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专题十九 计数原理与概率及其分布-2021届高三《新题速递•数学》12月刊（江苏专用 适用于高考复习）
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这是一份专题十九 计数原理与概率及其分布-2021届高三《新题速递•数学》12月刊（江苏专用 适用于高考复习），文件包含专题十九计数原理与概率及其分布原卷版docx、专题十九计数原理与概率及其分布解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共60页， 欢迎下载使用。
专题十九 计数原理与概率及其分布
一、单选题
1．（2020·河南高三月考（理））一个密码箱上有两个密码锁，只有两个密码锁的密码都对才能打开.两个密码锁都设有四个数位，每个数位的数字都可以是1，2，3，4中的任一个.现将左边密码锁的四个数字设成两个相同，另两个也相同；右边密码锁的四个数字设成互不相同.这样的密码设置的方法有（ ）种情况.
A．288 B．864 C．1436 D．1728
【答案】B
【分析】
分别算出左边密码锁和右边密码锁的设置方式，再相乘即可得到.
【详解】
左边密码锁的四个数字共有种设法，右边密码锁的四个数字共有种设法，故密码设置的方法有种.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：本题考查排列组合，解排列、组合问题的基本原则：特殊优先，先分组再分解，先取后排；较复杂问题可采用间接法，转化为求它的对立事件，解题时要细心、周全，做到不重不漏，考查学生的计算，属于基础题.
2．（2020·江苏宿城区·宿迁中学高三期中）为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（ ）
A．48种 B．36种 C．24种 D．12种
【答案】B
【分析】
利用分步计数原理，分3步即可求出
【详解】
解：由题意可知，分三步完成：
第一步，从2种主食中任选一种有2种选法；
第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法；
第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法，
根据分步计数原理，共有不同的选取方法，
故选：B
3．（2020·东台创新高级中学高二月考）某同学有同样的笔记本3本，同样的画册2本，从中取出4本赠送4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法有（ ）
A．8种 B．10种 C．18种 D．16种
【答案】B
【分析】
根据题意，分两类：选2本笔记本和2本画册；选3本笔记本和1本画册，分别求解，即可得出结果.
【详解】
从3本同样的笔记本，2本同样的画册中选择4本赠送朋友，
若选2本笔记本和2本画册赠送朋友，则有种赠送方法；
若选3本笔记本和1本画册赠送朋友，则有种赠送方法；
因此，共有种赠送方法.
故选：B.
4．（2020·三门峡市外国语高级中学高二期中）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点向结点传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ ）
A．26 B．24 C．20 D．19
【答案】D
【分析】
要想求得单位时间内从结点向结点传递的最大信息量，关键是分析出每段网线在单位时间内传递的最大信息量．
【详解】
解：依题意，首先找出到的路线，
①单位时间内从结点经过上面一个中间节点向结点传递的最大信息量，从结点向中间的结点传出12个信息量，在该结点处分流为6个和5个，此时信息量为11；再传到结点最大传递分别是4个和3个，此时信息量为个．
②单位时间内从结点经过下面一个中间结点向结点传递的最大信息量是12个信息量，在中间结点分流为6个和8个，但此时总信息量为12（因为总共只有12个信息量）；再往下到结点最大传递7个但此时前一结点最多只有6个，另一条路线到最大只能传输6个结点，所以此时信息量为个．
③综合以上结果，单位时间内从结点向结点传递的最大信息量是个．
故选：．
【点睛】
本题考查分类计数的加法原理，对于此类问题，首先应分清是用分步计数还是分类计数．
5．（2020·全国高三专题练习（理））设，则随机变量的分布列是：
0
1
则当在内增大时（ ）
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】D
【分析】
计算，再计算，得到单调性.
【详解】
由分布列得，
则，
则当在内增大时，先减小后增大.
故选：D.
6．（2020·浙江杭州市·高一期末）将个球（形状相同，编号不同）随机地投入编号为、、、的个盒子，以表示其中至少有一个球的盒子的最小号码（表示第号，第号盒子是空的，第个盒子至少个球），则、分别等于（ ）
A．、 B．、 C．、 D．、
【答案】B
【分析】
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可求得，利用数学期望的性质可求得.
【详解】
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
，，
，，
所以，，
因此，.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下：
（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；
（2）已知随机变量的期望、方差，求的期望与方差，利用期望和方差的性质（，）进行计算；
（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.
二、多选题
7．（2020·重庆北碚区·西南大学附中高二期中）下列关于排列数与组合数的等式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】
由题意利用组合数公式、排列数公式，逐一检验各个选项是否正确，从而得出结论．
【详解】
解：对于A，，故A正确；
对于B，，，
所以
所以，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确；
故选：ABD
8．（2020·全国高三其他模拟）已知的展开式中第3项的二项式系数为45，且展开式中各项系数和为1024，则下列说法正确的是（ ）
A． B．展开式中偶数项的二项式系数和为512
C．展开式中第6项的系数最大 D．展开式中的常数项为45
【答案】BCD
【分析】
由二项式定理及二项式系数的性质逐项判断即可得解.
【详解】
由题意，，所以（负值舍去），
又展开式中各项系数之和为1024，所以，所以，故A错误；
偶数项的二项式系数和为，故B正确；
展开式的二项式系数与对应项的系数相同，
所以展开式中第6项的系数最大，故C正确；
的展开式的通项，
令，解得，所以常数项为，故D正确.
故选：BCD.
9．（2020·江苏南京市·高三期中）设常数，，对于二项式的展开式，下列结论中，正确的是（ ）
A．若，则各项系数随着项数增加而减小
B．若各项系数随着项数增加而增大，则
C．若，，则第7项的系数最大
D．若，，则所有奇数项系数和为239
【答案】BCD
【分析】
求出二项展开式的通项，取即可判断A；利用反证法可判断B；依次求出各项系数即可判断C；直接求出奇数项和即可判断D.
【详解】
二项式的展开式的通项为，
对于A，当时，则任意项的系数均为0（除常数项），故A错误；
对于B，若，则最后两项为，有，与已知矛盾，故，故B正确；
对于C，若，，则各项系数为，，，
，，，，，，，，故第7项的系数最大，故C正确.
对于D，若，，则所有奇数项系数和为，故D正确.
故选：BCD.
第II卷（非选择题）
三、填空题
10．（2020·上海长宁区·高三一模）在的二项展开式中，项的系数为__________.
【答案】
【分析】
写出二项展开式通项公式，由的指数为2求得项数，从而得到系数．
【详解】
由题意，
令，得，
所以项的系数为．
故答案为：15．
11．（2020·利川市第五中学高二期末）若一个三位正整数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1，2，3，4，5，这5个数字中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中“伞数”共有_______个.
【答案】20
【分析】
根据的“伞数”定义，十位数只能是3，4，5，然后分3类，分别求得“伞数”的个数再求和，
【详解】
由题意得：十位数只能是3，4，5，
当十位数是3时，个位和百位只能是1，2，“伞数”共有个；
当十位数是4时，个位和百位只能是1，2，3，“伞数”共有个；
当十位数是5时，个位和百位只能是1，2，3，4，“伞数”共有个；
所以“伞数”共有20个，
故答案为：20
12．（2020·四川成都市·成都外国语学校高三月考（理））在展开式中，含的项的系数是__________.
【答案】.
【分析】
求出中和的系数，即可得．
【详解】
根据二项式定理得的系数为：．
故答案为：．
13．（2020·全国高三其他模拟）已知的展开式中所有项的系数之和为32，则展开式中的常数项为______.
【答案】270
【分析】
首先利用赋值法求出所有项的系数和，建立方程求出参数，然后利用二项展开式的通项求常数项即可.
【详解】
令，的展开式中所有项的系数之和为，所以，解得，
所以展开式的通项，令，得，
所以常数项为.
故答案为：270.
【点睛】
对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式中各项系数之和，只需令即可.
14．（2020·浙江高三专题练习）从6名志愿者中选出4人，分别参加两项公益活动，每项活动至少1人，则不同安排方案的种数为____.（用数字作答）
【答案】210
【分析】
结合分步乘法计数原理及组合的知识运算即可得解.
【详解】
根据题意，分2步进行分析：
①从6名志愿者中选出4人，有种选法；
②将选出的4人分成2组，分别参加两项公益活动，有种情况；
则有种不同的安排方案.
故答案为：210.
15．（2020·浙江杭州市·高一期末）袋中装有6个大小相同的球，其中3个白球､2个黑球､1个红球.现从中依次取球，每次取1球，且取后不放回，直到取出的球中有两种不同颜色的球时结束.用表示终止取球时已取球的次数，则随机变量的数学期望___________.
【答案】
【分析】
根据题意可取，求出对应随机变量的概率，即可得出结果.
【详解】
根据题意可取，
，
，
故.
故答案为：.
16．（2020·全国高二单元测试）下列命题中，正确命题的序号为_________.
①已知随机变量服从二项分布，若，则；
②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；
③设随机变量服从正态分布，若，则；
④某人在10次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大.
【答案】②③④
【分析】
根据二项分布的均值与方差公式计算判断A，由方差公式判断B，由正态分布判断C，由独立重复试验的概率公式判断D．
【详解】
根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得，解得，所以①错误；
根据方差的计算公式可知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，所以②正确；
由正态分布的图像的对称性可得，所以③正确；
由独立重复试验的概率的计算公式可得，由，得，即时，，同理得时，，即最大，
，所以④正确.所以正确命题的序号为②③④.
故答案为：②③④．
【点睛】
本题考查二项分布，正态分布，随机变量的方差．正态分布曲线具有对称性，常常出现由对称性求概问题，二项分布中概率公式是，可用作商法确定其中的最大值或最小值．
17．（2020·全国高二单元测试）夏､秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长到厘米左右，又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为_________.
【答案】
【分析】
利用条件概率的计算公式求解即可.
【详解】
解析设事件为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知，，.
故答案为：.
【点睛】
设，为两个事件，且，则称为事件发生的条件下，事件发生的条件概率．
四、双空题
18．（2020·河北桃城区·衡水中学高三月考）已知的所有项的系数的和为64，则______，展开式中项的系数为______.
【答案】1 15
【分析】
令可求得，求出展开式的通项即可得出结果.
【详解】
令得，，解得，
的展开式的通项，分别取与，得，，
所以的展开式中含有的项的系数为，含有的项的系数为，所以展开式中项的系数为.
故答案为：1；15.
【点睛】
本题考查二项展开式的相关问题，解题的关键是利用赋值法求所有项的系数的和，并求出展开式中含有和的项的系数.
19．（2020·浙江省桐庐分水高级中学高三期中）在新高考改革中，学生可从物理、历史，化学、生物、政治、地理，技术7科中任选3科参加高考，则学生有________种选法. 现有甲、乙两名学生先从物理、历史两科中任选一科， 再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科，则甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有________种
【答案】
【分析】
根据题意，7科中任选3科，满足即可；以甲、乙所选相同学科是否是物理、历史两科分为两类，每类由排列、组合公式即可求解.
【详解】
由题意，7科中任选3科，即.
分为两类，第一类：物理、历史两科中是相同学科，则有种；
第二类：物理、历史两科中没有相同学科，则种，
所以甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有.
故答案为：；
【点睛】
方法点睛：本题主要考查排列、组合的应用，属于中档题.常见排列数、组合数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
20．（2020·北京市第三十一中学高三期中）某公园划船收费标准如下：
船型
两人船
（限乘2人）
四人船
（限乘4人）
六人船
（限乘6人）
每船租金
（元/小时）
90
100
130
某班16名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，每只租船必须坐满，租船最低总费用为___________元，租船的总费用共有__________种可能．
【答案】360 10
【分析】
由题意直接列举出所有可能即可得解.
【详解】
由题意，当租两人船时，租金为元，
当租四人船时，租金为元，
当租一条两人船、两条四人船、一条六人船时，租金为元，
当租两条两人船、三条四人船时，租金为元，
当租两条两人船、两条六人船时，租金为元，
当租三条两人船、一条四人船、一条六人船时，租金为元，
当租四条两人船、两条四人船时，租金为元，
当租五条两人船、一条六人船时，租金为元，
当租六条两人船、一条四人船时，租金为元，
当租一条四人船、两条六人船时，租金为元.
所以租船最低总费用为360元，租船的总费用共有10种可能.
故答案为：360；10.
21．（2020·浙江杭州市·高一期末）一行八空任意填字，恰填得“上”、“右”两字各4个的不同填法有_________种；两张相同的方格表，有一方格重合（如图），沿格线连接两点；则不同的最短连接线有_________条．
【答案】70 2450
【分析】
一行八空任意填字，恰填得“上”、“右”两字各4个，可以从8空任选4空填“上”字，剩下4空填“右”字，由此可得方法数．方格表中从到的最短连接线可分两种：第一中是从经过到，第二种是从经过到，由对称性两种方法相同，而每种里又分两步：如第一种先从到，然后从到，由此由分步分类计数原理可得．
【详解】
一行八空任意填字，恰填得“上”、“右”两字各4个的方法为，
方格表中，重合方格的两个顶点记为，如图，则从到的最短连接线可分两种：第一中是从经过到，第二种是从经过到，由对称性两种方法相同，而每种里又分两步：如第一种先从到，然后从到，因此所有连接线条数为．
故答案为：70；2450．
【点睛】
思路点睛：本题考查分类分步计数原理，考查组合的应用，由对称性知方格表中的最短连接线问题，从到与从到的连接线条数是相同的，而从到的最短连接线共有7个小线段，不同的连接线就是7小线段中哪3条是横线，由此可得解法．
22．（2020·浙江杭州市·高一期末）随机变量X的分布列如下：
其中a，b，c成等差数列，则_______，若则方差_____．
【答案】 ；
【分析】
离散型随机变量的分布列中各随机变量对应的概率的总和为1，再由等差中项性质即可求得；由即可求出，，由均值计算公式计算均值，进而由方差计算公式计算出方差.
【详解】
解：，，成等差数列，
，
，，，
；
，且，，成等差数列，
①
又，
即 ②
由①，②解得：，，
又，
，
.
故答案为：，.
23．（2020·浙江高一期末）口袋中有大小形状都相同的4个红球，n个白球，每次从中摸一个球，摸后再放回口袋中，摸到红球记2分，摸到白球记1分，共换球3次．设所得分数为随机变量，若则_________，随机变量的均值为_________．
【答案】3
【分析】
根据题意得到摸到红球的概率是，白球的概率是，再根据即得3分，结合，由求解；由题意得到的可能取值为3，4，5，6，然后分别求得其概率，代入期望公式求解.
【详解】
因为口袋中有大小形状都相同的4个红球，n个白球，每次从中摸一个球，摸后再放回口袋中，
所以摸到红球的概率是，白球的概率是，
而即得3分，表示这3次摸的都是白球，
又因为，
所以，
解得，
由题意的可能取值为3，4，5，6，
则，
，
，
故答案为：3，
五、解答题
24．（2020·任丘市第一中学高二开学考试）已知在的展开式中，第6项为常数项．
（1）求；
（2）求含的项的系数；
（3）求展开式中所有的有理项．
【答案】（1）；（2）；（3），，.
【分析】
（1）求出的展开式的通项为，当时，指数为零，可得；
（2）将代入通项公式，令指数为，可得含的项的系数；
（3）根据通项公式与题意得，求出的值，代入通项公式并化简，可得展开式中所有的有理项．
【详解】
（1）的展开式的通项为，因为第6项为常数项，所以时，有，解得．
（2）令，得，所以含的项的系数为．
（3）根据通项公式与题意得，令，则，即．，∴应为偶数．又，∴可取2，0，-2，即可取2，5，8．所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为，，，即，，．
【点睛】
关键点点睛：本题考查二项式展开式的应用，考查二项式展开式的通项公式以及某些特定的项，解决本题的关键点是求解展开式的有理项时，令，由以及，求出的值，进而得出的值，代入通项公式化简可得有理项，考查了学生计算能力，属于中档题．
25．（2020·和县第二中学高二月考（理））（1）现有5架战机依次着辽宁舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有多少种？（列简式，算出结果）
（2）若甲乙两人从门课程中各选修门，则甲乙所选的课程中恰有2门相同的选法有多少种？（列简式，算出结果）
【答案】（1）24；（2）180.
【分析】
（1）甲、乙两机必须相邻,把甲、乙看作一个整体和戊全排列，而丙、丁两机不能相邻，把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位中按分步相乘原理可得结果；
（2）从门选2门，再从余下的4门课程，选2门分别给甲乙，按分步相乘原理可得答案.
【详解】
（1）甲、乙两机必须相邻,把甲、乙看作一个整体和戊全排列，共有种方法，而丙、丁两机不能相邻，把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位中，有种方法，再按分步相乘原理可得共有种方法；
（2）甲乙所选的课程有2门相同，从门选2门，有种选法，再从余下的4门课程，选2门分别给甲乙，有种选法，按分步相乘原理可得共有种选法.
【点睛】
方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
26．（2020·渝中区·重庆巴蜀中学高三月考）2020年10月4日，第29届全国中学生生物学奥林匹克竞赛，在重庆巴蜀中学隆重举行，若将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照的分组作出频率分布直方图如图所示.
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计这50名学生成绩的中位数；
（2）若按照分层随机抽样从成绩在的两组中抽取了6人，再从这6人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望.
【答案】（1），73.5分；（2）分布列见解析，1.
【分析】
（1）根据频率分布直方图的性质，求得，再结合中位数的计算方法，即可求解；
（2）根据题意，得出在抽取了4人，抽取了2人，得到随机变量的取
【详解】
（1）根据频率分布直方图的性质，可得，
解得，
由的概率之和为，
所以中位数为（分）.
（2）由题意，可得在共有（人），
在共有（人），
所以在抽取了4人，在抽取了2人，
所以随机变量的取值为，
可得，
0
1
2
P
所以数学期望为.
【点睛】
对于用样本估计总体主要注意以下两个方面：
1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观；
2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.
27．（2020·金华市曙光学校高三期中）某袋中装有大小相同质地均匀的5个球，其中3个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为，
（1）求的概率即
（2）求取出白球的数学期望和方差
【答案】（1）；（2），.
【分析】
（1）首先求出，然后可算出答案；
（2）的可能取值为，算出对应的概率，然后可得答案.
【详解】
（1）因为，所以
（2）的可能取值为
，，
所以的分布列为：
0
1
2
所以
28．（2020·全国高三专题练习（理））为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10件零件，度量其内径尺寸（单位： ）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布.
（1）假设生产状态正常，记表示某一天内抽取的10个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；
（2）某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如下图所示：
①计算这一天平均值与标准差；
②一家公司引进了一条这种生产线，为了检查这条生产线是否正常，用这条生产线试生产了5个零件，度量其内径分别为（单位： ）：85，95，103，109，119，试问此条生产线是否需要进一步调试，为什么？
参考数据： ， ，， ， ，， ， .
【答案】（1）0.0260；（2）① ；②生产线异常，需要进一步调试，理由见解析.
【分析】
（1）根据原则,可求得当和时的概率,结合对立事件的概率关系即可求得;由正态分布的期望公式即可求得X的数学期望.
（2）根据茎叶图,列出数据即可求得平均值,由方差公式先求得,再求得标准差;由正态分布的原则,计算出.观测5个零件与该范围关系,即可判断是否需要进一步调试.
【详解】
（1）由题意知：或 ，，
∵，∴；
（2）①
，所以
②结论：需要进一步调试．
理由如下：如果生产线正常工作，则服从正态分布，
，零件内径在之外的概率只有0.0026，而根据原则，知生产线异常，需要进一步调试．
【点睛】
关键点睛：（1）解题关键利用原则和正态分布的期望公式求解；（2）根据茎叶图,列出数据求得标准差，再由正态分布的原则，进而求解；难度属于中档题
29．（2020·洛阳理工学院附属中学高三月考（理））核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性．根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为（）．现有4例疑似病例，对其核酸检测有以下三种方案：
方案一：逐个化验；
方案二：四个样本混在一起化验；
方案三：平均分成两组化验．
（1）若，求2个疑似病例的混合样本化验结果为阳性的概率；
（2）在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化检次数的期望值越小，则方案越“优”．若，现将该4例疑似病例样本进行化验．请问：方案一、二中哪个更“优”？
（3）若，求方案三检测次数的分布列．
【答案】（1）；（2）方案二更“优”；（3）分布列见解析.
【分析】
（1）根据题意直接可得答案；
（2）方案二：检测次数为，的可能取值为1，5，算出其期望，然后与4作比较即可；
（3）首先算出每组检测的次数及其概率，然后可得方案三的检测次数为，的可能取值为2，4，6，算出对应的概率，然后可得分布列.
【详解】
（1）该混合样本呈阳性的概率是：；
（2）方案一：逐个检测，检测次数为4
方案二：检测次数为，的可能取值为1，5
所以
由于，所以方案二更“优”
（3）方案三，每组两个样本检测时，
若呈阴性，则检验次数为1，概率为
若呈阳性，则检验次数为3，概率为
故方案三的检测次数为，的可能取值为2，4，6
所以随机变量的分布列为
2
4
6
30．（2020·河南高三月考（理））共享交通工具的出现极大地方便了人们的生活，也是当下一个很好的发展商机.某公司根据市场发展情况推出共享单车和共享电动车两种产品.市场调查发现，由于两种产品中共享电动车速度更快，故更受消费者欢迎，一般使用共享电动车的概率为，使用共享单车的概率为.该公司为了促进大家消费，使用共享电动车一次记2分，使用共享单车一次记1分.每个市民各次使用共享交通工具选择意愿相互独立，市民之间选择意愿也相互独立.
（1）从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，记总得分为随机变量，求的分布列和数学期望；
（2）记某一市民已使用该公司共享交通工具的累计得分恰为分的概率为(比如：表示累计得分为1分的概率，表示累计得分为2分的概率，)，试探求与之间的关系，并求数列的通项公式.
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2），.
【分析】
（1）根据题意，得到总得分为随机变量的可能取值为，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用公式求得其数学期望；
（2）已调查过的累计得分恰为分的概率为，得出，结合等比数列的定义，得到为等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解.
【详解】
（1）由题意，从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，
则总得分为随机变量的可能取值为，
则，，
，，
所以的分布列为
3
4
5
6
所以数学期望.
（2）已调查过的累计得分恰为分的概率为，得不到分的情况只有先得分，
再得2分，概率为，其中.
因为，即，所以，
则是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以.
【点睛】
求随机变量的期望与方差的方法及步骤：
1、理解随机变量的意义，写出可能的全部值；
2、求取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；
3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望；
4、若随机变量的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.
31．（2020·湖南高三开学考试）“全国文明城市”已成为一块在国内含金量最高､综合性最强､影响力最大的“金字招牌”.为提升城市管理水平和区域竞争力，提升市民素养和群众幸福指数，某市决定参与创建“全国文明城市”.为确保创建工作各项指标顺利完成，市“创建办”拟通过网络对市民进行一次“文明创建知识”问卷调查(一位市民只参加一次).通过随机抽样，得到参加调查的100人的得分统计如下表：
组别
频数
1
12
22
25
25
11
4
（1）由频数分布表可以大致认为：此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的均值.求得分在区间的概率；(注：同一组的数据用该组区间的中点值作代表)
（2）在（1）的条件下，市“创建办”为鼓励市民积极参与创建问卷调查，制定了如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率如表所示：
赠送话费的金额(元)
30
50
概率
现有市民甲参加此次问卷调查，记X(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列与数学期望.
附：参考数据：①；②；③若，则，.
【答案】（1）0.1359；（2）分布列见解析，.
【分析】
（1）根据平均数的计算方法计算出平均数，根据正态分布的知识计算出.
（2）利用相互独立事件概率计算公式计算出分布列并求得数学期望.
【详解】
（1）根据表格中的数据，可得：
，
，
所以.
（2）由题意，可得，则获赠话费的可能取值为30，50，60，80，100，
，，，
，，
则的分布列为：
30
50
60
80
100
故期望值(元).
32．（2020·江苏海安市·高三期中）根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效.
（1）如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为，求的概率分布及数学期望；
（2）如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率，并根据的值解释该试验方案的合理性.
（参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件）
【答案】（1）分布列见解析，；（2），答案见解析.
【分析】
（1）先分析的可取值，然后根据超几何分布的相关知识求解出的概率分布以及数学期望；
（2）先分析新药无效的情况：中人痊愈、中人痊愈，由此求解出无效的概率，并分析试验方案的合理性.
【详解】
解：（1）X的所有可能取值为0，1，2
，，
∴X的分布列如下：
X
0
1
2
P
．
（2）新药无效的情况有：中人痊愈、中人痊愈，
∴
故可认为新药无效事件是小概率事件，从而认为新药有效，故该试验方案合理.
【点睛】
易错点睛：超几何分布和二项分布的区别与联系：
（1）超几何分布描述的是不放回抽样问题，二项分布描述的是放回抽样问题；
（2）超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题，二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题；
（3）当调查研究的样本容量很大时，在有放回地抽取和不放回地抽取条件下，计算得到的概率非常接近，可以近似将超几何分布认为是二项分布.
33．（2020·全国高二单元测试）某单位有8名青年志愿者，其中男青年志愿者5人，记为，女青年志愿者3人，记为.现从这8人中选4人参加某项公益活动.
（1）求男青年志愿者或女青年志愿者被选中的概率；
（2）在男青年志愿者被选中的情况下，求女青年志愿者也被选中的概率.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）其对立事件是和都没被选中，由对立事件概率公式计算可得．
（2）先求出被选中的概率，再求出都被选中的概率，然后由条件概率公式计算可得．
【详解】
（1）设“男青年志愿者和女青年志愿者都不被选中”为事件，则，
所以所求概率为.
（2）记“男青年志愿者被选中”为事件，“女青年志愿者被选中”为事件，
则，
所以.
所以在男青年志愿者被选中的情况下，女青年志愿者也被选中的概率为.
【点睛】
方法点睛：本题考查对立事件的概率公式，考查条件概率．在一个事件较为复杂，而其对立事件较简单时，常常先求出对立事件的概率，再由对立事件概率公式计算．
34．（2020·广西北海市·高三一模（理））出于“健康､养生”的生活理念.某地的炊具有限公司的传统手工泥模工艺铸造的平底铁锅一直受到全国各地消费者的青睐.炊具有限公司下辖甲､乙两个车间，甲车间利用传统手工泥模工艺铸造型双耳平底锅，乙车间利用传统手工泥模工艺铸造型双耳平底锅，每一口双耳平底锅按照综合质量指标值(取值范围为划分为：综合质量指标值不低于70为合格品，低于70为不合格品.质检部门随机抽取这两种平底锅各100口，对它们的综合质量指标值进行测量，由测量结果得到如下的频率分布直方图：
将此样本的频率估计为总体的概率.生产一口型双耳平底锅，若是合格品可盈利40元，若是不合格品则亏损10元；生产一口型双耳平底锅，若是合格品可盈利50元，若是不合格品则亏损20元.
（1）记为生产一口T型双耳平底锅和一口型双耳平底锅所得的总利润，求随机变量的数学期望；
（2）炊具有限公司生产的和型双耳平底锅共计1000口，并且两种型号获得的利润相等，若将两种型号的合格品再按质量综合指标值分成3个等级，其中为三级品，为二级品，为一级品，试判断生产的这1000口两种型号的双耳平底锅中哪种型号的一级品多？请说明理由.
【答案】（1）数学期望：；（2）生产的这1000口两种型号的双耳平底锅中型号的一级品多，理由见解析.
【分析】
（1）根据频率直方图分别计算两车间生产一件相应产品为合格品的频率，并作为概率的估计值，然后利用独立事件同时发生的概率和互斥事件概率公式求得随机变量X的分布列，根据期望的定义计算期望值；
（2）先根据已知条件，设未知数列方程组求得这1000口锅中T型可L型平底锅的口数，然后根据直方图用频率估计各车间相应产品的一等品概率，进而求得每种型号的双耳平底锅的口数，即可做出正确判断.
【详解】
解：（1）根据频率分布直方图，
甲车间生产的一口T型双耳平底锅为合格品的概率为
；
乙车间生产的一口L型双耳平底锅为合格品的概率为
.
随机变量的所有取值为90，40，20，-30，则
；；
；.
所以.
（2）生产的这1000口两种型号的双耳平底锅中型号的一级品多，理由如下：
设生产的这1000口双耳平底锅中型的有口，型的有口，则生产口型双耳平底锅的利润为，
生产口型双耳平底锅的利润为.
由，即，又，
解得，.
由于型双耳平底锅一级品的概率为0.08，型双耳平底锅一级品的概率为0.06，
所以型双耳平底锅一级品的估计值等于，
型双耳平底锅一级品的估计值等于，
因此生产的这1000口两种型号的双耳平底锅中型号的一级品多.
【点睛】
本题考查随机变量的分布列和期望的计算，涉及频率直方图，独立事件同时发生的概率，和概率的应用，是中等难度题目.利用频率直方图中的频率估计各车间相应产品的合格率，进而利用互斥和对立事件概率公式求得分布列是该题的重点难点所在.
35．（2020·全国高三月考（理））山竹，原产于马鲁古，具有清热泻火、生津止渴的功效，其含有丰富的蛋白质与脂类，对体弱、营养不良的人群都有很好的调养作用，因此被誉为夏季的“水果之王”，受到广大市民的喜爱．现将某水果经销商近一周内山竹的销售情况统计如下表所示：
采购数量（单位：箱）
采购人数
100
100
50
200
50
（1）根据表格中数据，完善频率分布直方图；
（2）求近一周内采购量在286箱以下（含286箱）的人数以及采购数量的平均值；
（3）以频率估计概率，若从所有采购者中随机抽取4人，记采购量不低于260箱的采购人数为，求的分布列以及数学期望．
【答案】（1）直方图见解析；（2）270；（3）分布列见解析，.
【分析】
（1）求出各组频率，得出频率除以组距值，即可完善频率分布直方图；
（2）根据频率分布直方图即可列式求解；
（3）可知，求出概率，即可得出分布列和期望值.
【详解】
（1）依题意，转化频率分布表如下所示：
采购数量（单位：箱）
采购人数
100
100
50
200
50
频率
0.2
0.2
0.1
0.4
0.1
频率/组距
0.010
0.010
0.005
0.020
0.005
完善频率分布直方图如图所示：
（2）采购量在286箱以下（含286）的频率为；
故采购量在286箱以下（含286）的人数为；
所求平均值为；
（3）依题意，，则，
，，
，，
故的分布列为：
0
1
2
3
4
故．
【点睛】
本题考查频率分布直方图、样本的数字特征、离散型随机变量的分布列以及数学期望，考查考生直观想象、数学建模、数学运算、逻辑推理的核心素养．
36．（2020·衡阳市船山英文学校高三月考）某学校长期坚持以人为本，实施素质教育每年都会在校文化节期间举行诗词知识和环保知识两项竞赛，竞赛成绩分为A，B，C，D，E五个等级等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分.设该校某班学生两项知识竞赛都参加，且两项知识竞赛的成绩的数据统计如下图所示，其中环保知识竞赛的成绩为A的学生有4人.
（1）求该班学生诗词知识竞赛成绩为A的人数以及诗词知识竞赛的平均分；
（2）若该班两项竞赛成绩总得分超过8分的学生共有7人，其中有3人10分，4人9分，从这7人中随机抽取三人，记三人的成绩之和为X，求X的分布列及.
【答案】（1）诗词知识竞赛成绩为A的人数为人，平均分为(分)；（2）分布列答案见解析，.
【分析】
（1）根据环保知识竞赛的成绩为A的学生有4人，频率是0.08，可求得班级总人数，根据诗词知识竞赛中A的频率，即可求得诗词知识竞赛成绩为A的人数，代入平均数公式，即可求得诗词知识竞赛的平均分；
（2）依题设知，X的所有取值为30，29，28，27.分别求得X不同取值时的频率，列出分布列，代入公式，即可求得答案.
【详解】
（1）由图可知，环保知识竞赛的成绩为A的学生有4人，频率是0.08，
故该班有人，
由图可知，诗词知识竞赛的成绩为A的频率是0.1，
因此，诗词知识竞赛成绩为A的人数为人.
该班诗词知识竞赛的平均分为(分).
（2）依题设知，X的所有取值为30，29，28，27.
则，，
，，
其分布列为
X
30
29
28
27
P
所以，
故.
37．（2020·北京市第十三中学高三期中）某单位有车牌尾号为2的汽车和尾号为6的汽车，两车分属于两个独立业务部门.对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，车日出车频率0.6，车日出车频率0.5.该地区汽车限行规定如下：
车尾号
0和5
1和6
2和7
3和8
4和9
限行日
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且，两车出车相互独立.
（1）求该单位在星期一恰好出车一台的概率；
（2）设表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求的分布列及其数学期望.
【答案】（1）0.5；（2）分布列见解析，.
【分析】
（1）设车在星期出车的事件为，车在星期出车的事件为，，2，3，4，5，
设该单位在星期一恰好出一台车的事件为，根据计算可得结果；
（2）的可能取值为0，1，2，3，求出的各个取值的概率可得分布列和数学期望.
【详解】
（1）设车在星期出车的事件为，车在星期出车的事件为，，2，3，4，5
由已知可得，
设该单位在星期一恰好出一台车的事件为，
因为，两车是否出车相互独立，且事件，互斥，
所以
所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为0.5.
（2）的可能取值为0，1，2，3
所以的的分布列为
0
1
2
3
0.08
0.32
0.42
0.18
.
【点睛】
关键点点睛：第二问分析出的可能取值，搞清楚的每个取值对应的事件是解题关键.
38．（2020·云南昆明市·高三其他模拟）某中学举办的校园文化周活动中，从周一到周五的五天中，每天安排一项内容不同的活动供学生选择参加，要求每位学生参加三项活动，其中甲同学必须参加周一的活动，不参加周五的活动，其余三天的活动随机选择两项参加，乙同学和丙同学可以在周一到周五中随机选择三项参加.
（1）求甲同学选周三的活动且乙同学未选周三的活动的概率；
（2）用X表示甲､乙､两三名同学选择周三活动的人数之和，求X的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用相互独立事件概率公式，可求甲同学选周三的活动且乙同学未选周三的活动的概率；
（2）由题意可以知道随机变量的可能值为0，1，2，3，利用独立事件概率公式即可求得随机变量每一个值对应的概率，并列出其分布列，再由期望公式求解．
【详解】
（1）设表示事件“甲同学选周三的活动”， 表示事件“乙同学选周三的活动”，
则（A），（B），
事件，相互独立，
甲同学选周三的活动且乙同学未选周三的活动的概率为（A）；
（2）设表示事件“丙同学选周三的活动”，则（C），
的可能取值为0，1，2，3，则
；
；
；
．
的分布列
0
1
2
3
数学期望．
【点睛】
求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.
专题十九 计数原理与概率及其分布
一、单选题
1．（2020·河南高三月考（理））一个密码箱上有两个密码锁，只有两个密码锁的密码都对才能打开.两个密码锁都设有四个数位，每个数位的数字都可以是1，2，3，4中的任一个.现将左边密码锁的四个数字设成两个相同，另两个也相同；右边密码锁的四个数字设成互不相同.这样的密码设置的方法有（ ）种情况.
A．288 B．864 C．1436 D．1728
【答案】B
【分析】
分别算出左边密码锁和右边密码锁的设置方式，再相乘即可得到.
【详解】
左边密码锁的四个数字共有种设法，右边密码锁的四个数字共有种设法，故密码设置的方法有种.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：本题考查排列组合，解排列、组合问题的基本原则：特殊优先，先分组再分解，先取后排；较复杂问题可采用间接法，转化为求它的对立事件，解题时要细心、周全，做到不重不漏，考查学生的计算，属于基础题.
2．（2020·江苏宿城区·宿迁中学高三期中）为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（ ）
A．48种 B．36种 C．24种 D．12种
【答案】B
【分析】
利用分步计数原理，分3步即可求出
【详解】
解：由题意可知，分三步完成：
第一步，从2种主食中任选一种有2种选法；
第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法；
第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法，
根据分步计数原理，共有不同的选取方法，
故选：B
3．（2020·东台创新高级中学高二月考）某同学有同样的笔记本3本，同样的画册2本，从中取出4本赠送4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法有（ ）
A．8种 B．10种 C．18种 D．16种
【答案】B
【分析】
根据题意，分两类：选2本笔记本和2本画册；选3本笔记本和1本画册，分别求解，即可得出结果.
【详解】
从3本同样的笔记本，2本同样的画册中选择4本赠送朋友，
若选2本笔记本和2本画册赠送朋友，则有种赠送方法；
若选3本笔记本和1本画册赠送朋友，则有种赠送方法；
因此，共有种赠送方法.
故选：B.
4．（2020·三门峡市外国语高级中学高二期中）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点向结点传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ ）
A．26 B．24 C．20 D．19
【答案】D
【分析】
要想求得单位时间内从结点向结点传递的最大信息量，关键是分析出每段网线在单位时间内传递的最大信息量．
【详解】
解：依题意，首先找出到的路线，
①单位时间内从结点经过上面一个中间节点向结点传递的最大信息量，从结点向中间的结点传出12个信息量，在该结点处分流为6个和5个，此时信息量为11；再传到结点最大传递分别是4个和3个，此时信息量为个．
②单位时间内从结点经过下面一个中间结点向结点传递的最大信息量是12个信息量，在中间结点分流为6个和8个，但此时总信息量为12（因为总共只有12个信息量）；再往下到结点最大传递7个但此时前一结点最多只有6个，另一条路线到最大只能传输6个结点，所以此时信息量为个．
③综合以上结果，单位时间内从结点向结点传递的最大信息量是个．
故选：．
【点睛】
本题考查分类计数的加法原理，对于此类问题，首先应分清是用分步计数还是分类计数．
5．（2020·全国高三专题练习（理））设，则随机变量的分布列是：
0
1
则当在内增大时（ ）
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】D
【分析】
计算，再计算，得到单调性.
【详解】
由分布列得，
则，
则当在内增大时，先减小后增大.
故选：D.
6．（2020·浙江杭州市·高一期末）将个球（形状相同，编号不同）随机地投入编号为、、、的个盒子，以表示其中至少有一个球的盒子的最小号码（表示第号，第号盒子是空的，第个盒子至少个球），则、分别等于（ ）
A．、 B．、 C．、 D．、
【答案】B
【分析】
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可求得，利用数学期望的性质可求得.
【详解】
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
，，
，，
所以，，
因此，.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下：
（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；
（2）已知随机变量的期望、方差，求的期望与方差，利用期望和方差的性质（，）进行计算；
（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.
二、多选题
7．（2020·重庆北碚区·西南大学附中高二期中）下列关于排列数与组合数的等式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】
由题意利用组合数公式、排列数公式，逐一检验各个选项是否正确，从而得出结论．
【详解】
解：对于A，，故A正确；
对于B，，，
所以
所以，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确；
故选：ABD
8．（2020·全国高三其他模拟）已知的展开式中第3项的二项式系数为45，且展开式中各项系数和为1024，则下列说法正确的是（ ）
A． B．展开式中偶数项的二项式系数和为512
C．展开式中第6项的系数最大 D．展开式中的常数项为45
【答案】BCD
【分析】
由二项式定理及二项式系数的性质逐项判断即可得解.
【详解】
由题意，，所以（负值舍去），
又展开式中各项系数之和为1024，所以，所以，故A错误；
偶数项的二项式系数和为，故B正确；
展开式的二项式系数与对应项的系数相同，
所以展开式中第6项的系数最大，故C正确；
的展开式的通项，
令，解得，所以常数项为，故D正确.
故选：BCD.
9．（2020·江苏南京市·高三期中）设常数，，对于二项式的展开式，下列结论中，正确的是（ ）
A．若，则各项系数随着项数增加而减小
B．若各项系数随着项数增加而增大，则
C．若，，则第7项的系数最大
D．若，，则所有奇数项系数和为239
【答案】BCD
【分析】
求出二项展开式的通项，取即可判断A；利用反证法可判断B；依次求出各项系数即可判断C；直接求出奇数项和即可判断D.
【详解】
二项式的展开式的通项为，
对于A，当时，则任意项的系数均为0（除常数项），故A错误；
对于B，若，则最后两项为，有，与已知矛盾，故，故B正确；
对于C，若，，则各项系数为，，，
，，，，，，，，故第7项的系数最大，故C正确.
对于D，若，，则所有奇数项系数和为，故D正确.
故选：BCD.
第II卷（非选择题）
三、填空题
10．（2020·上海长宁区·高三一模）在的二项展开式中，项的系数为__________.
【答案】
【分析】
写出二项展开式通项公式，由的指数为2求得项数，从而得到系数．
【详解】
由题意，
令，得，
所以项的系数为．
故答案为：15．
11．（2020·利川市第五中学高二期末）若一个三位正整数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1，2，3，4，5，这5个数字中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中“伞数”共有_______个.
【答案】20
【分析】
根据的“伞数”定义，十位数只能是3，4，5，然后分3类，分别求得“伞数”的个数再求和，
【详解】
由题意得：十位数只能是3，4，5，
当十位数是3时，个位和百位只能是1，2，“伞数”共有个；
当十位数是4时，个位和百位只能是1，2，3，“伞数”共有个；
当十位数是5时，个位和百位只能是1，2，3，4，“伞数”共有个；
所以“伞数”共有20个，
故答案为：20
12．（2020·四川成都市·成都外国语学校高三月考（理））在展开式中，含的项的系数是__________.
【答案】.
【分析】
求出中和的系数，即可得．
【详解】
根据二项式定理得的系数为：．
故答案为：．
13．（2020·全国高三其他模拟）已知的展开式中所有项的系数之和为32，则展开式中的常数项为______.
【答案】270
【分析】
首先利用赋值法求出所有项的系数和，建立方程求出参数，然后利用二项展开式的通项求常数项即可.
【详解】
令，的展开式中所有项的系数之和为，所以，解得，
所以展开式的通项，令，得，
所以常数项为.
故答案为：270.
【点睛】
对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式中各项系数之和，只需令即可.
14．（2020·浙江高三专题练习）从6名志愿者中选出4人，分别参加两项公益活动，每项活动至少1人，则不同安排方案的种数为____.（用数字作答）
【答案】210
【分析】
结合分步乘法计数原理及组合的知识运算即可得解.
【详解】
根据题意，分2步进行分析：
①从6名志愿者中选出4人，有种选法；
②将选出的4人分成2组，分别参加两项公益活动，有种情况；
则有种不同的安排方案.
故答案为：210.
15．（2020·浙江杭州市·高一期末）袋中装有6个大小相同的球，其中3个白球､2个黑球､1个红球.现从中依次取球，每次取1球，且取后不放回，直到取出的球中有两种不同颜色的球时结束.用表示终止取球时已取球的次数，则随机变量的数学期望___________.
【答案】
【分析】
根据题意可取，求出对应随机变量的概率，即可得出结果.
【详解】
根据题意可取，
，
，
故.
故答案为：.
16．（2020·全国高二单元测试）下列命题中，正确命题的序号为_________.
①已知随机变量服从二项分布，若，则；
②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；
③设随机变量服从正态分布，若，则；
④某人在10次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大.
【答案】②③④
【分析】
根据二项分布的均值与方差公式计算判断A，由方差公式判断B，由正态分布判断C，由独立重复试验的概率公式判断D．
【详解】
根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得，解得，所以①错误；
根据方差的计算公式可知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，所以②正确；
由正态分布的图像的对称性可得，所以③正确；
由独立重复试验的概率的计算公式可得，由，得，即时，，同理得时，，即最大，
，所以④正确.所以正确命题的序号为②③④.
故答案为：②③④．
【点睛】
本题考查二项分布，正态分布，随机变量的方差．正态分布曲线具有对称性，常常出现由对称性求概问题，二项分布中概率公式是，可用作商法确定其中的最大值或最小值．
17．（2020·全国高二单元测试）夏､秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长到厘米左右，又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为_________.
【答案】
【分析】
利用条件概率的计算公式求解即可.
【详解】
解析设事件为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知，，.
故答案为：.
【点睛】
设，为两个事件，且，则称为事件发生的条件下，事件发生的条件概率．
四、双空题
18．（2020·河北桃城区·衡水中学高三月考）已知的所有项的系数的和为64，则______，展开式中项的系数为______.
【答案】1 15
【分析】
令可求得，求出展开式的通项即可得出结果.
【详解】
令得，，解得，
的展开式的通项，分别取与，得，，
所以的展开式中含有的项的系数为，含有的项的系数为，所以展开式中项的系数为.
故答案为：1；15.
【点睛】
本题考查二项展开式的相关问题，解题的关键是利用赋值法求所有项的系数的和，并求出展开式中含有和的项的系数.
19．（2020·浙江省桐庐分水高级中学高三期中）在新高考改革中，学生可从物理、历史，化学、生物、政治、地理，技术7科中任选3科参加高考，则学生有________种选法. 现有甲、乙两名学生先从物理、历史两科中任选一科， 再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科，则甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有________种
【答案】
【分析】
根据题意，7科中任选3科，满足即可；以甲、乙所选相同学科是否是物理、历史两科分为两类，每类由排列、组合公式即可求解.
【详解】
由题意，7科中任选3科，即.
分为两类，第一类：物理、历史两科中是相同学科，则有种；
第二类：物理、历史两科中没有相同学科，则种，
所以甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有.
故答案为：；
【点睛】
方法点睛：本题主要考查排列、组合的应用，属于中档题.常见排列数、组合数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
20．（2020·北京市第三十一中学高三期中）某公园划船收费标准如下：
船型
两人船
（限乘2人）
四人船
（限乘4人）
六人船
（限乘6人）
每船租金
（元/小时）
90
100
130
某班16名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，每只租船必须坐满，租船最低总费用为___________元，租船的总费用共有__________种可能．
【答案】360 10
【分析】
由题意直接列举出所有可能即可得解.
【详解】
由题意，当租两人船时，租金为元，
当租四人船时，租金为元，
当租一条两人船、两条四人船、一条六人船时，租金为元，
当租两条两人船、三条四人船时，租金为元，
当租两条两人船、两条六人船时，租金为元，
当租三条两人船、一条四人船、一条六人船时，租金为元，
当租四条两人船、两条四人船时，租金为元，
当租五条两人船、一条六人船时，租金为元，
当租六条两人船、一条四人船时，租金为元，
当租一条四人船、两条六人船时，租金为元.
所以租船最低总费用为360元，租船的总费用共有10种可能.
故答案为：360；10.
21．（2020·浙江杭州市·高一期末）一行八空任意填字，恰填得“上”、“右”两字各4个的不同填法有_________种；两张相同的方格表，有一方格重合（如图），沿格线连接两点；则不同的最短连接线有_________条．
【答案】70 2450
【分析】
一行八空任意填字，恰填得“上”、“右”两字各4个，可以从8空任选4空填“上”字，剩下4空填“右”字，由此可得方法数．方格表中从到的最短连接线可分两种：第一中是从经过到，第二种是从经过到，由对称性两种方法相同，而每种里又分两步：如第一种先从到，然后从到，由此由分步分类计数原理可得．
【详解】
一行八空任意填字，恰填得“上”、“右”两字各4个的方法为，
方格表中，重合方格的两个顶点记为，如图，则从到的最短连接线可分两种：第一中是从经过到，第二种是从经过到，由对称性两种方法相同，而每种里又分两步：如第一种先从到，然后从到，因此所有连接线条数为．
故答案为：70；2450．
【点睛】
思路点睛：本题考查分类分步计数原理，考查组合的应用，由对称性知方格表中的最短连接线问题，从到与从到的连接线条数是相同的，而从到的最短连接线共有7个小线段，不同的连接线就是7小线段中哪3条是横线，由此可得解法．
22．（2020·浙江杭州市·高一期末）随机变量X的分布列如下：
其中a，b，c成等差数列，则_______，若则方差_____．
【答案】 ；
【分析】
离散型随机变量的分布列中各随机变量对应的概率的总和为1，再由等差中项性质即可求得；由即可求出，，由均值计算公式计算均值，进而由方差计算公式计算出方差.
【详解】
解：，，成等差数列，
，
，，，
；
，且，，成等差数列，
①
又，
即 ②
由①，②解得：，，
又，
，
.
故答案为：，.
23．（2020·浙江高一期末）口袋中有大小形状都相同的4个红球，n个白球，每次从中摸一个球，摸后再放回口袋中，摸到红球记2分，摸到白球记1分，共换球3次．设所得分数为随机变量，若则_________，随机变量的均值为_________．
【答案】3
【分析】
根据题意得到摸到红球的概率是，白球的概率是，再根据即得3分，结合，由求解；由题意得到的可能取值为3，4，5，6，然后分别求得其概率，代入期望公式求解.
【详解】
因为口袋中有大小形状都相同的4个红球，n个白球，每次从中摸一个球，摸后再放回口袋中，
所以摸到红球的概率是，白球的概率是，
而即得3分，表示这3次摸的都是白球，
又因为，
所以，
解得，
由题意的可能取值为3，4，5，6，
则，
，
，
故答案为：3，
五、解答题
24．（2020·任丘市第一中学高二开学考试）已知在的展开式中，第6项为常数项．
（1）求；
（2）求含的项的系数；
（3）求展开式中所有的有理项．
【答案】（1）；（2）；（3），，.
【分析】
（1）求出的展开式的通项为，当时，指数为零，可得；
（2）将代入通项公式，令指数为，可得含的项的系数；
（3）根据通项公式与题意得，求出的值，代入通项公式并化简，可得展开式中所有的有理项．
【详解】
（1）的展开式的通项为，因为第6项为常数项，所以时，有，解得．
（2）令，得，所以含的项的系数为．
（3）根据通项公式与题意得，令，则，即．，∴应为偶数．又，∴可取2，0，-2，即可取2，5，8．所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为，，，即，，．
【点睛】
关键点点睛：本题考查二项式展开式的应用，考查二项式展开式的通项公式以及某些特定的项，解决本题的关键点是求解展开式的有理项时，令，由以及，求出的值，进而得出的值，代入通项公式化简可得有理项，考查了学生计算能力，属于中档题．
25．（2020·和县第二中学高二月考（理））（1）现有5架战机依次着辽宁舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有多少种？（列简式，算出结果）
（2）若甲乙两人从门课程中各选修门，则甲乙所选的课程中恰有2门相同的选法有多少种？（列简式，算出结果）
【答案】（1）24；（2）180.
【分析】
（1）甲、乙两机必须相邻,把甲、乙看作一个整体和戊全排列，而丙、丁两机不能相邻，把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位中按分步相乘原理可得结果；
（2）从门选2门，再从余下的4门课程，选2门分别给甲乙，按分步相乘原理可得答案.
【详解】
（1）甲、乙两机必须相邻,把甲、乙看作一个整体和戊全排列，共有种方法，而丙、丁两机不能相邻，把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位中，有种方法，再按分步相乘原理可得共有种方法；
（2）甲乙所选的课程有2门相同，从门选2门，有种选法，再从余下的4门课程，选2门分别给甲乙，有种选法，按分步相乘原理可得共有种选法.
【点睛】
方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
26．（2020·渝中区·重庆巴蜀中学高三月考）2020年10月4日，第29届全国中学生生物学奥林匹克竞赛，在重庆巴蜀中学隆重举行，若将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照的分组作出频率分布直方图如图所示.
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计这50名学生成绩的中位数；
（2）若按照分层随机抽样从成绩在的两组中抽取了6人，再从这6人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望.
【答案】（1），73.5分；（2）分布列见解析，1.
【分析】
（1）根据频率分布直方图的性质，求得，再结合中位数的计算方法，即可求解；
（2）根据题意，得出在抽取了4人，抽取了2人，得到随机变量的取
【详解】
（1）根据频率分布直方图的性质，可得，
解得，
由的概率之和为，
所以中位数为（分）.
（2）由题意，可得在共有（人），
在共有（人），
所以在抽取了4人，在抽取了2人，
所以随机变量的取值为，
可得，
0
1
2
P
所以数学期望为.
【点睛】
对于用样本估计总体主要注意以下两个方面：
1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观；
2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.
27．（2020·金华市曙光学校高三期中）某袋中装有大小相同质地均匀的5个球，其中3个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为，
（1）求的概率即
（2）求取出白球的数学期望和方差
【答案】（1）；（2），.
【分析】
（1）首先求出，然后可算出答案；
（2）的可能取值为，算出对应的概率，然后可得答案.
【详解】
（1）因为，所以
（2）的可能取值为
，，
所以的分布列为：
0
1
2
所以
28．（2020·全国高三专题练习（理））为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10件零件，度量其内径尺寸（单位： ）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布.
（1）假设生产状态正常，记表示某一天内抽取的10个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；
（2）某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如下图所示：
①计算这一天平均值与标准差；
②一家公司引进了一条这种生产线，为了检查这条生产线是否正常，用这条生产线试生产了5个零件，度量其内径分别为（单位： ）：85，95，103，109，119，试问此条生产线是否需要进一步调试，为什么？
参考数据： ， ，， ， ，， ， .
【答案】（1）0.0260；（2）① ；②生产线异常，需要进一步调试，理由见解析.
【分析】
（1）根据原则,可求得当和时的概率,结合对立事件的概率关系即可求得;由正态分布的期望公式即可求得X的数学期望.
（2）根据茎叶图,列出数据即可求得平均值,由方差公式先求得,再求得标准差;由正态分布的原则,计算出.观测5个零件与该范围关系,即可判断是否需要进一步调试.
【详解】
（1）由题意知：或 ，，
∵，∴；
（2）①
，所以
②结论：需要进一步调试．
理由如下：如果生产线正常工作，则服从正态分布，
，零件内径在之外的概率只有0.0026，而根据原则，知生产线异常，需要进一步调试．
【点睛】
关键点睛：（1）解题关键利用原则和正态分布的期望公式求解；（2）根据茎叶图,列出数据求得标准差，再由正态分布的原则，进而求解；难度属于中档题
29．（2020·洛阳理工学院附属中学高三月考（理））核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性．根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为（）．现有4例疑似病例，对其核酸检测有以下三种方案：
方案一：逐个化验；
方案二：四个样本混在一起化验；
方案三：平均分成两组化验．
（1）若，求2个疑似病例的混合样本化验结果为阳性的概率；
（2）在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化检次数的期望值越小，则方案越“优”．若，现将该4例疑似病例样本进行化验．请问：方案一、二中哪个更“优”？
（3）若，求方案三检测次数的分布列．
【答案】（1）；（2）方案二更“优”；（3）分布列见解析.
【分析】
（1）根据题意直接可得答案；
（2）方案二：检测次数为，的可能取值为1，5，算出其期望，然后与4作比较即可；
（3）首先算出每组检测的次数及其概率，然后可得方案三的检测次数为，的可能取值为2，4，6，算出对应的概率，然后可得分布列.
【详解】
（1）该混合样本呈阳性的概率是：；
（2）方案一：逐个检测，检测次数为4
方案二：检测次数为，的可能取值为1，5
所以
由于，所以方案二更“优”
（3）方案三，每组两个样本检测时，
若呈阴性，则检验次数为1，概率为
若呈阳性，则检验次数为3，概率为
故方案三的检测次数为，的可能取值为2，4，6
所以随机变量的分布列为
2
4
6
30．（2020·河南高三月考（理））共享交通工具的出现极大地方便了人们的生活，也是当下一个很好的发展商机.某公司根据市场发展情况推出共享单车和共享电动车两种产品.市场调查发现，由于两种产品中共享电动车速度更快，故更受消费者欢迎，一般使用共享电动车的概率为，使用共享单车的概率为.该公司为了促进大家消费，使用共享电动车一次记2分，使用共享单车一次记1分.每个市民各次使用共享交通工具选择意愿相互独立，市民之间选择意愿也相互独立.
（1）从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，记总得分为随机变量，求的分布列和数学期望；
（2）记某一市民已使用该公司共享交通工具的累计得分恰为分的概率为(比如：表示累计得分为1分的概率，表示累计得分为2分的概率，)，试探求与之间的关系，并求数列的通项公式.
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2），.
【分析】
（1）根据题意，得到总得分为随机变量的可能取值为，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用公式求得其数学期望；
（2）已调查过的累计得分恰为分的概率为，得出，结合等比数列的定义，得到为等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解.
【详解】
（1）由题意，从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，
则总得分为随机变量的可能取值为，
则，，
，，
所以的分布列为
3
4
5
6
所以数学期望.
（2）已调查过的累计得分恰为分的概率为，得不到分的情况只有先得分，
再得2分，概率为，其中.
因为，即，所以，
则是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以.
【点睛】
求随机变量的期望与方差的方法及步骤：
1、理解随机变量的意义，写出可能的全部值；
2、求取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；
3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望；
4、若随机变量的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.
31．（2020·湖南高三开学考试）“全国文明城市”已成为一块在国内含金量最高､综合性最强､影响力最大的“金字招牌”.为提升城市管理水平和区域竞争力，提升市民素养和群众幸福指数，某市决定参与创建“全国文明城市”.为确保创建工作各项指标顺利完成，市“创建办”拟通过网络对市民进行一次“文明创建知识”问卷调查(一位市民只参加一次).通过随机抽样，得到参加调查的100人的得分统计如下表：
组别
频数
1
12
22
25
25
11
4
（1）由频数分布表可以大致认为：此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的均值.求得分在区间的概率；(注：同一组的数据用该组区间的中点值作代表)
（2）在（1）的条件下，市“创建办”为鼓励市民积极参与创建问卷调查，制定了如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率如表所示：
赠送话费的金额(元)
30
50
概率
现有市民甲参加此次问卷调查，记X(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列与数学期望.
附：参考数据：①；②；③若，则，.
【答案】（1）0.1359；（2）分布列见解析，.
【分析】
（1）根据平均数的计算方法计算出平均数，根据正态分布的知识计算出.
（2）利用相互独立事件概率计算公式计算出分布列并求得数学期望.
【详解】
（1）根据表格中的数据，可得：
，
，
所以.
（2）由题意，可得，则获赠话费的可能取值为30，50，60，80，100，
，，，
，，
则的分布列为：
30
50
60
80
100
故期望值(元).
32．（2020·江苏海安市·高三期中）根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效.
（1）如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为，求的概率分布及数学期望；
（2）如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率，并根据的值解释该试验方案的合理性.
（参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件）
【答案】（1）分布列见解析，；（2），答案见解析.
【分析】
（1）先分析的可取值，然后根据超几何分布的相关知识求解出的概率分布以及数学期望；
（2）先分析新药无效的情况：中人痊愈、中人痊愈，由此求解出无效的概率，并分析试验方案的合理性.
【详解】
解：（1）X的所有可能取值为0，1，2
，，
∴X的分布列如下：
X
0
1
2
P
．
（2）新药无效的情况有：中人痊愈、中人痊愈，
∴
故可认为新药无效事件是小概率事件，从而认为新药有效，故该试验方案合理.
【点睛】
易错点睛：超几何分布和二项分布的区别与联系：
（1）超几何分布描述的是不放回抽样问题，二项分布描述的是放回抽样问题；
（2）超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题，二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题；
（3）当调查研究的样本容量很大时，在有放回地抽取和不放回地抽取条件下，计算得到的概率非常接近，可以近似将超几何分布认为是二项分布.
33．（2020·全国高二单元测试）某单位有8名青年志愿者，其中男青年志愿者5人，记为，女青年志愿者3人，记为.现从这8人中选4人参加某项公益活动.
（1）求男青年志愿者或女青年志愿者被选中的概率；
（2）在男青年志愿者被选中的情况下，求女青年志愿者也被选中的概率.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）其对立事件是和都没被选中，由对立事件概率公式计算可得．
（2）先求出被选中的概率，再求出都被选中的概率，然后由条件概率公式计算可得．
【详解】
（1）设“男青年志愿者和女青年志愿者都不被选中”为事件，则，
所以所求概率为.
（2）记“男青年志愿者被选中”为事件，“女青年志愿者被选中”为事件，
则，
所以.
所以在男青年志愿者被选中的情况下，女青年志愿者也被选中的概率为.
【点睛】
方法点睛：本题考查对立事件的概率公式，考查条件概率．在一个事件较为复杂，而其对立事件较简单时，常常先求出对立事件的概率，再由对立事件概率公式计算．
34．（2020·广西北海市·高三一模（理））出于“健康､养生”的生活理念.某地的炊具有限公司的传统手工泥模工艺铸造的平底铁锅一直受到全国各地消费者的青睐.炊具有限公司下辖甲､乙两个车间，甲车间利用传统手工泥模工艺铸造型双耳平底锅，乙车间利用传统手工泥模工艺铸造型双耳平底锅，每一口双耳平底锅按照综合质量指标值(取值范围为划分为：综合质量指标值不低于70为合格品，低于70为不合格品.质检部门随机抽取这两种平底锅各100口，对它们的综合质量指标值进行测量，由测量结果得到如下的频率分布直方图：
将此样本的频率估计为总体的概率.生产一口型双耳平底锅，若是合格品可盈利40元，若是不合格品则亏损10元；生产一口型双耳平底锅，若是合格品可盈利50元，若是不合格品则亏损20元.
（1）记为生产一口T型双耳平底锅和一口型双耳平底锅所得的总利润，求随机变量的数学期望；
（2）炊具有限公司生产的和型双耳平底锅共计1000口，并且两种型号获得的利润相等，若将两种型号的合格品再按质量综合指标值分成3个等级，其中为三级品，为二级品，为一级品，试判断生产的这1000口两种型号的双耳平底锅中哪种型号的一级品多？请说明理由.
【答案】（1）数学期望：；（2）生产的这1000口两种型号的双耳平底锅中型号的一级品多，理由见解析.
【分析】
（1）根据频率直方图分别计算两车间生产一件相应产品为合格品的频率，并作为概率的估计值，然后利用独立事件同时发生的概率和互斥事件概率公式求得随机变量X的分布列，根据期望的定义计算期望值；
（2）先根据已知条件，设未知数列方程组求得这1000口锅中T型可L型平底锅的口数，然后根据直方图用频率估计各车间相应产品的一等品概率，进而求得每种型号的双耳平底锅的口数，即可做出正确判断.
【详解】
解：（1）根据频率分布直方图，
甲车间生产的一口T型双耳平底锅为合格品的概率为
；
乙车间生产的一口L型双耳平底锅为合格品的概率为
.
随机变量的所有取值为90，40，20，-30，则
；；
；.
所以.
（2）生产的这1000口两种型号的双耳平底锅中型号的一级品多，理由如下：
设生产的这1000口双耳平底锅中型的有口，型的有口，则生产口型双耳平底锅的利润为，
生产口型双耳平底锅的利润为.
由，即，又，
解得，.
由于型双耳平底锅一级品的概率为0.08，型双耳平底锅一级品的概率为0.06，
所以型双耳平底锅一级品的估计值等于，
型双耳平底锅一级品的估计值等于，
因此生产的这1000口两种型号的双耳平底锅中型号的一级品多.
【点睛】
本题考查随机变量的分布列和期望的计算，涉及频率直方图，独立事件同时发生的概率，和概率的应用，是中等难度题目.利用频率直方图中的频率估计各车间相应产品的合格率，进而利用互斥和对立事件概率公式求得分布列是该题的重点难点所在.
35．（2020·全国高三月考（理））山竹，原产于马鲁古，具有清热泻火、生津止渴的功效，其含有丰富的蛋白质与脂类，对体弱、营养不良的人群都有很好的调养作用，因此被誉为夏季的“水果之王”，受到广大市民的喜爱．现将某水果经销商近一周内山竹的销售情况统计如下表所示：
采购数量（单位：箱）
采购人数
100
100
50
200
50
（1）根据表格中数据，完善频率分布直方图；
（2）求近一周内采购量在286箱以下（含286箱）的人数以及采购数量的平均值；
（3）以频率估计概率，若从所有采购者中随机抽取4人，记采购量不低于260箱的采购人数为，求的分布列以及数学期望．
【答案】（1）直方图见解析；（2）270；（3）分布列见解析，.
【分析】
（1）求出各组频率，得出频率除以组距值，即可完善频率分布直方图；
（2）根据频率分布直方图即可列式求解；
（3）可知，求出概率，即可得出分布列和期望值.
【详解】
（1）依题意，转化频率分布表如下所示：
采购数量（单位：箱）
采购人数
100
100
50
200
50
频率
0.2
0.2
0.1
0.4
0.1
频率/组距
0.010
0.010
0.005
0.020
0.005
完善频率分布直方图如图所示：
（2）采购量在286箱以下（含286）的频率为；
故采购量在286箱以下（含286）的人数为；
所求平均值为；
（3）依题意，，则，
，，
，，
故的分布列为：
0
1
2
3
4
故．
【点睛】
本题考查频率分布直方图、样本的数字特征、离散型随机变量的分布列以及数学期望，考查考生直观想象、数学建模、数学运算、逻辑推理的核心素养．
36．（2020·衡阳市船山英文学校高三月考）某学校长期坚持以人为本，实施素质教育每年都会在校文化节期间举行诗词知识和环保知识两项竞赛，竞赛成绩分为A，B，C，D，E五个等级等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分.设该校某班学生两项知识竞赛都参加，且两项知识竞赛的成绩的数据统计如下图所示，其中环保知识竞赛的成绩为A的学生有4人.
（1）求该班学生诗词知识竞赛成绩为A的人数以及诗词知识竞赛的平均分；
（2）若该班两项竞赛成绩总得分超过8分的学生共有7人，其中有3人10分，4人9分，从这7人中随机抽取三人，记三人的成绩之和为X，求X的分布列及.
【答案】（1）诗词知识竞赛成绩为A的人数为人，平均分为(分)；（2）分布列答案见解析，.
【分析】
（1）根据环保知识竞赛的成绩为A的学生有4人，频率是0.08，可求得班级总人数，根据诗词知识竞赛中A的频率，即可求得诗词知识竞赛成绩为A的人数，代入平均数公式，即可求得诗词知识竞赛的平均分；
（2）依题设知，X的所有取值为30，29，28，27.分别求得X不同取值时的频率，列出分布列，代入公式，即可求得答案.
【详解】
（1）由图可知，环保知识竞赛的成绩为A的学生有4人，频率是0.08，
故该班有人，
由图可知，诗词知识竞赛的成绩为A的频率是0.1，
因此，诗词知识竞赛成绩为A的人数为人.
该班诗词知识竞赛的平均分为(分).
（2）依题设知，X的所有取值为30，29，28，27.
则，，
，，
其分布列为
X
30
29
28
27
P
所以，
故.
37．（2020·北京市第十三中学高三期中）某单位有车牌尾号为2的汽车和尾号为6的汽车，两车分属于两个独立业务部门.对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，车日出车频率0.6，车日出车频率0.5.该地区汽车限行规定如下：
车尾号
0和5
1和6
2和7
3和8
4和9
限行日
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且，两车出车相互独立.
（1）求该单位在星期一恰好出车一台的概率；
（2）设表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求的分布列及其数学期望.
【答案】（1）0.5；（2）分布列见解析，.
【分析】
（1）设车在星期出车的事件为，车在星期出车的事件为，，2，3，4，5，
设该单位在星期一恰好出一台车的事件为，根据计算可得结果；
（2）的可能取值为0，1，2，3，求出的各个取值的概率可得分布列和数学期望.
【详解】
（1）设车在星期出车的事件为，车在星期出车的事件为，，2，3，4，5
由已知可得，
设该单位在星期一恰好出一台车的事件为，
因为，两车是否出车相互独立，且事件，互斥，
所以
所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为0.5.
（2）的可能取值为0，1，2，3
所以的的分布列为
0
1
2
3
0.08
0.32
0.42
0.18
.
【点睛】
关键点点睛：第二问分析出的可能取值，搞清楚的每个取值对应的事件是解题关键.
38．（2020·云南昆明市·高三其他模拟）某中学举办的校园文化周活动中，从周一到周五的五天中，每天安排一项内容不同的活动供学生选择参加，要求每位学生参加三项活动，其中甲同学必须参加周一的活动，不参加周五的活动，其余三天的活动随机选择两项参加，乙同学和丙同学可以在周一到周五中随机选择三项参加.
（1）求甲同学选周三的活动且乙同学未选周三的活动的概率；
（2）用X表示甲､乙､两三名同学选择周三活动的人数之和，求X的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用相互独立事件概率公式，可求甲同学选周三的活动且乙同学未选周三的活动的概率；
（2）由题意可以知道随机变量的可能值为0，1，2，3，利用独立事件概率公式即可求得随机变量每一个值对应的概率，并列出其分布列，再由期望公式求解．
【详解】
（1）设表示事件“甲同学选周三的活动”， 表示事件“乙同学选周三的活动”，
则（A），（B），
事件，相互独立，
甲同学选周三的活动且乙同学未选周三的活动的概率为（A）；
（2）设表示事件“丙同学选周三的活动”，则（C），
的可能取值为0，1，2，3，则
；
；
；
．
的分布列
0
1
2
3
数学期望．
【点睛】
求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.
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