专题八 三角函数变换与三角函数的应用-2021届高三《新题速递•数学》12月刊（江苏专用 适用于高考复习）

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一、单选题


1．（2020·浙江衢州二中高三其他模拟）将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数恰为偶函数，则的最小值为（ ）


A．B．C．D．


【答案】D


【分析】


本题首先可根据诱导公式以及二倍角公式将函数转化为，然后根据三角函数平移的相关性质得出平移后的函数为，最后根据函数为偶函数即可得出结果.


【详解】


令，


则


，


设向右平移个单位长度后得到的函数为，


则，


因为函数为偶函数，


所以，解得，


因为，所以的最小值为，


故选：D.


【点睛】


本题考查诱导公式、二倍角公式、三角函数图像的平移以及三角函数的奇偶性，考查的公式有、，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.


2．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若当时， 的图象与直线恰有两个公共点，则的取值范围为（ ）


A．B．C．D．


【答案】C


【分析】


根据二倍角和辅助角公式化简可得，根据平移变换原则可得；当时，；利用正弦函数的图象可知若的图象与直线恰有两个公共点可得，解不等式求得结果.


【详解】


由题意得：


由图象平移可知：


当时，


，，，


，又的图象与直线恰有两个公共点


，解得：


本题正确选项：


【点睛】


本题考查根据交点个数求解角的范围的问题，涉及到利用二倍角和辅助角公式化简三角函数、三角函数图象平移变换原则的应用等知识；关键是能够利用正弦函数的图象，采用数形结合的方式确定角所处的范围.


3．（2017·四川高三二模（文））已知函数（）在上单调递减，则的取值范围是（ ）


A． B． C． D．


【答案】C


【解析】


∴在上单调递减，


令，得，


∴函数的一个单减区间为，


可得即， 的取值范围是，故选C.


点睛：本题主要考查了三角函数的性质之单调性，属于基础题，强调基础的重要性；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解，在该题中的关键是将表示为，然后利用两角和的正弦公式展开.


4．（2020·洮南市第一中学高三月考（文））若，，则（ ）


A．B．C．D．


【答案】D


【分析】


利用正切两角差公式、倍角公式即可求的值.


【详解】


由，又，


∴，而，


∴，


故选：D


【点睛】


本题考查了正切的和差公式、倍角公式，化简求值，属于简单题.


5．（2020·灵丘县豪洋中学高一期中）将函数，的图象向右平移个单位长度，平移后的图象关于点（，0）对称，则函数在上的最小值是（ ）


A．B．C．D．


【答案】A


【分析】


逆用两角和的正弦公式化简函数解析式，再根据三角函数图象变换规则求出平移后的解析式，对称点代入平移后的图象解析式求出即可求得，由余弦函数的图象与性质求出最小值.


【详解】


，


的图象向右平移个单位长度得到，


因为函数y的图象关于点（，0）对称，


所以，则，


，又，所以，，


当时，，，


所以函数在上的最小值是.


故选：A


【点睛】


本题考查两角和的正弦公式、三角函数图象变换规则、余弦函数的图象与性质，属于中档题.


6．（2020·河南高三月考（理））已知函数，则在下列区间使函数单调递减的是（ ）


A．B．C．D．


【答案】C


【分析】


令，求得函数的递减区间，结合选项，即可求解.


【详解】


依题意，函数，令，


解得，


所以函数 在 上先增后减，在 上单调递增，在 上单调递减，


在 上先增后减.


故选C.


【点睛】


本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理、计算能力以及化归转化思想.


7．（2019·四川双流中学高三月考（文））在中，，则角A的值为( )


A．B．C．D．


【答案】B


【分析】


根据题设条件和三角恒等变换的公式，化简得到，进而得到，即可求解.


【详解】


因为，


又由,


所以，整理得，


所以，


又由，所以或.


故选：B.


【点睛】


本题主要考查了三角恒等变换的化简，以及三角形内角的求解，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.


8．（2019·江西高三月考（理））已知函数是偶函数，则的值为（ ）


A．B．


C．D．


【答案】D


【分析】


由三角函数辅助角公式对函数进行化简,再利用余弦函数偶函数的性质求解的值.


【详解】


由函数,


因为函数为偶函数,则有,又因为,可得.


故选:D.


【点睛】


本题考查了利用辅助角公式对三角函数的化简,考查了利用余弦函数偶函数的性质求参数,属于一般难度的题.


9．（2020·广西南宁三中高二期中（理））已知函数，则下列结论正确的是（ ）


A．的最大值为1B．的最小正周期为


C．的图像关于直线对称D．的图像关于点对称


【答案】C


【分析】


利用二倍角公式和辅助角公式化简得f(x)的解析式，再利用三角函数函数性质考查各选项即可．


【详解】


函数=


sin（2x）+1


对于A：根据f（x）＝sin（2x）+1可知最大值为2；则A不对；


对于B：f（x）＝sin（2x）+1，T＝π则B不对；


对于C：令2x=，故图像关于直线对称则C正确；


对于D：令2x=，故的图像关于点对称则D不对．


故选C．


【点睛】


本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．


10．（2018·福建高三期末（理））若，且，则的值为（ ）


A．B．C．D．


【答案】D


【解析】


∵，


∴，且


∴


∴


∵


∴


∴


故选D





二、多选题


11．（2020·福建仙游一中高三期中）设函数，则( )


A．是偶函数B．在区间上单调递增


C．最大值为2D．其图象关于点对称


【答案】AD


【分析】


利用辅助角公式、诱导公式化简函数的解析式，然后根据余弦函数的性质对四个选项逐一判断即可.


【详解】


.


选项A：，它是偶函数，正确；


选项B：，所以，因此是单调递减，错误；


选项C：的最大值为，错误；


选项D：函数的对称中心为，，当，图象关于点对称，


错误.


故选：AD


【点睛】


本题考查了辅助角公式、诱导公式、考查了余弦型函数的性质，属于基础题.








三、解答题


12．（2020·重庆南开中学高三月考）已知函数 ．


（1）求函数的最小正周期；


（2）将函数的图象上的各点________；得到函数的图象，当时，方程有解，求实数的取值范围．


在①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答.


①向左平移个单位，再保持纵坐标不变横坐标缩小为原来的一半；


②纵坐标保持不变横坐标缩小为原来的一半，再向右平移个单位．


【答案】（1）；（2）若选①，；若选②，．


【分析】


（1）用正弦余弦的半角公式整理可得正弦函数标准型，可得函数最小正周期；


（2）选①先平移变换后周期变换可得对应的，由的值域可得范围；


选②先周期变换后平移变换得对应的，同样由值域得的范围.


【详解】


（1），最小正周期为；


（2）选①时，，


由，得，故，，有解，故．


选②时，


由，得，故，


有解，故．


【点睛】


本题考查三角函数变换，正弦函数余弦函数得图像变换及性质，属于基础题.


13．（2019·胶州市实验中学高一期中）已知函数.


（1）若，求的值.


（2）在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围.


【答案】（1）；（2）.


【分析】


（1）先进行三角恒等变形，使化为的形式，求出的值，再利用与的关系进行求值；


（2）先利用余弦定理求出角,化简，利用的范围进行求解.


【详解】


（1）


由可得：.


.


（2）由余弦定理得：，整理可得：，


，，


又，，，


，则，


，即的取值范围为.


【点睛】


本题考查三角恒等变换、三角函数和解三角形知识的综合应用问题，涉及到三角函数关系式的化简、边角关系式的化简、三角函数值的求解与诱导公式的应用、正弦型函数值域的求解等知识，是对于三角函数部分知识的综合考查，属于常考题型.


14．（2020·全国高一课时练习）已知函数.


（Ⅰ）化简；


（Ⅱ）若，求的值.


【答案】（1）；（2）


【分析】


（1）根据诱导公式化简分子、分母，即可得，进而可得最简形式；（2）根据两角和的正切公式有，结合已知求得，即可求函数值


【详解】


（1），


∴





∴


（2）由，知：，即


又，所以


【点睛】


本题考查了利用诱导公式化简函数式，并由已知函数值，结合两角和的正切公式求函数值，属于简单题


15．（2019·浙江高三月考）已知函数的最小正周期为，且当时，取最大值．


（1）求，的值；


（2）若， ，求的值．


【答案】（1），（2）


【分析】


（1）结合三角函数周期的公式，求得的值，再结合题设，得到，即可求解；


（2）由，求得，结合同角三角函数的基本关系式，以及和角公式、二倍角公式，即可求解.


【详解】


（1）由题意，函数的最小正周期为，可得，


又当时，取最大值，可得，即，


即，所以，


因为，所以．


（2）由（1）可得函数，


因为，即，所以，


又，可得，


又由，，


所以．


【点睛】


本题主要考查了正弦函数的性质，三角函数的基本关系式，以及和角公式、二倍角公式的综合应用，着重考查了推理与运算能力.


16．（2020·陕西高一期末）已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.


（1）设函数，试求的伴随向量；


（2）记向量的伴随函数为，求当且时的值；


（3）由（1）中函数的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，已知，，问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.


【答案】（1）（2）（3）存在，


【分析】


(1)利用三角函数诱导公式化简函数得，根据题意写出伴随向量； (2)根据题意求出函数，再由及求出及，由展开代入相应值即可得解；(3) 根据三角函数图像变换规则求出的解析式，设，由得列出方程求出满足条件的点P的坐标即可.


【详解】


（1）∵


∴


∴的伴随向量


（2）向量的伴随函数为，


，


，





（3）由（1）知：


将函数的图像（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，得到函数





再把整个图像向右平移个单位长得到的图像，得到





设，∵


∴，


又∵，∴


∴





∴（*）


∵，∴


∴


又∵


∴当且仅当时，和同时等于，这时（*）式成立


∴在的图像上存在点，使得.


【点睛】


本题主要考查平面向量坐标形式与三角函数的综合应用，涉及三角函数诱导公式，三角恒等变换，求三角函数图像变换后的解析式，向量垂直的数量积关系，属于中档题.


17．（2019·重庆市万州第二高级中学高一期中）在直角坐标系中，已知点，，，其中.


（1）求的最大值；


（2）是否存在，使得为钝角三角形？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.


【答案】（1）2；（2）存在，


【分析】


（1）根据向量数量积用坐标表示，结合辅助角公式，以及余弦函数的性质，利用整体法，可得结果.


（2）利用向量的数量积的符号，来判断三角形的角度大小，可得结果.


【详解】


解：（1）由题意：，


；


所以





则


即；


因为，所以；


所以当，即时，


取得最大值；


（2）因为，


，


；


又，所以，，


所以，；


所以若为钝角三角形，则角是钝角，


从而；


由（1）得，


解得；


所以，即；


反之，当时，，


又三点不共线，所以为钝角三角形；


综上，当且仅当时，为钝角三角形.


【点睛】


本题考查向量在三角形的应用，还考查了向量数量积的坐标表示以及求最值.


18．设函数．


（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；


（2）当时，求函数的最大值．


【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）3


【分析】


（1）利用二倍角公式化简，根据周期公式和正弦函数的单调性得出的周期和单调区间；（2）根据x的范围得出的范围，再利用正弦函数的性质得出的最大值．


【详解】


解：（1，


∴的最小正周期为．


令，解得：，


∴的单调递增区间是：．


（2）当时，，


∴当时，取得最大值1+2=3．


【点睛】


本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．


19．（2016·上海市南洋模范中学高三三模）已知函数.


（1）求的最小正周期及判断函数的奇偶性；


（2）在中，，，，若任意实数恒有，求面积的最大值.


【答案】（1），函数是非奇非偶函数;（2）


【分析】


（1）由化简得则周期可求，计算；，可判奇偶性；（2）由题得将平方，得t的二次不等式，利用，得，进而得由求得最大值


【详解】


（1）


所以的最小正周期为


；


，


所以，函数是非奇非偶函数.


（2）由得


因为是的内角，所以0

由，得


两边平方，整理得，对任意实数恒成立


所以


得 则有且


所以


（当且仅当等号成立）


所以，当时，面积的最大值为


【点睛】


本题考查三角恒等变换，向量数量积，三角形面积，熟记三角公式，灵活运用二次不等式转化是关键，是中档题


20．已知函数.


(1)求的单调递增区间；


(2)求在区间上的最小值.


【答案】（I）,;（II）.


【分析】


（I）根据二倍角公式及两角和与差的正弦公式，将函数化简为，再根据正弦函数的单调性即可求得；（II）由，可得，根据正弦函数的单调性即可求得最小值.


【详解】


（I）.


由得，，则的单调递增区间为，.


（II）∵，∴，当，时，.


【点睛】


本题考查三角函数中的倍角公式、两角和与差的正弦、函数的性质等基础知识，考查转化能力和基本计算能力.其中的解题关键是把所给函数转化为的形式，然后再运用整体的思想解题.


21．（2018·长葛市第一高级中学高三月考（文））已知向量，函数，.


（1）若, 求；


（2）求在上的值域；


（3）将的图象向左平移个单位得到的图象，设，判断的图象是否关于直线对称，请说明理由.


【答案】(1) 或;(2) ;(3)见解析.


【解析】


试题分析：（1）根据模长公式即可求解的值；（2）根据函数，利用向量坐标的运算求解的解析式，化简，再求解内层函数的范围，即可求解值域；（3）根据平移变换的规律请的解析式，可得的解析式，结合三角函数的性质即可判断是否关于直线对称.


试题解析：(1)∵，∴，


又，


∴或.


（2）


∵


∴，


∴，


故在上的值域为.


（3）∵，


∴，


∵


∴的图象关于直线对称.


22．（2016·河北高三一模（理））已知函数f(x)=2sin2(x-π4)+3cs2x-3．


（1）求函数f(x)的单调递增区间；


（2）若在ΔABC中，AB=2|f(π4)|,AC=3BC，求ΔABC面积的最大值．


【答案】（1）[kπ+512π,kπ+1112π](k∈Z)；（2）．


【解析】


试题分析：（1）首先化简的表达式,成为的形式,从而求出单调增区间；（2）法一:采用建系写坐标的方式,求出点的轨迹方程,从而求出最大面积．法二:根据勾股定理把高用表示,求最值．法三:通过面积公式把变量统一到上,通过函数求最值．


试题解析：（1）


f(x)=2sin2(x-π4)+3cs2x-3=-cs(2x-π2)+3cs2x-2=3cs2x-sin2x-2=2cs(2x+π6)-2


∴2kπ+π≤2x+π6≤2kπ+2π，∴kπ+512π≤x≤kπ+1112π，


所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ+512π,kπ+1112π](k∈Z)．


（2）方法一：AB=2|f(π4)|=6，以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立平面直角坐标系，设C(x,y)，由AC=3BC得点轨迹方程为(x-6)2+y2=27，


显然当点坐标为(6,33)面积最大，最大面积为12·6·33=93


方法二：AB=2|f(π4)|=6，作CD⊥AB于D，设BD=m，


∴CD2=a2-m2=(3a)2-(6-m)2，∴m=3-a26，


∴CD2=a2-(3-a26)2=-136(a2-36)2+27≤27，


∴S=12·6·CD≤93（当a=6时取等号）．


方法三：AB=2|f(π4)|=6,S=12·a·bsinC=12·a·3a·1-cs2C


=12-(a2-36)2+362-182≤93（当a=6时取等号）．


考点：1．三角函数化一公式；2．面积求最值．


23．（2018·安岳县李家镇初级中学高三一模）(1)、已知函数若角


（2）函数的图象按向量平移后,得到一个函数g(x)的图象，求g(x)的解析式.


【答案】（1）（2）.


【解析】


试题分析：（1）、由已知条件，得2分


所以6分


9分


10分


（2）、13分


考点：本题主要考查三角函数的和差倍半公式，三角函数的同角公式。


点评：典型题，本题根据给定图象解析平移，确定得到三角函数式，为研究三角函数的图象和性质，由利用三角函数和差倍半公式等，将函数“化一”，这是常考题型。首先运用“三角公式”进行化简，为进一步解题奠定了基础。


24．（2020·安徽省舒城中学高一月考（文））已知，，其中.


（1）求的值；


（2）求.


【答案】（1）；（2）.


【分析】


（1）根据求得的值；


（2）先求，再求，再根据的范围，求得.


【详解】


（1）∵，∴，∵，∴.


则.


（2）由（1），，，则.


则.


∵，∴，∴.


【点睛】


本题考查了同角三角函数的基本关系式，两角和的正弦公式、正切公式，还考查了由三角函数值确定角的大小，属于中档题.


25．（2020·江西省奉新县第一中学高一月考）已知，，，.


（1）求的值；


（2）求出的值.


【答案】（1）1；（2）


【分析】


（1）由三角函数的基本关系式，求得，再两角和的正切公式，即可求解；


（2）由，，得到，结合，即可求解.


【详解】


（1）由，，可得，


所以，


所以.


（2）因为，，所以，


又由，所以.


【点睛】


本题主要考查了三角函数的化简、求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系式，以及两角和的正切公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.


26．（2020·绥德中学高一月考（文））设，函数=（）．


（1）求函数的最小正周期及最大值；


（2）求的单调递增区间．


【答案】（1）最小正周期为，最大值为； （2）.


【分析】


（1）根据向量的数量积的运算和三角恒等变换的公式，求得函数的解析式，结合三角函数的性质，即可求解；


（2）由（1）中函数的解析式，结合正弦型函数的性质，即可求解.


【详解】


由题意，向量，


可得函数


，


所以函数的最小正周期为，


当时，即，函数取得最大值，最大值为.


（2）由（1）知，函数，


令，解得，


所以函数的单调递增区间为.


【点睛】


本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角恒等变换的化简运算，以及三角函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.


27．（2019·江苏省如东高级中学高一期中）如图，正三角形的边长为4，分别在三边上，且为的中点，





（1）若，求的面积；


（2）求的面积的最小值，及使得取得最小值时的值.


【答案】（1）；（2）当时，


【分析】


（1）根据已知，可得长度，结合三角形面积公式，可得结果.


（2）根据正弦定理以及两角和的正弦公式，表示出面积，根据角度的范围，可得结果.


【详解】


（1）在边长为4的正三角形中


由为的中点，所以


又，所以，


又，所以


所以


所以


（2）


由，





化简可知：


，


由


所以


又


即





即


所以





则





由


所以当，即时，





【点睛】


本题重在利用正弦定理求解三角形的面积，熟练掌握公式，边角互换，同时考验计算能力，属中档题.


28．（2019·浙江杭州四中）已知．


（1）求f（x）的单调递减区间；


（2）若，求的值；


（3）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位得到y＝g（x）的图象，若函数y＝g（x）﹣k在上有唯一零点，求实数k的取值范围．


【答案】（1）函数的单调递减区间为[]（k∈Z）;（2）;（3）或.


【分析】


(1)由正余弦二倍角公式和正弦两角和公式对原式进行化简;然后利用正弦型函数的单调性求解;


(2)利用余弦二倍角公式化简,然后由诱导公式得,代入计算即可;


(3)由图像平移得函数,然后结合数形结合的思想将所求问题转化成函数与图像有一个交点来求解参数的取值范围.


【详解】


(1)由于，


令（k∈Z）,整理得（k∈Z），所以函数的单调递减区间为[]（k∈Z）．


(2)由题意,则,即,


由,则


(3)由函数的图象向右平移个单位得到的图象,


由于,所以,则函数在上有唯一零点，即得函数与图像在上只有一个交点,所以当或时，直线与函数的图象只有一个交点,则由或,解得或,


即当或时,函数在上有唯一零点.


【点睛】


本题是一道综合性的试题,考查了正余弦二倍角公式的应用,考查了三角函数和差公式的应用,考查了图像平移以及利用图像解决函数零点的问题,属于中档题.


29．若，试判断△的形状.


【答案】等腰或直角三角形


【分析】


由题得，再利用和角差角的正弦和二倍角的正弦化简即得解.


【详解】


因为，


所以,


所以


所以,


因为,


所以三角形是等腰三角形或直角三角形.


【点睛】


本题主要考查诱导公式，考查和角差角的正弦和二倍角公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.


30．已知函数．


（1）求的单调递增区间；


（2）求在区间上的值域．


【答案】(1) ；(2)


【解析】


【分析】


（1）利用两角差的余弦和诱导公式化简f(x),再求单调区间即可；（2）由结合三角函数性质求值域即可


【详解】


（1）

















令，得，


的单调递增区间为；


（2）由得，


故而．


【点睛】


本题考查三角恒等变换，三角函数单调性及值域问题，熟记公式准确计算是关键，是基础题


31．（2019·河北高一期中）计算和证明：


（I）求的值；


（Ⅱ）证明，.


【答案】（I）1 （Ⅱ）见解析.


【分析】


（I）利用两角和的正切公式进行化简即可；（Ⅱ）利用切化弦化简等式左边，利用正弦和余弦的二倍角公式化简等式右边，即可得到证明.


【详解】


（I）解：.


所以，


故.


（Ⅱ）证明：左侧，


右侧





，


所以左侧=右侧，得证.


【点睛】


本题考查同角三角函数关系式和正弦余弦二倍角公式的应用，考查三角恒等变换，属于基础题.


32．已知函数


1求函数的最小正周期和单调递增区间；


2当时，求函数的值域．


【答案】（1），；（2）


【解析】


【分析】


1利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数的单调递增区间．


2当时，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数的值域．


【详解】


1求函数的最小正周期为．


令，求得，


故函数的单调增区间为，．


2当时，，


，，


故函数的值域为


【点睛】


本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．


33．（2019·河南省实验中学高一期中）已知函数.


（1）已知角的顶点和原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，求的值；


（2）若，，求的值.


【答案】（1） (2)


【分析】


（1）根据三角函数的定义求出角，然后根据两角和的余弦公式求解；（2）由得，所以，再求出，最后根据求解可得所求．


【详解】


（1）∵角的终边过点，


∴．


∴．


（2）∵，


∴，


∴．


又，


∴，


∴，


∴.


【点睛】


本题考查利用三角变换求值，考查转化求解的能力，解题的关键是结合题意选择合适的公式，同时对于给值求值问题，要注意将所给条件作为一个整体，并通过适当的角的变换进行求解，属于基础题．


34．（2018·浙江高一期末）已知函数.


（Ⅰ）求函数的最小正周期；


（Ⅱ）在锐角中，角，，所对的边分别是，，，若，且，，求边的值.


【答案】(1) .


(2) .


【解析】


分析：（Ⅰ）根据正弦的二倍角公式和辅助角公式，得到函数的解析式，再由即可求出答案


（Ⅱ）由及为锐角三角形，求得角的值.再由，得，然后由余弦定理求得边c的值.


详解：解：（1）





则


（2）∵，∴


又∵为锐角，∴


∴，∴


∵，∴


，


故


点睛：本题考查二倍角的三角函数，辅助角公式，正弦定理与余弦定理的应用，考查计算能力.


35．（2019·湖北高一期中）如图，某市准备在道路的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数，时的图象，且图象的最高点为，赛道的中部分为长千米的直线跑道，且，赛道的后一部分是以为圆心的一段圆弧．





（1）求的值和的大小；


（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路上，一个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求当“矩形草坪”的面积取最大值时的值．


【答案】（1）， ；（2）.


【详解】


试题分析：


（1）由题意可得，故，从而可得曲线段的解析式为，令x=0可得，根据，得,因此（2）结合题意可得当“矩形草坪”的面积最大时，点在弧上，由条件可得“矩形草坪”的面积为，然后根据的范围可得当时，取得最大值．


试题解析：


(1)由条件得.


∴.


∴曲线段的解析式为.


当时，.


又，


∴,


∴.


(2)由(1)，可知.


又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点在弧上，故.


设,,“矩形草坪”的面积为





.


∵，


∴,


故当，即时，取得最大值．





四、填空题


36．设是内部一点，且，则与的面积之比为________________.


【答案】


【分析】


先作出草图，然后分析出的位置，先考虑长度的比值，最后即可得到面积的比值.


【详解】


设为的中点，如图所示，连接，则.又，所以，即为的中点，且，即与的面积之比为.





【点睛】


任意三角形中，若为中点，这里可以根据三角形法则或者平行四边形法则得到：.


37．已知，，则的值为______.


【答案】


【分析】


根据角的范围和同角三角函数关系可求得；利用二倍角公式可求得和；将所求角拆为，利用两角和差正弦公式求得结果.


【详解】


，又





，








本题正确结果：


【点睛】


本题考查三角恒等变换的求值问题，涉及到同角三角函数关系、二倍角的正弦和余弦公式、两角和差正弦公式的应用；关键是能够将所求角拆分为两个已知三角函数值的角的形式，从而利用两角和差公式来进行求解.





五、双空题


38．（2020·浙江高一单元测试）若，则________，________．


【答案】


【分析】


由三角函数恒等变换的公式，化简得到，求得，再结合三角函数的基本关系式和余弦的倍角公式，求得的值，得到答案.


【详解】


由，可得，


即，可得，


又由．


故答案为：，．


【点睛】


本题主要考查了三角函数的化简、求值，其中解答中熟练应用同角三角函数的基本关系和三角恒等变换的公式，同时注意隐含条件在解题中的应用是解题的关键，着重考查了推理与运算能力．


39．（2019·浙江高三月考）已知θ∈（0，π），且sin（θ），则cs（θ）＝_____，sin2θ＝_____．


【答案】


【分析】


由已知直接利用诱导公式求得，再由，利用余弦的倍角公式，即可求解．


【详解】


由题意，因为sin（θ），


可得cs（θ）＝cs[（）]＝sin（θ）；


又由sin2θ＝cs（）＝cs2（）．


故答案为：，．


【点睛】


本题主要考查了三角函数的诱导公式、以及余弦的倍角公式的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角函数恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．