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专题六 导数的综合问题-2021届高三《新题速递•数学》12月刊（江苏专用 适用于高考复习）
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这是一份专题六 导数的综合问题-2021届高三《新题速递•数学》12月刊（江苏专用 适用于高考复习），文件包含专题六导数的综合问题原卷版docx、专题六导数的综合问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共135页， 欢迎下载使用。
专题六 导数的综合问题
一、单选题
1．已知函数和的图象上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意可知f(x)=−g(−x)有解,即方程有解，即有解．
设,则，
∴h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增，
∴当x=2时,h(x)取得最小值h(2)=ln2+1.
∴h(x)的值域为[1+ln2,+∞).
∴m的取值范围是[1+ln2,+∞).
本题选择D选项.
2．设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集为
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由题，构造新函数，然后求得其单调性和奇偶性，然后解得其结果即可.
【详解】
由题意令，则当时，，所以当时，函数为单调递增函数，又由，分别是定义在上的奇函数和偶函数，所以是定义在上的奇函数，所以当时，函数为单调递增函数，且，当时，不等式的解集是；当时，不等式的解集是，所以不等式的解集是，故选D．
【点睛】
本题解答中涉及利用导数研究函数的单调性以及单调性的应用、函数的奇偶性及其应用、不等关系的求解等知识点，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用．本题的解答中根据题设条件，得出函数的单调性和奇偶性是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．
3．若函数在上有小于零的极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
,则，且所以
4．已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，设则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵
∴
∵对任意实数都有
∴，即在上为单调减函数
又∵
∴
∴不等式等价于
∴不等式的解集为
故选B
点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，，构造，构造，构造等.
5．函数（）的图象大致形状是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x＞0时，f（x）＝logax（0＜a＜1）是单调减函数，即可得出结论．
【详解】
由题意，f（﹣x）＝﹣f（x），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B、D；
x＞0时，f（x）＝logax（0＜a＜1）是单调减函数，排除A．
故选C．
【点睛】
本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．
6．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
函数定义域是R，函数有两个极值点，其导函数有两个不同的零点；将导函数分离参数m后构造出的关于x的新函数与关于m的函数有两个不同交点，借助函数单调性即可确定m的范围.
【详解】
函数的定义域为，.因为函数有两个极值点，所以有两个不同的零点，故关于的方程有两个不同的解，令，则，当时，，当时，，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，又当时，；当时，，且，故，所以，故选B.
【点睛】
本题考查了利用函数极值点性质求解参数范围，解题中用到了转化思想和分离参数的方法，对思维能力要求较高，属于中档题；解题的关键是通过分离参数的方法，将问题转化为函数交点个数的问题，再通过函数导数研究构造出的新函数的单调性确定参数的范围.
7．（2020·扬州市江都区大桥高级中学高三开学考试）函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由函数为奇函数，排除A，B，再利用导数求得函数的单调性，排除D，即可求解．
【详解】
由题意，函数的定义域为，
且，所以函数为奇函数，排除A，B；
当时，函数，则，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，排除D．
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的判定方法，以及函数的导数与单调性的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
8．已知函数的图像上有且仅有四个不同的关于直线对称的点在的图像上，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据对称关系可将问题转化为与有且仅有四个不同的交点；利用导数研究的单调性从而得到的图象；由直线恒过定点，通过数形结合的方式可确定；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得和，进而得到结果.
【详解】
关于直线对称的直线方程为：
原题等价于与有且仅有四个不同的交点
由可知，直线恒过点
当时，
在上单调递减；在上单调递增
由此可得图象如下图所示：
其中、为过点的曲线的两条切线，切点分别为
由图象可知，当时，与有且仅有四个不同的交点
设，，则，解得：
设，，则，解得：
，则
本题正确选项：
【点睛】
本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解.
9．已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
令，由可知在上单调递增，从而可得在上恒成立；通过分离变量可得，令，利用导数可求得，从而可得，解不等式求得结果.
【详解】
由且得：
令，可知在上单调递增
在上恒成立，即：
令，则
时，，单调递减；时，，单调递增
，解得：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查根据函数的单调性求解参数范围的问题，关键是能够将已知关系式变形为符合单调性的形式，从而通过构造函数将问题转化为导数大于等于零恒成立的问题；解决恒成立问题常用的方法为分离变量，将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系比较的问题，属于常考题型.
10．已知函数，，下列说法中正确的是（ ）
A．在点处有相同的切线
B．对于任意，恒成立
C．的图象有且只有一个交点
D．的图象有且只有两个交点
【答案】D
【解析】
【分析】
根据导数与切线，函数的关系求解.
【详解】
因为，，，，
所以在点处的切线不同。选项A错误.
，
因为
，所以时，有最小值 ，
所以当时，不恒成立.选择B错误；
由上可知，函数 在上有且只有两个零点，
所以的图象有且只有两个交点.
故选D.
【点睛】
本题考查导数的综合应用.此题也可用图像法，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题.
11．对于函数,下列说法正确的有 ( )
①在处取得极大值；
②有两个不同的零点；
③.
A．0个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】
求得，得到函数的单调性与图象，结合函数的图象，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，函数，则，
令，解得，
当时，，当时，，
所以函数的增区间是，减区间为，
所以当时，函数有极大值，
当时，，当时，，
函数的图象如图所示，
根据函数的图象可得：，且函数只有一个零点，
综上可知，只有①③正确，故选C．
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的极值与最值，同时注意数形结合思想的应用．
12．（2020·河南林州市林虑中学高二开学考试（理））已知函数图象上任一点处的切线方程为，那么函数的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据导数几何意义得导数，再解不等式得结果.
【详解】
由题意得，因此由得或，选D.
【点睛】
本题考查导数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.
13．函数f（x）=x+2cosx在区间上的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】
f′(x)＝1－2sin x.
∵x∈，
∴sin x∈[－1,0]，∴－2sin x∈[0,2]．
∴f′(x)＝1－2sin x>0在上恒成立，
∴f(x)在上单调递增．
∴f(x)min＝－＋2cos（－）＝－. 选A
第II卷（非选择题）
二、解答题
14．函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围.
【答案】（1）a≥1时，在（-，+）是增函数；0
试题分析：（1）首先求出函数的导数，然后求出使或的解集即可.
（2）分类讨论在区间（1，2）上使成立的条件，并求出参数a的取值范围即可
试题解析：（1），的判别式△=36（1-a）.
（i）若a≥1，则，且当且仅当a=1，x=-1，故此时f（x）在R上是增函数.
（ii）由于a≠0，故当a<1时，有两个根：，
若0
（2）当a>0，x>0时,，所以当a>0时，f（x）在区间（1，2）是增函数.
若a<0时，f（x）在区间（1,2）是增函数当且仅当且，解得.
综上，a的取值范围是.
考点：1.函数的导数；2.导数性质的应用.
15．已知函数f(x)＝(2x－4)ex＋a(x＋2)2(x>0，a∈R，e是自然对数的底数)．
(1)若f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数，求实数a的取值范围；
(2)当a∈时，证明：函数f(x)有最小值，并求函数f(x)的最小值的取值范围．
【答案】（1） （2）(－2e，－2)．
【分析】
（1）由题意得当x>0时，函数f′(x)≥0恒成立，再分离变量法转化为对应函数最值，根据导数求对应函数单调性，进而确定最值，得实数a的取值范围；
（2）先研究导函数单调性，再根据零点存在定理得导函数有唯一一个零点，即为函数极小值点，也是最小值点，最后利用导数研究最小值函数单调性，即得最小值取值范围
【详解】
(1)f′(x)＝2ex＋(2x－4)ex＋2a(x＋2)＝(2x－2)ex＋2a(x＋2)，依题意，当x>0时，函数f′(x)≥0恒成立，即a≥－恒成立，记g(x)＝－，
则g′(x)＝－ ＝－<0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以g(x)
(2)因为[f′(x)]′＝2xex＋2a>0，所以y＝f′(x)是(0，＋∞)上的增函数，又f′(0)＝4a－2<0，f′(1)＝6a>0，所以存在t∈(0,1)使得f′(t)＝0，
又当x∈(0，t)时，f′(x)<0，当x∈(t，＋∞)时，f′(x)>0，
所以当x＝t时，f(x)min＝f(t)＝(2t－4)et＋a(t＋2)2.
且有f′(t)＝0⇒a＝－，
则f(x)min＝f(t)＝(2t－4)et－(t－1)(t＋2)et＝et(－t2＋t－2)，t∈(0,1)．
记h(t)＝et(－t2＋t－2)，则h′(t)＝et(－t2＋t－2)＋et(－2t＋1)＝et(－t2－t－1)<0，
所以h(1)
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
16．（2020·宁夏银川二中高二期末（文））已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（Ⅱ）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值.
试题解析：（Ⅰ）因为，所以.
又因为，所以曲线在点处的切线方程为.
（Ⅱ）设，则.
当时，，
所以在区间上单调递减.
所以对任意有，即.
所以函数在区间上单调递减.
因此在区间上的最大值为，最小值为.
【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是()恒成立，这样就能知道函数的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断的单调性，最后求得结果.
17．已知函数为自然对数的底数．
（1）若曲线在点处的切线与轴平行，求的值；
（2）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】
（Ⅰ），由题设知，求得的值；
（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，则方程
在内由两个不等实根,可列不等式组
,即可求a的范围
【详解】
解：（Ⅰ），由题设知，故
（Ⅱ）由题知，在内由两个不等实根，
.
【点睛】
本题考查了函数在一点处导数的几何意义，导数在极值中的应用,利用极值求参数的范围.
18．已知点M是曲线上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：
(1)斜率最小的切线方程；
(2)切线l的倾斜角的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】
（1）根据题意对函数求导可得到导函数的最小值为-1，进而得到斜率最小为-1，此时的切点可求，根据点斜式可写出直线方程；（2）由(1)得k≥－1，∴tan α≥－1，进而得到角的范围.
【详解】
(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，
∴当x＝2时，y′＝－1，y＝，
∴斜率最小的切线过点，斜率k＝－1，
∴切线方程为3x＋3y－11＝0.
(2)由(1)得k≥－1，∴tan α≥－1，
又∵α∈[0，π)，∴α∈∪.
故α的取值范围为∪.
【点睛】
这个题目考查了导数的几何意义，以及倾斜角和斜率的关系，求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.
19．已知函数．
（Ⅰ）求函数在处的切线方程；
（Ⅱ）证明：仅有唯一的极小值点.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】
（Ⅰ）求得的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；
（Ⅱ）令，求得导数，讨论，，判断导数的符号和的单调性，即可得证．
【详解】
（1）因为，所以．又因为，
所以切线方程为：，即．
（2）令，则，
所以时，时．
当时，易知，
所以，在上没有极值点．
当时，因为，
所以，在上有极小值点．
又因为在上单调递增，所以仅有唯一的极小值点.
【点睛】
本题考查导数的运用：求切线的方程和极值，考查构造函数法，以及分类讨论思想方法，以及运算求解能力，属于中档题．
20．已知函数.
（1）若曲线在处的切线的斜率为，求的值；
（2）若，求证：当时，的图像恒在轴上方.
【答案】（1）0；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据导数的几何意义得到，求解即可；（2）的图像恒在轴上方，即>0恒成立，分两种情况当时，当时，讨论函数的单调性，求得函数的最值，是的最小值大于0即可.
【详解】
（1），
∴，
∴.
（2），
令，，
（ⅰ）当时，，单调递增，，
单调递增，，满足题意.
（ⅱ）当时，，解得.
当，，单调递减；
当，，单调递增，
此时，
∵，，即，
∴单调递增，，满足题意.
综上可得：当且时，的图象恒在轴上方.
【点睛】
这个题目考查了导数的几何意义，以及函数的恒成立问题，解决恒成立的问题常见方法：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.
21．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若函数在上的最小值是，求的值.
【答案】（1）见解析；（2），.
【分析】
（1）求得，分类讨论，即可求解函数的单调性；
（2）当时，由（1）知在上单调递增，分和两种情况讨论，求得函数的最小值，即可求解.
【详解】
（1）定义域为,求得,
当时，，故在单调递增 ,
当时，令，得 ，所以当时，，单调递减
当时，，单调递增.
（2）当时，由（1）知在上单调递增，所以 （舍去）,
当时，由（1）知在单调递减，在单调递增
所以，解得 （舍去）,
当时，由（1）知在单调递减，
所以，解得 ,
综上所述，.
【点睛】
本题主要考查了导数在函数中的应用，其中解答中熟记函数的导数与函数的关系，准确判定函数的单调性，求得函数的最值是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
22．已知函数在处取得极值.
（1）求的单调递增区间；
（2）若关于的不等式至少有三个不同的整数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为. （2）
【分析】
（1）根据函数极值点定义可知，由此构造方程求得，得到；令即可求得函数的单调递增区间；
（2）将原问题转化为至少有三个不同的整数解；通过的单调性可确定函数的图象，结合，和的值可确定所满足的范围，进而得到不等式，解不等式求得结果.
【详解】
（1）由题意得：定义域为，，
在处取得极值，，解得：，
，.
由得：，的单调递增区间为.
（2），等价于.
由（1）知：时，；时，，
在上单调递增，在上单调递减，
又时，；时，，可得图象如下图所示：
，，，
若至少有三个不同的整数解，则，解得：.
即的取值范围为：.
【点睛】
本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据极值点求解参数值、利用导数求解函数的单调区间、根据不等式整数解的个数求解参数范围的问题；关键是能够将不等式转化为变量与函数之间的大小关系问题，进而利用导数研究函数的单调性和图象，从而根据整数解的个数确定不等关系.
23．已知函数，．
（Ⅰ）若在上是增函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）讨论函数的极值，并说明理由；
（Ⅲ）若有两个极值点，，求证：函数有三个零点．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，无极值；当时，存在一个极大值和一个极小值；（Ⅲ）见解析
【分析】
（Ⅰ）利用得；利用导数求得的最小值，则；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数单调递增，无极值；当，可证得有两根，即有两根，从而可得函数的单调性，进而确定有一个极大值和一个极小值；（Ⅲ）由（Ⅱ）知且；利用和表示，代入函数中，可表示出和；根据和设，通过导数可验证出单调递减，进而求得，，结合图象可证得结论.
【详解】
（Ⅰ）由得：
在上是增函数 在上恒成立
即：在上恒成立
设，则
当时，；当时，
即在上单调递减；在上单调递增
即的取值范围为：
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当时，在上是增函数，此时无极值；
当时，令，即
时，；；时，
有两个根，设两根为，且
可知：和时，；时，
即在，上单调递增；在上单调递减
在处取得极大值；在处取得极小值
综上所述：当时，无极值；当时，存在一个极大值和一个极小值
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，有两个极值点，，则，且
；
又
令，则
则在上恒成立，即在上单调递减
又 时，；时，
，
当时，；当时，
可得大致图象如下：
有三个零点
【点睛】
本题考查导数在函数中的综合应用问题，主要考查了根据函数单调性求解参数范围、讨论函数的极值个数、判断函数的零点个数问题，涉及到构造函数的方式、恒成立的处理方法、数形结合的方式等，对学生的综合运用能力要求较高.
24．已知函数，.
(1)当时，比较与的大小；
(2)若与的图象有两个不同的交点，，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【分析】
（1）令，由可知在上是增函数，进而得到，得到所求大小关系；
（2）分别将两交点坐标代入，作和、作差分别表示出，从而建立起等量关系；根据（1）中结论可得，代入可整理得到所证结论.
【详解】
（1）令，则
在上是增函数 ，即
（2）不妨设，则
由题设，
由（1）的结论知：
【点睛】
本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用单调性比较大小、不等式的证明问题；证明不等式的关键是能够利用变量得到的关系，进而利用证明过的不等关系来进行放缩整理.
25．已知函数.
⑴当时，证明:在上有唯一零点；
(2)若对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】
（1）通过导数可得单调性，利用零点存在性定理依次验证在各个单调区间内是否有零点，结合单调性可知每段单调区间内零点具有唯一性，从而可证得结论；（2）采用分离变量的方式将问题转化为对恒成立，令，利用导数得到在内的最小值，从而得到结果.
【详解】
（1）当时，
当和时，；当时，
在，上单调递增；在上单调递减
， 在有一个零点
在上没有零点
在上没有零点
综上所述：在上有唯一零点
（2）当时，恒成立等价于对恒成立
令，
则
当时，；当时，
在上单调递减，在上单调递增
即的取值范围为：
【点睛】
本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数和零点存在性定理研究函数的零点个数、恒成立问题的求解；解决恒成立问题的常用方法是通过分离变量的方式将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系问题，从而利用导数求得函数的最值，得到所求范围.
26．（2020·湖南长郡中学高三月考（文））已知函数，．
（Ⅰ）记，试判断函数的极值点的情况；
（Ⅱ）若有且仅有两个整数解，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）求导后可知的符号由的符号决定；根据的单调性，结合存在性定理可知存在唯一的，使得，从而得到得单调性，根据极值与单调性的关系可确定极值点；（Ⅱ）将所求不等式化为；当和时，根据（Ⅰ）的结论可验证出都有无穷多个整数解，不合题意；当时，若，由时，可知无整数解，不合题意；若，可知，解不等式组求得结果.
【详解】
（Ⅰ）由得：
设，则在上单调递增
又，
存在唯一的，使得，即
当时，；当时，
在上单调递减；在上单调递增
为的极小值点，无极大值点
（Ⅱ）由得：，即
①当时，恒成立，有无穷多个整数解，不合题意
②当时，，
， 当时，由（Ⅰ）知：
有无穷多个整数解，即有无穷多个整数解，不合题意
③当时，
i.当时，，又
两个整数解为：
，解得：
ii.当时，
当时，由（Ⅰ）知： 无整数解，不合题意
综上所述：
【点睛】
本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解极值点个数、根据整数解个数求解参数范围的问题；与整数解有关的范围问题的求解关键是能够确定自变量为整数时函数的值域，进而根据整数解个数确定临界整数所对应的函数值的范围，从而得到不等关系.
27．设函数
（Ⅰ）若函数在点处的切线方程为，求实数与的值；
（Ⅱ）若函数有两个零点，，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）0，；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用导数的几何意义可知；利用构造方程求得；（Ⅱ）令，求导可确定函数的单调性，从而得到函数的大致图象；将有两个零点转化为与有两个交点，通过数形结合得到所求范围.
【详解】
（Ⅰ）
又 ，解得：
（Ⅱ）
令，则
令，解得：；令，解得：
则函数在上单调递增，在上单调递减 ，
当时，；当时，
由此可得大致图象如下图所示：
要使函数的图象与有两个不同的交点，则：
即实数的取值范围为
【点睛】
本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数几何意义的应用、根据函数零点个数求解参数范围问题；关键是能够将零点个数转化为函数与平行于轴直线的交点个数问题，通过数形结合的方式来求解.
28．已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，试判断方程是否有实数根？并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）没有.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，通过讨论与0的关系分析函数的单调性即可；
（2）通过分析的导数求出 ，令，求出的最大值小于的最小值，从而判断无解．
【详解】
解：（1）由已知可知函数的定义域为，
由,
当时，所以在为增函数,
当时，,
所以的单调递增区间为,单调递减区间为.
（2）当时，由（1）可知知在为增函数,在为减函数.
所以,所以.
令，则.
当时，；
当时，,
从而在上单调递增，在上单调递减,
所以，
所以，即，
所以，方程没有实数根.
【点睛】
本题考查了函数的单调性最值问题，考查导数的应用、函数恒成立问题，属于中档题．
29．已知函数，其中a∈R.
(1)当a＝4时，求f(x)的极值点；
(2)讨论并求出f(x)在其定义域内的单调区间．
【答案】（1）x＝2－为f(x)的极大值点，x＝2＋为f(x)的极小值点；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
(1)利用导数求函数f(x)的极值点；（2）先求出，设g(x)＝x2－ax＋1，对a分类讨论求出函数的单调区间.
【详解】
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝4时，f(x)＝lnx＋，
.令f′(x)＝0⇒x＝2±.
列表
x
(0，2－)
2－
(2－，2＋)
2＋
(2＋，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
所以，x＝2－为f(x)的极大值点，x＝2＋为f(x)的极小值点．
(2)，
设g(x)＝x2－ax＋1，
∵x＞0，∴①当a＜0时，g(x)＞0，f′(x)＞0在x∈(0，＋∞)上恒成立，
此时函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；
②当a＞0时，.
当1－≥0，即0＜a≤2时，g(x)＞0，f′(x)＞0在x∈(0，＋∞)上恒成立，此时函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；
当a＞2时，方程g(x)＝0的两根分别为，且0＜x1＜x2，
∴当x∈(0，x1)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，故函数f(x)在(0，x1)上单调递增；
当x∈(x1，x2)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，故函数f(x)在(x1，x2)上单调递减；
当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，故函数f(x)在(x2，＋∞)上单调递增．
综上所述，
当a≤2时，函数f(x)的单调增区间为，没有减区间；
当a＞2时，函数f(x)的减区间为；增区间为(0，x1)，(x2，＋∞)．
【点睛】
本题主要考查利用导数求函数的极值点，考查利用导数求函数的单调区间，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.
30．已知函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，证明：.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析
【分析】
（Ⅰ）显然，，可分和分别讨论函数的单调性;
（Ⅱ）当时，要证：，
只需证：，由（Ⅰ）易知，
所以即证：，从而设求最小值即可.
【详解】
（Ⅰ）显然，，
（1）当时，，在上单调递减；
（2）当时，由得
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
（Ⅱ）当时，要证：，
只需证：，由（Ⅰ）易知，
所以即证：，
设，则，令得得，
当时，，在上单调递减；当时，，
在上单调递增．，即，即，所以
【点睛】
本题主要考查函数与导数的应用，意在考查学生的计算能力和逻辑分析能力，具有较高的思维技巧，对学生分类讨论的能力要求较高.
31．（2019·浙江学军中学）函数
（1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围．
（2）设，分别为的极大值和极小值，若，求取值范围．
【答案】(1) 或 (2)
【解析】
【分析】
（1）首先求函数的定义域以及导函数，由是定义域上的单调函数等价于导函数在定义域范围内恒大于等于零或恒小于等于零，分别令导函数大于等于零或恒小于等于零，分离参数，即可求出的取值范围；
（2）设的两根为，可得， ，将，代入化简，构造函数，求导数，应用单调性，即可得到的范围.
【详解】
(1) 函数是定义域为 ，，
由是定义域上的单调函数等价于导函数在定义域范围内恒大于等于零或恒小于等于零
①令，即，则恒成立，∴
②令，即，则恒成立，∴
综上，或
（2）由且得
此时设的两根为，
所以
因为，
所以，
由，且得
所以
由得代入上式得
令，
所以，
，
则，
所以在上为减函数
从而，即
所以．
【点睛】
本题考查导数的综合应用：求单调区间，考查二次方程的两根的关系，构造函数应用导数判断单调性，综合性比较强，有一定难度.
32．已知函数，，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：，恒成立.
【答案】（1）当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析
【分析】
（1）可求得，分别在、、、四种情况下讨论导函数的符号，从而得到原函数的单调性；（2）将不等式转化为：，令，，利用导数求得和，可证得，从而证得结论.
【详解】
（1），
①当时，
时，；时，
在上单调递增，在上单调递减
②当时，
和时，；时，
在和上单调递增，在上单调递减
③当时，
在上恒成立
在上单调递增
④当时，
和时，；时，
在和上单调递增，在上单调递减
综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减
（2）对，恒成立即为：，
等价于：
令，则
时，；时，
在上单调递减，在上单调递增
令，则
时，；时，
在上单调递增，在上单调递减
综上可得：，即在上恒成立
对，恒成立
【点睛】
本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解.解决本题中的恒成立问题的关键是能够将所证不等式转化为两个函数之间最值的比较，通过最小值与最大值的大小关系得到结论.
33．已知二次函数在处取得极值，且在点处的切线与直线平行.
（1）求的解析式；
（2）求函数的极值.
【答案】（1）；（2）极大值为0，极小值为.
【解析】
【分析】
（1）先对函数求导，令 可得的值，进而求出的解析式；
（2）由（1）可知，求，通过导函数求函数的极值。
【详解】
（1）由：得，
由题设可得，即，
解得，，所以；
（2）由题意得
所以
令，得，
或，，
变化时，的变化情况如下表：
有极大值
有极小值
的极大值为，
的极小值为.
【点睛】
本题考查导数的几何意义以及利用导函数研究函数的单调性和极值，属于基础题。
34．设
（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）当时，在内是否存在一实数，使成立？请说明理由.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，理由详见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用函数解析式和导函数求得切点坐标和切线斜率，利用点斜式得到切线方程；（Ⅱ）假设存在满足题意，将问题转变为证明当时，，利用导数可求得单调性，从而知；则只需证明或即可，经验证成立，所以假设正确，得到结论.
【详解】
（Ⅰ）当时，
即切点坐标为：
曲线在点处的切线的斜率为：
所求切线方程为：，即：
（Ⅱ）假设当时，在上存在一点，使成立
则只需证明当时，即可
令，解得：，
当时，
当时，；当时，
函数在上单调递减，在上单调递增
则只需证明或即可
成立 假设正确
当时，在上至少存在一个实数，使成立
【点睛】
本题考查求解在曲线上某一点处的切线方程、函数中的能成立问题的求解，涉及到导数几何意义的应用、利用导数研究函数的最值问题.解决能成立问题的关键是将问题转变为函数最值问题的求解.
35．（2020·赣州市赣县第三中学高三期中（文））已知函数，曲线在点处的切线为.
（1）求，的值；
（2）若对任意的，恒成立，求正整数的最大值.
【答案】（1），；（2）3
【分析】
（1）根据切线方程可求得且，从而构造方程求得结果；（2）利用分离变量的方式可得在上恒成立；令，，通过导数可知，当时，，当时，，从而可得，可求得，则，得到所求结果.
【详解】
（1）由得：
由切线方程可知：
，，解得：，
（2）由（1）知
则时，恒成立等价于时，恒成立
令，，则.
令，则
当时，，则单调递增
， ，使得
当时，；时，
，即正整数的最大值为
【点睛】
本题考查根据在某一点处的切线方程求解函数解析式、利用导数解决恒成立问题.解决恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为参数与函数最值的关系，利用导数求得函数的最值，从而求得结果.
36．（2019·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考（文））设函数
（1）求函数图象在点处的切线方程；
（2）求函数在上的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）对函数求导，然后求出，，运用点斜式即可求出切线方程；
（2）利用导数研究出函数在区间的单调性，比较极值以及端点值的大小，即可求出函数在区间上的最大值与最小值。
【详解】
（1）由题可得：，
，，
故函数图像在点处的切线方程为，化简得：
（2）令，解得：，，
令，解得：或，则函数在区间上单调递增；
令，解得：，则函数在区间上单调递减；
单调递减
单调递增
所以
【点睛】
本题考查学生的运算能力，考查导数的基本工具作用，考查函数切线方程、函数在闭区间上最值的求解等基本的数学问题，因此本题对学生把握导数研究函数的基本问题做了全面的要求，重视函数的单调性在求解函数最值中运用。
37．已知函数
（1）求在处的切线方程；
（2）若对任意的恒有，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）分别求得和，根据导数几何意义和直线点斜式可求得切线方程；（2）将问题转化为在上单调递增，即恒成立；通过分离变量的方式可知；利用导数求出的最小值从而求得结果.
【详解】
（1）由题意得：
当时，，
在处的切线方程为：，即：
所求切线方程为：
（2）由得：
设
恒成立等价于在上单调递增
即对恒成立
令，则
当时，；当时，
在上单调递减；在上单调递增
【点睛】
本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据导数几何意义求解参数方程、恒成立问题的求解.解决本题中恒成立问题的关键是能够构造出函数，将问题转化为新函数单调递增的问题，进而变为导函数符号恒定的问题，通过分离变量的方式可求得结果.
38．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当对于任意的，不等式恒成立，求正实数的取值范围.
【答案】（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时函数在上单调递增；当时函数在,上单调递增，上单调递减；（2）
【分析】
（1）求得后，分别在、、、的情况下讨论的符号，从而可得函数的单调性；（2）将问题变为，当时，，从而构造关于的不等式，解不等式可知不合题意；当时，，可知，构造函数，可求得，从而可得的范围.
【详解】
（1）函数的定义域为．
①当时
当或时，；当时，
在，上单调递增；在上单调递减
②当时，，在上单调递增
③当时
当或时，；当时，
在，上单调递增；在上单调递减
④当时
当时，；当时，
在上单调递减；在上单调递增
综上所述：
当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时函数在上单调递增；
当时函数在,上单调递增，上单调递减
（2）由题意知：
由（1）知, 函数在上单调递增,则
得，即：
解得：或，不合题意
当时，在上单调递增；上单调递减
整理得：
令，则
当时，，则在上单调递增
，即
时，恒成立
综上所述：
【点睛】
本题考查讨论含参数函数的单调性、利用导数求解恒成立问题.解决恒成立问题的关键是能够将问题转化为所求参数与函数最值之间的比较，从而可构造出关于参数的不等式，解不等式可求得结果.
39．（2020·江苏省如东高级中学高三月考）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.
【答案】(1)见详解；(2) .
【分析】
(1)先求的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；(2) 讨论的范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终求得的取值范围.
【详解】
(1)对求导得.所以有
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
(2)
若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为.而，故所以区间上最大值为.
所以，设函数，求导当时从而单调递减.而，所以.即的取值范围是.
若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为.
所以，而，所以.即的取值范围是.
综上得的取值范围是.
【点睛】
(1)这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少.考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算.思考量不大，由计算量补充.
40．已知函数
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）已知，，函数，若的极小值点与的极小值点相等，证明：的极大值不大于
【答案】(1)见解析；(2)见证明
【分析】
（1）将代入，求其导函数，再利用导函数的应用，判断单调性；
（2）由题，先求出的极小值点，再由题判断出的极小值点，再根据导函数的额应用，求得的极大值，证明其不大于
【详解】
（1）解：当时，，定义域为
，
当时，，单调递增，则的单调递增区间为；
当时，，单调递减，则的单调递减区间为
（2）证明：
令
因为，所以的极小值点为，则的极小值点为
所以，即，即，
此时的极大值为
因为，所以
故的极大值不大于
【点睛】
本题考查了导数的应用，属于综合题型，主要是判断函数的单调性以及极值的求法，属于中档题.
41．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若，且是函数的两个极值点，求的最小值.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）求出函数的导函数，对a分类讨论，解不等式即可得到结果；
（Ⅱ） ，构造新函数，研究函数的单调性，极值与最值即可.
【详解】
（Ⅰ），，，
令，，
①当，即时，恒成立，∴，
∴在上单调递增；
②当，即或时，
有两个实数根，，
若，则，∴，
∴当时，，；当时，，，
∴在上单调递减；在上单调递增，
若，则，∴，
当或时，，；
当时，，，
∴在，上单调递增；在上单调递减；
（Ⅱ） ，
令，由，，得，，∴，
∴ 或（舍去），
∴ ，
令，，，
∴在上单调递减，
∴，且当时，，也取得最小值，
∴ .
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、填空题
42．已知函数在上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数为，当时，有不等式成立，若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为_______.
【答案】
【分析】
令先判断函数g(x)的奇偶性和单调性，得到在R上恒成立，再利用导数分析解答即得解.
【详解】
因为当时，有不等式成立，
所以，
令所以函数g(x)在（0，+∞）上单调递增，
由题得
所以函数g(x)是奇函数，所以函数在R上单调递增.
因为对，不等式恒成立，
所以，
因为a>0,所以当x≤0时，显然成立.
当x＞0时，，
所以，所以函数h(x)在（0,1）单调递减，在（1，+∞）单调递增.
所以，
所以a＜e,
所以正整数的最大值为2.
故答案为2
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性及其应用，考查函数单调性的判断及其应用，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.属于中档题.
43．已知函数在点处的切线方程为，则函数在点处的切线方程为__________．
【答案】
【分析】
根据函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线为由y=2x﹣1，可确定函数g（x）=x2+f（x）的切点坐标与斜率，从而可求切线方程．
【详解】
由题意，f（2）=2×2﹣1=3，∴g（2）=4+3=7
∵g′（x）=2x+f′（x），f′（2）=2，∴g′（2）=2×2+2=6
∴函数g（x）=x2+f（x）在点（2，g（2））处的切线方程为y﹣7=6（x﹣2）
即6x﹣y﹣5=0
故答案为6x﹣y﹣5=0
【点睛】
(1)本题考查导数的几何意义，考查切线方程，确定切点坐标与斜率是关键．（2）函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是
44．对于三次函数有如下定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，若点是函数的“拐点”，则函数的最大值是__________.
【答案】
【分析】
求出函数的导数和二次导函数，通过函数的“拐点”求出，化简函数，求得最大值，即可求解.
【详解】
由题意，函数，
则，
因为点是函数的一个“拐点”，可得，
又因为，可得，所以，
令，则，所以，
所以当时有最大值.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了函数的新定义，函数的导数和函数的极值的应用，以及三角函数的性质，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
45．已知对于区间内的任意两个相异实数，恒有成立，则实数的取值的集合是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先判断出单调性，令，去掉绝对值，然后构造新函数，将问题转化为在内单调递减，即在上恒成立，参变分离，得到的取值范围.
【详解】
函数，其定义域为，
所以恒成立，
故函数在定义域上为增函数.
令，则，
所以由
可得，
即，
设，则
则问题等价于函数在内单调递减，
于是在上恒成立，
即在上恒成立，
则，
即.又
所以这样的实数不存在
【点睛】
本题主要考查函数导数与单调性，考查构造函数法和分离常数法求解不等式恒成立问题. 其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性以及单调性的应用、函数的奇偶性及其应用、不等关系的求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用.属于中档题.
46．已知函数的图象恰好经过三个象限，则实数的取值范围是______．
【答案】或
【分析】
分类讨论函数的单调性，计算在上的最小值，根据函数经过的象限得出最小值与零的关系，从而求出实数的取值范围.
【详解】
（1）当时，在上单调递减，又，所以函数的图象经过第二、三象限，
当时，，
所以，
①若时，恒成立，又当时，，所以函数图象在时，经过第一象限，符合题意；
②若时，在上恒成立，当时，令，解，所以在上单调递减，在上单调递增，
又
所以函数图象在时，经过第一象限，符合题意；
（2）当时，的图象在上，只经过第三象限，在上恒成立，所以的图象在上，只经过第一象限，故不符合题意；
（3）当时，在上单调递增，故的图象在上只经过第三象限，所以在上的最小值，
当时，令，解得，
若时，即时，在上的最小值为
，
令.
若时，则在时，单调递减，
当时，令，解得，
若，在上单调递增，故在上的最小值为，令，所以；
若，在上单调递减，在上单调递增，故在上的最小值为，
显然，故；
结上所述：或.
【点睛】
本题考查了函数单调性的判断和最值计算，考查了数学运算能力.
专题六 导数的综合问题
一、单选题
1．已知函数和的图象上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意可知f(x)=−g(−x)有解,即方程有解，即有解．
设,则，
∴h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增，
∴当x=2时,h(x)取得最小值h(2)=ln2+1.
∴h(x)的值域为[1+ln2,+∞).
∴m的取值范围是[1+ln2,+∞).
本题选择D选项.
2．设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集为
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由题，构造新函数，然后求得其单调性和奇偶性，然后解得其结果即可.
【详解】
由题意令，则当时，，所以当时，函数为单调递增函数，又由，分别是定义在上的奇函数和偶函数，所以是定义在上的奇函数，所以当时，函数为单调递增函数，且，当时，不等式的解集是；当时，不等式的解集是，所以不等式的解集是，故选D．
【点睛】
本题解答中涉及利用导数研究函数的单调性以及单调性的应用、函数的奇偶性及其应用、不等关系的求解等知识点，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用．本题的解答中根据题设条件，得出函数的单调性和奇偶性是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．
3．若函数在上有小于零的极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
,则，且所以
4．已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，设则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵
∴
∵对任意实数都有
∴，即在上为单调减函数
又∵
∴
∴不等式等价于
∴不等式的解集为
故选B
点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，，构造，构造，构造等.
5．函数（）的图象大致形状是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x＞0时，f（x）＝logax（0＜a＜1）是单调减函数，即可得出结论．
【详解】
由题意，f（﹣x）＝﹣f（x），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B、D；
x＞0时，f（x）＝logax（0＜a＜1）是单调减函数，排除A．
故选C．
【点睛】
本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．
6．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
函数定义域是R，函数有两个极值点，其导函数有两个不同的零点；将导函数分离参数m后构造出的关于x的新函数与关于m的函数有两个不同交点，借助函数单调性即可确定m的范围.
【详解】
函数的定义域为，.因为函数有两个极值点，所以有两个不同的零点，故关于的方程有两个不同的解，令，则，当时，，当时，，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，又当时，；当时，，且，故，所以，故选B.
【点睛】
本题考查了利用函数极值点性质求解参数范围，解题中用到了转化思想和分离参数的方法，对思维能力要求较高，属于中档题；解题的关键是通过分离参数的方法，将问题转化为函数交点个数的问题，再通过函数导数研究构造出的新函数的单调性确定参数的范围.
7．（2020·扬州市江都区大桥高级中学高三开学考试）函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由函数为奇函数，排除A，B，再利用导数求得函数的单调性，排除D，即可求解．
【详解】
由题意，函数的定义域为，
且，所以函数为奇函数，排除A，B；
当时，函数，则，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，排除D．
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的判定方法，以及函数的导数与单调性的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
8．已知函数的图像上有且仅有四个不同的关于直线对称的点在的图像上，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据对称关系可将问题转化为与有且仅有四个不同的交点；利用导数研究的单调性从而得到的图象；由直线恒过定点，通过数形结合的方式可确定；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得和，进而得到结果.
【详解】
关于直线对称的直线方程为：
原题等价于与有且仅有四个不同的交点
由可知，直线恒过点
当时，
在上单调递减；在上单调递增
由此可得图象如下图所示：
其中、为过点的曲线的两条切线，切点分别为
由图象可知，当时，与有且仅有四个不同的交点
设，，则，解得：
设，，则，解得：
，则
本题正确选项：
【点睛】
本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解.
9．已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
令，由可知在上单调递增，从而可得在上恒成立；通过分离变量可得，令，利用导数可求得，从而可得，解不等式求得结果.
【详解】
由且得：
令，可知在上单调递增
在上恒成立，即：
令，则
时，，单调递减；时，，单调递增
，解得：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查根据函数的单调性求解参数范围的问题，关键是能够将已知关系式变形为符合单调性的形式，从而通过构造函数将问题转化为导数大于等于零恒成立的问题；解决恒成立问题常用的方法为分离变量，将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系比较的问题，属于常考题型.
10．已知函数，，下列说法中正确的是（ ）
A．在点处有相同的切线
B．对于任意，恒成立
C．的图象有且只有一个交点
D．的图象有且只有两个交点
【答案】D
【解析】
【分析】
根据导数与切线，函数的关系求解.
【详解】
因为，，，，
所以在点处的切线不同。选项A错误.
，
因为
，所以时，有最小值 ，
所以当时，不恒成立.选择B错误；
由上可知，函数 在上有且只有两个零点，
所以的图象有且只有两个交点.
故选D.
【点睛】
本题考查导数的综合应用.此题也可用图像法，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题.
11．对于函数,下列说法正确的有 ( )
①在处取得极大值；
②有两个不同的零点；
③.
A．0个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】
求得，得到函数的单调性与图象，结合函数的图象，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，函数，则，
令，解得，
当时，，当时，，
所以函数的增区间是，减区间为，
所以当时，函数有极大值，
当时，，当时，，
函数的图象如图所示，
根据函数的图象可得：，且函数只有一个零点，
综上可知，只有①③正确，故选C．
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的极值与最值，同时注意数形结合思想的应用．
12．（2020·河南林州市林虑中学高二开学考试（理））已知函数图象上任一点处的切线方程为，那么函数的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据导数几何意义得导数，再解不等式得结果.
【详解】
由题意得，因此由得或，选D.
【点睛】
本题考查导数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.
13．函数f（x）=x+2cosx在区间上的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】
f′(x)＝1－2sin x.
∵x∈，
∴sin x∈[－1,0]，∴－2sin x∈[0,2]．
∴f′(x)＝1－2sin x>0在上恒成立，
∴f(x)在上单调递增．
∴f(x)min＝－＋2cos（－）＝－. 选A
第II卷（非选择题）
二、解答题
14．函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围.
【答案】（1）a≥1时，在（-，+）是增函数；0
试题分析：（1）首先求出函数的导数，然后求出使或的解集即可.
（2）分类讨论在区间（1，2）上使成立的条件，并求出参数a的取值范围即可
试题解析：（1），的判别式△=36（1-a）.
（i）若a≥1，则，且当且仅当a=1，x=-1，故此时f（x）在R上是增函数.
（ii）由于a≠0，故当a<1时，有两个根：，
若0
（2）当a>0，x>0时,，所以当a>0时，f（x）在区间（1，2）是增函数.
若a<0时，f（x）在区间（1,2）是增函数当且仅当且，解得.
综上，a的取值范围是.
考点：1.函数的导数；2.导数性质的应用.
15．已知函数f(x)＝(2x－4)ex＋a(x＋2)2(x>0，a∈R，e是自然对数的底数)．
(1)若f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数，求实数a的取值范围；
(2)当a∈时，证明：函数f(x)有最小值，并求函数f(x)的最小值的取值范围．
【答案】（1） （2）(－2e，－2)．
【分析】
（1）由题意得当x>0时，函数f′(x)≥0恒成立，再分离变量法转化为对应函数最值，根据导数求对应函数单调性，进而确定最值，得实数a的取值范围；
（2）先研究导函数单调性，再根据零点存在定理得导函数有唯一一个零点，即为函数极小值点，也是最小值点，最后利用导数研究最小值函数单调性，即得最小值取值范围
【详解】
(1)f′(x)＝2ex＋(2x－4)ex＋2a(x＋2)＝(2x－2)ex＋2a(x＋2)，依题意，当x>0时，函数f′(x)≥0恒成立，即a≥－恒成立，记g(x)＝－，
则g′(x)＝－ ＝－<0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以g(x)
(2)因为[f′(x)]′＝2xex＋2a>0，所以y＝f′(x)是(0，＋∞)上的增函数，又f′(0)＝4a－2<0，f′(1)＝6a>0，所以存在t∈(0,1)使得f′(t)＝0，
又当x∈(0，t)时，f′(x)<0，当x∈(t，＋∞)时，f′(x)>0，
所以当x＝t时，f(x)min＝f(t)＝(2t－4)et＋a(t＋2)2.
且有f′(t)＝0⇒a＝－，
则f(x)min＝f(t)＝(2t－4)et－(t－1)(t＋2)et＝et(－t2＋t－2)，t∈(0,1)．
记h(t)＝et(－t2＋t－2)，则h′(t)＝et(－t2＋t－2)＋et(－2t＋1)＝et(－t2－t－1)<0，
所以h(1)
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
16．（2020·宁夏银川二中高二期末（文））已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（Ⅱ）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值.
试题解析：（Ⅰ）因为，所以.
又因为，所以曲线在点处的切线方程为.
（Ⅱ）设，则.
当时，，
所以在区间上单调递减.
所以对任意有，即.
所以函数在区间上单调递减.
因此在区间上的最大值为，最小值为.
【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是()恒成立，这样就能知道函数的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断的单调性，最后求得结果.
17．已知函数为自然对数的底数．
（1）若曲线在点处的切线与轴平行，求的值；
（2）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】
（Ⅰ），由题设知，求得的值；
（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，则方程
在内由两个不等实根,可列不等式组
,即可求a的范围
【详解】
解：（Ⅰ），由题设知，故
（Ⅱ）由题知，在内由两个不等实根，
.
【点睛】
本题考查了函数在一点处导数的几何意义，导数在极值中的应用,利用极值求参数的范围.
18．已知点M是曲线上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：
(1)斜率最小的切线方程；
(2)切线l的倾斜角的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】
（1）根据题意对函数求导可得到导函数的最小值为-1，进而得到斜率最小为-1，此时的切点可求，根据点斜式可写出直线方程；（2）由(1)得k≥－1，∴tan α≥－1，进而得到角的范围.
【详解】
(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，
∴当x＝2时，y′＝－1，y＝，
∴斜率最小的切线过点，斜率k＝－1，
∴切线方程为3x＋3y－11＝0.
(2)由(1)得k≥－1，∴tan α≥－1，
又∵α∈[0，π)，∴α∈∪.
故α的取值范围为∪.
【点睛】
这个题目考查了导数的几何意义，以及倾斜角和斜率的关系，求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.
19．已知函数．
（Ⅰ）求函数在处的切线方程；
（Ⅱ）证明：仅有唯一的极小值点.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】
（Ⅰ）求得的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；
（Ⅱ）令，求得导数，讨论，，判断导数的符号和的单调性，即可得证．
【详解】
（1）因为，所以．又因为，
所以切线方程为：，即．
（2）令，则，
所以时，时．
当时，易知，
所以，在上没有极值点．
当时，因为，
所以，在上有极小值点．
又因为在上单调递增，所以仅有唯一的极小值点.
【点睛】
本题考查导数的运用：求切线的方程和极值，考查构造函数法，以及分类讨论思想方法，以及运算求解能力，属于中档题．
20．已知函数.
（1）若曲线在处的切线的斜率为，求的值；
（2）若，求证：当时，的图像恒在轴上方.
【答案】（1）0；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据导数的几何意义得到，求解即可；（2）的图像恒在轴上方，即>0恒成立，分两种情况当时，当时，讨论函数的单调性，求得函数的最值，是的最小值大于0即可.
【详解】
（1），
∴，
∴.
（2），
令，，
（ⅰ）当时，，单调递增，，
单调递增，，满足题意.
（ⅱ）当时，，解得.
当，，单调递减；
当，，单调递增，
此时，
∵，，即，
∴单调递增，，满足题意.
综上可得：当且时，的图象恒在轴上方.
【点睛】
这个题目考查了导数的几何意义，以及函数的恒成立问题，解决恒成立的问题常见方法：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.
21．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若函数在上的最小值是，求的值.
【答案】（1）见解析；（2），.
【分析】
（1）求得，分类讨论，即可求解函数的单调性；
（2）当时，由（1）知在上单调递增，分和两种情况讨论，求得函数的最小值，即可求解.
【详解】
（1）定义域为,求得,
当时，，故在单调递增 ,
当时，令，得 ，所以当时，，单调递减
当时，，单调递增.
（2）当时，由（1）知在上单调递增，所以 （舍去）,
当时，由（1）知在单调递减，在单调递增
所以，解得 （舍去）,
当时，由（1）知在单调递减，
所以，解得 ,
综上所述，.
【点睛】
本题主要考查了导数在函数中的应用，其中解答中熟记函数的导数与函数的关系，准确判定函数的单调性，求得函数的最值是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
22．已知函数在处取得极值.
（1）求的单调递增区间；
（2）若关于的不等式至少有三个不同的整数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为. （2）
【分析】
（1）根据函数极值点定义可知，由此构造方程求得，得到；令即可求得函数的单调递增区间；
（2）将原问题转化为至少有三个不同的整数解；通过的单调性可确定函数的图象，结合，和的值可确定所满足的范围，进而得到不等式，解不等式求得结果.
【详解】
（1）由题意得：定义域为，，
在处取得极值，，解得：，
，.
由得：，的单调递增区间为.
（2），等价于.
由（1）知：时，；时，，
在上单调递增，在上单调递减，
又时，；时，，可得图象如下图所示：
，，，
若至少有三个不同的整数解，则，解得：.
即的取值范围为：.
【点睛】
本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据极值点求解参数值、利用导数求解函数的单调区间、根据不等式整数解的个数求解参数范围的问题；关键是能够将不等式转化为变量与函数之间的大小关系问题，进而利用导数研究函数的单调性和图象，从而根据整数解的个数确定不等关系.
23．已知函数，．
（Ⅰ）若在上是增函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）讨论函数的极值，并说明理由；
（Ⅲ）若有两个极值点，，求证：函数有三个零点．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，无极值；当时，存在一个极大值和一个极小值；（Ⅲ）见解析
【分析】
（Ⅰ）利用得；利用导数求得的最小值，则；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数单调递增，无极值；当，可证得有两根，即有两根，从而可得函数的单调性，进而确定有一个极大值和一个极小值；（Ⅲ）由（Ⅱ）知且；利用和表示，代入函数中，可表示出和；根据和设，通过导数可验证出单调递减，进而求得，，结合图象可证得结论.
【详解】
（Ⅰ）由得：
在上是增函数 在上恒成立
即：在上恒成立
设，则
当时，；当时，
即在上单调递减；在上单调递增
即的取值范围为：
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当时，在上是增函数，此时无极值；
当时，令，即
时，；；时，
有两个根，设两根为，且
可知：和时，；时，
即在，上单调递增；在上单调递减
在处取得极大值；在处取得极小值
综上所述：当时，无极值；当时，存在一个极大值和一个极小值
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，有两个极值点，，则，且
；
又
令，则
则在上恒成立，即在上单调递减
又 时，；时，
，
当时，；当时，
可得大致图象如下：
有三个零点
【点睛】
本题考查导数在函数中的综合应用问题，主要考查了根据函数单调性求解参数范围、讨论函数的极值个数、判断函数的零点个数问题，涉及到构造函数的方式、恒成立的处理方法、数形结合的方式等，对学生的综合运用能力要求较高.
24．已知函数，.
(1)当时，比较与的大小；
(2)若与的图象有两个不同的交点，，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【分析】
（1）令，由可知在上是增函数，进而得到，得到所求大小关系；
（2）分别将两交点坐标代入，作和、作差分别表示出，从而建立起等量关系；根据（1）中结论可得，代入可整理得到所证结论.
【详解】
（1）令，则
在上是增函数 ，即
（2）不妨设，则
由题设，
由（1）的结论知：
【点睛】
本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用单调性比较大小、不等式的证明问题；证明不等式的关键是能够利用变量得到的关系，进而利用证明过的不等关系来进行放缩整理.
25．已知函数.
⑴当时，证明:在上有唯一零点；
(2)若对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】
（1）通过导数可得单调性，利用零点存在性定理依次验证在各个单调区间内是否有零点，结合单调性可知每段单调区间内零点具有唯一性，从而可证得结论；（2）采用分离变量的方式将问题转化为对恒成立，令，利用导数得到在内的最小值，从而得到结果.
【详解】
（1）当时，
当和时，；当时，
在，上单调递增；在上单调递减
， 在有一个零点
在上没有零点
在上没有零点
综上所述：在上有唯一零点
（2）当时，恒成立等价于对恒成立
令，
则
当时，；当时，
在上单调递减，在上单调递增
即的取值范围为：
【点睛】
本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数和零点存在性定理研究函数的零点个数、恒成立问题的求解；解决恒成立问题的常用方法是通过分离变量的方式将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系问题，从而利用导数求得函数的最值，得到所求范围.
26．（2020·湖南长郡中学高三月考（文））已知函数，．
（Ⅰ）记，试判断函数的极值点的情况；
（Ⅱ）若有且仅有两个整数解，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）求导后可知的符号由的符号决定；根据的单调性，结合存在性定理可知存在唯一的，使得，从而得到得单调性，根据极值与单调性的关系可确定极值点；（Ⅱ）将所求不等式化为；当和时，根据（Ⅰ）的结论可验证出都有无穷多个整数解，不合题意；当时，若，由时，可知无整数解，不合题意；若，可知，解不等式组求得结果.
【详解】
（Ⅰ）由得：
设，则在上单调递增
又，
存在唯一的，使得，即
当时，；当时，
在上单调递减；在上单调递增
为的极小值点，无极大值点
（Ⅱ）由得：，即
①当时，恒成立，有无穷多个整数解，不合题意
②当时，，
， 当时，由（Ⅰ）知：
有无穷多个整数解，即有无穷多个整数解，不合题意
③当时，
i.当时，，又
两个整数解为：
，解得：
ii.当时，
当时，由（Ⅰ）知： 无整数解，不合题意
综上所述：
【点睛】
本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解极值点个数、根据整数解个数求解参数范围的问题；与整数解有关的范围问题的求解关键是能够确定自变量为整数时函数的值域，进而根据整数解个数确定临界整数所对应的函数值的范围，从而得到不等关系.
27．设函数
（Ⅰ）若函数在点处的切线方程为，求实数与的值；
（Ⅱ）若函数有两个零点，，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）0，；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用导数的几何意义可知；利用构造方程求得；（Ⅱ）令，求导可确定函数的单调性，从而得到函数的大致图象；将有两个零点转化为与有两个交点，通过数形结合得到所求范围.
【详解】
（Ⅰ）
又 ，解得：
（Ⅱ）
令，则
令，解得：；令，解得：
则函数在上单调递增，在上单调递减 ，
当时，；当时，
由此可得大致图象如下图所示：
要使函数的图象与有两个不同的交点，则：
即实数的取值范围为
【点睛】
本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数几何意义的应用、根据函数零点个数求解参数范围问题；关键是能够将零点个数转化为函数与平行于轴直线的交点个数问题，通过数形结合的方式来求解.
28．已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，试判断方程是否有实数根？并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）没有.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，通过讨论与0的关系分析函数的单调性即可；
（2）通过分析的导数求出 ，令，求出的最大值小于的最小值，从而判断无解．
【详解】
解：（1）由已知可知函数的定义域为，
由,
当时，所以在为增函数,
当时，,
所以的单调递增区间为,单调递减区间为.
（2）当时，由（1）可知知在为增函数,在为减函数.
所以,所以.
令，则.
当时，；
当时，,
从而在上单调递增，在上单调递减,
所以，
所以，即，
所以，方程没有实数根.
【点睛】
本题考查了函数的单调性最值问题，考查导数的应用、函数恒成立问题，属于中档题．
29．已知函数，其中a∈R.
(1)当a＝4时，求f(x)的极值点；
(2)讨论并求出f(x)在其定义域内的单调区间．
【答案】（1）x＝2－为f(x)的极大值点，x＝2＋为f(x)的极小值点；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
(1)利用导数求函数f(x)的极值点；（2）先求出，设g(x)＝x2－ax＋1，对a分类讨论求出函数的单调区间.
【详解】
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝4时，f(x)＝lnx＋，
.令f′(x)＝0⇒x＝2±.
列表
x
(0，2－)
2－
(2－，2＋)
2＋
(2＋，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
所以，x＝2－为f(x)的极大值点，x＝2＋为f(x)的极小值点．
(2)，
设g(x)＝x2－ax＋1，
∵x＞0，∴①当a＜0时，g(x)＞0，f′(x)＞0在x∈(0，＋∞)上恒成立，
此时函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；
②当a＞0时，.
当1－≥0，即0＜a≤2时，g(x)＞0，f′(x)＞0在x∈(0，＋∞)上恒成立，此时函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；
当a＞2时，方程g(x)＝0的两根分别为，且0＜x1＜x2，
∴当x∈(0，x1)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，故函数f(x)在(0，x1)上单调递增；
当x∈(x1，x2)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，故函数f(x)在(x1，x2)上单调递减；
当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，故函数f(x)在(x2，＋∞)上单调递增．
综上所述，
当a≤2时，函数f(x)的单调增区间为，没有减区间；
当a＞2时，函数f(x)的减区间为；增区间为(0，x1)，(x2，＋∞)．
【点睛】
本题主要考查利用导数求函数的极值点，考查利用导数求函数的单调区间，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.
30．已知函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，证明：.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析
【分析】
（Ⅰ）显然，，可分和分别讨论函数的单调性;
（Ⅱ）当时，要证：，
只需证：，由（Ⅰ）易知，
所以即证：，从而设求最小值即可.
【详解】
（Ⅰ）显然，，
（1）当时，，在上单调递减；
（2）当时，由得
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
（Ⅱ）当时，要证：，
只需证：，由（Ⅰ）易知，
所以即证：，
设，则，令得得，
当时，，在上单调递减；当时，，
在上单调递增．，即，即，所以
【点睛】
本题主要考查函数与导数的应用，意在考查学生的计算能力和逻辑分析能力，具有较高的思维技巧，对学生分类讨论的能力要求较高.
31．（2019·浙江学军中学）函数
（1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围．
（2）设，分别为的极大值和极小值，若，求取值范围．
【答案】(1) 或 (2)
【解析】
【分析】
（1）首先求函数的定义域以及导函数，由是定义域上的单调函数等价于导函数在定义域范围内恒大于等于零或恒小于等于零，分别令导函数大于等于零或恒小于等于零，分离参数，即可求出的取值范围；
（2）设的两根为，可得， ，将，代入化简，构造函数，求导数，应用单调性，即可得到的范围.
【详解】
(1) 函数是定义域为 ，，
由是定义域上的单调函数等价于导函数在定义域范围内恒大于等于零或恒小于等于零
①令，即，则恒成立，∴
②令，即，则恒成立，∴
综上，或
（2）由且得
此时设的两根为，
所以
因为，
所以，
由，且得
所以
由得代入上式得
令，
所以，
，
则，
所以在上为减函数
从而，即
所以．
【点睛】
本题考查导数的综合应用：求单调区间，考查二次方程的两根的关系，构造函数应用导数判断单调性，综合性比较强，有一定难度.
32．已知函数，，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：，恒成立.
【答案】（1）当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析
【分析】
（1）可求得，分别在、、、四种情况下讨论导函数的符号，从而得到原函数的单调性；（2）将不等式转化为：，令，，利用导数求得和，可证得，从而证得结论.
【详解】
（1），
①当时，
时，；时，
在上单调递增，在上单调递减
②当时，
和时，；时，
在和上单调递增，在上单调递减
③当时，
在上恒成立
在上单调递增
④当时，
和时，；时，
在和上单调递增，在上单调递减
综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减
（2）对，恒成立即为：，
等价于：
令，则
时，；时，
在上单调递减，在上单调递增
令，则
时，；时，
在上单调递增，在上单调递减
综上可得：，即在上恒成立
对，恒成立
【点睛】
本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解.解决本题中的恒成立问题的关键是能够将所证不等式转化为两个函数之间最值的比较，通过最小值与最大值的大小关系得到结论.
33．已知二次函数在处取得极值，且在点处的切线与直线平行.
（1）求的解析式；
（2）求函数的极值.
【答案】（1）；（2）极大值为0，极小值为.
【解析】
【分析】
（1）先对函数求导，令 可得的值，进而求出的解析式；
（2）由（1）可知，求，通过导函数求函数的极值。
【详解】
（1）由：得，
由题设可得，即，
解得，，所以；
（2）由题意得
所以
令，得，
或，，
变化时，的变化情况如下表：
有极大值
有极小值
的极大值为，
的极小值为.
【点睛】
本题考查导数的几何意义以及利用导函数研究函数的单调性和极值，属于基础题。
34．设
（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）当时，在内是否存在一实数，使成立？请说明理由.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，理由详见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用函数解析式和导函数求得切点坐标和切线斜率，利用点斜式得到切线方程；（Ⅱ）假设存在满足题意，将问题转变为证明当时，，利用导数可求得单调性，从而知；则只需证明或即可，经验证成立，所以假设正确，得到结论.
【详解】
（Ⅰ）当时，
即切点坐标为：
曲线在点处的切线的斜率为：
所求切线方程为：，即：
（Ⅱ）假设当时，在上存在一点，使成立
则只需证明当时，即可
令，解得：，
当时，
当时，；当时，
函数在上单调递减，在上单调递增
则只需证明或即可
成立 假设正确
当时，在上至少存在一个实数，使成立
【点睛】
本题考查求解在曲线上某一点处的切线方程、函数中的能成立问题的求解，涉及到导数几何意义的应用、利用导数研究函数的最值问题.解决能成立问题的关键是将问题转变为函数最值问题的求解.
35．（2020·赣州市赣县第三中学高三期中（文））已知函数，曲线在点处的切线为.
（1）求，的值；
（2）若对任意的，恒成立，求正整数的最大值.
【答案】（1），；（2）3
【分析】
（1）根据切线方程可求得且，从而构造方程求得结果；（2）利用分离变量的方式可得在上恒成立；令，，通过导数可知，当时，，当时，，从而可得，可求得，则，得到所求结果.
【详解】
（1）由得：
由切线方程可知：
，，解得：，
（2）由（1）知
则时，恒成立等价于时，恒成立
令，，则.
令，则
当时，，则单调递增
， ，使得
当时，；时，
，即正整数的最大值为
【点睛】
本题考查根据在某一点处的切线方程求解函数解析式、利用导数解决恒成立问题.解决恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为参数与函数最值的关系，利用导数求得函数的最值，从而求得结果.
36．（2019·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考（文））设函数
（1）求函数图象在点处的切线方程；
（2）求函数在上的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）对函数求导，然后求出，，运用点斜式即可求出切线方程；
（2）利用导数研究出函数在区间的单调性，比较极值以及端点值的大小，即可求出函数在区间上的最大值与最小值。
【详解】
（1）由题可得：，
，，
故函数图像在点处的切线方程为，化简得：
（2）令，解得：，，
令，解得：或，则函数在区间上单调递增；
令，解得：，则函数在区间上单调递减；
单调递减
单调递增
所以
【点睛】
本题考查学生的运算能力，考查导数的基本工具作用，考查函数切线方程、函数在闭区间上最值的求解等基本的数学问题，因此本题对学生把握导数研究函数的基本问题做了全面的要求，重视函数的单调性在求解函数最值中运用。
37．已知函数
（1）求在处的切线方程；
（2）若对任意的恒有，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）分别求得和，根据导数几何意义和直线点斜式可求得切线方程；（2）将问题转化为在上单调递增，即恒成立；通过分离变量的方式可知；利用导数求出的最小值从而求得结果.
【详解】
（1）由题意得：
当时，，
在处的切线方程为：，即：
所求切线方程为：
（2）由得：
设
恒成立等价于在上单调递增
即对恒成立
令，则
当时，；当时，
在上单调递减；在上单调递增
【点睛】
本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据导数几何意义求解参数方程、恒成立问题的求解.解决本题中恒成立问题的关键是能够构造出函数，将问题转化为新函数单调递增的问题，进而变为导函数符号恒定的问题，通过分离变量的方式可求得结果.
38．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当对于任意的，不等式恒成立，求正实数的取值范围.
【答案】（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时函数在上单调递增；当时函数在,上单调递增，上单调递减；（2）
【分析】
（1）求得后，分别在、、、的情况下讨论的符号，从而可得函数的单调性；（2）将问题变为，当时，，从而构造关于的不等式，解不等式可知不合题意；当时，，可知，构造函数，可求得，从而可得的范围.
【详解】
（1）函数的定义域为．
①当时
当或时，；当时，
在，上单调递增；在上单调递减
②当时，，在上单调递增
③当时
当或时，；当时，
在，上单调递增；在上单调递减
④当时
当时，；当时，
在上单调递减；在上单调递增
综上所述：
当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时函数在上单调递增；
当时函数在,上单调递增，上单调递减
（2）由题意知：
由（1）知, 函数在上单调递增,则
得，即：
解得：或，不合题意
当时，在上单调递增；上单调递减
整理得：
令，则
当时，，则在上单调递增
，即
时，恒成立
综上所述：
【点睛】
本题考查讨论含参数函数的单调性、利用导数求解恒成立问题.解决恒成立问题的关键是能够将问题转化为所求参数与函数最值之间的比较，从而可构造出关于参数的不等式，解不等式可求得结果.
39．（2020·江苏省如东高级中学高三月考）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.
【答案】(1)见详解；(2) .
【分析】
(1)先求的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；(2) 讨论的范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终求得的取值范围.
【详解】
(1)对求导得.所以有
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
(2)
若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为.而，故所以区间上最大值为.
所以，设函数，求导当时从而单调递减.而，所以.即的取值范围是.
若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为.
所以，而，所以.即的取值范围是.
综上得的取值范围是.
【点睛】
(1)这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少.考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算.思考量不大，由计算量补充.
40．已知函数
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）已知，，函数，若的极小值点与的极小值点相等，证明：的极大值不大于
【答案】(1)见解析；(2)见证明
【分析】
（1）将代入，求其导函数，再利用导函数的应用，判断单调性；
（2）由题，先求出的极小值点，再由题判断出的极小值点，再根据导函数的额应用，求得的极大值，证明其不大于
【详解】
（1）解：当时，，定义域为
，
当时，，单调递增，则的单调递增区间为；
当时，，单调递减，则的单调递减区间为
（2）证明：
令
因为，所以的极小值点为，则的极小值点为
所以，即，即，
此时的极大值为
因为，所以
故的极大值不大于
【点睛】
本题考查了导数的应用，属于综合题型，主要是判断函数的单调性以及极值的求法，属于中档题.
41．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若，且是函数的两个极值点，求的最小值.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）求出函数的导函数，对a分类讨论，解不等式即可得到结果；
（Ⅱ） ，构造新函数，研究函数的单调性，极值与最值即可.
【详解】
（Ⅰ），，，
令，，
①当，即时，恒成立，∴，
∴在上单调递增；
②当，即或时，
有两个实数根，，
若，则，∴，
∴当时，，；当时，，，
∴在上单调递减；在上单调递增，
若，则，∴，
当或时，，；
当时，，，
∴在，上单调递增；在上单调递减；
（Ⅱ） ，
令，由，，得，，∴，
∴ 或（舍去），
∴ ，
令，，，
∴在上单调递减，
∴，且当时，，也取得最小值，
∴ .
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、填空题
42．已知函数在上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数为，当时，有不等式成立，若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为_______.
【答案】
【分析】
令先判断函数g(x)的奇偶性和单调性，得到在R上恒成立，再利用导数分析解答即得解.
【详解】
因为当时，有不等式成立，
所以，
令所以函数g(x)在（0，+∞）上单调递增，
由题得
所以函数g(x)是奇函数，所以函数在R上单调递增.
因为对，不等式恒成立，
所以，
因为a>0,所以当x≤0时，显然成立.
当x＞0时，，
所以，所以函数h(x)在（0,1）单调递减，在（1，+∞）单调递增.
所以，
所以a＜e,
所以正整数的最大值为2.
故答案为2
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性及其应用，考查函数单调性的判断及其应用，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.属于中档题.
43．已知函数在点处的切线方程为，则函数在点处的切线方程为__________．
【答案】
【分析】
根据函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线为由y=2x﹣1，可确定函数g（x）=x2+f（x）的切点坐标与斜率，从而可求切线方程．
【详解】
由题意，f（2）=2×2﹣1=3，∴g（2）=4+3=7
∵g′（x）=2x+f′（x），f′（2）=2，∴g′（2）=2×2+2=6
∴函数g（x）=x2+f（x）在点（2，g（2））处的切线方程为y﹣7=6（x﹣2）
即6x﹣y﹣5=0
故答案为6x﹣y﹣5=0
【点睛】
(1)本题考查导数的几何意义，考查切线方程，确定切点坐标与斜率是关键．（2）函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是
44．对于三次函数有如下定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，若点是函数的“拐点”，则函数的最大值是__________.
【答案】
【分析】
求出函数的导数和二次导函数，通过函数的“拐点”求出，化简函数，求得最大值，即可求解.
【详解】
由题意，函数，
则，
因为点是函数的一个“拐点”，可得，
又因为，可得，所以，
令，则，所以，
所以当时有最大值.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了函数的新定义，函数的导数和函数的极值的应用，以及三角函数的性质，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
45．已知对于区间内的任意两个相异实数，恒有成立，则实数的取值的集合是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先判断出单调性，令，去掉绝对值，然后构造新函数，将问题转化为在内单调递减，即在上恒成立，参变分离，得到的取值范围.
【详解】
函数，其定义域为，
所以恒成立，
故函数在定义域上为增函数.
令，则，
所以由
可得，
即，
设，则
则问题等价于函数在内单调递减，
于是在上恒成立，
即在上恒成立，
则，
即.又
所以这样的实数不存在
【点睛】
本题主要考查函数导数与单调性，考查构造函数法和分离常数法求解不等式恒成立问题. 其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性以及单调性的应用、函数的奇偶性及其应用、不等关系的求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用.属于中档题.
46．已知函数的图象恰好经过三个象限，则实数的取值范围是______．
【答案】或
【分析】
分类讨论函数的单调性，计算在上的最小值，根据函数经过的象限得出最小值与零的关系，从而求出实数的取值范围.
【详解】
（1）当时，在上单调递减，又，所以函数的图象经过第二、三象限，
当时，，
所以，
①若时，恒成立，又当时，，所以函数图象在时，经过第一象限，符合题意；
②若时，在上恒成立，当时，令，解，所以在上单调递减，在上单调递增，
又
所以函数图象在时，经过第一象限，符合题意；
（2）当时，的图象在上，只经过第三象限，在上恒成立，所以的图象在上，只经过第一象限，故不符合题意；
（3）当时，在上单调递增，故的图象在上只经过第三象限，所以在上的最小值，
当时，令，解得，
若时，即时，在上的最小值为
，
令.
若时，则在时，单调递减，
当时，令，解得，
若，在上单调递增，故在上的最小值为，令，所以；
若，在上单调递减，在上单调递增，故在上的最小值为，
显然，故；
结上所述：或.
【点睛】
本题考查了函数单调性的判断和最值计算，考查了数学运算能力.
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