专题一 集合与常用逻辑用语-2021届高三《新题速递•数学》12月刊（江苏专用 适用于高考复习）

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专题一 集合与常用逻辑用语
一、单选题
1．（2020·辽宁省建昌县高级中学高一月考）已知集合，，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】
根据充分必要条件的定义判断．
【详解】
时，一定有，但只要时，就有，因此应是充分不必要条件．
故选：B．
2．（2020·湖南娄底一中高一期中）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
解一元二次不等式化简集合，利用并集的定义计算即可．
【详解】
集合，
则
故选：C
3．（2020·青铜峡市高级中学高一期中）设集合，，则集合A的子集个数为（ ）
A．2 B．3 C．7 D．8
【答案】D
【分析】
化简集合，再求子集的个数.
【详解】

集合A的子集个数为个
故选：D
4．（2020·开原市第二高级中学高三月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据集合的交集运算求解即可.
【详解】
解：根据题意得：.
故选：C.
5．（2020·吉林长春·东北师大附中高一月考）已知集合，，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
解分式不等式得到集合A，解绝对值不等式得到集合B，再利用交集运算计算结果.
【详解】
解不等式，等价于或，
解得：或，故或
解不等式，解得，故
所以
故选：C
【点睛】
关键点睛：本题考查解不等式及集合的交集运算，解题的关键是熟悉分式不等式和绝对值不等式的解法，考查学生的分类讨论思想与运算求解能力，属于基础题.
6．（2020·河北正中实验中学高一月考）已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．无数个
【答案】A
【分析】
根据分式不等式的解法求出集合，再利用集合的交运算即可求解.
【详解】
由，，
所以，
所以中元素的个数为.
故选：A
7．已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由对数函数的性质化简集合，利用解得实数的取值范围．
【详解】
令，即，解得
则
，
故选：C
8．（2020·大石桥市第三高级中学高一月考）若：，：，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
首先求出命题，再根据集合的包含关系判断充分条件、必要条件；
【详解】
解：因为，解得，
所以：
因为，所以是的必要不充分条件；
故选：B
【点睛】
本题考查充分、必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）若是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）若是的既不充分又不必要条件，则对的集合与对应集合互不包含．
9．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
解出集合、，利用交集的定义可求得集合.
【详解】
由即，即，解得或，
所以，故，
故选：B.
10．（2020·浙江杭州·高二期中）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
直接根据交集运算即可.
【详解】
,
,
故选：C
11．设集合则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先求出集合A，B，再求其交集
【详解】
解：因为，
所以，
因为
所以.所以.
故选：C.
12．（2020·北京高三期中）已知函数和直线，那么“”是“直线与曲线 相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
根据直线与曲线相切，求出，利用充分条件与必要条件的定义即可判断出结论．
【详解】
设函数和直线的切点坐标为，
则，可得，
所以时，直线与曲线相切；
直线与曲线相切不能推出．
因此“”是“直线与曲线相切”的充分不必要条件．
故选：．
【点睛】
判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.

二、多选题
13．（2020·辽宁朝阳·高三月考）已知下列命题：
，使；
若，则恒成立；
的充要条件是.
下列命题中为假命题的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】
先判断命题的真假，再判断选项的真假得解.
【详解】
当时，，此时，故为真；
当时，不等式不成立，故为假；
当时，，此时不成立，故为假.
则所给的四个选项中，A、B、D都是假命题，只有选项C为真命题.
故选：ABD
【点睛】
方法点睛：判断复合命题的真假方法：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.
14．（2020·重庆高三月考）下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题，都有，则，使得
B．函数与函数是同一个函数
C．，使得成立
D．若x，y，z均为正实数，且，，则
【答案】AD
【分析】
由全称命题否定可判断A选项，求两函数的定义域即可判断B选项，结合已知条件求的取值范围，结合基本不等式即可求出的取值范围，即可判断C，设，由指数和对数的互化可求出的表达式，结合对数函数的单调性可求出的取值范围，从而可求出的取值.
【详解】
解：A:由全称命题否定格式可知，A正确；B：令，解得，令，
解得或，即两个函数定义域不同，故B不正确；
C:当时，，则，
当且仅当，即时，等号成立，显然，
所以，故C不正确；
D:设，则，所以
，因为，
所以，即，所以，即，
因为，所以，即，所以，即，
所以，即，则，即D正确；
故选:AD.
【点睛】
关键点睛：
本题的难点是D选项的判断，结合对数函数的单调性求出的取值范围是本题的关键.
15．（2020·江苏高一期中）下列命题正确的是（ ）
A．已知全集，，则
B．“”是“”的充分不必要条件
C．不等式恒成立的条件是
D．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是
【答案】BC
【分析】
对于，求出集合的补集即可判断；对于，由不等式的基本性质即可判断；对于，利用判别式，求出的取值范围即可判断；对于，取时，不等式恒成立，即可判断．
【详解】
解：对于，已知全集，或，则，故错误；
对于，若，则成立，若，则不一定能推出，比如，
故“”是“”的充分不必要条件，故正确；
对于，不等式恒成立，则，解得，故正确；
对于，若不等式对一切恒成立，
当时，不等式即为恒成立，故满足，故错误．
故选：．
【点睛】
思路点睛：形如的不等式恒成立问题的分析思路：
（1）先分析的情况；
（2）再分析，并结合与的关系求解出参数范围；
（3）综合（1）（2）求解出最终结果.

第II卷（非选择题）

三、解答题
16．（2020·浙江台州·高一期中）已知不等式的解集是.
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求不等式的解集.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由题意可得出，由此可解得实数的取值范围；
（2）由题意可知，关于的二次方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得的值，进而可求得不等式的解集.
【详解】
（1），则，解得，
因此，实数的取值范围是；
（2），和是方程的两个根，
由韦达定理得，解得，
所以，不等式即为，即，解得.
因此，不等式的解集为.
17．（2020·眉山市东坡区多悦高级中学校高一期中）设，.若，求a的取值范围.
【答案】，或
【分析】
求解集合B，因为，得，讨论集合A的各种情况，代入即可求出的范围.
【详解】
由，得.
由，得.于是，A有四种可能，
即，，，.
以下对A分类讨论：
（1）若，则，解得；
（2）若，则，解得.
此时可化为，
所以，这与是矛盾的；
（3）若，则由（2）可知，；
（4）若，则，解得.
综上可知，a的取值范围，或.
18．（2020·湖南娄底一中高一期中）已知全集，集合，．
（1）若，求和；
（2）若，求实数的取值范围；
【答案】（1）或，；（2）．
【分析】
（ 1）先求集合A，B，再求集合B的补集，根据交集定义求结果；
（ 2）依据集合的包含关系，得到区间端点的大小关系为可得答案.
【详解】
（1）当时，，集合，
∴或，
．
（2）∵集合，，，
∴，解得．
∴实数的取值范围是．
【点睛】
在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍.
19．（2020·浙江高二期中）已知，命题方程表示焦点在轴上的椭圆；命题函数在上有零点.
（1）若命题是真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题中有且只有一个真命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
先求出命题和命题为真时的取值范围，在根据问题中的情况列出不等式求解.
【详解】
对于命题，由题可得，解得；
对于命题，函数在上有零点等价于在有解，可得，即.
（1）若命题是真命题，则，即实数的取值范围为；
（2）当真假时，满足，解得，
当假真时，满足，解得，
综上，.
【点睛】
关键点睛：本题考查根据命题真假求参数，解题的关键是先求出命题和命题为真时的取值范围，即可列式求解.
20．（2020·宾县第一中学校高一月考）设全集，集合，
（1）求；
（2）若集合，满足，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）化简集合B，根据交集运算即可求解；
（2）由可得，据此建立不等式求解即可.
【详解】
（1）∵，
∴；
（2）由集合C中的不等式，解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得
21．（2020·吉林长春·东北师大附中高一月考）已知集合，.
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）解含绝对值不等式得到集合A，解含参不等式得到集合B，利用，再结合数轴列出关于的不等式，求得的取值范围；
（2）分类讨论和，再结合数轴列出关于的不等式，，求出的取值范围.
【详解】
不等式等价于或 或
分别解不等组得：或或

，，，即或
方程的两个根为，
，利用数轴表示集合，如图所示

若时，必有，此时需，解得，此时无解；
若时，由数轴可知：，解不等式得，即
综上，若，的取值范围是
（2），
①当时，即，解得，满足，符合；
②当时，即或，由（1）知，利用数轴表示集合，如图所示：

若时，必有，集合B出现在位置，此时需，解得，取交集；
若时，必有，集合B出现在位置，此时需，若时，不等式无解；若时，转化为，解得，取交集此时无解，所以不符合；
综上，若，的取值范围
【点睛】
易错点睛：本题考查解绝对值不等式，含参不等式，利用集合关系得到关于b的无理不等式，无理不等式一般利用平方法和分类讨论法解答，但无理不等式转化为有理不等式，要注意平方得条件和根式有意义的条件，一般情况下：等价于或
22．（2020·江苏泰州中学高二期中）设：实数满足，，：实数满足.
（1）若，，，求；
（2）若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）本题首先可通过以及得出，然后通过求解得出，最后根据交集的相关性质即可得出结果；
（2）本题首先可通过解不等式设、，然后根据是的必要不充分条件得出集合是集合的真子集，列出不等式组，通过计算即可得出结果.
【详解】
（1）当时，不等式可化为，解得，
因为，所以，
因为，解得，，
所以，.
（2），即，，
设，，
因为是的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集，
则，解得，
检验：当时，，此时Ü，合乎题意.
故实数的取值范围是.
【点睛】
关键点点睛：若命题是命题的充分不必要条件，则命题对应的集合是命题对应的集合的真子集；若命题是命题的必要不充分条件，则命题对应的集合是命题对应的集合的真子集.
23．（2020·大石桥市第三高级中学高一月考）已知集合，，，全集为R.
（1）求，；
（2）如果，求的取值范围.
【答案】（1）；；（2）
【分析】
（1）根据交，并，补集的定义直接求解；（2）利用数轴表示当时，求的取值范围.
【详解】
（1），，
，或，
；
（2）若，则.
24．（2020·浙江省杭州第二中学高一期中）设常数，集合，.
（1）若，求，；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）或，；（2）.
【分析】
（1）先求出集合，时集合，即可求，求出即可求；
（2）若，则，即可求得的取值范围.
【详解】
由可得：，解得：或
所以或，
（1）若，则，，
所以或，

（2）或，
若，则，所
所以的取值范围为.
25．设常数，集合，．
（Ⅰ）若，求，；
（Ⅱ）若，求的取值范围．
【答案】（1）或，；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）求出集合，再进行集合的运算；（Ⅱ）首先讨论，和三种情况，根据，求实数的取值范围.
【详解】
（Ⅰ）当时，，即，解得：或，
即或，，，
所以或，；
（Ⅱ）当时，此时，或，若，
则，所以不成立；
当时，，若，则，所以不成立；
当时，此时，或，若，
则，所以
综上可知，的取值范围是
【点睛】
易错点睛：（1）解分式不等式时，需注意分母不等于0；
（2）涉及集合包含关系求参数取值范围时，需讨论空间情况，这也是容易忽略的情况.
26．在“①，②，③”这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，求解下列问题.问题：已知集合，集合.
（1）若，求，；
（2）若______，求m的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1），或；（2）选①，；选②，或；选③或.
【分析】
先解二次不等式可得，进而可得，
（1）再利用交集并集的定义直接求解即可；
（2）若选①，由列不等式求解即可；若选②，由或即可得解；若选③，由或即可得解.
【详解】
集合，或
（1）若，，
则，或.
（2）若选①，
则，所以，解得；
若选②，则或，
解得：或；
若选③，则或，
解得：或.
【点睛】
本题主要考查了集合的交并补的运算及由集合的包含关系求参，属于基础题.
27．（2020·浙江湖州·高二期中）已知命题：实数满足，命题：方程表示圆．
（Ⅰ）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）利用方程表示圆的条件列式可解得结果；
（Ⅱ）转化为命题对应的集合是命题对应的集合的真子集列式可解得结果.
【详解】
（Ⅰ）因为命题为真命题，所以，得.
（Ⅱ）由得，即，
因为是的充分不必要条件所以，
所以， 解得.
【点睛】
结论点睛：本题考查由充分不必要条件求参数的取值范围，一般可根据如下规则转化：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
28．（2020·重庆市云阳江口中学校高一月考）已知集合，..
（1）若，，求实数的取值范围；
（2）若，且，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先求出，再根据包含关系可得关于的不等式组，从而求实数的取值范围，注意对是否为空集分类讨论；
（2）先求出，再根据得到关于的不等式，从而求实数的取值范围.
【详解】
（1），，
，
①若，
则，
∴；
②若，
则，
∴，
综上，
所以实数的取值范围为：.
（2）由，，
得，
又且，
∴，
∴，
所以实数的取值范围为：.
【点睛】
易错点睛：本题考查集合的包含关系以及一元二次不等式的解的求法，注意根据集合关系得到不同集合中的范围的端点满足的不等式（或不等式组），要验证等号是否可取，还要注意含参数的集合是否为空集.
29．（2020·广东深圳·高一期末）设函数的定义域集合为A，函数的定义域集合为B.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求出集合A和B，再根据交集的定义可求出；
（2）可得，由题列出式子即可解出.
【详解】
（1）中，满足，即，解得，
，
时，的定义域满足，解得，此时，
；
（2）可得，，
，则应满足，解得.
【点睛】
关键点睛：本题考查集合的交集运算和根据集合的包含关系求参数范围，解题的关键是正确求出函数的定义域即集合A，B，然后根据条件列出式子即可求解.
30．（2020·福建福州教院二附中高二期中）已知命题p：方程表示焦点在x轴上的双曲线；命题q：关于x的不等式的解集为R；若“”是真命题，求实数m的取值范围．
【答案】
【分析】
根据两个命题为真求出解集，求出两个集合的并集即可得解.
【详解】
若命题p为真，，解得；
若命题q为真，，解得；
“”是真命题，
所以
【点睛】
此题考查根据命题的真假求解参数的取值范围，关键在于弄清含有逻辑联结词的命题真假判断方法.
31．（2020·江苏高一期中）设全集为R，，.
（1）若，求，；
（2）若“”是“”的___________条件，求实数a的取值范围.
请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中选一个填在横线上，使实数a有解，并解答问题.
【答案】（1），或；（2）选择①，；选择②，；选择③，无解.
【分析】
（1）先求出集合A，B，再根据交集补集的定义即可求出；
（2）选择①，则AÜB，分和两种情况讨论；选择②，则BÜA，则，解出即可；选择③，则，可得实数无解.
【详解】
（1）时，，
因为，解得，所以，
所以，或.
（2）若选择①充分不必要条件作答，则AÜB，
当时，，即时，满足AÜB，
当时，则，不等式无解，
综上，的取值范围为.
若选择②必要不充分条件，则BÜA，
所以，解得，
综上，的取值范围为；
若选择③充要条件，则，实数无解.
【点睛】
结论点睛：本题考查根据充分、必要条件求参数，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）若是的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含．
32．（2020·浙江学军中学高一期中）已知函数的定义域为A，函数的值域为B.
（Ⅰ）设集合，其中Z是整数集，写出集合M的所有非空子集；
（Ⅱ）设集合，且，求实数a的取值范围.
【答案】（Ⅰ），，，，，，；（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）计算得到，，再计算交集得到，得到答案.
（Ⅱ）考虑和两种情况，得到或，解得答案.
【详解】
（Ⅰ）函数的定义域满足，即，即，
，，即，
.
故集合M的所有非空子集为，，，，，，.
（Ⅱ），，
当时，，解得；
当时，或，解得.
综上所述：.
【点睛】
本题考查了函数的定义域，值域，子集，根据交集运算结果求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，忽略空集是容易发生的错误.
33．（2020·上海师范大学附属中学闵行分校高一期中）符号表示不大于的最大整数，例如：．
（1）已知分别求两方程的解集;
（2）求不等式的解集：
（3）设方程的解集为A，集合，若，求的取值范围．
【答案】（1），；（2）；（3）．
【分析】
（1）根据的定义求解即可；
（2）先根据一元二次不等式的解法求出，再根据的定义求解；
（3）分别求解和，再根据列出区间端点满足的表达式化简求解即可.
【详解】
（1）由解得，即，
由解得，即；
（2）由解得，则，
可得，故不等式的解集为；
（3）由可得，
当时，则，；
当时，则无解；
当时，则，，
故，
又集合B中可得，
当时，恒成立，满足，
当时，解得或，此时，解得，
当时，解得或，此时，解得，
综上，.
【点睛】
本题主要考查取整函数的运用，考查一元二次不等式的求解，注意求解带参数的表达式时要分类讨论，绝对值表达式也要分情况分段讨论，另外集合的基本关系运算时注意区间端点满足的关系式进行列式求解.

四、填空题
34．（2020·眉山市东坡区多悦高级中学校高一期中）设P和Q是两个集合，定义集合，且，若，则________．
【答案】
【分析】
根据集合的定义运算即可.
【详解】
因为集合中的，，这三个元素都在集合中，而，
所以，且．
故答案为：．
35．（2020·东宁市第一中学高二月考）若是的充分不必要条件，则的取值范围是________.
【答案】
【分析】
根据充分条件、必要条件的定义即可求解.
【详解】
若是的充分不必要条件，
则，
所以的取值范围是.
故答案为：
36．（2020·万载县第二中学高三月考（理））函数的图象向右平移个单位长度得到的图象．命题：的图象关于直线对称；命题：是的一个对称中心．则在命题：，：，：，：中，是真命题的为________．
【答案】，
【分析】
首先利用辅助角公式将函数化为，由三角函数的图像变化规律求出的解析式，根据三角函数的性质判断与真假，再由复合命题的真假性判断即可得到答案.
【详解】
由，
则,
由，解得，显然不是对称轴，故为假命题.
由，解得，显然是对称中心，故为真命题.
故为真命题，为假命题，故为真命题；为假命题；为假命题；为真命题；
故答案为：，
【点睛】
关键点睛：本题考查了辅助角公式、三角函数的性质、命题真假的判断以及命题的否定、真假，解题的关键是熟记三角函数的性质以及复合命题真假判断，属于基础题.