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专题八 三角函数变换与三角函数的应用-2021届高三《新题速递•数学》11月刊（江苏专用 适用于高考复习）
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这是一份专题八 三角函数变换与三角函数的应用-2021届高三《新题速递•数学》11月刊（江苏专用 适用于高考复习），文件包含专题八三角函数变换与三角函数的应用原卷版docx、专题八三角函数变换与三角函数的应用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共58页， 欢迎下载使用。
专题八 三角函数变换与三角函数的应用
一、解答题
1．（2019·胶州市实验中学高一期中）已知函数.
（1）若，求的值.
（2）在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先进行三角恒等变形，使化为的形式，求出的值，再利用与的关系进行求值；
（2）先利用余弦定理求出角,化简，利用的范围进行求解.
【详解】
（1）
由可得：.
.
（2）由余弦定理得：，整理可得：，
，，
又，，，
，则，
，即的取值范围为.
【点睛】
本题考查三角恒等变换、三角函数和解三角形知识的综合应用问题，涉及到三角函数关系式的化简、边角关系式的化简、三角函数值的求解与诱导公式的应用、正弦型函数值域的求解等知识，是对于三角函数部分知识的综合考查，属于常考题型.
2．已知函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的单调递减区间.
【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）化简函数，代入即可求解的值，得到答案；
（Ⅱ）因为，可得，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】
（Ⅰ）由题意，函数，所以，
（Ⅱ）因为，可得，
所以当时，即，函数单调递减，
即函数的单调递减区间是.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的化简公式的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
3．已知函数.
（1）求f(x)的最小正周期；
（2）求f(x)在上的值域.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据三角恒等变换的公式，化简函数，利用最小正周期的公式，即求得函数的最小正周期；
（2）由，求得，得到，进而可求得函数的值域。
【详解】
（1）由题意，函数
，
所以函数的最小正周期为。
（2）因为，则，可得，
所以，
故在上的值域为。
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简得出函数的解析式，熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力。
4．（2019·浙江高三月考）已知函数的最小正周期为，且当时，取最大值．
（1）求，的值；
（2）若， ，求的值．
【答案】（1），（2）
【解析】
【分析】
（1）结合三角函数周期的公式，求得的值，再结合题设，得到，即可求解；
（2）由，求得，结合同角三角函数的基本关系式，以及和角公式、二倍角公式，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数的最小正周期为，可得，
又当时，取最大值，可得，即，
即，所以，
因为，所以．
（2）由（1）可得函数，
因为，即，所以，
又，可得，
又由，，
所以．
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的性质，三角函数的基本关系式，以及和角公式、二倍角公式的综合应用，着重考查了推理与运算能力.
5．（2020·哈密市第十五中学高二期末）已知向量，设.
（1）求函数的增区间；
（2）若，求的值.
【答案】（1）增区间为（2）
【解析】
【分析】
（1）由向量的数量积的运算公式和三角函数恒等变换，得到，再结合三角函数的性质，即可求解.
（2）由（1）知，根据因为，求得，进而求得的值.
【详解】
（1）由题意，函数
令，解得
所以函数的增区间为.
（2）由（1）可知，
因为，
可得，
解得，因为，所以，
所以.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及三角函数的化简求值，其中解答中涉及到向量的数量积的运算，以三角恒等变换的应用，同时熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
6．（2019·重庆市万州第二高级中学高一期中）在直角坐标系中，已知点，，，其中.
（1）求的最大值；
（2）是否存在，使得为钝角三角形？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1）2；（2）存在，
【解析】
【分析】
（1）根据向量数量积用坐标表示，结合辅助角公式，以及余弦函数的性质，利用整体法，可得结果.
（2）利用向量的数量积的符号，来判断三角形的角度大小，可得结果.
【详解】
解：（1）由题意：，
；
所以
则
即；
因为，所以；
所以当，即时，
取得最大值；
（2）因为，
，
；
又，所以，，
所以，；
所以若为钝角三角形，则角是钝角，
从而；
由（1）得，
解得；
所以，即；
反之，当时，，
又三点不共线，所以为钝角三角形；
综上，当且仅当时，为钝角三角形.
【点睛】
本题考查向量在三角形的应用，还考查了向量数量积的坐标表示以及求最值.
7．（2019·上饶中学高一月考）已知向量a＝(cos2ωx－sin2ωx，sinωx)，b＝(，2cosωx)，设函数f(x)＝a·b(x∈R)的图象关于直线x＝对称，其中ω为常数，且ω∈(0，1)．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若将y＝f(x)图象上各点的横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到y＝h(x)的图象，若关于x的方程h(x)＋k＝0在上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．
【答案】（1）T＝6π；单调递增区间为，k∈Z.（2）{k|或k＝－2}．
【解析】
【分析】
（1）先利用平面向量的数量积定义和二倍角公式、辅助角公式得到，再利用对称性求出值，再利用三角函数的性质进行求解；（2）先利用三角函数图象变换得到，再令，利用三角函数的图象和数形结合思想进行求解.
【详解】
(1)f(x)＝a·b＝(cos2ωx－sin2ωx)＋2sinωxcosωx
＝cos2ωx＋sin2ωx＝2sin.
∵直线x＝是y＝f(x)的图象的一条对称轴，
∴(k∈Z)，即ω＝k＋(k∈Z)．
又ω∈(0，1)，∴ω＝，f(x)＝2sin，
∴T＝6π.
令，k∈Z，得，k∈Z，
即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由（1）得f(x)＝2sin，将y＝f(x)图象上各点的横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到y＝2sin的图象，∴h(x)＝2sin.
令＝t，∵0≤x≤，∴－≤t≤，
方程h(x)＋k＝0在上有且只有一个实数解，
即方程2sint＋k＝0在上有且只有一个实数解，
亦即y＝2sint，t∈的图象与直线y＝－k有且只有一个交点，
画出图象分析可知－≤－k＜或－k＝2，即或k＝－2.
故实数k的取值范围是{k|或k＝－2}．
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象和性质、三角函数的图象变换，意在考查学生的逻辑思维能力和综合分析解决问题的能力，属于中档题．解决本题的易错点在于三角函数的图象变换，学生往往得到错误的结果“”，在处理图象平移时，要注意平移的单位仅对于“自变量”而言，如本题中.
8．已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)求在区间上的最小值.
【答案】（I）,;（II）.
【解析】
【分析】
（I）根据二倍角公式及两角和与差的正弦公式，将函数化简为，再根据正弦函数的单调性即可求得；（II）由，可得，根据正弦函数的单调性即可求得最小值.
【详解】
（I）.
由得，，则的单调递增区间为，.
（II）∵，∴，当，时，.
【点睛】
本题考查三角函数中的倍角公式、两角和与差的正弦、函数的性质等基础知识，考查转化能力和基本计算能力.其中的解题关键是把所给函数转化为的形式，然后再运用整体的思想解题.
9．（2020·江苏高三月考）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，．
（1）求；
（2）求的值．
【答案】(1) .
(2) .
【解析】
【分析】
分析：（1）在中，由余弦定理可得．
（2）由得．根据正弦定理得，从而，
故得．
【详解】
（1）在中，由余弦定理得
，∴．
（2）在中，由得，
∴，
在中，由正弦定理得，即，∴，
又，故，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
10．（2018·长葛市第一高级中学（文））已知向量，函数，.
（1）若, 求；
（2）求在上的值域；
（3）将的图象向左平移个单位得到的图象，设，判断的图象是否关于直线对称，请说明理由.
【答案】(1) 或;(2) ;(3)见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据模长公式即可求解的值；（2）根据函数，利用向量坐标的运算求解的解析式，化简，再求解内层函数的范围，即可求解值域；（3）根据平移变换的规律请的解析式，可得的解析式，结合三角函数的性质即可判断是否关于直线对称.
试题解析：(1)∵，∴，
又，
∴或.
（2）
∵
∴，
∴，
故在上的值域为.
（3）∵，
∴，
∵
∴的图象关于直线对称.
11．（2017·全国高一课时练习）已知O为原点，A，B，C为平面内的三点．求证：
(1) 若A，B，C三点共线，则存在实数α，β，且α＋β＝1，
(2) 若存在实数α，β，且α＋β＝1，使得，则A，B，C三点共线．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
试题分析:（1）由三点共线可得向量共线：,再转化为向量,整理可得关于，根据分解定理可得 ，即证得α＋β＝1（2）逆推（1），将条件，转化为向量关系，根据向量共线得三点共线
试题解析：证明：(1) 由A，B，C三点共线，知与共线，所以存在λ∈R，使＝λ，即－＝λ(－)，得＝λ＋(1－λ)，令λ＝β，1－λ＝α，则α＋β＝1，＝α＋β.
(2) 由＝α＋β＝(1－β)＋β，得－＝β(－)，即＝β，β∈R，
∴与共线．
又有公共点A，故A，B，C三点共线．
点睛：向量共线：，
12．（2020·绥德中学高一月考（文））设，函数=（）．
（1）求函数的最小正周期及最大值；
（2）求的单调递增区间．
【答案】（1）最小正周期为，最大值为； （2）.
【解析】
【分析】
（1）根据向量的数量积的运算和三角恒等变换的公式，求得函数的解析式，结合三角函数的性质，即可求解；
（2）由（1）中函数的解析式，结合正弦型函数的性质，即可求解.
【详解】
由题意，向量，
可得函数
，
所以函数的最小正周期为，
当时，即，函数取得最大值，最大值为.
（2）由（1）知，函数，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角恒等变换的化简运算，以及三角函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
13．（2020·绥德中学高一月考（文））化解，求值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）1； （2）.
【解析】
【分析】
（1）根据三角函数的诱导公式，即可求解；
（2）化简，利用两角差的正切公式，即可求解.
【详解】
（1）由题意，根据三角函数的诱导公式，可得原式.
（2）由.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的诱导公式和两角差的正切公式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.
14．（2019·江苏省如东高级中学高一期中）如图，正三角形的边长为4，分别在三边上，且为的中点，
（1）若，求的面积；
（2）求的面积的最小值，及使得取得最小值时的值.
【答案】（1）；（2）当时，
【解析】
【分析】
（1）根据已知，可得长度，结合三角形面积公式，可得结果.
（2）根据正弦定理以及两角和的正弦公式，表示出面积，根据角度的范围，可得结果.
【详解】
（1）在边长为4的正三角形中
由为的中点，所以
又，所以，
又，所以
所以
所以
（2）
由，
化简可知：
，
由
所以
又
即
即
所以
则
由
所以当，即时，
【点睛】
本题重在利用正弦定理求解三角形的面积，熟练掌握公式，边角互换，同时考验计算能力，属中档题.
15．已知向量，.
（1）若，求的值；
（2）设，若，，求的值.
【答案】（1）； （2）.
【解析】
【分析】
（1）由向量的数量积的运算公式，结合，化简得，再利用诱导公式，即可求解；
（2）由（1）可得，利用三角恒等变换的公式，求得，再结合三角函数的基本关系式和两角差的余弦公式，即可求解。
【详解】
（1）由题意，向量，，
因为，所以，
整理得
，即，
又由。
（2）由（1）可得，
则，
解得，
因为，则，
又由，则，
所以，
则.
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的运算，以及三角函数的化简求值，其中解答熟记向量的数量积的运算公式，以及熟练应用三角函数恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
16．（2019·内蒙古赤峰·高二期末（文））某同学再一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于一个常数.
①.
②.
③.
（1）试从上述三个式子中选出一个计算出这个常数.
（2）猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.
【答案】（1）（2），证明见解析
【解析】
【分析】
（1）选择①化简得这个常数为；（2）找到一般规律：，再化简证明.
【详解】
解：（1）
（2）一般规律：
证明：
【点睛】
本题主要考查归纳推理，考查三角恒等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
17．（2019·青海西宁·高一期末）已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）求在区间上的值域．
【答案】(1) ；(2)
【解析】
【分析】
（1）利用两角差的余弦和诱导公式化简f(x),再求单调区间即可；（2）由结合三角函数性质求值域即可
【详解】
（1）
令，得，
的单调递增区间为；
（2）由得，
故而．
【点睛】
本题考查三角恒等变换，三角函数单调性及值域问题，熟记公式准确计算是关键，是基础题
18．如图，单位圆与轴正半轴交于点，角与的终边分别与单位圆交于
两点，且满足，其中为锐角.
（1）当为正三角形时，求；
（2）当时，求.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）当为正三角形时，，求出点的坐标后，得到的坐标，进而得到数量积．（2） 由题意得，于是，根据两角差的正弦公式得到，再根据三角形的面积公式可得所求．
【详解】
（1）∵为正三角形，
∴，
∴．
∴，
，
∴，
∴，
∴．
（2）由题意得，且为第二象限角，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查三角函数的定义及两角差的正弦公式，考查变换和计算能力，解题的关键是由逆用三角函数的定义得到点的坐标，属于中档题．
19．（2019·沙坪坝·重庆南开中学高三月考（理））已知函数，且.
（1）求的单调递减区间；
（2）若，求的值.
【答案】(1) 单调递减区间为； (2) .
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出函数的解析式，然后可求出它的单调递减区间．（2）结合条件求出，然后由可得结果．
【详解】
（1）
．
∵，
∴，
∴的最大值为1，最小值为．
又，且，
∴函数的最小正周期为，
∴，
∴．
由，
得，
∴的单调递减区间为．
（2）由（1）得，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵且，
∴，
∴．
∴
．
【点睛】
（1）解答有关三角函数性质的有关问题时，首项把函数解析式化为的形式，然后再结合正弦函数的相关性质求解，解题时注意系数对结果的影响．
（2）对于三角变换中的“给值求值”问题，在求解过程中注意角的变换，通过角的“拆”、“拼”等手段转化为能应用条件中所给角的形式，然后再利用整体思想求解．
二、填空题
20．（2020·大连海湾高级中学高一月考）如图,在△ABC中,,P是BN上的一点,若=m,则实数m的值为_____.
【答案】
【解析】
由,得.
设=n,
所以+n
=+n()
=(1-n)=m.
由n=,得m=1-n=.
21．（2020·全国高二）在中，已知是边上一点，若，，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，画出图形，结合图形，得出①，②；
由①、②得出，从而求出的值．
【详解】
中，是边上一点，，，如图所示，
①，
，
②；
①②得，，
；．
故答案为：．
【点睛】
本题考查平面向量的加法与减法的几何意义、平面向量基本定理，考查数形结合思想的运用．
22．（2020·山西大同一中高一月考）已知，，则____________.
【答案】
【解析】
【分析】
由三角函数的基本关系式，化简求得，再结合正弦的倍角公式，即可求解.
【详解】
由，
所以，即，所以，
又因为，所以，
又由.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的基本关系式与正弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.
23．（2020·绥德中学高一月考（理））函数=的最小值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据三角恒等变换的公式，化简函数，再结合最小正周期的计算公式，即可求解.
【详解】
由函数
，
当时，即时，函数取得最小值.
【点睛】
本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及三角函数的最小正周期的求解，其中解答中根据三角恒等变换的公式，化简函数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
三、单选题
24．将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数恰为偶函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
本题首先可根据诱导公式以及二倍角公式将函数转化为，然后根据三角函数平移的相关性质得出平移后的函数为，最后根据函数为偶函数即可得出结果.
【详解】
令，
则
，
设向右平移个单位长度后得到的函数为，
则，
因为函数为偶函数，
所以，解得，
因为，所以的最小值为，
故选：D.
【点睛】
本题考查诱导公式、二倍角公式、三角函数图像的平移以及三角函数的奇偶性，考查的公式有、，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.
25．（2020·浙江嘉兴·高二期中）已知为正数，，若存在，满足，则实数的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
判断函数的单调性与对称性，根据对称性，得到，结合的范围，即可求得的范围，得到答案.
【详解】
由题意，函数，
因为，所以函数在单调递减，在上单调递增，
不妨设，则，
，
所以，
同理，当时，上式也成立，
所以函数的图象关于对称，
因为，所以，
即，
因为，所以，
所以，即，
即实数的取值范围是.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了分段函数解析式，函数的对称性，以及三角恒等变换和三角函数的图象与性质的综合应用，着重考查了推理与运算能力.
26．（2020·四川达州·高三二模（理））已知方程在区间内只有一个实根，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
构造新函数，要使得在区间内只有一个实根，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】
由题意，方程在区间内只有一个实根，
即方程在区间内只有一个实根，
设，
当，则，
要使得在区间内只有一个实根，
则满足，解得，
即的取值范围是.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力.
27．已知三个不同的点在圆上运动，且，若点Q的坐标为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用数形结合，采用建系的方法，根据向量的坐标表示以及运算，结合辅助角公式，可得结果.
【详解】
如图：
由，可知为直径
可设
，
所以，
则
所以
化简可得
即
所以
当时，
当时，
所以的取值范围为
故选：D
【点睛】
本题主要考查向量的坐标表示，对这种几何问题，常会采用建系，将几何问题代数化，化繁为简，属中档题.
28．（2020·安徽铜陵·高一期末）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若当时， 的图象与直线恰有两个公共点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二倍角和辅助角公式化简可得，根据平移变换原则可得；当时，；利用正弦函数的图象可知若的图象与直线恰有两个公共点可得，解不等式求得结果.
【详解】
由题意得：
由图象平移可知：
当时，
，，，
，又的图象与直线恰有两个公共点
，解得：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查根据交点个数求解角的范围的问题，涉及到利用二倍角和辅助角公式化简三角函数、三角函数图象平移变换原则的应用等知识；关键是能够利用正弦函数的图象，采用数形结合的方式确定角所处的范围.
29．（2019·四川成都实外高考模拟（理））函数的图像大致为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据奇偶性淘汰A,C，再根据函数最值确定选项.
【详解】
因为，所以为奇函数，不选A,C，
又因为，所以选D.
【点睛】
由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复
30．（2020·灵丘县豪洋中学高一期中）将函数，的图象向右平移个单位长度，平移后的图象关于点（，0）对称，则函数在上的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
逆用两角和的正弦公式化简函数解析式，再根据三角函数图象变换规则求出平移后的解析式，对称点代入平移后的图象解析式求出即可求得，由余弦函数的图象与性质求出最小值.
【详解】
，
的图象向右平移个单位长度得到，
因为函数y的图象关于点（，0）对称，
所以，则，
，又，所以，，
当时，，，
所以函数在上的最小值是.
故选：A
【点睛】
本题考查两角和的正弦公式、三角函数图象变换规则、余弦函数的图象与性质，属于中档题.
31．（2020·河南高三月考（理））已知函数，则在下列区间使函数单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
令，求得函数的递减区间，结合选项，即可求解.
【详解】
依题意，函数，令，
解得，
所以函数 在 上先增后减，在 上单调递增，在 上单调递减，
在 上先增后减.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理、计算能力以及化归转化思想.
32．（2019·全国高三二模（理））已知函数是偶函数，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由三角函数辅助角公式对函数进行化简,再利用余弦函数偶函数的性质求解的值.
【详解】
由函数,
因为函数为偶函数,则有,又因为,可得.
故选:D.
【点睛】
本题考查了利用辅助角公式对三角函数的化简,考查了利用余弦函数偶函数的性质求参数,属于一般难度的题.
33．（2019·武邑宏达学校高一月考）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为1 B．的最小正周期为
C．的图像关于直线对称 D．的图像关于点对称
【答案】C
【解析】
【分析】
利用二倍角公式和辅助角公式化简得f(x)的解析式，再利用三角函数函数性质考查各选项即可．
【详解】
函数=
sin（2x）+1
对于A：根据f（x）＝sin（2x）+1可知最大值为2；则A不对；
对于B：f（x）＝sin（2x）+1，T＝π则B不对；
对于C：令2x=，故图像关于直线对称则C正确；
对于D：令2x=，故的图像关于点对称则D不对．
故选C．
【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．
34．（2019·江苏海安高级中学高一期中）对于，若存在 ，满足，则称为“类三角形”．“类三角形”一定满足（ ）．
A．有一个内角为 B．有一个内角为
C．有一个内角为 D．有一个内角为
【答案】B
【解析】
【分析】
由对称性，不妨设和为锐角，结合同角三角函数关系进行化简求值即可．
【详解】
解：由对称性，不妨设和为锐角，则A，B，
所以：+＝π﹣（A+B）＝C，
于是：cosC＝sin＝sin（+）＝sinC，即：tanC＝1，解得：C＝45°，
故选B．
【点睛】
本题主要考查三角函数的化简求值，注意新定义运算法则，诱导公式的应用，属于中档题．
四、多选题
35．已知函数，则下列结论中，正确的有（ ）
A．是的最小正周期
B．在上单调递增
C．的图象的对称轴为直线
D．的值域为
【答案】BD
【解析】
【分析】
由，知函数为偶函数，又，知是的周期，
当时，化简并画出其图象，在根据偶函数和周期性，画出函数的图象，根据图象判断每一个选项是否正确.
【详解】
由，知函数为偶函数，又，知是的周期，
当时，，画出的图象如图所示：
由图知，的最小正周期是，A错误；
在上单调递增，B正确；
的图象的对称轴为，C错误；
的值域为，D正确.
故选：BD.
【点睛】
本题是绝对值与三角函数的综合问题，判断函数奇偶性，周期性画出函数图象是解决问题的关键，属于中档题.
五、双空题
36．（2020·浙江台州·高三期末）如图，点为锐角的终边与单位圆的交点，逆时针旋转得，逆时针旋转得，……，逆时针旋转得，则______，点的横坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用三角函数的定义，求得的值，在利用二倍角公式求得的值，最后利用诱导公式和两角和的余弦公式，即可求解点的横坐标，得到答案．
【详解】
由题意，点为锐角的终边与单位圆的交点，逆时针旋转得，逆时针旋转得，……，逆时针旋转得，
根据三角函数的定义，可得，
故，
点的横坐标为
．
故答案为：， ．
【点睛】
本题主要考查了任意角的三角函数的定义，二倍角公式、诱导公式，以及两角和的余弦函数公式的综合应用，着重考查了推理与运算能力．
专题八 三角函数变换与三角函数的应用
一、解答题
1．（2019·胶州市实验中学高一期中）已知函数.
（1）若，求的值.
（2）在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先进行三角恒等变形，使化为的形式，求出的值，再利用与的关系进行求值；
（2）先利用余弦定理求出角,化简，利用的范围进行求解.
【详解】
（1）
由可得：.
.
（2）由余弦定理得：，整理可得：，
，，
又，，，
，则，
，即的取值范围为.
【点睛】
本题考查三角恒等变换、三角函数和解三角形知识的综合应用问题，涉及到三角函数关系式的化简、边角关系式的化简、三角函数值的求解与诱导公式的应用、正弦型函数值域的求解等知识，是对于三角函数部分知识的综合考查，属于常考题型.
2．已知函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的单调递减区间.
【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）化简函数，代入即可求解的值，得到答案；
（Ⅱ）因为，可得，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】
（Ⅰ）由题意，函数，所以，
（Ⅱ）因为，可得，
所以当时，即，函数单调递减，
即函数的单调递减区间是.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的化简公式的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
3．已知函数.
（1）求f(x)的最小正周期；
（2）求f(x)在上的值域.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据三角恒等变换的公式，化简函数，利用最小正周期的公式，即求得函数的最小正周期；
（2）由，求得，得到，进而可求得函数的值域。
【详解】
（1）由题意，函数
，
所以函数的最小正周期为。
（2）因为，则，可得，
所以，
故在上的值域为。
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简得出函数的解析式，熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力。
4．（2019·浙江高三月考）已知函数的最小正周期为，且当时，取最大值．
（1）求，的值；
（2）若， ，求的值．
【答案】（1），（2）
【解析】
【分析】
（1）结合三角函数周期的公式，求得的值，再结合题设，得到，即可求解；
（2）由，求得，结合同角三角函数的基本关系式，以及和角公式、二倍角公式，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数的最小正周期为，可得，
又当时，取最大值，可得，即，
即，所以，
因为，所以．
（2）由（1）可得函数，
因为，即，所以，
又，可得，
又由，，
所以．
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的性质，三角函数的基本关系式，以及和角公式、二倍角公式的综合应用，着重考查了推理与运算能力.
5．（2020·哈密市第十五中学高二期末）已知向量，设.
（1）求函数的增区间；
（2）若，求的值.
【答案】（1）增区间为（2）
【解析】
【分析】
（1）由向量的数量积的运算公式和三角函数恒等变换，得到，再结合三角函数的性质，即可求解.
（2）由（1）知，根据因为，求得，进而求得的值.
【详解】
（1）由题意，函数
令，解得
所以函数的增区间为.
（2）由（1）可知，
因为，
可得，
解得，因为，所以，
所以.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及三角函数的化简求值，其中解答中涉及到向量的数量积的运算，以三角恒等变换的应用，同时熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
6．（2019·重庆市万州第二高级中学高一期中）在直角坐标系中，已知点，，，其中.
（1）求的最大值；
（2）是否存在，使得为钝角三角形？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1）2；（2）存在，
【解析】
【分析】
（1）根据向量数量积用坐标表示，结合辅助角公式，以及余弦函数的性质，利用整体法，可得结果.
（2）利用向量的数量积的符号，来判断三角形的角度大小，可得结果.
【详解】
解：（1）由题意：，
；
所以
则
即；
因为，所以；
所以当，即时，
取得最大值；
（2）因为，
，
；
又，所以，，
所以，；
所以若为钝角三角形，则角是钝角，
从而；
由（1）得，
解得；
所以，即；
反之，当时，，
又三点不共线，所以为钝角三角形；
综上，当且仅当时，为钝角三角形.
【点睛】
本题考查向量在三角形的应用，还考查了向量数量积的坐标表示以及求最值.
7．（2019·上饶中学高一月考）已知向量a＝(cos2ωx－sin2ωx，sinωx)，b＝(，2cosωx)，设函数f(x)＝a·b(x∈R)的图象关于直线x＝对称，其中ω为常数，且ω∈(0，1)．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若将y＝f(x)图象上各点的横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到y＝h(x)的图象，若关于x的方程h(x)＋k＝0在上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．
【答案】（1）T＝6π；单调递增区间为，k∈Z.（2）{k|或k＝－2}．
【解析】
【分析】
（1）先利用平面向量的数量积定义和二倍角公式、辅助角公式得到，再利用对称性求出值，再利用三角函数的性质进行求解；（2）先利用三角函数图象变换得到，再令，利用三角函数的图象和数形结合思想进行求解.
【详解】
(1)f(x)＝a·b＝(cos2ωx－sin2ωx)＋2sinωxcosωx
＝cos2ωx＋sin2ωx＝2sin.
∵直线x＝是y＝f(x)的图象的一条对称轴，
∴(k∈Z)，即ω＝k＋(k∈Z)．
又ω∈(0，1)，∴ω＝，f(x)＝2sin，
∴T＝6π.
令，k∈Z，得，k∈Z，
即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由（1）得f(x)＝2sin，将y＝f(x)图象上各点的横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到y＝2sin的图象，∴h(x)＝2sin.
令＝t，∵0≤x≤，∴－≤t≤，
方程h(x)＋k＝0在上有且只有一个实数解，
即方程2sint＋k＝0在上有且只有一个实数解，
亦即y＝2sint，t∈的图象与直线y＝－k有且只有一个交点，
画出图象分析可知－≤－k＜或－k＝2，即或k＝－2.
故实数k的取值范围是{k|或k＝－2}．
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象和性质、三角函数的图象变换，意在考查学生的逻辑思维能力和综合分析解决问题的能力，属于中档题．解决本题的易错点在于三角函数的图象变换，学生往往得到错误的结果“”，在处理图象平移时，要注意平移的单位仅对于“自变量”而言，如本题中.
8．已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)求在区间上的最小值.
【答案】（I）,;（II）.
【解析】
【分析】
（I）根据二倍角公式及两角和与差的正弦公式，将函数化简为，再根据正弦函数的单调性即可求得；（II）由，可得，根据正弦函数的单调性即可求得最小值.
【详解】
（I）.
由得，，则的单调递增区间为，.
（II）∵，∴，当，时，.
【点睛】
本题考查三角函数中的倍角公式、两角和与差的正弦、函数的性质等基础知识，考查转化能力和基本计算能力.其中的解题关键是把所给函数转化为的形式，然后再运用整体的思想解题.
9．（2020·江苏高三月考）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，．
（1）求；
（2）求的值．
【答案】(1) .
(2) .
【解析】
【分析】
分析：（1）在中，由余弦定理可得．
（2）由得．根据正弦定理得，从而，
故得．
【详解】
（1）在中，由余弦定理得
，∴．
（2）在中，由得，
∴，
在中，由正弦定理得，即，∴，
又，故，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
10．（2018·长葛市第一高级中学（文））已知向量，函数，.
（1）若, 求；
（2）求在上的值域；
（3）将的图象向左平移个单位得到的图象，设，判断的图象是否关于直线对称，请说明理由.
【答案】(1) 或;(2) ;(3)见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据模长公式即可求解的值；（2）根据函数，利用向量坐标的运算求解的解析式，化简，再求解内层函数的范围，即可求解值域；（3）根据平移变换的规律请的解析式，可得的解析式，结合三角函数的性质即可判断是否关于直线对称.
试题解析：(1)∵，∴，
又，
∴或.
（2）
∵
∴，
∴，
故在上的值域为.
（3）∵，
∴，
∵
∴的图象关于直线对称.
11．（2017·全国高一课时练习）已知O为原点，A，B，C为平面内的三点．求证：
(1) 若A，B，C三点共线，则存在实数α，β，且α＋β＝1，
(2) 若存在实数α，β，且α＋β＝1，使得，则A，B，C三点共线．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
试题分析:（1）由三点共线可得向量共线：,再转化为向量,整理可得关于，根据分解定理可得 ，即证得α＋β＝1（2）逆推（1），将条件，转化为向量关系，根据向量共线得三点共线
试题解析：证明：(1) 由A，B，C三点共线，知与共线，所以存在λ∈R，使＝λ，即－＝λ(－)，得＝λ＋(1－λ)，令λ＝β，1－λ＝α，则α＋β＝1，＝α＋β.
(2) 由＝α＋β＝(1－β)＋β，得－＝β(－)，即＝β，β∈R，
∴与共线．
又有公共点A，故A，B，C三点共线．
点睛：向量共线：，
12．（2020·绥德中学高一月考（文））设，函数=（）．
（1）求函数的最小正周期及最大值；
（2）求的单调递增区间．
【答案】（1）最小正周期为，最大值为； （2）.
【解析】
【分析】
（1）根据向量的数量积的运算和三角恒等变换的公式，求得函数的解析式，结合三角函数的性质，即可求解；
（2）由（1）中函数的解析式，结合正弦型函数的性质，即可求解.
【详解】
由题意，向量，
可得函数
，
所以函数的最小正周期为，
当时，即，函数取得最大值，最大值为.
（2）由（1）知，函数，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角恒等变换的化简运算，以及三角函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
13．（2020·绥德中学高一月考（文））化解，求值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）1； （2）.
【解析】
【分析】
（1）根据三角函数的诱导公式，即可求解；
（2）化简，利用两角差的正切公式，即可求解.
【详解】
（1）由题意，根据三角函数的诱导公式，可得原式.
（2）由.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的诱导公式和两角差的正切公式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.
14．（2019·江苏省如东高级中学高一期中）如图，正三角形的边长为4，分别在三边上，且为的中点，
（1）若，求的面积；
（2）求的面积的最小值，及使得取得最小值时的值.
【答案】（1）；（2）当时，
【解析】
【分析】
（1）根据已知，可得长度，结合三角形面积公式，可得结果.
（2）根据正弦定理以及两角和的正弦公式，表示出面积，根据角度的范围，可得结果.
【详解】
（1）在边长为4的正三角形中
由为的中点，所以
又，所以，
又，所以
所以
所以
（2）
由，
化简可知：
，
由
所以
又
即
即
所以
则
由
所以当，即时，
【点睛】
本题重在利用正弦定理求解三角形的面积，熟练掌握公式，边角互换，同时考验计算能力，属中档题.
15．已知向量，.
（1）若，求的值；
（2）设，若，，求的值.
【答案】（1）； （2）.
【解析】
【分析】
（1）由向量的数量积的运算公式，结合，化简得，再利用诱导公式，即可求解；
（2）由（1）可得，利用三角恒等变换的公式，求得，再结合三角函数的基本关系式和两角差的余弦公式，即可求解。
【详解】
（1）由题意，向量，，
因为，所以，
整理得
，即，
又由。
（2）由（1）可得，
则，
解得，
因为，则，
又由，则，
所以，
则.
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的运算，以及三角函数的化简求值，其中解答熟记向量的数量积的运算公式，以及熟练应用三角函数恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
16．（2019·内蒙古赤峰·高二期末（文））某同学再一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于一个常数.
①.
②.
③.
（1）试从上述三个式子中选出一个计算出这个常数.
（2）猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.
【答案】（1）（2），证明见解析
【解析】
【分析】
（1）选择①化简得这个常数为；（2）找到一般规律：，再化简证明.
【详解】
解：（1）
（2）一般规律：
证明：
【点睛】
本题主要考查归纳推理，考查三角恒等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
17．（2019·青海西宁·高一期末）已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）求在区间上的值域．
【答案】(1) ；(2)
【解析】
【分析】
（1）利用两角差的余弦和诱导公式化简f(x),再求单调区间即可；（2）由结合三角函数性质求值域即可
【详解】
（1）
令，得，
的单调递增区间为；
（2）由得，
故而．
【点睛】
本题考查三角恒等变换，三角函数单调性及值域问题，熟记公式准确计算是关键，是基础题
18．如图，单位圆与轴正半轴交于点，角与的终边分别与单位圆交于
两点，且满足，其中为锐角.
（1）当为正三角形时，求；
（2）当时，求.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）当为正三角形时，，求出点的坐标后，得到的坐标，进而得到数量积．（2） 由题意得，于是，根据两角差的正弦公式得到，再根据三角形的面积公式可得所求．
【详解】
（1）∵为正三角形，
∴，
∴．
∴，
，
∴，
∴，
∴．
（2）由题意得，且为第二象限角，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查三角函数的定义及两角差的正弦公式，考查变换和计算能力，解题的关键是由逆用三角函数的定义得到点的坐标，属于中档题．
19．（2019·沙坪坝·重庆南开中学高三月考（理））已知函数，且.
（1）求的单调递减区间；
（2）若，求的值.
【答案】(1) 单调递减区间为； (2) .
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出函数的解析式，然后可求出它的单调递减区间．（2）结合条件求出，然后由可得结果．
【详解】
（1）
．
∵，
∴，
∴的最大值为1，最小值为．
又，且，
∴函数的最小正周期为，
∴，
∴．
由，
得，
∴的单调递减区间为．
（2）由（1）得，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵且，
∴，
∴．
∴
．
【点睛】
（1）解答有关三角函数性质的有关问题时，首项把函数解析式化为的形式，然后再结合正弦函数的相关性质求解，解题时注意系数对结果的影响．
（2）对于三角变换中的“给值求值”问题，在求解过程中注意角的变换，通过角的“拆”、“拼”等手段转化为能应用条件中所给角的形式，然后再利用整体思想求解．
二、填空题
20．（2020·大连海湾高级中学高一月考）如图,在△ABC中,,P是BN上的一点,若=m,则实数m的值为_____.
【答案】
【解析】
由,得.
设=n,
所以+n
=+n()
=(1-n)=m.
由n=,得m=1-n=.
21．（2020·全国高二）在中，已知是边上一点，若，，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，画出图形，结合图形，得出①，②；
由①、②得出，从而求出的值．
【详解】
中，是边上一点，，，如图所示，
①，
，
②；
①②得，，
；．
故答案为：．
【点睛】
本题考查平面向量的加法与减法的几何意义、平面向量基本定理，考查数形结合思想的运用．
22．（2020·山西大同一中高一月考）已知，，则____________.
【答案】
【解析】
【分析】
由三角函数的基本关系式，化简求得，再结合正弦的倍角公式，即可求解.
【详解】
由，
所以，即，所以，
又因为，所以，
又由.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的基本关系式与正弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.
23．（2020·绥德中学高一月考（理））函数=的最小值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据三角恒等变换的公式，化简函数，再结合最小正周期的计算公式，即可求解.
【详解】
由函数
，
当时，即时，函数取得最小值.
【点睛】
本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及三角函数的最小正周期的求解，其中解答中根据三角恒等变换的公式，化简函数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
三、单选题
24．将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数恰为偶函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
本题首先可根据诱导公式以及二倍角公式将函数转化为，然后根据三角函数平移的相关性质得出平移后的函数为，最后根据函数为偶函数即可得出结果.
【详解】
令，
则
，
设向右平移个单位长度后得到的函数为，
则，
因为函数为偶函数，
所以，解得，
因为，所以的最小值为，
故选：D.
【点睛】
本题考查诱导公式、二倍角公式、三角函数图像的平移以及三角函数的奇偶性，考查的公式有、，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.
25．（2020·浙江嘉兴·高二期中）已知为正数，，若存在，满足，则实数的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
判断函数的单调性与对称性，根据对称性，得到，结合的范围，即可求得的范围，得到答案.
【详解】
由题意，函数，
因为，所以函数在单调递减，在上单调递增，
不妨设，则，
，
所以，
同理，当时，上式也成立，
所以函数的图象关于对称，
因为，所以，
即，
因为，所以，
所以，即，
即实数的取值范围是.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了分段函数解析式，函数的对称性，以及三角恒等变换和三角函数的图象与性质的综合应用，着重考查了推理与运算能力.
26．（2020·四川达州·高三二模（理））已知方程在区间内只有一个实根，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
构造新函数，要使得在区间内只有一个实根，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】
由题意，方程在区间内只有一个实根，
即方程在区间内只有一个实根，
设，
当，则，
要使得在区间内只有一个实根，
则满足，解得，
即的取值范围是.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力.
27．已知三个不同的点在圆上运动，且，若点Q的坐标为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用数形结合，采用建系的方法，根据向量的坐标表示以及运算，结合辅助角公式，可得结果.
【详解】
如图：
由，可知为直径
可设
，
所以，
则
所以
化简可得
即
所以
当时，
当时，
所以的取值范围为
故选：D
【点睛】
本题主要考查向量的坐标表示，对这种几何问题，常会采用建系，将几何问题代数化，化繁为简，属中档题.
28．（2020·安徽铜陵·高一期末）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若当时， 的图象与直线恰有两个公共点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二倍角和辅助角公式化简可得，根据平移变换原则可得；当时，；利用正弦函数的图象可知若的图象与直线恰有两个公共点可得，解不等式求得结果.
【详解】
由题意得：
由图象平移可知：
当时，
，，，
，又的图象与直线恰有两个公共点
，解得：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查根据交点个数求解角的范围的问题，涉及到利用二倍角和辅助角公式化简三角函数、三角函数图象平移变换原则的应用等知识；关键是能够利用正弦函数的图象，采用数形结合的方式确定角所处的范围.
29．（2019·四川成都实外高考模拟（理））函数的图像大致为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据奇偶性淘汰A,C，再根据函数最值确定选项.
【详解】
因为，所以为奇函数，不选A,C，
又因为，所以选D.
【点睛】
由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复
30．（2020·灵丘县豪洋中学高一期中）将函数，的图象向右平移个单位长度，平移后的图象关于点（，0）对称，则函数在上的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
逆用两角和的正弦公式化简函数解析式，再根据三角函数图象变换规则求出平移后的解析式，对称点代入平移后的图象解析式求出即可求得，由余弦函数的图象与性质求出最小值.
【详解】
，
的图象向右平移个单位长度得到，
因为函数y的图象关于点（，0）对称，
所以，则，
，又，所以，，
当时，，，
所以函数在上的最小值是.
故选：A
【点睛】
本题考查两角和的正弦公式、三角函数图象变换规则、余弦函数的图象与性质，属于中档题.
31．（2020·河南高三月考（理））已知函数，则在下列区间使函数单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
令，求得函数的递减区间，结合选项，即可求解.
【详解】
依题意，函数，令，
解得，
所以函数 在 上先增后减，在 上单调递增，在 上单调递减，
在 上先增后减.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理、计算能力以及化归转化思想.
32．（2019·全国高三二模（理））已知函数是偶函数，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由三角函数辅助角公式对函数进行化简,再利用余弦函数偶函数的性质求解的值.
【详解】
由函数,
因为函数为偶函数,则有,又因为,可得.
故选:D.
【点睛】
本题考查了利用辅助角公式对三角函数的化简,考查了利用余弦函数偶函数的性质求参数,属于一般难度的题.
33．（2019·武邑宏达学校高一月考）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为1 B．的最小正周期为
C．的图像关于直线对称 D．的图像关于点对称
【答案】C
【解析】
【分析】
利用二倍角公式和辅助角公式化简得f(x)的解析式，再利用三角函数函数性质考查各选项即可．
【详解】
函数=
sin（2x）+1
对于A：根据f（x）＝sin（2x）+1可知最大值为2；则A不对；
对于B：f（x）＝sin（2x）+1，T＝π则B不对；
对于C：令2x=，故图像关于直线对称则C正确；
对于D：令2x=，故的图像关于点对称则D不对．
故选C．
【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．
34．（2019·江苏海安高级中学高一期中）对于，若存在 ，满足，则称为“类三角形”．“类三角形”一定满足（ ）．
A．有一个内角为 B．有一个内角为
C．有一个内角为 D．有一个内角为
【答案】B
【解析】
【分析】
由对称性，不妨设和为锐角，结合同角三角函数关系进行化简求值即可．
【详解】
解：由对称性，不妨设和为锐角，则A，B，
所以：+＝π﹣（A+B）＝C，
于是：cosC＝sin＝sin（+）＝sinC，即：tanC＝1，解得：C＝45°，
故选B．
【点睛】
本题主要考查三角函数的化简求值，注意新定义运算法则，诱导公式的应用，属于中档题．
四、多选题
35．已知函数，则下列结论中，正确的有（ ）
A．是的最小正周期
B．在上单调递增
C．的图象的对称轴为直线
D．的值域为
【答案】BD
【解析】
【分析】
由，知函数为偶函数，又，知是的周期，
当时，化简并画出其图象，在根据偶函数和周期性，画出函数的图象，根据图象判断每一个选项是否正确.
【详解】
由，知函数为偶函数，又，知是的周期，
当时，，画出的图象如图所示：
由图知，的最小正周期是，A错误；
在上单调递增，B正确；
的图象的对称轴为，C错误；
的值域为，D正确.
故选：BD.
【点睛】
本题是绝对值与三角函数的综合问题，判断函数奇偶性，周期性画出函数图象是解决问题的关键，属于中档题.
五、双空题
36．（2020·浙江台州·高三期末）如图，点为锐角的终边与单位圆的交点，逆时针旋转得，逆时针旋转得，……，逆时针旋转得，则______，点的横坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用三角函数的定义，求得的值，在利用二倍角公式求得的值，最后利用诱导公式和两角和的余弦公式，即可求解点的横坐标，得到答案．
【详解】
由题意，点为锐角的终边与单位圆的交点，逆时针旋转得，逆时针旋转得，……，逆时针旋转得，
根据三角函数的定义，可得，
故，
点的横坐标为
．
故答案为：， ．
【点睛】
本题主要考查了任意角的三角函数的定义，二倍角公式、诱导公式，以及两角和的余弦函数公式的综合应用，着重考查了推理与运算能力．
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