专题十七 圆锥曲线的方程-2021届高三《新题速递•数学》12月刊（江苏专用 适用于高考复习）

十七   圆锥曲线的方程

一、单选题

1．（2019·陕西韩城市·高三三模（理））已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC的斜边AC的两端点为焦点的曲线，且都过B点，它们的离心率分别为，则=（    ）

A． B．2 C． D．3

2．（2019·黑龙江青冈县·哈师大青冈实验中学高二月考（文））过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为(　　)

A．2 B．2

C．2 D．2

3．（2017·江西宜春市·高二期末（文））已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线在第一、二象限分别交于两点，则（   ）

A． B． C． D．

4．（2020·黑龙江双鸭山市·双鸭山一中高二期中（理））若椭圆或双曲线上存在点，使得点到两个焦点的距离之比为，且存在，则称此椭圆或双曲线存在“点”，下列曲线中存在“点”的是（    ）

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

二、解答题

5．（2020·上海青浦区·高三一模）已知动点到直线的距离比到点的距离大.

（1）求动点所在的曲线的方程；

（2）已知点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值；

（3）已知点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率之和为，证明：直线过定点.

6．（2020·深州长江中学高二期中）已知椭圆的短轴长为，离心率．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若分别是椭圆的左､右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，求的面积的最大值．

7．（2020·上海市七宝中学高三期中）已知双曲线过点，且右焦点为.

（1）求双曲线的方程；

（2）过点的直线与双曲线的右支交于两点，交轴于点，若，，求证：为定值.

（3）在（2）的条件下，若点是点关于原点的对称点，求证：三角形的面积；

8．（2020·湖南高三开学考试）已知抛物线的顶点在原点，准线为.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）点，在上，且，，垂足为，直线另交于，当四边形面积最小时，求直线的方程.

9．（2020·湖南雁峰区·衡阳市八中高三月考）已知抛物线的焦点为，轴上方的点在抛物线上，且，直线与抛物线交于，两点（点，与不重合），设直线，的斜率分别为，.

（1）求抛物线的方程；

（2）已知，：，求的值.

10．（2020·全国高三专题练习（理））已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，离心率等于，P是椭圆上的点．以线段为直径的圆经过，且

（1）求椭圆E的方程；

（2）作直线l与椭圆E交于两个不同的点M，N.如果线段MN被直线2x＋1＝0平分，求直线l的倾斜角的取值范围．

11．（2020·全国高三专题练习（理））已知是椭圆C：的一个焦点，点在椭圆C上．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线与椭圆C分别相交于A，B两点，且 (O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围．

12．（2020·湖北省鄂州高中高三月考）已知椭圆的左､右焦点分别为，，且，设是上一点，且，.

（1）求椭圆的方程；

（2）若不与轴垂直的直线过点，交椭圆于，两点，试判断在轴的负半轴上是否存在一点，使得直线与斜率之积为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

13．（2020·江苏苏州工业园区·高二期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，分别是椭圆E： 的左、右焦点，A，B分别椭圆E的左、右顶点，且．

（1）求椭圆E的离心率；

（2）已知点为线段的中点，M为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为、，试问是否存在常数，使得恒成立？，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

14．（2020·陕西安康市·高三月考（理））已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为k的直线与抛物线交于A，B两点.

（1）设O为坐标原点，直线，的斜率分别为，，证明：；

（2）过A，B两点分别作抛物线的切线，设两切线交于点C，若的面积为，求k的值.

15．（2020·江苏南京市·高二月考）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：长轴是短轴的倍，点(2，1)在椭圆C上.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l与圆O：相切，切点在第一象限，与椭圆C相交于P，Q两点.

①求证：以PQ为直径的圆经过原点O；

②若△OPQ的面积为求直线l的方程.

16．（2020·重庆高二月考）已知圆，点，P是圆C上一动点，若线段的垂直平分线和相交于点M.

（1）求点M的轨迹方程E.

（2）已知直线交曲线E于A，B两点.

①若射线交椭圆于点Q，求面积的最大值；

②若，垂直于点D，求点D的轨迹方程.

17．（2020·黑龙江道里区·哈尔滨三中高二月考（理））已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2，0)，(2，0)，并且经过点，，是椭圆上的不同两点，且以为直径的圆经过原点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆恒与直线相切，若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由；

（3）求的最小值.

18．（2020·江西东湖区·南昌二中高三其他模拟（文））已知抛物线的焦点为，轴上方的点在抛物线上，且，直线与抛物线交于，两点（点，与不重合），设直线，的斜率分别为，.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）当时，求证：直线恒过定点并求出该定点的坐标.

19．（2020·辽宁高二开学考试）已知A、B分别是椭圆的左、右顶点，P为椭圆C的下顶点，F为其右焦点点M是椭圆C上异于A、B的任一动点，过点A作直线轴以线段AF为直径的圆交直线AM于点A、N，连接FN交直线l于点点G的坐标为，且，椭圆C的离心率为．

求椭圆C的方程；

试问在x轴上是否存在一个定点T，使得直线MH必过该定点T？若存在，求出点T的坐标，若不存在，说明理由．

20．（2019·河北桃城区·衡水中学高三期末（文））已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且，直线AO，BO分别交直线于点M，N.

(1)求抛物线C的方程；

(2)求的最小值．

21．（2020·河北高三月考）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点作直线交于，两点，若的面积是的面积的2倍，求．

22．（2020·瑞安市上海新纪元高级中学高一期末）点是圆上一动点，点.

（Ⅰ）若，求直线的方程；

（Ⅱ）过点作直线的垂线，垂足为，求的取值范围.

23．（2020·湖南天心区·长郡中学高三月考（文））已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在直线与椭圆交于两点，交轴于点，使成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

24．（2020·四川攀枝花市·高三月考（文））已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线交椭圆于、两点，线段的中点为，直线是线段的垂直平分线，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

25．（2019·岳麓区·湖南师大附中高二期末）已知圆：和点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和相交于点，的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）点是曲线与轴正半轴的交点，直线交于、两点，直线，的斜率分别是，，若，求：①的值；②面积的最大值．

26．（2019·金华市江南中学高二月考）过圆上的点作圆的切线，过点作切线的垂线，若直线过抛物线的焦点.

（1）求直线与抛物线的方程；

（2）直线与抛物线交于，直线与抛物线交于且与交于点，求的值.

27．（2020·北京交通大学附属中学高二期末）已知椭圆的离心率为，且过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2） 设直线与轴交于点，点关于直线的对称点在椭圆上，求的取值范围.

28．（2020·江苏省镇江中学高二开学考试）已知抛物线的内接等边三角形的面积为（其中为坐标原点）．

（1）试求抛物线的方程；

（2）已知点两点在抛物线上，是以点为直角顶点的直角三角形．

①求证：直线恒过定点；

②过点作直线的垂线交于点，试求点的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲线．

29．（2020·赣榆智贤中学高二月考）已知点F是拋物线C:y2=2px(p>0)的焦点,点M(x0,1)在C上,且|MF|=.

(1)求p的值;

(2)若直线l经过点Q(3,-1)且与C交于A,B(异于M)两点,证明:直线AM与直线BM的斜率之积为常数.

30．（2017·江西宜春市·高二期末（理））如图，已知圆E:，点，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．

（Ⅰ）求动点Q的轨迹的方程；

（Ⅱ）设直线与（Ⅰ）中轨迹相交于两点, 直线的斜率分别为（其中）．△的面积为, 以为直径的圆的面积分别为．若恰好构成等比数列, 求的取值范围．

31．（2020·安徽省太和中学高二期末（理））顺次连接椭圆的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形．

（1）求椭圆的方程；

（2），是椭圆上的两个不同点，若直线，的斜率之积为（以为坐标原点），线段上有一点满足，连接并延长交椭圆于点，求椭圆的值.

32．（2017·河南平顶山市·高二期末（文））已知抛物线，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点.

（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；

（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由.

33．（2017·江西宜春市·高二期末（文））在平面直角坐标系中，椭圆与双曲线共焦点，且点在椭圆上. 

（1）求椭圆的方程；

（2）过定点作一条动直线与椭圆相交于为坐标原点，求面积的最大值及取得最大值时直线的方程.

34．（2020·全国高三专题练习）设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率.

35．（2020·全国高三专题练习）设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值．

36．（2020·全国高三专题练习）设椭圆的方程为，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点在线段上，满足，直线的斜率为.

（1)求的离心率；

（2)设点的坐标为，为线段的中点，点关于直线的对称点的纵坐标为，求的方程．

37．（2017·江西南昌市·高三一模（理））已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，离心率为，点，为线段的中点．

（）求椭圆的方程．

（）若过点且斜率不为的直线与椭圆交于、两点，已知直线与相交于点，试判断点是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由．

38．（2017·河北廊坊市·高二期末（理））已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为3时，为正三角形.

（1）求的方程；

（2）延长交抛物线于点，过点作抛物线的切线，求证：.

39．（2017·湖南衡阳市·高三期末（理））椭圆的上顶点为是椭圆上的一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆的左焦点，过右焦点的直线与椭圆交于不同两点，记的内切圆的面积为，求当取最大值时直线的方程，并求出最大值.

40．（2020·湖南省汨罗市第二中学高三开学考试）已知点是椭圆的右焦点，点，分别是轴，轴上的动点，且满足.若点满足（为坐标原点）．

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）设过点任作一直线与点的轨迹交于，两点，直线，与直线分别交于点，，试判断以线段为直径的圆是否经过点？请说明理由．

41．（2020·全国高三专题练习）设常数．在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线：．与轴交于点、与交于点．、分别是曲线与线段上的动点．

（1）用表示点到点距离；

（2）设，，线段的中点在直线，求的面积；

（3）设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．

三、填空题

42．（2020·四川武侯区·成都七中高二月考（理））已知为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，如果线段的中点在 轴上，且，则的值为________．

43．（2020·长沙市湖南师大第二附属中学有限公司高三月考）已知椭圆，倾斜角为60°的直线与椭圆分别交于A、B两点且，点C是椭圆上不同于A、B一点，则△ABC面积的最大值为_____．

44．（2017·江西宜春市·高二期末（文））设为双曲线的两个焦点，已知点在此双曲线上，且，若此双曲线的离心率等于，则点到轴的距离等于__________．

四、双空题

45．（2020·北京高三专题练习）已知点为抛物线的焦点，则点坐标为______；若双曲线（）的一个焦点与点重合，则该双曲线的渐近线方程是____．