专题十三 简单几何体的结构特征、表面积与体积-2021届高三《新题速递•数学》12月刊（江苏专用 适用于高考复习）

专题十三   简单几何体的结构特征、表面积与体积

一、单选题

1．（2020·全国高三月考（理））圆亭，为圆台体型的建筑物，《九章算术》中有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，则该圆亭的母线与底面所成角的正切值为（    ）

A． B． C． D．

2．（2020·湖北鄂州·高二期中）正方体的棱长为4，E，F为，的中点，点P是面ABCD上一动点，，则FP的最小值为（    ）

A． B． C． D．5

3．（2020·安徽宿州·高二期中（理））若圆锥的母线长为4，底面半径为，，为圆锥的任意两条母线，则面积的最大值为（    ）

A． B． C．8 D．16

4．（2020·安徽屯溪一中高二期中）正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的周长是（    ）

A． B． C． D．

5．（2020·淮南第一中学高二期中（理））下列说法中不正确的是（    ）

A．将圆柱的侧面沿一条母线剪开，展开图是一个矩形

B．直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥

C．棱锥的侧面均为三角形

D．棱台的上下底面是平行且相似的多边形

6．（2020·浙江诸暨中学高二期中）若边长为的正是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是 （  ）

A． B． C． D．

7．（2020·江苏高三期中）埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长除以其两倍的高度，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值，金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米，因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现在的高度大约为（    ）

A．128.4米 B．132.4米 C．136.4米 D．110.4米

8．（2020·安徽高二期中（文））某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 （    ）

A． B． C． D．

9．（2020·浙江高二期中）如图所示，正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（    ）

A． B．

C． D．

10．（2020·重庆十八中高二期中）如图：正三棱锥中，，侧棱，平行于过点的截面．则截面与正三棱锥侧面交线的周长的最小值为（    ）

A．2 B． C．4 D．

11．（2020·重庆十八中高二期中）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑．如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为，则侧棱与底面外接圆半径的比为（    ）

A． B． C． D．

12．（2020·浙江高二期中）若三棱锥满足，，则该三棱锥可能是（    ）

A． B．

C． D．以上选项都不可能

13．（2020·盘锦市第二高级中学高二月考）若球的半径为，一个截面圆的面积是，则球心到截面圆心的距离是（    ）

A． B． C． D．

14．（2020·全国高三月考（理））已知三棱锥的所有棱长都相等，点是线段上的动点，点是线段上靠近的三等分点，若的最小值为，则三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

15．（2020·江苏镇江·高三期中）直三棱柱的所有顶点都在同一球面上，且，，，则该球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

16．（2020·浙江效实中学高二期中）在四面体中，底面，，，且，，若该四面体的顶点均在球的表面上，则球的表面积是（    ）

A． B． C． D．

17．（2020·浙江台州一中高三期中）设为等腰三角形，，，为边上的高，将沿翻折成，若四面体的外接球半径为，则线段的长度为（    ）

A． B． C． D．

18．（2020·江西高三其他模拟（理））四面体中，底面，，，则四面体的外接球表面积为（    ）

A． B． C． D．

19．（2020·淮南第一中学高二期中（文））已知圆锥的一条母线的中点与圆锥底面圆的圆心间的距离为2，母线与底面所成的角为60°，则该圆锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

20．（2020·安徽淮北一中高二期中）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现.我们来重温这个伟大发现.圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为（    ）

A．， B．， C．， D．，

21．（2020·湖南衡阳市八中高三月考）在三棱锥中，，，，，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

22．（2020·宜宾市南溪区第二中学校高三期中（文））如图，正方体的棱长为1，动点在线上，，分别是，的中点，则下列结论中错误的是（    ）

A． B．平面

C．三棱锥的体积为定值 D．存在点，使得平面平面

23．（2020·江苏南京师大附中高二月考）《九章算术》与《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》卷五商功篇中介绍了羡除（此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体）体积的求法.在如图所示的羡除中，平面是铅垂面，下宽，上宽，深，平面BDEC是水平面，末端宽，无深，长（直线到的距离），则该羡除的体积为（    ）

A． B． C． D．

24．（2020·江西景德镇一中高二期中（理））在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球的表面积是（    ）

A． B． C． D．

25．（2020·安徽池州一中高二期中（文））一个倒置的圆锥形漏斗，底面半径是10cm，母线长是26cm，把一个球放在漏斗内，圆锥的底面正好和球相切，则这个球的体积是（    ）

A． B． C． D．

26．（2020·江苏高三月考）已知直三棱柱的顶点都在球上，且，，，则此直三棱柱的外接球的表面积是（    ）

A． B． C． D．

27．（2020·珠海市第二中学高二期中）如图，已知正方形的边长为4，、分别是、的中点，平面，且，则点到平面的距离为（     ）

A． B． C． D．1

28．（2020·北京四中高二期中）长方体中，若，，，且此长方体内接于球，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

29．（2020·盘锦市第二高级中学高二月考）已知正方体的个顶点中，有个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为（    ）

A． B． C． D．

30．（2020·福建师大附中高三期中）在四面体中，，，，则四面体的外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

31．（2020·河南高三月考（理））已知三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，侧棱底面，底面是正三角形，与底面所成的角是45°.若正三棱柱的体积是，则球O的表面积是（    ）

A． B． C． D．

32．（2020·全国高三月考（文））已知三棱柱(侧棱底面，底面是正三角形)内接于球O，与底面所成的角是45°.若正三棱柱的体积是，则球O的表面积是（    ）

A． B． C． D．

33．（2020·全国高三专题练习（文））如图所示，四棱锥中，四边形为矩形，平面平面.若，，，则四棱锥的体积最大值为（ ）

A． B． C． D．

34．（2020·全国高三专题练习（文））如图，在长方体中，用截面截下一个棱锥，则棱锥的体积与剩余部分的体积之比为（    ）

A． B．

C． D．

35．（2020·全国高三专题练习）已知点在半径为2的球面上，满足，，若S是球面上任意一点，则三棱锥体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

36．（2020·全国高三专题练习（文））四棱锥的顶点都在球O的球面上，是边长为的正方形，若四棱锥体积的最大值为54，则球O的表面积为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

37．（2020·江苏高三期中）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是棱BC的中点，点Q是底面A1B1C1D1上的动点，且AP⊥D1Q，则下列说法正确的有（    ）

A．DP与D1Q所成角的最大值为 B．四面体ABPQ的体积不变

C．△AA1Q的面积有最小值 D．平面D1PQ截正方体所得截面面积不变

38．（2020·肇庆市实验中学高二期中）下列命题正确的是（    ）

A．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台

B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台

C．棱锥是由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体

D．球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转所形成的曲面

39．（2020·湖北武汉·高二期中）如图，M、N分别为边长为1的正方形ABCD的边BC、CD的中点，将正方形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，以下结论正确的是（    ）

A．MN∥平面ABD

B．异面直线AC与BD所成的角为定值

C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

D．三棱锥M-ACN体积的最大值为

40．（2020·全国高三月考）如图，正方体中，，是线段上的两个动点，则下列结论正确的是（    ）

A．，始终在同一个平面内

B．平面

C．

D．若正方体的棱长和线段的长均为定值，则三棱锥的体积为定值

41．（2020·全国高二单元测试）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，将△ABD沿对角线BD折起.设折起后点A的位置为A′，并且平面A′BD⊥平面BCD.给出下面四个命题：（    ）

A．A′D⊥BC

B．三棱锥A′﹣BCD的体积为

C．CD⊥平面A′BD

D．平面A′BC⊥平面A′DC

42．（2020·江苏南京田家炳高级中学高二月考）已知正方体的棱长为1，P是空间中任意一点，下列命题正确的有（    ）

A．若P为棱中点，则异面直线AP与CD所成角的正切值为；

B．若P在线段A1B上运动，则的最小值为；

C．若p在半圆弧上运动，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的表面积为

D．若过点P的平面与正方体每条棱所成角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为.

第II卷（非选择题）

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三、填空题

43．（2020·浙江温州·高二期中）如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是______．

44．（2020·安徽宿州·高二期中（理））如图，平行四边形是四边形的直观图.若，，则原四边形的周长为______.

45．（2020·盘锦市第二高级中学高二月考）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“现在有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为______平方尺．

46．（2020·云南昆明·高三其他模拟）已知正三棱柱外接于一个半径为2的球，则正三棱柱的侧面积取得最大值时，其底面边长为______.

47．（2020·江苏高二期中）已知菱形的边长为2，对角线，现将沿折起，使得二面角为，则折得几何体的外接球的表面积为_______________.

48．（2020·安徽宿州·高二期中（理））已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为6的正三角形，，分别是，上的点，且，，，则球的表面积为______.

49．（2020·湖北高三月考）已知三棱锥的四个表面是都是直角三角形，且平面，，则该三棱锥的体积为__________.

50．（2020·江苏高三期中）乒乓球被称为中国的“国球”，目前国际比赛用球的直径为4cm．某厂家计划生产乒乓球包装盒，包装盒为长方体，每盒装6个乒乓球，现有两种方案，方案甲：6个乒乓球放一排；方案乙：6个乒乓球并排放置两排，每排放3个，乒乓球与盒子、以及乒乓球之间紧密接触，确保用料最省，则方案甲中包装盒的表面积比方案乙中包装盒的表面积多_______cm2．

51．（2020·湖北高二期中）空间四边形中，，则其外接球表面积为__________．

52．（2020·安徽高二期中（文））已知一个圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则此圆锥外接球的体积是__________．

53．（2020·江西南昌十中高三期中（文））如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，，且平面，则四棱锥外接球的体积为______.

54．（2020·广东深圳外国语学校高三月考）已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为______.

55．（2020·江西景德镇一中高二期中（理））如图，正方体的棱长为1，分别是线段和上的动点，则下列判断正确的是____________请把所有正确命题的序号都填上

①线段的长度有最小值，且最小值为；

②使成立的点的位置情况只有四种；

③不论如何运动，线段和都不可能垂直；

④若四点能构成三棱锥，则其体积只与点的位置有关，与无关；

⑤存在一个位置，使得所在直线与四个侧面都平行.

56．（2020·河北高三期中）在棱长为2的正方体，中，E，F分别为棱，的中点，点P在线段EF上，则三棱锥的体积为________．

57．（2020·肇庆市实验中学高二期中）有一球内接圆锥，底面圆周和顶点均在球面上，其底面积为，已知球的半径，则此圆锥的体积为___________.

58．（2020·全国高三专题练习）某雕刻师计划在底面边长为2m，高为4m正四棱柱形的石料中，雕出一个四棱锥和球的组合体，其中为正四棱柱的中心．当球的半径取最大值时，该雕刻师需去除的石料的质量约为______．（最后结果保留整数，其中，石料的密度，质量）

59．（2020·全国高三专题练习）《九章算术》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图）．现提供一种计算“牟合方盖”体积的方法．显然，正方体的内切球同时也是“牟合方盖”的内切球．因此，用任意平行于水平面的平面去截“牟合方盖”，截面均为正方形，平面截内切球得到的是上述正方形截面的内切圆．结合祖暅原理，两个同高的立方体如在等高处的截面面积相等，则体积相等．若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为______．

60．（2020·浙江高一期末）在三棱锥中，底面是以为斜边的直角三角形，且平面，若，，则三棱锥外接球的表面积为______.

61．（2020·全国高三其他模拟）如图，已知边长为1的正方形与正方形所在平面互相垂直，为的中点，为线段上的动点，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为______.

62．（2020·全国高三其他模拟）如图，已知长方体的底面为正方形，为棱的中点，且，则四棱锥的外接球的体积为______.

63．（2020·全国高三其他模拟）如图，在棱长为4的正方体中，点是对角线上的点，若直线与底面所成角的正切值等于，则经过，，，，的球的表面积等于______．

四、解答题

64．（2020·云南昆明一中高三月考（文））如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，点是的中点，点是线段上的动点.

（1）求证：平面平面；

（2）若点到平面的距离为，求的值.

65．（2020·安徽高二期中（理））如图，在三棱锥V-ABC中，底面ABC，，D是棱AB的中点，且.

（1）证明：平面平面VCD；

（2）若，且棱AB上有一点E，使得线VD与平面VCE所成角的正弦值为，试确定点E的位置，并求三棱锥C-VDE的体积.

66．（2019·贵州高三期末（文））如图在四棱锥中，底面是菱形，，平面平面，，为的中点，是棱上一点，且

（1）证明：平面：

（2）求四棱锥的体积.

五、双空题

67．（2020·浙江高二期中）已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是______，母线长为______.

68．（2020·全国高三专题练习（文））连接正方体相邻各面的中心(中心是指正方形的两条对角线的交点)后所得到了一个几何体，设正方体的棱长为，则该几何体的表面积为_______，该几何体的体积为_______.

69．（2020·全国高三专题练习（文））某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个实心工艺品（如图所示）．该工艺品可以看成一是个球体被一个棱长为的正方体的个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合）．若其中一个截面圆的周长为，则该球的半径为___；现给出定义：球面被平面所截得的一部分叫做球冠．截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．如果球面的半径是，球冠的高是，那么球冠的表面积计算公式是 . 由此可知，该实心工艺品的表面积是____.