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专题十五 空间向量与立体几何-2021届高三《新题速递•数学》1月刊（江苏专用 适用于高考复习）
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这是一份专题十五 空间向量与立体几何-2021届高三《新题速递•数学》1月刊（江苏专用 适用于高考复习），文件包含专题十五空间向量与立体几何原卷版docx、专题十五空间向量与立体几何解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共133页， 欢迎下载使用。
专题十五 空间向量与立体几何
一、单选题
1．（2021·甘肃省永昌县第一高级中学高二期末（理））如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面为正三角形，AB＝4，AA1＝6，若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE＝B1E，C1F＝CC1，则异面直线A1E与AF所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
以为原点，为轴，在平面中过作的垂线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．
【详解】
解：以为原点，为轴，在平面中过作的垂线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，，，
，分别是棱，上的点，且，，
，0，，，，，，0，，，0，，
，，，，0，，
设异面直线与所成的角为，
则．
异面直线与所成角的余弦值为；
故选：D
2．（2021·江苏常州市·高二期末）在空间直角坐标系中，向量，分别为异面直线，的方向向量，则异面直线，所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据向量的夹角直接计算即可求解.
【详解】
因为，，
所以，
因为异面直线，所成角为锐角或直角，
所以异面直线，所成角的余弦值为，
故选：C
3．（2021·湖北随州市·高二期末）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据，利用求.
【详解】
因为，所以，得.
故选：B.
4．（2021·通化县综合高级中学高二期末（理））若平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，则与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由于线面角的正弦值等于，进而可求得结果.
【详解】
平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，
所以与所成角的正弦值等于，
故选：B.
5．（2021·贵州贵阳市·高二期末（理））如图，在长方体中，，，与平面所成的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线，所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．
【详解】
以点为坐标原点，以、、所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则， ，， ，
， ，
因为，,，所以平面，
且为平面的一个法向量，
所以，
与平面所成角的正弦值为
故选：C．
6．（2021·江苏扬州市·高二期末）若平面，的法向量分别为，，并且，则x的值为（ ）
A．10 B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据两个法向量共线可得的值.
【详解】
因为，共线，故，故，
故选：C.
二、多选题
7．（2021·湖南郴州市·高二期末）在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．异面直线与所成的角为 B．是平面的一个法向量
C．二面角的正切值为 D．正方体的外接球的体积为
【答案】ABD
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成的余弦值及二面角的余弦值，即可判断AC，再根据线面垂直的判定定理即可说明B，根据正方体外接球的直径即可体对角线，即可求出外接球的体积；
【详解】
解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，设异面直线与所成的角为，所以，因为，所以，故A正确；
在正方体，平面，平面，所以平面，又，，面
所以平面，所以是平面的一个法向量，故B正确；
设面的法向量为，则，，所以，令，则，，所以，显然面的一个法向量可为，设二面角为，则，因为二面角为锐二面角，所以，所以，故C错误；
正方体外接球的半径，
故其外接球的体积为，故D正确；
故选：．
【点睛】
本题考查了立体几何中的线面垂直的判定和异面直线所成的角与二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
8．（2021·江苏无锡市·高二期末）如图，已知为正方体，E，F分别是BC，的中点，则（ ）
A． B．
C．向量与向量的夹角是 D．异面直线与所成的角为
【答案】ABD
【分析】
在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体棱长为，则，，，，，，
所以，，
因此；故A正确；
又，，
所以，，因此，即B正确；
因为，，
所以，
因此向量与向量的夹角是；故C错；
因为E，F分别是BC，的中点，所以，，
则，又，
所以，
又异面直角的夹角大于且小于等于，所以异面直线与所成的角为；即D正确.
故选：ABD.
【点睛】
方法点睛：
立体几何体中空间角的求法：
（1）定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；
（2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，通过计算向量夹角（两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角）的余弦值，来求空间角即可.
第II卷（非选择题）
三、解答题
9．（2021·江苏省新海高级中学高三期末）如图菱形中，，与相交于点，平面，，．
（1）求证：平面；
（2）当直线与平面所成的角为时，求异面直线与所成的角的余弦值大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）根据四边形是菱形，得到，再由平面，得到 ，然后利用线面垂直的判定定理证明.
（2）以为原点，，的方向为，轴正方向，过且平行于的直线为轴（向上为正方向），建立空间直角坐标系，设 （），则，再求得平面的法向量为，根据直线与平面所成的角为，由求得a，再由求解.
【详解】
（1）因为四边形是菱形，
所以．
因为平面，平面，
所以．
因为，
所以平面．
（2）以为原点，，的方向为，轴正方向，过且平行于的直线为轴（向上为正方向），建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，（），．
设平面的法向量为，
则有，即
令，则，
由题意与平面所成的正弦值为，
∴，
因为，
所以．
所以，，
所以
故异面直线与所成的角的余弦值为
【点睛】
方法点睛：线面角的求法，（1）几何法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．（2）利用向量求线面角的方法：①分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
异面直线所成的角的求法，（1）几何法：作—证—算；（2）向量法：把角的求解转化为向量运算，应注意体会两种方法的特点，“转化”是求异面直线所成角的关键，一般地，异面直线AC，BD的夹角β的余弦值为.
10．（2021·江苏常州市·高二期末）在直三棱柱中，，，点D在棱上(不同于点A，C)，点E为棱的中点.
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）若二面角的余弦值为，求线段的长.
【答案】（1）（2）1
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，根据线面角公式求解即可；
（2）设，根据二面角公式及二面角的余弦值为解方程即可求解.
【详解】
(1)如图建立空间直角坐标系C一xyz ,
则B(0,2,0)，C (0,0,2)，E(0,0,1 )，A1(2,0,2).
.
设平面的法向量为,
则,令x = 1,则.
所以
所以直线BC与平面所成角的正弦值为.
（2）设，则,
设平面的法向量为，
则,令y = 1,则.
因为二面角的余弦值为，
所以，
解得，
所以
【点睛】
关键点点睛：向量法求二面角的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
11．（2021·贵州贵阳市·高二期末（理））如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为的中点．
（1）求证：平面．
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）取的中点，连接，证明四边形为平行四边形，可得，即可证平面；（2）建立如图所示空间直角坐标系，然后写出各点坐标，得平面的法向量为，计算平面的法向量，利用数量积公式代入计算二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：取的中点，连接
因为、为、的中点，所以且，又因为，，，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．
（2）因为平面，，所以建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，
由题意可知平面，设平面的法向量
所以，则，得
设二面角的平面角为，
所以，所以二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查了立体几何中的线面平行的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面关系的相互转化，通过中位线平行证明线线平行，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
12．（2021·湖北随州市·高二期末）三棱柱中，侧面为菱形，，，，．
（1）求证：面面；
（2）在线段上是否存在一点M，使得二面角为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）取BC的中点O，连结AO、，在三角形中分别证明和，再利用勾股定理证明，结合线面垂直的判定定理可证明平面，再由面面垂直的判定定理即可证明结果.
（2）建立空间直角坐标系，假设点M存在，设，求出M点坐标，然后求出平面的法向量，利用空间向量的方法根据二面角的平面角为可求出的值.
【详解】
（1）取BC的中点O，连结AO,,，
为等腰直角三角形，所以，；
侧面为菱形，，
所以三角形为为等边三角形，所以，
又，所以，又，满足，所以；
因为，所以平面，
因为平面中，所以平面平面.
（2）由（1）问知：两两垂直，以O为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间之间坐标系.
则，，，，
若存在点M，则点M在上，不妨设，
则有，则，
有，，
设平面的法向量为，
则解得：
平面的法向量为
则
解得：或（舍）
故存在点M，.
【点睛】
本题考查立体几何探索是否存在的问题，属于中档题.
方法点睛：（1）判断是否存在的问题，一般先假设存在；
（2）设出点坐标，作为已知条件，代入计算；
（3）根据结果，判断是否存在.
13．（2021·江西高三其他模拟）如图，已知四边形为菱形，对角线与相交于O，，平面平面直线，平面，
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）根据四边形为菱形，得到，利用线面平行的判定定理得到平面，然后利用线面平行的性质定理证明.
（2）以O为坐标原点、OA，OB，OF为x，y，z轴建立空间直角坐标系，取CD中点M，连EM，OM，分别求得平面一个法向量为，平面一个法向量为，然后由求解.
【详解】
（1）因为四边形为菱形，所以，
平面，平面
平面，
因为平面平面直线平面，
所以；
（2）因为四边形为菱形，所以，
因为平面，所以以O为坐标原点、OA，OB，OF为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
取CD中点M，连EM，OM，
，，
为正三角形，，
，
，
从而，
设平面一个法向量为，
则，即，
令，
设平面一个法向量为，
则，即，
令，
，
因此二面角的余弦值为.
【点睛】
方法点睛：求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
14．（2021·湖南郴州市·高二期末）如图，在四棱锥中，，且和均是等边三角形，O为的中点.
（I）求证：平面；
（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）根据题中的边长以及垂直关系，可求出 ，利用勾股定理判断，再根据等边三角形三线重合，判断，即可证明平面；（Ⅱ）根据垂直关系，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标公式求与平面所成角的正弦值.
【详解】
（Ⅰ）证明：在中，由已知得
均为边长为的等边三角形，且O为的中点
，且.
在中，已知，
则有.
又平面平面平面.
（Ⅱ）以O为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，.
，
.
设平面的法向量为，
则即，令.则.
∴平面的一个法向量为，
..
【点睛】
方法点睛：1.利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角中的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
2.在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法解垂线段的长度，而不必画出线面角，利用 /斜线段长，进行求角；
3.建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设是直线的方向向量，是平面的法向量，利用公式求解.
15．（2021·陕西榆林市·高三一模（理））如图，在正四面体中，点E，F分别是的中点，点G，H分别在上，且，.
（1）求证：直线必相交于一点，且这个交点在直线上；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）和为梯形的两腰，从而和必交于一点，设交点为，平面，同理：平面，由此能证明，和三线交于点．
（2）取的中点O，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角；
【详解】
解：（1）因为，，所以且，故E，F，G，H四点共面，且直线必相交于一点，设，因为平面，所以平面，同理：平面，而平面平面，故平面，即直线必相交于一点，且这个交点在直线上；
（2）取的中点O，则，所以平面，不妨设，则，，所以，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，，，，设平面的法向量为，由可得：，令，则，则，故直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】
本题考查了立体几何中的线线关系的证明和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
16．（2021·和平区·天津一中高二期末）如图，平面，，，，，，
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
首先以为原点，建立空间直角坐标系，（1）求平面的法向量，利用公式求解；（2）求平面的法向量，利用公式 求解.
【详解】
以为原点，分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
，，，，
（1）设平面法向量，，，则，
令，则，
∴，，
（2）设平面法向量，，，则，
令，则
，，
因为平面与平面夹角是锐二面角，所以二面角的余弦值是.
【点睛】
关键点点睛：本题是比较典型的向量坐标法解决空间角，关键是计算准确，
17．（2021·江苏扬州市·高二期末）如图，在直三棱柱中，，，M是棱BC的中点，点P在线段A1B上.
（1）若P是线段的中点，求直线MP与平面所成角的大小；
（2）若N是的中点，平面PMN与平面CMN所成锐二面角的余弦值为，求线段BP的长度.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）过M作于H，连接PH，由已知条件知且，即PM与面所成角为，即可求其大小.
（2）构建空间直角坐标系，由已知线段长度标识的坐标，令，由向量坐标表示，，，，进而求得面PMN与面CMN的法向量，由二面角余弦值即可求参数a，即可求BP的长度.
【详解】
（1）过M作于H，连接PH，又 ，
∴，M是棱BC的中点，所以H是AB的中点，而P是线段的中点，
∴且，
PM与面所成角为，设则，，
∴，
（2）构建以A为原点，分别为x、y、z轴正方向，则，由等腰，可令，
∴，，，，
若为面PMN的一个法向量，则，令，有，
若为面CMN的一个法向量，则，令，有，
∴由题意，知：，整理得，
解得或，而P在线段A1B上，有则，
∴.
【点睛】
关键点点睛：
（1）根据线面角的几何定义，找到直线MP与平面所成角的平面角，进而求角.
（2）构建空间直角坐标系，设，求二面角的两个半面的法向量，根据二面角的余弦值求参数a，进而求线段长.
18．（2020·安徽池州市·池州一中高二月考（文））如图，在几何体中，四边形为菱形，为等边三角形，，，平面平面.
（1）证明：在线段上存在点，使得平面平面；
（2）若平面，求线段的长度.
【答案】（1）证明见解析；（2）4
【分析】
（1）取线段的中点，先证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明平面平面；
（2）由第（1）问的结论及面面垂直的性质，可得两两垂直，可建立以为轴的空间直角坐标系，由，可得，进而写出，求出，再根据平面，即与平面的法向量的数量积为，解出，即可求得线段的长度.
【详解】
解：（1）如图所示：
取线段的中点，连接，
、均为等边三角形，
，
平面，
又平面，
平面平面
在线段存在线段的中点，使得平面平面；
（2）平面平面，平面平面，
平面，
即两两垂直，
以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，设，
，则，
又平面，且平面的一个法向量为，
，
，
.
【点睛】
方法点睛：直线与平面平行的向量方法具体步骤为：
（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；
（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错；
（3）利用数量积求平面的法向量；
（4）直线与平面平行，则直线与平面的法向量的数量积为0,解出参数.
19．（2021·江苏无锡市·高二期末）如图，已知ABCD为正方形，平面ABCD，且，且，.
（1）求平面BEF与平面CDGF所成二面角的余弦值；
（2）设M为FG的中点，N为正方形ABCD内一点（包含边界），当平面BEF时，求线段MN的最小值.
【答案】（1），（2）
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；
（2）设，即可表示出，再根据平面，即可得到，即可得到与的关系，最后根据向量的模及二次函数的性质计算可得；
【详解】
解：（1）如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，则，，，设面的法向量为，则，令，则，，所以，而平面的法向量为
设平面BEF与平面CDGF所成二面角为，显然二面角为锐角，所以
（2）设，，依题意，则
因为平面，所以
所以
又因为函数，对称轴为，且开口向上，
所以函数在上单调递减，所以当时，，此时，所以线段MN的最小值为
【点睛】
本题考查二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
20．（2021·北京高二期末）如图四棱锥中，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，，E为PD的中点.
（1）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值；
（2）设F是BE的中点，判断点F是否在平面PAC内，并证明结论.
【答案】（1）；（2）在平面内．证明见解析．
【分析】
（1）计算出，证明，然后取取中点，连接，可证明平面，这样可建立如图所示的空间直角坐标系，用向量法求线面角的正弦值；
（2）在平面内．只要证明与共面即可得．
【详解】
直角梯形中，由已知可得，，∴，即，
又是以为斜边的等腰直角三角形，∴，
取中点，连接，则，，
则，∴，
又，∴，
∴，，而，平面，
∴平面，
因此可以为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，即，
又，
，
直线PB与平面PAC所成角为，则．
（2）由（1），，，
设，则，，解得，
∴，∴与共面，∴在平面内．
【点睛】
方法点睛：本题考查求线面角，判断点到平面的关系．解题方法是空间向量法，通过求出直线与平面法向量的夹角的余弦值得线面角的正弦值．利用向量法证明向量与共面共面从而可得点与平面的位置关系．
21．（2021·北京高二期末）如图，在长方体中，，，E为AB的中点.
（1）证明：；
（2）求点E到平面的距离；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）；（3）.
【分析】
（1）首先建立空间直角坐标系，证明；
（2）求平面的法向量，利用点到平面的距离的向量公式代入求解；
（3）求平面与平面的法向量，利用法向量求二面角夹角的余弦值.
【详解】
（1）如图，以，，为轴的正方形建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系，
，，，
，，，
所以；
（2），，，，
，
设平面的法向量为，
则，即，令则，
所以，
则点到平面的距离；
（3）由（1）可知，
又，，且，
平面，是平面的法向量，
，
平面与平面夹角是锐角，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【点睛】
思路点睛：本题第二问涉及点到平面的距离，1.可以采用等体积转化求解；2.利用向量法，直接代入公式求解；3.几何法，确定点在平面内的射影，或是利用面面垂直，点到交线的距离就是点到平面的距离.
22．（2021·北京昌平区·高三期末）如图，在四棱锥中，平面，且.
（I）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
【答案】（I）证明见解析；（Ⅱ）.
【分析】
（I）通过条件证明，，再根据线面垂直的判定定理证明出平面；
（Ⅱ）以为轴建立空间直角坐标系，根据平面与平面法向量夹角的余弦值求解出二面角的余弦值.
【详解】
（Ⅰ）因为平面平面，
所以.
因为，
所以.
因为，
所以平面.
（Ⅱ）因为平面，
所以以D为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系.
则，
所以.
设平面的法向量为，
因为即
所以
令，于是.
因为平面，
所以平面的法向量为，
所以.
由题知二面角为锐角，所以其余弦值是.
【点睛】
思路点睛：向量方法求解二面角的余弦值的步骤：
（1）建立合适空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中相应点的坐标；
（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面中任意方向向量，求解出半平面的一个法向量；（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量亦可）
（3）计算（2）中两个法向量夹角的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是钝角还是锐角，从而得到二面角的余弦值.
23．（2021·天津滨海新区·高二期末）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为的正方形，，，分别是，的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求平面与平面的夹角的大小；
（III）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角为？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）60°；（III）存在，.
【分析】
（1）以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，写出、、、、、的坐标，根据法向量的性质求得平面的法向量，证得即可；
（2）由（1）知，平面的法向量为，1，，同（1）可求得平面的法向量，由，即可得解；
（3）设，则，0，，故有，解之得的值即可．
【详解】
（Ⅰ）证明：以为原点，、、分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
设平面的法向量为，则，即
令，则，
，
故平面．
(Ⅱ)解：由（Ⅰ）知，平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
所以平面的法向量
平面与平面的夹角大小为．
（III）假设线段上存在一点，设，，则，
，
设平面的法向量为，
，由得到，
与平面所成角为，
与所成角为，
，
解得，
故在线段上存在一点，使得与平面所成角为，
点的坐标为．
【点睛】
关键点点睛：存在性问题，一般假设存在一点，设，利用向量的坐标运算，根据线面角公式求解，如能求出符合范围的，即存在，否则不存在.
24．（2021·天津南开区·南开中学高三月考）在四棱锥中，平面，，，，，，M是棱的中点.
（1）求异面直线与所成的角的余弦值；
（2）求与平面所成的角的大小；
（3）在棱上是否存在点Q，使得平面与平面所成的锐二面角的大小为60°？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，然后写出每个点的坐标，然后算出和的坐标即可；
（2）算出和平面的法向量，然后可算出答案；
（3）设，然后算出平面的法向量，平面的法向量可取，然后可建立方程求解.
【详解】
以所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，
则
（1），
所以，即异面直线与所成的角的余弦值为
（2），，
设平面的法向量，则，，所以可取
设与平面所成的角为，则
所以与平面所成的角为
（3）平面的法向量可取
设，则
所以，
设平面的法向量为，则，
可取
因为平面与平面所成的锐二面角的大小为60°
所以，所以，解得或（舍）
所以，所以
【点睛】
关键点睛：用向量求解空间中的角的问题时，解题的关键是建立适当的空间直角坐标系，准确的进行运算.
25．（2021·天津滨海新区·高三期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，且，E为的中点，F是棱的中点，，底面.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）在线段（不含端点）上是否存在一点M，使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在，求出此时的长；若不存在，说明理由.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，.
【分析】
（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及直线的方向向量，根据向量数量积为零，即可证明；
（Ⅱ）分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系求出其正弦值；
（Ⅲ）设，，利用空间向量法表示出直线和平面所成角的正弦值，即可得到方程，求出，即可求出的长；
【详解】
解：（Ⅰ）由题意得：，，，
所以四边形为矩形，
又面，
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
设平面的法向量为，，
则，则，
则，不妨设，则，
可得
又，可得，
又因为直线平面，所以平面.
（Ⅱ）设平面的法向量为，，，
则，即，不妨设，可得，
设平面的法向量为，，
则，即，不妨设，可得，
因此有，
（注：结果正负取决于法向量方向）
于是，
所以二面角的正弦值为.
（Ⅲ）设，
，
由（Ⅱ）可知平面的法向量为，
，
有，解得（舍）或，
可得，
所以.
【点睛】
本题考查了立体几何中的线面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
26．（2021·北京丰台区·高二期末）如图，已知正方体的棱长为，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得平面；
（2）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.
【详解】
（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系.
因为正方体的棱长为，是的中点，
所以、、、、、、，
，.
设平面的法向量为，由，
令，则，，所以.
因为，所以，
因为平面，所以平面；
（2）由（1）知，平面的法向量.
又平面的法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【点睛】
思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：
（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；
（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；
（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.
27．（2021·陕西宝鸡市·高三一模（理））如图三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，分别为，的中点，，.
（1）证明：平面.
（2）求两面角的平面角大小.
【答案】（1）证明见解析（2）
【分析】
（1）通过计算可得，通过证明平面，可得，再根据直线与平面垂直的判定定理可得平面；
（2）先说明直线，，两两垂直，再以，，的方向为x，y，z轴的正方向，以点E为原点，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量可求得结果.
【详解】
（1）证明：设，∵，
则，，，
∵点E为棱的中点，∴，
∴，∴.
∵三棱柱的侧面为平行四边形，
∴四边形为矩形，
∵点F为棱的中点，
∴，，
∴，∴.
∵三棱柱的底面是正三角形，E为的中点，
∴.
∵，且平面，平面，且，相交，
∴平面，∵平面，∴，
∵，∴平面.
（2）由（1）可知平面，∴，∴平面，
∴三棱柱是正三棱柱，
设的中点为M，则直线，，两两垂直，
分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，以点E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，，，
则，，.
设平面的一个法向量为，则，则，则，
不妨取，则，则，所以，
设平面的一个法向量为，则，则，则，
令，则，
所以
又因为该二面角为锐角,
则二面角的平面角的大小为.
【点睛】
方法点睛：利用空间向量求二面角时，首先要建立合适的空间直角坐标系，其次要正确写出点的坐标，特别注意遇到不容易写的点坐标可以单独分离出底面直角坐标系求解，在计算平面法向量时，注意不定方程求解方法，最后利用向量夹角公式求解.
28．（2021·浙江高一期末）如图，四棱锥中，底面ABCD是梯形，，，，，点E，F分别是BC，SD的中点.
（1）求证：平面SAB；
（2）若，，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）取AD中点I，推出，，证明平面SAB，平面SAB，推出
平面平面SAB，然后证明平面SAB；
（2）以D为原点，DA，DC所在直线为x，y轴，过D垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，设，通过，，求出，得出，，求出平面SBC的法向量，然后利用空间向量的数量积可求出答案.
【详解】
（1）取AD中点I，∵E，F分别是BC，SD的中点，
∴，，且，
∵平面SAB， 平面SAB，∴平面SAB，
同理平面SAB，平面SAB，平面SAB，
又∵， ∴平面平面SAB，
又∵，平面，，
∴平面平面SAB，
∵平面EFI，∴平面SAB.
（2）以D为原点，DA，DC所在直线为x，y轴，过D垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，
设，则，
因为，，，
所以，
求得，，不妨取，
∴，，
设平面SBC，
∴，令，则，
所以，因为平面SCD ，所以取为平面SCD的法向量，
∴，
所以二面角的余弦值为.
【点睛】
方法点睛：本题考查直线与平面平行的判定定理、二面角平面角的求法，第二问关键点是建立空间直角坐标系，求出点坐标，考查了空间想象力及计算能力.
29．（2021·浙江高一期末）在直三棱柱中，，，，D为中点，M为棱上一个动点.
（1）若面，求的长；
（2）当M为线段的中点时，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由条件以为原点，以分别为 轴，轴，轴如图建系，求出面的一个法向量，由，可得答案.
(2)求出面的一个法向量，由可得答案.
【详解】
在直三棱柱中，
以为原点，以分别为 轴，轴，轴如图建系，设，
则,
设面的一个法向量为，则
，
，则
取，则，
而，由可得，，解得，
所以.
（2），设面的一个法向量为
，
，则
取，则，
而，所以.
【点睛】
方法点睛：向量法求解空间几何问题的步骤：建、设、求、算、取
1、建：建立空间直角坐标系，以三条互相垂直的直线的交点为原点，没有三条垂线时需做辅助线；建立右手直角坐标系，尽可能的使得较多的关键点落在坐标轴或坐标平面内.
2、设：设出所需的点的坐标，得出所需的向量坐标.
3、求：求出所需平面的法向量
4、算：运用向量的数量积运算，验证平行、垂直，利用线面角公式求线面角，或求出两个平面的法向量的夹角的余弦值
5、取：根据题意，或二面角的范围，得出答案.
30．（2021·安徽淮北市·高三一模（理））如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，，，且，，面，，N为中点.
（1）若是中点，求证：面；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，计算出平面的一个法向量，利用空间向量法可证得结论成立；
（2）利用空间向量法可求得二面角的余弦值，结合同角三角函数的基本关系可求得该二面角的正弦值.
【详解】
（1）面，四边形是边长为的正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则、、、、、、，
，，，
设平面的法向量为，由，
令，可得，，则，
，，
平面，平面；
（2）设平面的法向量为，，，
由，
令，则，，可得，
设平面的法向量为，，
由，取，则，，可得，
，.
因此，二面角的正弦值为.
【点睛】
思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：
（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；
（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；
（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.
31．（2020·陕西榆林市·高二期末（理））如图，四边形与四边形均为菱形，，且
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）与交于点，连接､，证明，，然后得到平面即可；
（2）以为原点，､、分别为､､轴建立空间直角坐标系，然后求出平面和平面的法向量，然后可算出答案.
【详解】
（1）证明：与交于点，连接､，
∵，是中点，且是中点，∴，
∵四边形为菱形，，
∴，∴，
又，∴平面，
∵平面，∴平面平面
（2）易知，，两两垂直
以为原点，､、分别为､､轴建立如图所示的空间直角坐标系
设，∵四边形为菱形，
则，∴，
故，，，
∴，，
设平面的一个法向量为
则，取，得
显然，为平面的一个法向量
∴
由图知，二面角的平面角为锐角
∴二面角的余弦值为
【点睛】
关键点睛：用向量法求解空间角的问题时，解题的关键是建立适当的空间直角坐标系，准确地写出点的坐标和算出直线的方向向量、平面的法向量.
32．（2021·湖南长沙市·长沙一中高三月考）如图，在多面体ABCDP中，是边长为4的等边三角形，，，平面ABC，点E为BC的中点，平面平面ABC．
（1）求证：平面；
（2）T为线段BC上靠近点C的四等分点，求直线BD与平面所成的角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）先利用已知条件得到，再利用面面垂直的性质定理得到平面ABC，再利用线面垂直得到，最后利用线面平行的判定定理证明即可；（2）以E为原点，EC，EA，ED所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量得到面的法向量，利用空间向量求解线面角即可.
【详解】
（1）∵ ，点E为BC的中点，
∴ .
又∵ 平面平面ABC，
平面平面，
平面BDC，
∴ 平面ABC.
又平面ABC，
则.
∵ 平面PAC，
平面PAC，
∴ 平面PAC.
（2）连接AE，由是边长为4的等边三角形，
且点E为BC的中点，
则，
以E为原点，EC，EA，ED所在直线分别为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由是边长为4的等边三角形，
，，
则，，
，，，
∴ ，.
设平面的法向量为，
则由，，
得 ，
，
令，
得.
由，
∴ 直线BD与平面所成的角的正弦值为.
【点睛】
方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.
33．（2021·天津高二期末）如图，在四面体中，，平面，点M为棱的中点，，.
（Ⅰ）求直线与所成角的余弦值；
（Ⅱ）求平面和平面的夹角的余弦值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）以A为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系,利用空间向量的夹角公式可求得结果；
（Ⅱ）利用两个平面的法向量可求得结果.
【详解】
依题意，可以建立以A为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得，，，，
（Ⅰ）依题意，．
，
所以直线与所成角的余弦值为.
（Ⅱ）易知，为平面的一个法向量，
依题意，可得，．
设为平面的法向量，则即，
不妨令，可得．
因此有，
由图可知平面和平面的夹角为锐角，
所以平面和平面的夹角的余弦值为．
【点睛】
关键点点睛：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解是解题关键.
34．（2020·天津高二期末）如图，在四棱锥中，，，，底面为正方形，M，N分别为，的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求平面与平面所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见详解；（2）；（3）；
【分析】
（1）由中位线性质有，根据线面平行的判定即可证结论；
（2）构建以D为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，确定直线的方向向量与平面的法向量，即可求所成角的正弦值；
（3）求面的法向量，结合（2）的结论，即可求面与面所成角的余弦值．
【详解】
（1）M，N分别为，的中点，
∴，又面，面，
∴平面；
（2）由题意，可构建以D为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，，
∴，
∴，
设面的法向量为，则，若，有，
直线与平面所成角的正弦值为，
（3）由（2）知：，则，
设面的法向量为，则，若有，而面的法向量为，
∴；
【点睛】
方法点睛：
1、构建空间直角坐标系，
2、由已知确定相关点的坐标，
3、求相关直线的方向量、平面的法向量，
4、由线面角、面面角与相关向量的关系求夹角.
35．（2021·江苏常州市·高三期末）在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，，，，，，为的中点，且点满足.
（1）证明：平面.
（2）当多面体的体积最大时，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）先证明四边形是平行四边形，于是，，即可得到线面平行；（2）要使多面体体积最大，即最大，此时，以为正交基底建立如图所示的平面直角坐标系，于是可以得到，，，，设两个法向量求解，最后算余弦值时要判断二面角是钝角还是锐角．
【详解】
（1）分别取中点，连结.
在梯形中，且，且分别为中点
∴， ∴，
∴四边形是平行四边形 ∴
又，为中点，∴为中点，
又为中点 ∴∴
又平面，平面 ∴平面
（2）在平面内，过作交于.
平面平面，平面平面，平面，，
∴平面 ∴即为四棱锥的高，
又底面面积确定，所以要使多面体体积最大，即最大，此时
过点作，易知，，两两垂直，
以为正交基底建立如图所示的平面直角坐标系
则，，
设为平面的一个法向量，则
，所以，取
设为平面的一个法向量，则
，所以，取
所以，
由图，二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查利用建系法求二面角的余弦值，易错点在于判断二面角是钝角．
36．（2020·全国高三专题练习（理））如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证：
（1）PB//平面EFG；
（2）平面EFG//平面PBC.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，构建空间直角坐标系A-xyz，并确定A，B，C，D，P，E，F，G的坐标，法一：求得，即可确定平面EFG的一个法向量，又有，则 PB//平面EFG得证； 法二：由，，，可知，根据向量共面定理即有，与共面，进而可证PB//平面EFG；
（2）由（1）有即，可得BC//EF，根据线面平行的判定有EF//平面PBC，GF//平面PBC，结合面面平行的判定即可证平面EFG//平面PBC.
【详解】
（1）因为平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，所以AB，AP，AD两两垂直.
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0).
法一：
设平面EFG的法向量为，
则,即,令z＝1，则为平面EFG的一个法向量，
∵，
∴，所以，
∵PB⊄平面EFG，
∴PB//平面EFG.
法二：，，.
设，
即(2,0,－2)＝s(0,－1,0)＋t(1,1,－1)，
所以解得s＝t＝2.
∴，又与不共线，所以，与共面.
∵PB⊄平面EFG，
∴PB∥平面EFG.
（2）由（1）知：，
∴，所以BC//EF.
又EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF//平面PBC，
同理可证GF//PC，从而得出GF//平面PBC.
又EF∩GF＝F，EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG，
∴平面EFG//平面PBC.
【点睛】
关键点点睛：根据面PAD⊥面ABCD且ABCD为正方形构建空间直角坐标系A-xyz，进而确定相应点的坐标，
（1）根据空间向量的垂直或共面关系，结合线面垂直的性质或平行判定证线面平行；
（2）根据空间向量的平行关系，结合线面平行判定有EF//面PBC，GF//面PBC，结合面面平行的判定即可证面EFG//面PBC.
37．（2020·全国高三专题练习（理））如图，在四棱锥中，平面，，为的中点，在上，且，点在上，且，，.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）取的中点，连接､，证明，由线面平行判定定理得线面平行．
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，由与夹角的余弦值求得线面角的正弦值．
【详解】
（1）取的中点，连接､，则∵为的中点，
∴，且，
又，∴，且，
∴，且，∴四边形为平行四边形，∴，
又∵平面，平面，∴平面；
（2）∵平面，∴，又，，∴平面，
又∵平面，在平面内过点作，且，∴平面，∴以原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵，，
∴在中，
∴为中点，∴､､､､，
设平面的法向量为，∵､，
由得，则，令得，∴，
又，设直线与平面所成角的平面角为，
则，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】
方法点睛：本题考查证明线面平行，考查用空间向量法求线面角．求空间角的方法：
（1）几何法，根据空间角的定义作出空间的空间角的“平面角”，并证明，然后解三角形得解；
（2）向量法，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，直线的方向向量，由向量的夹角得空间角．
38．（2020·全国高三专题练习）如图，在四棱锥中，四边形是边长为的菱形，，，且.
（1）证明：平面平面；
（2）当四棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）由题意证明，，即平面，故平面平面；
（2）由题意当平面时，四棱锥的体积最大，建立空间直角坐标系，通过平面的法向量求二面角.
【详解】
（1）如图
取的中点，连接､和，
∵，且，
又，则为正三角形，
故，，
又∵，
∴为直角三角形，
∴，
在中，，则，
又，､平面，
∴平面，
又∵平面，
∴平面平面；
（2）∵，则点在以为直径的圆上，且，
设点到平面的距离为，
∴，
而，
∴当取最大值时四棱锥的体积最大，
此时平面，又由（1）可知，
如图建系，
则，，，，
则，，，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，，得，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，，得，
则，
设二面角的平面角为，经观察为钝角，
则，
故二面角的余弦值为.
【点睛】
本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：
(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．
(2)设分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
39．（2021·天津西青区·高二期末）如图，在正方体中，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线到平面的距离；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【分析】
建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2
（1）求出平面的法向量和，由可得答案；
（2）直线到平面的距离即为点到平面的距离，利用可得答案；
（3）求出平面的一个法向量设平面与平面夹角为，可得答案.
【详解】
如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2
则，，，， ，
（1）设平面的法向量为，，
令，则，，
，，
面平面.
（2）平面，直线到平面的距离即为点到平面的距离，
，，==，
直线到平面的距离为.
（3）平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为，
，==，
所以平面与平面夹角的余弦值.
【点睛】
方法点睛：本题考查空间中线面平行关系、线面距离、面面角的求法，关键点是建立空间直角坐标系，利用向量法解决问题，考查学生的空间想象力和运算能力.
40．（2020·全国高三专题练习）如图，直角梯形中，，，，，底面，底面，且.
（1）求证：；
（2）若线段上一点在平面上的射影恰好是的中点，求二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）利用等腰直角三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，又，从而得到，所以；有线面垂直的性质可得，利用线面垂直的判定定理可得平面，即可得到线线垂直；（2）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的发现了的夹角即可得到二面角．
【详解】
（1）证明：∵，，∴，，则，
∵，∴，∴，
则，∴，∴，
∵底面，底面，∴，
∴，，，、平面，
∴平面，又∵平面，所以；
（2）解：如图，以点为坐标原点建系，则，
则，，，，，
又∵为中点，∴，，，
设，∴，
又∵点在平面上的射影为点，∴平面，
∴，，可得，
∴，故为线段的中点，
设平面的一个法向量，且，，
由，，
令，则，，则，
又由图可知平面的一个法向量，则，
设二面角的平面角为，经观察为锐角，则，∴.
【点评】
熟练掌握等腰直角三角形的性质、平行线的性质、线面垂直的性质、线面垂直的判定定理、线线垂直、通过建立空间直角坐标系利用两个平面的法向量的夹角得出二面角是解题的关键．
41．（2021·江苏泰州市·高三期末）如图，在斜三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，点在下底面上的射影是的中心O.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）证明、即可推出平面，从而证明两平面垂直；（2）建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标及平面与平面ABC的法向量，利用空间向量法求平面夹角的余弦值.
【详解】
（1）证明：A在下底面上的射影是的中心O，
底面ABC，，
O为的中心，且为等边三角形，，
平面，平面，，
平面，
平面，平面平面.
（2）取AB中点E，连接OE，O为的中心，且为等边三角形，
，
以点O为原点，OE所在直线为x轴，过点O作平行于AB的直线为y轴，所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
，取可得平面的一个法向量为
且平面ABC的一个法向量，
设二面角平面角为，，所成角为，显然为锐角，
.
【点睛】
利用空间向量法求二面角的方法：
（1）分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角；
（2）分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
以上两种方法各有利弊，要善于结合题目的特点选择适当的方法解题.
42．（2021·全国高三专题练习（理））如图，四棱锥中，底面，，，，且，，分别为，的中点.
（1）若，求证：平面；
（2）若四棱锥的体积为2，求二面角的余弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【分析】
（1）依据线面垂直的判定定理，可证明和；（2）首先求的长度，再建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，再求二面角的余弦值
【详解】
（1）当时，，点是的中点，
，
又平面，，且，，
平面，平面，，
又，
平面；
（2），
解得：，
如图，以为原点，，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
，，，，，，
设平面的法向量，
则，即，令，则，
，
显然平面，设平面的法向量，
，
二面角是锐二面角，
二面角的余弦值是.
43．（2020·全国高三专题练习（理））已知等腰梯形如图1所示，其中，、分别为、的中点，且，，为中点，现将梯形按所在直线折起，使平面平面，如图2所示，是线段上一动点，且．
（1）当时，求证：平面；
（2）当时，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）根据垂直关系和长度关系可证得，即四边形为平行四边形，利用线面平行判定定理可证得结论；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.
【详解】
（1）证明：过点作于点，过点作于点，连接，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又为中点，，
，，，平面，
平面，又平面，，又，
平面，又，
，即，四边形为平行四边形，
，
平面，平面，平面；
（2）以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，
设平面的法向量为，又，，
则，令，解得：，，
，
设平面的法向量为，又，，
则，令，解得：，，
，
设二面角的平面角为，经观察为锐角，
则，
二面角的余弦值为.
【点睛】
思路点睛：证明线面平行的常用思路有：
①利用三角形中位线或平行线分线段成比例的关系证得所证直线与平面内一条直线平行；
②利用平行四边形对边平行的特点证得所证直线与平面内一条直线平行；
③证明所证直线所在的某一个平面与所证平面平行，由面面平行性质证得结论.
44．（2020·全国高三专题练习）四棱锥中，平面，()，，，.
（1）若，，为的中点，求证：；
（2）若，，求平面与平面所成角的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）连结，利用余弦定理求得，得到，然后结合已知条件可证明得平面，从而得到平面平面，再利用面面垂直的性质得出平面，进而命题得证；
（2）取中点，可证得为矩形，从而以为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求出平面与的法向量，利用空间向量夹角公式求解．
【详解】
（1）证明：连接，如图，
中，，，，
由余弦定理：，解得，
∴为直角三角形，，
∵，∴，
又∵平面，
∴，
∵，
∴平面，
∴平面，
∴平面平面，
又∵，为中点，∴，
∵平面平面，∴平面，
又∵平面，∴；
（2）由，，可得，取中点，则为矩形，
以为坐标原点分别以、、所在直线为、、轴，
建立空间直角坐标系，
则、、、、、，
平面，
∴是平面的法向量，，
设平面的法向量为，
∴，，，
令，可得，解得，
设平面与平面所成角的平面角为，
∴，
∴平面与平面所成角为.
【点睛】
关键点点睛：求平面与平面所成的角，一般首先建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用平面法向量的夹角即可求出二面角的大小.
45．（2021·全国高三专题练习（理））如图，在四棱柱中，底面，，，且，．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）证出，，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明.
（2）分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量以及平面的一个法向量，由即可求解.
【详解】
（1）证明：因为，，
所以，，
因为，所以，
所以，即．
因为底面，
所以底面，所以．
因为，
所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）解：如图，分别以，，为，，轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，，．
所以，，，
设平面的法向量为，
则
令，得．
设平面的法向量为，
则
令，得，
所以，
由图知二面角为锐角，
所以二面角所成角的余弦值为．
【点睛】
思路点睛：
解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：
（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；
（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.
（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量.
（4）利用法向量求距离、线面角或二面角.
46．（2021·全国高三专题练习（理））如图，在四棱锥中，平面，四边形是等腰梯形分别是的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若二面角的大小为60°，求四棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）1.
【分析】
（1）连接，证出，，再利用面面垂直的判定定理即可证明.
（2）连接，以点为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系，设，根据空间向量的数量积求出，再根据锥体的体积公式即可求解.
【详解】
（1）连接，显然且，
∴四边形为平行四边形，
且，是正三角形，，
又平面平面,
平面，又平面，
∴平面平面.
（2）连接，易知.
建立如图所示的空间直角坐标系，则，
设，.
设平面的法向量为，，即
令，
而平面的一个法向量为，
解得，所以.
【点睛】
方法点睛：
证明面面垂直的常用方法：
证明两平面垂直常转化为线面垂直，利用线面垂直的判定定理来证明，也可作出二面角的平面角，证明平面角为直角，利用定义证明.
解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：
（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；
（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.
（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量.
（4）利用法向量求距离、线面角或二面角.
47．（2021·全国高三专题练习（理））如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝120°，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD＝CD＝BC＝CF.
（1）求证：EF⊥平面BCF；
（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）点M与点F重合，.
【分析】
（1）易证明平面，再根据，证明平面；（2）设，分别求平面和平面的法向量，再利用公式求其最小值，确定，同时得到此时二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：设AD＝CD＝BC＝1，
∵AB∥CD，∠BCD＝120°，∴AB＝2，
∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos 60°＝3，
∴AB2＝AC2＋BC2，则BC⊥AC.
∵CF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥CF，而CF∩BC＝C，CF，BC⊂平面BCF，
∴AC⊥平面BCF.
∵EF∥AC，∴EF⊥平面BCF.
（2）以C为坐标原点，分别以直线CA，CB，CF为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设FM＝λ(0≤λ≤)，
则C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，M(λ，0，1)，
∴＝(－，1，0)，＝(λ，－1，1).
设＝(x，y，z)为平面MAB的法向量，
由 得 取x＝1，则＝(1，，－λ).
易知＝(1，0，0)是平面FCB的一个法向量，
∴
∵0≤λ≤，∴当λ＝0时，取得最小值，
∴当点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角最大，此时二面角的余弦值为.
【点睛】
关键点点睛：本题第二问的关键是设出，并且带参求平面的法向量，锐二面角最大时，最小，并且根据，求最小值.
四、填空题
48．（2021·江苏常州市·高二期末）在三棱锥中，E为中点，，若，，，，则__________.
【答案】
【分析】
根据向量的加减法运算结合图形直接计算即可.
【详解】
如图，
故，
故答案为：
49．（2021·浙江高一期末）四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是正方形，且，，G是的重心，则PG与面PAB所成角的正弦值为________.
【答案】
【分析】
建立空间直角坐标系，求出平面PAB的一个法向量及，由即可得解.
【详解】
因为底面ABCD，底面ABCD是正方形，
所以两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，则重心，
因而，，，
设平面PAB的一个法向量为，
则，令则，
则.
故答案为：.
50．（2021·全国高三专题练习（理））如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为________．
【答案】
【分析】
设正三棱柱的棱长为2，取AC的中点D，连接DG，DB，分别以DA，DB，DG所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，列方程计算平面GEF的法向量，再由计算可得解.
【详解】
设正三棱柱的棱长为2，取AC的中点D，连接DG，DB，分别以DA，DB，DG所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则B1(0，，2)，F(1，0，1)，E，G(0，0，2)，
(1，－，－1)，，．
设平面GEF的法向量为，
则即
取x＝1，则z＝1，y＝，
故为平面GEF的一个法向量，
所以＝＝，
所以B1F与平面GEF所成角的正弦值为．
故答案为：.
专题十五 空间向量与立体几何
一、单选题
1．（2021·甘肃省永昌县第一高级中学高二期末（理））如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面为正三角形，AB＝4，AA1＝6，若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE＝B1E，C1F＝CC1，则异面直线A1E与AF所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
以为原点，为轴，在平面中过作的垂线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．
【详解】
解：以为原点，为轴，在平面中过作的垂线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，，，
，分别是棱，上的点，且，，
，0，，，，，，0，，，0，，
，，，，0，，
设异面直线与所成的角为，
则．
异面直线与所成角的余弦值为；
故选：D
2．（2021·江苏常州市·高二期末）在空间直角坐标系中，向量，分别为异面直线，的方向向量，则异面直线，所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据向量的夹角直接计算即可求解.
【详解】
因为，，
所以，
因为异面直线，所成角为锐角或直角，
所以异面直线，所成角的余弦值为，
故选：C
3．（2021·湖北随州市·高二期末）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据，利用求.
【详解】
因为，所以，得.
故选：B.
4．（2021·通化县综合高级中学高二期末（理））若平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，则与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由于线面角的正弦值等于，进而可求得结果.
【详解】
平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，
所以与所成角的正弦值等于，
故选：B.
5．（2021·贵州贵阳市·高二期末（理））如图，在长方体中，，，与平面所成的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线，所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．
【详解】
以点为坐标原点，以、、所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则， ，， ，
， ，
因为，,，所以平面，
且为平面的一个法向量，
所以，
与平面所成角的正弦值为
故选：C．
6．（2021·江苏扬州市·高二期末）若平面，的法向量分别为，，并且，则x的值为（ ）
A．10 B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据两个法向量共线可得的值.
【详解】
因为，共线，故，故，
故选：C.
二、多选题
7．（2021·湖南郴州市·高二期末）在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．异面直线与所成的角为 B．是平面的一个法向量
C．二面角的正切值为 D．正方体的外接球的体积为
【答案】ABD
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成的余弦值及二面角的余弦值，即可判断AC，再根据线面垂直的判定定理即可说明B，根据正方体外接球的直径即可体对角线，即可求出外接球的体积；
【详解】
解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，设异面直线与所成的角为，所以，因为，所以，故A正确；
在正方体，平面，平面，所以平面，又，，面
所以平面，所以是平面的一个法向量，故B正确；
设面的法向量为，则，，所以，令，则，，所以，显然面的一个法向量可为，设二面角为，则，因为二面角为锐二面角，所以，所以，故C错误；
正方体外接球的半径，
故其外接球的体积为，故D正确；
故选：．
【点睛】
本题考查了立体几何中的线面垂直的判定和异面直线所成的角与二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
8．（2021·江苏无锡市·高二期末）如图，已知为正方体，E，F分别是BC，的中点，则（ ）
A． B．
C．向量与向量的夹角是 D．异面直线与所成的角为
【答案】ABD
【分析】
在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体棱长为，则，，，，，，
所以，，
因此；故A正确；
又，，
所以，，因此，即B正确；
因为，，
所以，
因此向量与向量的夹角是；故C错；
因为E，F分别是BC，的中点，所以，，
则，又，
所以，
又异面直角的夹角大于且小于等于，所以异面直线与所成的角为；即D正确.
故选：ABD.
【点睛】
方法点睛：
立体几何体中空间角的求法：
（1）定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；
（2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，通过计算向量夹角（两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角）的余弦值，来求空间角即可.
第II卷（非选择题）
三、解答题
9．（2021·江苏省新海高级中学高三期末）如图菱形中，，与相交于点，平面，，．
（1）求证：平面；
（2）当直线与平面所成的角为时，求异面直线与所成的角的余弦值大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）根据四边形是菱形，得到，再由平面，得到 ，然后利用线面垂直的判定定理证明.
（2）以为原点，，的方向为，轴正方向，过且平行于的直线为轴（向上为正方向），建立空间直角坐标系，设 （），则，再求得平面的法向量为，根据直线与平面所成的角为，由求得a，再由求解.
【详解】
（1）因为四边形是菱形，
所以．
因为平面，平面，
所以．
因为，
所以平面．
（2）以为原点，，的方向为，轴正方向，过且平行于的直线为轴（向上为正方向），建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，（），．
设平面的法向量为，
则有，即
令，则，
由题意与平面所成的正弦值为，
∴，
因为，
所以．
所以，，
所以
故异面直线与所成的角的余弦值为
【点睛】
方法点睛：线面角的求法，（1）几何法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．（2）利用向量求线面角的方法：①分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
异面直线所成的角的求法，（1）几何法：作—证—算；（2）向量法：把角的求解转化为向量运算，应注意体会两种方法的特点，“转化”是求异面直线所成角的关键，一般地，异面直线AC，BD的夹角β的余弦值为.
10．（2021·江苏常州市·高二期末）在直三棱柱中，，，点D在棱上(不同于点A，C)，点E为棱的中点.
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）若二面角的余弦值为，求线段的长.
【答案】（1）（2）1
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，根据线面角公式求解即可；
（2）设，根据二面角公式及二面角的余弦值为解方程即可求解.
【详解】
(1)如图建立空间直角坐标系C一xyz ,
则B(0,2,0)，C (0,0,2)，E(0,0,1 )，A1(2,0,2).
.
设平面的法向量为,
则,令x = 1,则.
所以
所以直线BC与平面所成角的正弦值为.
（2）设，则,
设平面的法向量为，
则,令y = 1,则.
因为二面角的余弦值为，
所以，
解得，
所以
【点睛】
关键点点睛：向量法求二面角的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
11．（2021·贵州贵阳市·高二期末（理））如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为的中点．
（1）求证：平面．
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）取的中点，连接，证明四边形为平行四边形，可得，即可证平面；（2）建立如图所示空间直角坐标系，然后写出各点坐标，得平面的法向量为，计算平面的法向量，利用数量积公式代入计算二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：取的中点，连接
因为、为、的中点，所以且，又因为，，，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．
（2）因为平面，，所以建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，
由题意可知平面，设平面的法向量
所以，则，得
设二面角的平面角为，
所以，所以二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查了立体几何中的线面平行的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面关系的相互转化，通过中位线平行证明线线平行，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
12．（2021·湖北随州市·高二期末）三棱柱中，侧面为菱形，，，，．
（1）求证：面面；
（2）在线段上是否存在一点M，使得二面角为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）取BC的中点O，连结AO、，在三角形中分别证明和，再利用勾股定理证明，结合线面垂直的判定定理可证明平面，再由面面垂直的判定定理即可证明结果.
（2）建立空间直角坐标系，假设点M存在，设，求出M点坐标，然后求出平面的法向量，利用空间向量的方法根据二面角的平面角为可求出的值.
【详解】
（1）取BC的中点O，连结AO,,，
为等腰直角三角形，所以，；
侧面为菱形，，
所以三角形为为等边三角形，所以，
又，所以，又，满足，所以；
因为，所以平面，
因为平面中，所以平面平面.
（2）由（1）问知：两两垂直，以O为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间之间坐标系.
则，，，，
若存在点M，则点M在上，不妨设，
则有，则，
有，，
设平面的法向量为，
则解得：
平面的法向量为
则
解得：或（舍）
故存在点M，.
【点睛】
本题考查立体几何探索是否存在的问题，属于中档题.
方法点睛：（1）判断是否存在的问题，一般先假设存在；
（2）设出点坐标，作为已知条件，代入计算；
（3）根据结果，判断是否存在.
13．（2021·江西高三其他模拟）如图，已知四边形为菱形，对角线与相交于O，，平面平面直线，平面，
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）根据四边形为菱形，得到，利用线面平行的判定定理得到平面，然后利用线面平行的性质定理证明.
（2）以O为坐标原点、OA，OB，OF为x，y，z轴建立空间直角坐标系，取CD中点M，连EM，OM，分别求得平面一个法向量为，平面一个法向量为，然后由求解.
【详解】
（1）因为四边形为菱形，所以，
平面，平面
平面，
因为平面平面直线平面，
所以；
（2）因为四边形为菱形，所以，
因为平面，所以以O为坐标原点、OA，OB，OF为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
取CD中点M，连EM，OM，
，，
为正三角形，，
，
，
从而，
设平面一个法向量为，
则，即，
令，
设平面一个法向量为，
则，即，
令，
，
因此二面角的余弦值为.
【点睛】
方法点睛：求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
14．（2021·湖南郴州市·高二期末）如图，在四棱锥中，，且和均是等边三角形，O为的中点.
（I）求证：平面；
（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）根据题中的边长以及垂直关系，可求出 ，利用勾股定理判断，再根据等边三角形三线重合，判断，即可证明平面；（Ⅱ）根据垂直关系，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标公式求与平面所成角的正弦值.
【详解】
（Ⅰ）证明：在中，由已知得
均为边长为的等边三角形，且O为的中点
，且.
在中，已知，
则有.
又平面平面平面.
（Ⅱ）以O为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，.
，
.
设平面的法向量为，
则即，令.则.
∴平面的一个法向量为，
..
【点睛】
方法点睛：1.利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角中的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
2.在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法解垂线段的长度，而不必画出线面角，利用 /斜线段长，进行求角；
3.建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设是直线的方向向量，是平面的法向量，利用公式求解.
15．（2021·陕西榆林市·高三一模（理））如图，在正四面体中，点E，F分别是的中点，点G，H分别在上，且，.
（1）求证：直线必相交于一点，且这个交点在直线上；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）和为梯形的两腰，从而和必交于一点，设交点为，平面，同理：平面，由此能证明，和三线交于点．
（2）取的中点O，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角；
【详解】
解：（1）因为，，所以且，故E，F，G，H四点共面，且直线必相交于一点，设，因为平面，所以平面，同理：平面，而平面平面，故平面，即直线必相交于一点，且这个交点在直线上；
（2）取的中点O，则，所以平面，不妨设，则，，所以，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，，，，设平面的法向量为，由可得：，令，则，则，故直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】
本题考查了立体几何中的线线关系的证明和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
16．（2021·和平区·天津一中高二期末）如图，平面，，，，，，
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
首先以为原点，建立空间直角坐标系，（1）求平面的法向量，利用公式求解；（2）求平面的法向量，利用公式 求解.
【详解】
以为原点，分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
，，，，
（1）设平面法向量，，，则，
令，则，
∴，，
（2）设平面法向量，，，则，
令，则
，，
因为平面与平面夹角是锐二面角，所以二面角的余弦值是.
【点睛】
关键点点睛：本题是比较典型的向量坐标法解决空间角，关键是计算准确，
17．（2021·江苏扬州市·高二期末）如图，在直三棱柱中，，，M是棱BC的中点，点P在线段A1B上.
（1）若P是线段的中点，求直线MP与平面所成角的大小；
（2）若N是的中点，平面PMN与平面CMN所成锐二面角的余弦值为，求线段BP的长度.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）过M作于H，连接PH，由已知条件知且，即PM与面所成角为，即可求其大小.
（2）构建空间直角坐标系，由已知线段长度标识的坐标，令，由向量坐标表示，，，，进而求得面PMN与面CMN的法向量，由二面角余弦值即可求参数a，即可求BP的长度.
【详解】
（1）过M作于H，连接PH，又 ，
∴，M是棱BC的中点，所以H是AB的中点，而P是线段的中点，
∴且，
PM与面所成角为，设则，，
∴，
（2）构建以A为原点，分别为x、y、z轴正方向，则，由等腰，可令，
∴，，，，
若为面PMN的一个法向量，则，令，有，
若为面CMN的一个法向量，则，令，有，
∴由题意，知：，整理得，
解得或，而P在线段A1B上，有则，
∴.
【点睛】
关键点点睛：
（1）根据线面角的几何定义，找到直线MP与平面所成角的平面角，进而求角.
（2）构建空间直角坐标系，设，求二面角的两个半面的法向量，根据二面角的余弦值求参数a，进而求线段长.
18．（2020·安徽池州市·池州一中高二月考（文））如图，在几何体中，四边形为菱形，为等边三角形，，，平面平面.
（1）证明：在线段上存在点，使得平面平面；
（2）若平面，求线段的长度.
【答案】（1）证明见解析；（2）4
【分析】
（1）取线段的中点，先证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明平面平面；
（2）由第（1）问的结论及面面垂直的性质，可得两两垂直，可建立以为轴的空间直角坐标系，由，可得，进而写出，求出，再根据平面，即与平面的法向量的数量积为，解出，即可求得线段的长度.
【详解】
解：（1）如图所示：
取线段的中点，连接，
、均为等边三角形，
，
平面，
又平面，
平面平面
在线段存在线段的中点，使得平面平面；
（2）平面平面，平面平面，
平面，
即两两垂直，
以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，设，
，则，
又平面，且平面的一个法向量为，
，
，
.
【点睛】
方法点睛：直线与平面平行的向量方法具体步骤为：
（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；
（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错；
（3）利用数量积求平面的法向量；
（4）直线与平面平行，则直线与平面的法向量的数量积为0,解出参数.
19．（2021·江苏无锡市·高二期末）如图，已知ABCD为正方形，平面ABCD，且，且，.
（1）求平面BEF与平面CDGF所成二面角的余弦值；
（2）设M为FG的中点，N为正方形ABCD内一点（包含边界），当平面BEF时，求线段MN的最小值.
【答案】（1），（2）
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；
（2）设，即可表示出，再根据平面，即可得到，即可得到与的关系，最后根据向量的模及二次函数的性质计算可得；
【详解】
解：（1）如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，则，，，设面的法向量为，则，令，则，，所以，而平面的法向量为
设平面BEF与平面CDGF所成二面角为，显然二面角为锐角，所以
（2）设，，依题意，则
因为平面，所以
所以
又因为函数，对称轴为，且开口向上，
所以函数在上单调递减，所以当时，，此时，所以线段MN的最小值为
【点睛】
本题考查二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
20．（2021·北京高二期末）如图四棱锥中，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，，E为PD的中点.
（1）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值；
（2）设F是BE的中点，判断点F是否在平面PAC内，并证明结论.
【答案】（1）；（2）在平面内．证明见解析．
【分析】
（1）计算出，证明，然后取取中点，连接，可证明平面，这样可建立如图所示的空间直角坐标系，用向量法求线面角的正弦值；
（2）在平面内．只要证明与共面即可得．
【详解】
直角梯形中，由已知可得，，∴，即，
又是以为斜边的等腰直角三角形，∴，
取中点，连接，则，，
则，∴，
又，∴，
∴，，而，平面，
∴平面，
因此可以为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，即，
又，
，
直线PB与平面PAC所成角为，则．
（2）由（1），，，
设，则，，解得，
∴，∴与共面，∴在平面内．
【点睛】
方法点睛：本题考查求线面角，判断点到平面的关系．解题方法是空间向量法，通过求出直线与平面法向量的夹角的余弦值得线面角的正弦值．利用向量法证明向量与共面共面从而可得点与平面的位置关系．
21．（2021·北京高二期末）如图，在长方体中，，，E为AB的中点.
（1）证明：；
（2）求点E到平面的距离；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）；（3）.
【分析】
（1）首先建立空间直角坐标系，证明；
（2）求平面的法向量，利用点到平面的距离的向量公式代入求解；
（3）求平面与平面的法向量，利用法向量求二面角夹角的余弦值.
【详解】
（1）如图，以，，为轴的正方形建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系，
，，，
，，，
所以；
（2），，，，
，
设平面的法向量为，
则，即，令则，
所以，
则点到平面的距离；
（3）由（1）可知，
又，，且，
平面，是平面的法向量，
，
平面与平面夹角是锐角，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【点睛】
思路点睛：本题第二问涉及点到平面的距离，1.可以采用等体积转化求解；2.利用向量法，直接代入公式求解；3.几何法，确定点在平面内的射影，或是利用面面垂直，点到交线的距离就是点到平面的距离.
22．（2021·北京昌平区·高三期末）如图，在四棱锥中，平面，且.
（I）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
【答案】（I）证明见解析；（Ⅱ）.
【分析】
（I）通过条件证明，，再根据线面垂直的判定定理证明出平面；
（Ⅱ）以为轴建立空间直角坐标系，根据平面与平面法向量夹角的余弦值求解出二面角的余弦值.
【详解】
（Ⅰ）因为平面平面，
所以.
因为，
所以.
因为，
所以平面.
（Ⅱ）因为平面，
所以以D为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系.
则，
所以.
设平面的法向量为，
因为即
所以
令，于是.
因为平面，
所以平面的法向量为，
所以.
由题知二面角为锐角，所以其余弦值是.
【点睛】
思路点睛：向量方法求解二面角的余弦值的步骤：
（1）建立合适空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中相应点的坐标；
（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面中任意方向向量，求解出半平面的一个法向量；（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量亦可）
（3）计算（2）中两个法向量夹角的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是钝角还是锐角，从而得到二面角的余弦值.
23．（2021·天津滨海新区·高二期末）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为的正方形，，，分别是，的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求平面与平面的夹角的大小；
（III）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角为？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）60°；（III）存在，.
【分析】
（1）以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，写出、、、、、的坐标，根据法向量的性质求得平面的法向量，证得即可；
（2）由（1）知，平面的法向量为，1，，同（1）可求得平面的法向量，由，即可得解；
（3）设，则，0，，故有，解之得的值即可．
【详解】
（Ⅰ）证明：以为原点，、、分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
设平面的法向量为，则，即
令，则，
，
故平面．
(Ⅱ)解：由（Ⅰ）知，平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
所以平面的法向量
平面与平面的夹角大小为．
（III）假设线段上存在一点，设，，则，
，
设平面的法向量为，
，由得到，
与平面所成角为，
与所成角为，
，
解得，
故在线段上存在一点，使得与平面所成角为，
点的坐标为．
【点睛】
关键点点睛：存在性问题，一般假设存在一点，设，利用向量的坐标运算，根据线面角公式求解，如能求出符合范围的，即存在，否则不存在.
24．（2021·天津南开区·南开中学高三月考）在四棱锥中，平面，，，，，，M是棱的中点.
（1）求异面直线与所成的角的余弦值；
（2）求与平面所成的角的大小；
（3）在棱上是否存在点Q，使得平面与平面所成的锐二面角的大小为60°？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，然后写出每个点的坐标，然后算出和的坐标即可；
（2）算出和平面的法向量，然后可算出答案；
（3）设，然后算出平面的法向量，平面的法向量可取，然后可建立方程求解.
【详解】
以所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，
则
（1），
所以，即异面直线与所成的角的余弦值为
（2），，
设平面的法向量，则，，所以可取
设与平面所成的角为，则
所以与平面所成的角为
（3）平面的法向量可取
设，则
所以，
设平面的法向量为，则，
可取
因为平面与平面所成的锐二面角的大小为60°
所以，所以，解得或（舍）
所以，所以
【点睛】
关键点睛：用向量求解空间中的角的问题时，解题的关键是建立适当的空间直角坐标系，准确的进行运算.
25．（2021·天津滨海新区·高三期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，且，E为的中点，F是棱的中点，，底面.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）在线段（不含端点）上是否存在一点M，使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在，求出此时的长；若不存在，说明理由.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，.
【分析】
（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及直线的方向向量，根据向量数量积为零，即可证明；
（Ⅱ）分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系求出其正弦值；
（Ⅲ）设，，利用空间向量法表示出直线和平面所成角的正弦值，即可得到方程，求出，即可求出的长；
【详解】
解：（Ⅰ）由题意得：，，，
所以四边形为矩形，
又面，
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
设平面的法向量为，，
则，则，
则，不妨设，则，
可得
又，可得，
又因为直线平面，所以平面.
（Ⅱ）设平面的法向量为，，，
则，即，不妨设，可得，
设平面的法向量为，，
则，即，不妨设，可得，
因此有，
（注：结果正负取决于法向量方向）
于是，
所以二面角的正弦值为.
（Ⅲ）设，
，
由（Ⅱ）可知平面的法向量为，
，
有，解得（舍）或，
可得，
所以.
【点睛】
本题考查了立体几何中的线面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
26．（2021·北京丰台区·高二期末）如图，已知正方体的棱长为，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得平面；
（2）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.
【详解】
（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系.
因为正方体的棱长为，是的中点，
所以、、、、、、，
，.
设平面的法向量为，由，
令，则，，所以.
因为，所以，
因为平面，所以平面；
（2）由（1）知，平面的法向量.
又平面的法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【点睛】
思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：
（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；
（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；
（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.
27．（2021·陕西宝鸡市·高三一模（理））如图三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，分别为，的中点，，.
（1）证明：平面.
（2）求两面角的平面角大小.
【答案】（1）证明见解析（2）
【分析】
（1）通过计算可得，通过证明平面，可得，再根据直线与平面垂直的判定定理可得平面；
（2）先说明直线，，两两垂直，再以，，的方向为x，y，z轴的正方向，以点E为原点，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量可求得结果.
【详解】
（1）证明：设，∵，
则，，，
∵点E为棱的中点，∴，
∴，∴.
∵三棱柱的侧面为平行四边形，
∴四边形为矩形，
∵点F为棱的中点，
∴，，
∴，∴.
∵三棱柱的底面是正三角形，E为的中点，
∴.
∵，且平面，平面，且，相交，
∴平面，∵平面，∴，
∵，∴平面.
（2）由（1）可知平面，∴，∴平面，
∴三棱柱是正三棱柱，
设的中点为M，则直线，，两两垂直，
分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，以点E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，，，
则，，.
设平面的一个法向量为，则，则，则，
不妨取，则，则，所以，
设平面的一个法向量为，则，则，则，
令，则，
所以
又因为该二面角为锐角,
则二面角的平面角的大小为.
【点睛】
方法点睛：利用空间向量求二面角时，首先要建立合适的空间直角坐标系，其次要正确写出点的坐标，特别注意遇到不容易写的点坐标可以单独分离出底面直角坐标系求解，在计算平面法向量时，注意不定方程求解方法，最后利用向量夹角公式求解.
28．（2021·浙江高一期末）如图，四棱锥中，底面ABCD是梯形，，，，，点E，F分别是BC，SD的中点.
（1）求证：平面SAB；
（2）若，，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）取AD中点I，推出，，证明平面SAB，平面SAB，推出
平面平面SAB，然后证明平面SAB；
（2）以D为原点，DA，DC所在直线为x，y轴，过D垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，设，通过，，求出，得出，，求出平面SBC的法向量，然后利用空间向量的数量积可求出答案.
【详解】
（1）取AD中点I，∵E，F分别是BC，SD的中点，
∴，，且，
∵平面SAB， 平面SAB，∴平面SAB，
同理平面SAB，平面SAB，平面SAB，
又∵， ∴平面平面SAB，
又∵，平面，，
∴平面平面SAB，
∵平面EFI，∴平面SAB.
（2）以D为原点，DA，DC所在直线为x，y轴，过D垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，
设，则，
因为，，，
所以，
求得，，不妨取，
∴，，
设平面SBC，
∴，令，则，
所以，因为平面SCD ，所以取为平面SCD的法向量，
∴，
所以二面角的余弦值为.
【点睛】
方法点睛：本题考查直线与平面平行的判定定理、二面角平面角的求法，第二问关键点是建立空间直角坐标系，求出点坐标，考查了空间想象力及计算能力.
29．（2021·浙江高一期末）在直三棱柱中，，，，D为中点，M为棱上一个动点.
（1）若面，求的长；
（2）当M为线段的中点时，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由条件以为原点，以分别为 轴，轴，轴如图建系，求出面的一个法向量，由，可得答案.
(2)求出面的一个法向量，由可得答案.
【详解】
在直三棱柱中，
以为原点，以分别为 轴，轴，轴如图建系，设，
则,
设面的一个法向量为，则
，
，则
取，则，
而，由可得，，解得，
所以.
（2），设面的一个法向量为
，
，则
取，则，
而，所以.
【点睛】
方法点睛：向量法求解空间几何问题的步骤：建、设、求、算、取
1、建：建立空间直角坐标系，以三条互相垂直的直线的交点为原点，没有三条垂线时需做辅助线；建立右手直角坐标系，尽可能的使得较多的关键点落在坐标轴或坐标平面内.
2、设：设出所需的点的坐标，得出所需的向量坐标.
3、求：求出所需平面的法向量
4、算：运用向量的数量积运算，验证平行、垂直，利用线面角公式求线面角，或求出两个平面的法向量的夹角的余弦值
5、取：根据题意，或二面角的范围，得出答案.
30．（2021·安徽淮北市·高三一模（理））如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，，，且，，面，，N为中点.
（1）若是中点，求证：面；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，计算出平面的一个法向量，利用空间向量法可证得结论成立；
（2）利用空间向量法可求得二面角的余弦值，结合同角三角函数的基本关系可求得该二面角的正弦值.
【详解】
（1）面，四边形是边长为的正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则、、、、、、，
，，，
设平面的法向量为，由，
令，可得，，则，
，，
平面，平面；
（2）设平面的法向量为，，，
由，
令，则，，可得，
设平面的法向量为，，
由，取，则，，可得，
，.
因此，二面角的正弦值为.
【点睛】
思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：
（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；
（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；
（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.
31．（2020·陕西榆林市·高二期末（理））如图，四边形与四边形均为菱形，，且
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）与交于点，连接､，证明，，然后得到平面即可；
（2）以为原点，､、分别为､､轴建立空间直角坐标系，然后求出平面和平面的法向量，然后可算出答案.
【详解】
（1）证明：与交于点，连接､，
∵，是中点，且是中点，∴，
∵四边形为菱形，，
∴，∴，
又，∴平面，
∵平面，∴平面平面
（2）易知，，两两垂直
以为原点，､、分别为､､轴建立如图所示的空间直角坐标系
设，∵四边形为菱形，
则，∴，
故，，，
∴，，
设平面的一个法向量为
则，取，得
显然，为平面的一个法向量
∴
由图知，二面角的平面角为锐角
∴二面角的余弦值为
【点睛】
关键点睛：用向量法求解空间角的问题时，解题的关键是建立适当的空间直角坐标系，准确地写出点的坐标和算出直线的方向向量、平面的法向量.
32．（2021·湖南长沙市·长沙一中高三月考）如图，在多面体ABCDP中，是边长为4的等边三角形，，，平面ABC，点E为BC的中点，平面平面ABC．
（1）求证：平面；
（2）T为线段BC上靠近点C的四等分点，求直线BD与平面所成的角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）先利用已知条件得到，再利用面面垂直的性质定理得到平面ABC，再利用线面垂直得到，最后利用线面平行的判定定理证明即可；（2）以E为原点，EC，EA，ED所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量得到面的法向量，利用空间向量求解线面角即可.
【详解】
（1）∵ ，点E为BC的中点，
∴ .
又∵ 平面平面ABC，
平面平面，
平面BDC，
∴ 平面ABC.
又平面ABC，
则.
∵ 平面PAC，
平面PAC，
∴ 平面PAC.
（2）连接AE，由是边长为4的等边三角形，
且点E为BC的中点，
则，
以E为原点，EC，EA，ED所在直线分别为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由是边长为4的等边三角形，
，，
则，，
，，，
∴ ，.
设平面的法向量为，
则由，，
得 ，
，
令，
得.
由，
∴ 直线BD与平面所成的角的正弦值为.
【点睛】
方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.
33．（2021·天津高二期末）如图，在四面体中，，平面，点M为棱的中点，，.
（Ⅰ）求直线与所成角的余弦值；
（Ⅱ）求平面和平面的夹角的余弦值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）以A为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系,利用空间向量的夹角公式可求得结果；
（Ⅱ）利用两个平面的法向量可求得结果.
【详解】
依题意，可以建立以A为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得，，，，
（Ⅰ）依题意，．
，
所以直线与所成角的余弦值为.
（Ⅱ）易知，为平面的一个法向量，
依题意，可得，．
设为平面的法向量，则即，
不妨令，可得．
因此有，
由图可知平面和平面的夹角为锐角，
所以平面和平面的夹角的余弦值为．
【点睛】
关键点点睛：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解是解题关键.
34．（2020·天津高二期末）如图，在四棱锥中，，，，底面为正方形，M，N分别为，的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求平面与平面所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见详解；（2）；（3）；
【分析】
（1）由中位线性质有，根据线面平行的判定即可证结论；
（2）构建以D为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，确定直线的方向向量与平面的法向量，即可求所成角的正弦值；
（3）求面的法向量，结合（2）的结论，即可求面与面所成角的余弦值．
【详解】
（1）M，N分别为，的中点，
∴，又面，面，
∴平面；
（2）由题意，可构建以D为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，，
∴，
∴，
设面的法向量为，则，若，有，
直线与平面所成角的正弦值为，
（3）由（2）知：，则，
设面的法向量为，则，若有，而面的法向量为，
∴；
【点睛】
方法点睛：
1、构建空间直角坐标系，
2、由已知确定相关点的坐标，
3、求相关直线的方向量、平面的法向量，
4、由线面角、面面角与相关向量的关系求夹角.
35．（2021·江苏常州市·高三期末）在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，，，，，，为的中点，且点满足.
（1）证明：平面.
（2）当多面体的体积最大时，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）先证明四边形是平行四边形，于是，，即可得到线面平行；（2）要使多面体体积最大，即最大，此时，以为正交基底建立如图所示的平面直角坐标系，于是可以得到，，，，设两个法向量求解，最后算余弦值时要判断二面角是钝角还是锐角．
【详解】
（1）分别取中点，连结.
在梯形中，且，且分别为中点
∴， ∴，
∴四边形是平行四边形 ∴
又，为中点，∴为中点，
又为中点 ∴∴
又平面，平面 ∴平面
（2）在平面内，过作交于.
平面平面，平面平面，平面，，
∴平面 ∴即为四棱锥的高，
又底面面积确定，所以要使多面体体积最大，即最大，此时
过点作，易知，，两两垂直，
以为正交基底建立如图所示的平面直角坐标系
则，，
设为平面的一个法向量，则
，所以，取
设为平面的一个法向量，则
，所以，取
所以，
由图，二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查利用建系法求二面角的余弦值，易错点在于判断二面角是钝角．
36．（2020·全国高三专题练习（理））如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证：
（1）PB//平面EFG；
（2）平面EFG//平面PBC.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，构建空间直角坐标系A-xyz，并确定A，B，C，D，P，E，F，G的坐标，法一：求得，即可确定平面EFG的一个法向量，又有，则 PB//平面EFG得证； 法二：由，，，可知，根据向量共面定理即有，与共面，进而可证PB//平面EFG；
（2）由（1）有即，可得BC//EF，根据线面平行的判定有EF//平面PBC，GF//平面PBC，结合面面平行的判定即可证平面EFG//平面PBC.
【详解】
（1）因为平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，所以AB，AP，AD两两垂直.
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0).
法一：
设平面EFG的法向量为，
则,即,令z＝1，则为平面EFG的一个法向量，
∵，
∴，所以，
∵PB⊄平面EFG，
∴PB//平面EFG.
法二：，，.
设，
即(2,0,－2)＝s(0,－1,0)＋t(1,1,－1)，
所以解得s＝t＝2.
∴，又与不共线，所以，与共面.
∵PB⊄平面EFG，
∴PB∥平面EFG.
（2）由（1）知：，
∴，所以BC//EF.
又EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF//平面PBC，
同理可证GF//PC，从而得出GF//平面PBC.
又EF∩GF＝F，EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG，
∴平面EFG//平面PBC.
【点睛】
关键点点睛：根据面PAD⊥面ABCD且ABCD为正方形构建空间直角坐标系A-xyz，进而确定相应点的坐标，
（1）根据空间向量的垂直或共面关系，结合线面垂直的性质或平行判定证线面平行；
（2）根据空间向量的平行关系，结合线面平行判定有EF//面PBC，GF//面PBC，结合面面平行的判定即可证面EFG//面PBC.
37．（2020·全国高三专题练习（理））如图，在四棱锥中，平面，，为的中点，在上，且，点在上，且，，.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）取的中点，连接､，证明，由线面平行判定定理得线面平行．
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，由与夹角的余弦值求得线面角的正弦值．
【详解】
（1）取的中点，连接､，则∵为的中点，
∴，且，
又，∴，且，
∴，且，∴四边形为平行四边形，∴，
又∵平面，平面，∴平面；
（2）∵平面，∴，又，，∴平面，
又∵平面，在平面内过点作，且，∴平面，∴以原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵，，
∴在中，
∴为中点，∴､､､､，
设平面的法向量为，∵､，
由得，则，令得，∴，
又，设直线与平面所成角的平面角为，
则，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】
方法点睛：本题考查证明线面平行，考查用空间向量法求线面角．求空间角的方法：
（1）几何法，根据空间角的定义作出空间的空间角的“平面角”，并证明，然后解三角形得解；
（2）向量法，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，直线的方向向量，由向量的夹角得空间角．
38．（2020·全国高三专题练习）如图，在四棱锥中，四边形是边长为的菱形，，，且.
（1）证明：平面平面；
（2）当四棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）由题意证明，，即平面，故平面平面；
（2）由题意当平面时，四棱锥的体积最大，建立空间直角坐标系，通过平面的法向量求二面角.
【详解】
（1）如图
取的中点，连接､和，
∵，且，
又，则为正三角形，
故，，
又∵，
∴为直角三角形，
∴，
在中，，则，
又，､平面，
∴平面，
又∵平面，
∴平面平面；
（2）∵，则点在以为直径的圆上，且，
设点到平面的距离为，
∴，
而，
∴当取最大值时四棱锥的体积最大，
此时平面，又由（1）可知，
如图建系，
则，，，，
则，，，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，，得，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，，得，
则，
设二面角的平面角为，经观察为钝角，
则，
故二面角的余弦值为.
【点睛】
本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：
(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．
(2)设分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
39．（2021·天津西青区·高二期末）如图，在正方体中，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线到平面的距离；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【分析】
建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2
（1）求出平面的法向量和，由可得答案；
（2）直线到平面的距离即为点到平面的距离，利用可得答案；
（3）求出平面的一个法向量设平面与平面夹角为，可得答案.
【详解】
如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2
则，，，， ，
（1）设平面的法向量为，，
令，则，，
，，
面平面.
（2）平面，直线到平面的距离即为点到平面的距离，
，，==，
直线到平面的距离为.
（3）平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为，
，==，
所以平面与平面夹角的余弦值.
【点睛】
方法点睛：本题考查空间中线面平行关系、线面距离、面面角的求法，关键点是建立空间直角坐标系，利用向量法解决问题，考查学生的空间想象力和运算能力.
40．（2020·全国高三专题练习）如图，直角梯形中，，，，，底面，底面，且.
（1）求证：；
（2）若线段上一点在平面上的射影恰好是的中点，求二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）利用等腰直角三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，又，从而得到，所以；有线面垂直的性质可得，利用线面垂直的判定定理可得平面，即可得到线线垂直；（2）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的发现了的夹角即可得到二面角．
【详解】
（1）证明：∵，，∴，，则，
∵，∴，∴，
则，∴，∴，
∵底面，底面，∴，
∴，，，、平面，
∴平面，又∵平面，所以；
（2）解：如图，以点为坐标原点建系，则，
则，，，，，
又∵为中点，∴，，，
设，∴，
又∵点在平面上的射影为点，∴平面，
∴，，可得，
∴，故为线段的中点，
设平面的一个法向量，且，，
由，，
令，则，，则，
又由图可知平面的一个法向量，则，
设二面角的平面角为，经观察为锐角，则，∴.
【点评】
熟练掌握等腰直角三角形的性质、平行线的性质、线面垂直的性质、线面垂直的判定定理、线线垂直、通过建立空间直角坐标系利用两个平面的法向量的夹角得出二面角是解题的关键．
41．（2021·江苏泰州市·高三期末）如图，在斜三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，点在下底面上的射影是的中心O.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）证明、即可推出平面，从而证明两平面垂直；（2）建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标及平面与平面ABC的法向量，利用空间向量法求平面夹角的余弦值.
【详解】
（1）证明：A在下底面上的射影是的中心O，
底面ABC，，
O为的中心，且为等边三角形，，
平面，平面，，
平面，
平面，平面平面.
（2）取AB中点E，连接OE，O为的中心，且为等边三角形，
，
以点O为原点，OE所在直线为x轴，过点O作平行于AB的直线为y轴，所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
，取可得平面的一个法向量为
且平面ABC的一个法向量，
设二面角平面角为，，所成角为，显然为锐角，
.
【点睛】
利用空间向量法求二面角的方法：
（1）分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角；
（2）分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
以上两种方法各有利弊，要善于结合题目的特点选择适当的方法解题.
42．（2021·全国高三专题练习（理））如图，四棱锥中，底面，，，，且，，分别为，的中点.
（1）若，求证：平面；
（2）若四棱锥的体积为2，求二面角的余弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【分析】
（1）依据线面垂直的判定定理，可证明和；（2）首先求的长度，再建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，再求二面角的余弦值
【详解】
（1）当时，，点是的中点，
，
又平面，，且，，
平面，平面，，
又，
平面；
（2），
解得：，
如图，以为原点，，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
，，，，，，
设平面的法向量，
则，即，令，则，
，
显然平面，设平面的法向量，
，
二面角是锐二面角，
二面角的余弦值是.
43．（2020·全国高三专题练习（理））已知等腰梯形如图1所示，其中，、分别为、的中点，且，，为中点，现将梯形按所在直线折起，使平面平面，如图2所示，是线段上一动点，且．
（1）当时，求证：平面；
（2）当时，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）根据垂直关系和长度关系可证得，即四边形为平行四边形，利用线面平行判定定理可证得结论；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.
【详解】
（1）证明：过点作于点，过点作于点，连接，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又为中点，，
，，，平面，
平面，又平面，，又，
平面，又，
，即，四边形为平行四边形，
，
平面，平面，平面；
（2）以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，
设平面的法向量为，又，，
则，令，解得：，，
，
设平面的法向量为，又，，
则，令，解得：，，
，
设二面角的平面角为，经观察为锐角，
则，
二面角的余弦值为.
【点睛】
思路点睛：证明线面平行的常用思路有：
①利用三角形中位线或平行线分线段成比例的关系证得所证直线与平面内一条直线平行；
②利用平行四边形对边平行的特点证得所证直线与平面内一条直线平行；
③证明所证直线所在的某一个平面与所证平面平行，由面面平行性质证得结论.
44．（2020·全国高三专题练习）四棱锥中，平面，()，，，.
（1）若，，为的中点，求证：；
（2）若，，求平面与平面所成角的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）连结，利用余弦定理求得，得到，然后结合已知条件可证明得平面，从而得到平面平面，再利用面面垂直的性质得出平面，进而命题得证；
（2）取中点，可证得为矩形，从而以为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求出平面与的法向量，利用空间向量夹角公式求解．
【详解】
（1）证明：连接，如图，
中，，，，
由余弦定理：，解得，
∴为直角三角形，，
∵，∴，
又∵平面，
∴，
∵，
∴平面，
∴平面，
∴平面平面，
又∵，为中点，∴，
∵平面平面，∴平面，
又∵平面，∴；
（2）由，，可得，取中点，则为矩形，
以为坐标原点分别以、、所在直线为、、轴，
建立空间直角坐标系，
则、、、、、，
平面，
∴是平面的法向量，，
设平面的法向量为，
∴，，，
令，可得，解得，
设平面与平面所成角的平面角为，
∴，
∴平面与平面所成角为.
【点睛】
关键点点睛：求平面与平面所成的角，一般首先建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用平面法向量的夹角即可求出二面角的大小.
45．（2021·全国高三专题练习（理））如图，在四棱柱中，底面，，，且，．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）证出，，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明.
（2）分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量以及平面的一个法向量，由即可求解.
【详解】
（1）证明：因为，，
所以，，
因为，所以，
所以，即．
因为底面，
所以底面，所以．
因为，
所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）解：如图，分别以，，为，，轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，，．
所以，，，
设平面的法向量为，
则
令，得．
设平面的法向量为，
则
令，得，
所以，
由图知二面角为锐角，
所以二面角所成角的余弦值为．
【点睛】
思路点睛：
解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：
（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；
（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.
（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量.
（4）利用法向量求距离、线面角或二面角.
46．（2021·全国高三专题练习（理））如图，在四棱锥中，平面，四边形是等腰梯形分别是的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若二面角的大小为60°，求四棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）1.
【分析】
（1）连接，证出，，再利用面面垂直的判定定理即可证明.
（2）连接，以点为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系，设，根据空间向量的数量积求出，再根据锥体的体积公式即可求解.
【详解】
（1）连接，显然且，
∴四边形为平行四边形，
且，是正三角形，，
又平面平面,
平面，又平面，
∴平面平面.
（2）连接，易知.
建立如图所示的空间直角坐标系，则，
设，.
设平面的法向量为，，即
令，
而平面的一个法向量为，
解得，所以.
【点睛】
方法点睛：
证明面面垂直的常用方法：
证明两平面垂直常转化为线面垂直，利用线面垂直的判定定理来证明，也可作出二面角的平面角，证明平面角为直角，利用定义证明.
解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：
（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；
（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.
（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量.
（4）利用法向量求距离、线面角或二面角.
47．（2021·全国高三专题练习（理））如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝120°，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD＝CD＝BC＝CF.
（1）求证：EF⊥平面BCF；
（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）点M与点F重合，.
【分析】
（1）易证明平面，再根据，证明平面；（2）设，分别求平面和平面的法向量，再利用公式求其最小值，确定，同时得到此时二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：设AD＝CD＝BC＝1，
∵AB∥CD，∠BCD＝120°，∴AB＝2，
∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos 60°＝3，
∴AB2＝AC2＋BC2，则BC⊥AC.
∵CF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥CF，而CF∩BC＝C，CF，BC⊂平面BCF，
∴AC⊥平面BCF.
∵EF∥AC，∴EF⊥平面BCF.
（2）以C为坐标原点，分别以直线CA，CB，CF为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设FM＝λ(0≤λ≤)，
则C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，M(λ，0，1)，
∴＝(－，1，0)，＝(λ，－1，1).
设＝(x，y，z)为平面MAB的法向量，
由 得 取x＝1，则＝(1，，－λ).
易知＝(1，0，0)是平面FCB的一个法向量，
∴
∵0≤λ≤，∴当λ＝0时，取得最小值，
∴当点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角最大，此时二面角的余弦值为.
【点睛】
关键点点睛：本题第二问的关键是设出，并且带参求平面的法向量，锐二面角最大时，最小，并且根据，求最小值.
四、填空题
48．（2021·江苏常州市·高二期末）在三棱锥中，E为中点，，若，，，，则__________.
【答案】
【分析】
根据向量的加减法运算结合图形直接计算即可.
【详解】
如图，
故，
故答案为：
49．（2021·浙江高一期末）四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是正方形，且，，G是的重心，则PG与面PAB所成角的正弦值为________.
【答案】
【分析】
建立空间直角坐标系，求出平面PAB的一个法向量及，由即可得解.
【详解】
因为底面ABCD，底面ABCD是正方形，
所以两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，则重心，
因而，，，
设平面PAB的一个法向量为，
则，令则，
则.
故答案为：.
50．（2021·全国高三专题练习（理））如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为________．
【答案】
【分析】
设正三棱柱的棱长为2，取AC的中点D，连接DG，DB，分别以DA，DB，DG所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，列方程计算平面GEF的法向量，再由计算可得解.
【详解】
设正三棱柱的棱长为2，取AC的中点D，连接DG，DB，分别以DA，DB，DG所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则B1(0，，2)，F(1，0，1)，E，G(0，0，2)，
(1，－，－1)，，．
设平面GEF的法向量为，
则即
取x＝1，则z＝1，y＝，
故为平面GEF的一个法向量，
所以＝＝，
所以B1F与平面GEF所成角的正弦值为．
故答案为：.
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