
所以函数的周期为，故，
，
所以，故．
故答案为：．
【点睛】
方法点睛：对于函数的函数值的计算问题，注意根据函数的对称性、奇偶性找出函数的周期，再利用奇偶性、周期性转化到已知的范围上求解．
37．（2020·江苏高一课时练习）已知定义在上的函数满足：是奇函数，是偶函数，则等于__________.
【答案】
【分析】
根据已知条件可得出关于和的方程组，即可解得的值.
【详解】
根据题意，是奇函数，则，
由于是偶函数，则，
所以，解得.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题考查利用函数的奇偶性求函数值，解题的关键就是利用两个函数奇偶性列举出关于和的方程组求解，容易出错的地方在于错误地理解为由为奇函数得出为奇函数，由为偶函数得出函数为偶函数，导致错解.
38．（2020·江苏高一课时练习）已知是奇函数，且在上是增函数且最大值为，那么在上是___函数，且最___值是____．
【答案】增 小
【分析】
根据奇函数的对称性，可得直接得出在上的单调性；进而可得最值.
【详解】
由于奇函数在对称的区间上单调性相同，
又是奇函数，且在上是增函数且最大值为，
那么在上是增函数，其最小值为.
故答案为：增；小；.
39．（2020·重庆九龙坡区·渝西中学高三月考（理））已知是定义在R上的偶函数，且当时，，则_____．
【答案】
【分析】
根据条件可得，然后可算出答案.
【详解】
因为是定义在R上的偶函数，且当时，
所以，所以
故答案为：1
40．（2020·江苏高一课时练习）已知，则函数f(x)的解析式为___________.
【答案】
【分析】
以代替得出，与已知等式联立，解出函数f(x)的解析式．
【详解】
∵，①
∴，②
①×3﹣②×5，得：
﹣16f(x)=﹣10x﹣2，
∴
故答案为：
41．（2020·清远市清新区凤霞中学高一期中）已知f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为________.
【答案】
【分析】
由题可得在单调递增，在单调递增，且，列出不等式即可求出.
【详解】
令，，
是R上的单调递增函数，
在单调递增，在单调递增，且，
，解得，
故实数a的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】
易错点睛：本题考查根据分段函数的单调性求参数范围，注意在考虑的时候需要考虑端点处的情况，这是往往容易漏掉的地方.
五、双空题
42．（2020·江苏高一课时练习）若函数为R上的减函数，则函数的单调增区间为___________，单调减区间为___________.
【答案】
【分析】
根据条件可得，然后根据二次函数的知识可得答案.
【详解】
为R上的减函数，
∴，
的对称轴为，且，
∴该函数的单调增区间为，单调减区间为.
故答案为：；
43．（2020·尤溪县第五中学高一期末）高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为，其中表示不超过x的最大整数.例如：，.已知函数，若，则________；不等式的解集为________.
【答案】
【分析】
第一空：”根据“高斯函数”的定义，可得，进而再分类讨论建立方程求值即可；第二空：分类讨论建立不等式求解即可.
【详解】
由题意，得，
当时，，即；
当时，，即(舍)，
综上；
当时，，即，
当时，，即，
综上，.
故答案为：；.
【点睛】
关键点睛：求解分段函数相关问题的关键是“分段归类”，即应用分类讨论思想.
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