专题二 二次函数、方程与不等式-2021届高三《新题速递•数学》11月刊（江苏专用 适用于高考复习）

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专题二 二次函数、方程与不等式
一、单选题
1．（2020·江苏泰州·月考）设，且，则（ ）
A．有最小值为 B．有最小值为
C．有最小值为 D．有最小值为4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，，再根据基本不等式求解即可得答案.
【详解】
解：根据题意，，
因为，
所以
当且仅当，即时等号成立，
故有最小值为.
故选：A.
【点睛】
本题考查基本不等式求最小值问题，解题的关键是适当的变形求解，是中档题.
2．（2020·吴江市平望中学高三月考）已知函数，若正实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数，知是奇函数，又因为正实数，满足，所以，利用基本不等式求得结果．
【详解】
解：由函数，设，知，
所以是奇函数，则，又因为正实数，满足，
，所以，
，当且仅当，时取到等号．
故选：C．
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性，基本不等式应用，属于简单题．
3．（2020·江苏淮安·高一月考）对于实数，规定表示不大于的最大整数，那么不等式成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先由不等式得出的取值范围，再由的定义得出的取值范围.
【详解】
不等式即为，解得，
则，因此，，故选A.
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法，同时也考查了取整函数的定义，解题的关键要结合不等式得出的取值，考查计算能力，属于中等题.
4．（2020·江苏淮安·高一月考）已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据条件，对变形，利用均值不等式求解.
【详解】
因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了均值不等式的应用，考查了“1”的变形应用，属于中档题.
5．（2020·广西南宁三中高一月考）设函数，若对于任意的x∈{x|1 ≤ x ≤ 3}，恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．m≤0 B．0≤m<
C．m<0或0 【答案】D
【解析】
【分析】
将恒成立转化为g(x) = mx2－mx＋m－5 < 0恒成立，分类讨论m并利用一元二次不等式的解法，求m的范围
【详解】
若对于任意的x∈{x|1 ≤ x ≤ 3}，恒成立
即可知：mx2－mx＋m－5 < 0在x∈{x|1 ≤ x ≤ 3}上恒成立
令g(x)＝mx2－mx＋m－5，对称轴为
当m＝0时，－5 < 0恒成立
当m < 0时，有g(x)开口向下且在[1,3]上单调递减
∴在[1,3]上，得m < 5，故有m < 0
当m>0时，有g(x) 开口向上且在[1,3]上单调递增
∴在[1,3]上，得
综上，实数m的取值范围为
故选：D
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的应用，将不等式恒成立等价转化为一元二次不等式在某一区间内恒成立问题，结合一元二次不等式解法，应用分类讨论的思想求参数范围
6．（2020·南京外国语学校高一月考）已知，则下列四个命题正确的个数是（ 　 ）
①若，则；②若，则；
③若，则；④若，，，，则，.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
利用不等式的性质，逐一分析选项，得到正确结论.
【详解】
①当时，，两边同时除以，得到，正确；
②，那么，即，正确；
③ ，

，正确；
④令 同样能满足 ，不正确.
共有3个正确.
故选C.
【点睛】
本题考查不等式比较大小，一般不等式比较大小的方法：1.做差法，2.利用不等式的性质，3.利用函数单调性比较大小，4.特殊值比较大小.
7．（2020·高邮市第一中学高三月考）已知，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
把要求的式子变形为，再利用基本不等式求得它的最小值．
【详解】
已知，，，
则，
当且仅当 时，即当，且，等号成立，
故的最小值为，
故选：．
【点睛】
本题考查基本不等式的运用，考查常数代换法，注意最值取得的条件，考查运算能力，属于中档题．

二、多选题
8．（2020·江苏镇江·月考）已知不等式的解集是，则下列结论正确的是（ ）
A．不等式的解集是
B．不等式的解集是
C．不等式的解集是或
D．不等式的解集是
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据不等式的解与系数的关系得到，，依次代入不等式解得答案.
【详解】
的解集是，故且，即，
，即，即，解集为，A正确；
，即，即，解集为，
B正确C错误；
，即，即，解集为，
D正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题考查了根据不等式的解求参数，解不等式，意在考查学生的计算能力和转化能力，确定是解题的关键.
9．（2020·江苏淮安·高三月考）设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为3 B．的最大值为1
C．的最小值为2 D．的最小值为2
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由已知结合基本不等式及相关变形，结论分别检验各选项即可判断.
【详解】
因为正实数m、n，
所以，
当且仅当且m+n=2，即m=n=1时取等号，此时取得最小值3，A正确；
由 ，当且仅当m=n=1时，mn取得最大值1，B正确；
因为，当且仅当m=n=1时取等号，故≤2即最大值为2，C错误；
，当且仅当时取等号，此处取得最小值2，故D正确．
故选：ABD
【点睛】
本题主要考查了基本不等式及结论的应用，考查了不等式等号成立的条件，属于中档题.
10．（2020·江苏徐州·高三月考）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
由对数函数的知识可判断A、C，由幂函数的知识可判断B，根据不等式的性质可判断D.
【详解】
因为，所以由对数函数得单调性得，
则由换底公式有，即，则选项A正确；
由题意为减函数，所以，且，则由不等式的基本性质得，则选项B正确；
由题意，又a＞b＞1，则，则选项C错误；
由题意，所以，即，则选项D错误；
故选：AB
【点睛】
本题考查的是对数函数、幂函数和不等式的性质，考查了学生的基础知识水平，较综合.
11．（2020·江苏相城·月考）已知，且，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
对于，证明成立，故正确；
对于，证明，故正确．
对于，证明，故不正确；故错误；
对于,证明，故正确．
【详解】
对于，，，成立，故正确；
对于，，，，解得，， ，故正确．
对于，，故不正确；故错误；
对于，，，故正确．
故选：ABD
【点睛】
本题主要考查不等式的性质以及基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12．（2020·江苏苏州·高三月考）设，称为a，b的调和平均数，称为a，b的加权平均数.如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，取弧AB的中点F，连接FC，则（ ）

A．OD的长度是a，b的几何平均数 B．DE的长度是a，b的调和平均数
C．CD的长度是a，b的算术平均数 D．FC的长度是a，b的加权平均数
【答案】BD
【解析】
【分析】
利用直角三角形性质求解判断： 在中由斜边中线长公式判断A，在中应用射影定理求得，判断B，在中应用射影定理求得判断C，在中求得判断D．
【详解】
是直角，是斜边中点，则，是算术平均数，A错；
由直角中射影定理得，，在直角中由射影定理得是调和平均数，B正确；
是几何平均数，C错；
连接，∵是弧的中点，∴，，
∴为加权平均数．

故选：BD．
【点睛】
本题考查平均数，几何平均数，算术平均数，调和平均数，加权平均数，考查这些平均数在几何的几何意义．可用直角三角形的知识进行求解判断．
13．（2020·扬州大学附属中学东部分校高三月考）设，，且，那么　　
A．有最小值 B．有最大值
C．有最大值． D．有最小值．
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据，，即可得出，从而得出，进而得出，从而得出有最小值；同样的方法可得出，从而得出，进而解出，即得出的最小值为．
【详解】
解：，，
，当时取等号，
，解得，
，
有最小值；
，当时取等号，
，
，
，解得，即，
有最小值．
故选：．
【点睛】
本题考查了基本不等式在求最值时的应用，考查了计算能力，属于中档题．

第II卷（非选择题）
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三、解答题
14．（2020·江苏泰州·月考）设函数R，R
（1）求不等式的解集；
（2）当，时，记不等式的解集为P，集合若对于任意正数t，Q，求的最大值．
【答案】（1）当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；（2）．
【解析】
【分析】
(1)将不等式化为，即，然后对两个实数根的大小进行比较，分类讨论得出答案.
(2)由条件可得当时，函数，即，所以，则，从而求出其最大值.
【详解】
（1）由得，即．
当时，不等式可以化为．
若，则，此时不等式的解集为
若，则不等式为，不等式的解集为
若，则，此时不等式的解集为．
当时，不等式即，此时不等式的解集为
当时，不等式可以化为，解集为
综上所述，当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为．
（2）集合
又，所以满足当时，函数，即，所以，
，记，此时，
则，
当且仅当，即时，有最大值．
【点睛】
本题考查求含参数的二次不等式的解集，考查利用不等式求最值，属于中档题.
15．（2020·江苏镇江·月考）要设计一张矩形广告，该广告含有左､右全等的两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为200，四周空白的宽度为2，两栏之间的中缝空白的宽度为4.请设计广告的长与宽的尺寸，使矩形广告面积最小，并求出最小值.

【答案】广告的长为28，长为14时，可使广告的面积最小，最小值为392
【解析】
【分析】
先设一个矩形栏目的长为和广告的面积为S，接着用表示出栏目的宽、广告的长、广告的宽；再建立函数关系，接着由基本不等式求面积的最小值；最后判断等号成立的条件并作答.
【详解】
解：设一个矩形栏目的长为x，广告的面积为S.
则两栏的面积之和为200，得宽为，广告的长为，宽为，其中
广告的面积，
当且仅当即时，等号成立，
此时广告的宽为，高为，S取得最小值392.
答：广告的长为28，长为14时，可使广告的面积最小，最小值为392
【点睛】
本题考查根据实际问题建立函数关系、利用基本不等式求最值，是基础题.
16．（2020·江苏镇江·月考）已知二次函数的图像与x轴交于点和，与y轴交于点.
（1）求二次函数的解析式；
（2）若时，恒成立，求实数t的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意中的条件，运用待定系数法求出二次函数的表达式；（2）先将不等式进行化简，分离参量，然后运用基本不等式求出最值，解答恒成立问题.
【详解】
解：（1）因为二次函数的图象与x轴交于点和，与y轴交于点.代入二次函数表达式有
解得
∴二次函数的解析式为
（2）因为时，恒成立，
即，化简得
故有对任意恒成立
∵，当且仅当时取等号.
∴
∴实数t的取值范围是
【点睛】
本题考查了运用待定系数法求解二次函数表达式，以及不等式恒成立问题，在求解过程中运用分离参量的方法，结合基本不等式求出最值，本题较为基础.
17．（2020·新沂市第一中学高二月考）扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为（米），外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）为（米）.

⑴求关于的函数关系式，并指出其定义域；
⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过米，则其腰长应在什么范围内？
⑶当防洪堤的腰长为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.
【答案】（1）；（2）；（3）外周长的最小值为米，此时腰长为米.
【解析】
试题分析：（1）将梯形高、上底和下底用或表示，根据梯形面积的计算得到和的等式，从而解出，使问题得以解答，但不要忘记根据题目条件确定函数的定义域；（2）由（1）可得，解这个不等式的同时不要忽略了函数的定义域就可得到结果；（3）即求（1）中函数的最小值，可以用导数判断函数的单调性后再求解，也可利用基本不等式求最小值.
试题解析：⑴，其中，，
∴，得， 由，得
∴； 6分
⑵得∵ ∴腰长的范围是 10分
⑶，当并且仅当，即时等号成立．
∴外周长的最小值为米，此时腰长为米． 16分
考点：函数的应用、基本不等式、函数的最值.
18．（2020·江苏高三月考）已知函数（为常数），其中的解集为．
（1）求实数的值；
（2）设，当为何值时，取得最小值，并求出其最小值．
【答案】（1）；（2）时，取得最小值为6.
【解析】
【分析】
（1）由不等式的解与相应方程根的关系可求得；
（2）变形后用基本不等式求最值．
【详解】
解：（1）已知的解集为，
故的一个根为，
所以，
得．
（2），
因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值为6．
【点睛】
本题考查不等式的解与方程根的关系，考查基本不等式求最值．属于基础题．
19．（2020·江苏淮安·高一月考）已知函数.
（1）若不等式的解集，为求的取值范围；
（2）当时，解不等式.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）对二次项系数分类讨论，与，当时， ，求解不等式组即可得解；
（2）分，和三种情况解不等式；
【详解】
解：（1）①，即时，解集不是空集，舍去，
②时，即时，，
即，∴，
解得，
∴的取值范围是；
（2）∵化简得：，
①时，即时，解集为，
②时，即时，，

，解集为或，
③时，即时，解集为，
∵，∴，
∴，
∴解集为.
【点睛】
本题考查含参一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，属于中档题.
20．（2020·江苏淮安·高一月考）（1）已知，均为正数，且，比较与的大小；
（2），都为正数， ，求的最小值.
【答案】（1）；（2）3.
【解析】
【分析】
（1）利用作差法结合平方差公式比较大小；
（2）由，利用基本不等式得到，然后由求解.
【详解】
（1），
，
，
，
因为，均为正数，且，
所以，，
所以，
所以.
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，当且仅当时，等号成立，
∴，
当且仅当时，等号成立，
故.
所以的最小值为3.
【点睛】
本题主要考查不等式的基本性质和基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
21．（2020·江苏省太湖高级中学期中）若关于x的不等式的解集是{x|x≤-1或x≥2}.
（1）求实数a，b的值.;
（2）若关于x的不等式0的解集为A，不等式的解集为B，且A⊆B，求实数c的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）转化为，2是方程的两根，再根据韦达定理可得结果；
（2）化简集合，分类与解得集合，根据列式可得解.
【详解】
（1）由一元二次不等式的解集知，，2是方程的两根，且.
由韦达定理得，解得，；
（2）由不等式得，得，
所以集合，
由（1）知，所以不等式
可化为
因为方程的解为或，
当即时，则不等式的解集为，即，满足；
当即时，，则不等式的解集为，要使即，即与不符；
当即时，，则不等式的解集为，要使即，即.
综上，的取值范围是.
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论思想，考查了根据集合的包含关系求参数的取值范围，属于中档题.
22．（2020·南京外国语学校高一月考）已知关于x的不等式(aR)．
（1）若的解集为或，求实数a，b的值；
（2）求关于x的不等式的解集．
【答案】（1），；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据不等式解集与对应方程根的关系列等量关系，解得结果；
（2）先因式分解，再根据根的大小关系分类讨论，即可确定不等式解集.
【详解】
(1)由题意可知方程的一个根为1，且a<0，
∴a+3=0，解得，此时不等式可化为，
其解集为或，对比可得.
(2)由题意可将不等式化简为，
因式分解，得，
则①当a=0时，不等式可化简为，解得x<1；
②当a>0时，不等式可化简为，解得；
③当-1 ④当a=-1时，不等式可化简为，解得x≠1；
⑤当a<-1时，不等式可化简为，此时或.
综上所述，当a=0时，不等式的解集为{x|x<1}；
当a>0时，不等式的解集为；
当-1 当a=-1时，不等式的解集为{x|x≠1}；
当a<-1时，不等式的解集为或.
【点睛】
本题考查解含参数不等式、根据不等式解集求参数，考查基本分析求解能力，属中档题.
23．（2020·江苏省江浦高级中学月考）若方程的两根分别为、.
（1）若方程有两个正根，求实数的取值范围；
（2）若方程有一正一负根，求实数的取值范围；
（3）若方程有一个正根，一个负根，且正根绝对值较大，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）利用判别式，两根之和与两根之积可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；
（2）利用判别式，两根之积可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围；
（3）利用判别式，两根之积与两根之和可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
（1）由题意可得，解得：，
因此，实数的取值范围是；
（2）由题意可得，解得：.
因此，实数的取值范围是；
（3）由题意可得，解得：.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查利用二次方程根的分布求参数，考查计算能力，属于中等题.
24．（2020·扬州市江都区大桥高级中学高一月考）已知不等式的解集为．
（1）解不等式；
（2）b为何值时，的解集为R？
【答案】（1）或；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由已知条件结合韦达定理可求出的值，进而求出一元二次不等式求其解集；
（2）由（1）得的解集为，所以判别式小于等于零，可求出的范围.
【详解】
（1）由题意知且－3和1是方程的两根，
∴
解得.
∴不等式，即为，
解得或.
∴所求不等式的解集为或；
（2），即为，
若此不等式的解集为，则，
解得.
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法和由一元二次不等的解集求参数，考查了一元二次不等式恒成立问题，考查了计算能力，属于中档题.
25．（2020·江苏省太湖高级中学高一月考）已知a为常数，二次函数.
（1）若该二次函数的图象与x轴有交点，求实数a的取值范围；
（2）已知，求x的取值范围；
（3）若对任意的实数，恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由二次函数的图象与x轴有交点，得，从而可求出a的取值范围；
（2）由，得，然后分类讨论解不等式即可；
（3）对任意的实数，恒成立，可得，然后利用基本不等式求出的最小值即可
【详解】
（1）若该二次函数的图象与x轴有交点，则
∴，
∴或，
∴a的取值范围为.
（2）∵，
∴即.
当即时，，解集为R；
当即时，或，
当即时，或.
综上，当时，不等式的解集为R；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
（3）若对任意的实数，恒成立，
即恒成立，
∵，
∴，
∴.
设，则，
∴.
当且仅当即取“=”，此时，
∴，即a的取值范围为.
【点睛】
此题考查一元二次不等式的解法，考查分类思想，考查一元二次不等式恒成立问题，考查基本不等式的应用，属于中档题
26．（2020·苏州市相城区望亭中学高二月考）已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对任意的，恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）原不等式可转化为一元二次不等式即可求解；
（2）分离参数可转化为，求出的最大值即可.
【详解】
（1）当时，，
所以
解得或，
又，
所以不等式的解集为
（2）恒成立，即对任意的恒成立，
即，
令，，
所以当时，，
所以
【点睛】
本题主要考查了函数最值问题，用到了二次不等式和恒成立问题的转化求解，属于较经典的题型.
27．（2020·江苏苏州·高三月考）对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”．
（1）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（2）若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．
【答案】（1）为“局部奇函数”．理由见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）直接解方程，方程有解即得；
（2）由方程有解，设换元后转化为关于的二次方程在上有解，可结合二次函数的性质或二次方程根的分布知识得出结论．
【详解】
解：（1）当时，
方程即有解，
所以为“局部奇函数”．
（2）当时，可化为
．
设，则，
从而在有解即可保证为“局部奇函数”．
令，
1° 当，在有解，
由，即，解得；
2° 当时，在有解等价于
解得．
（说明：也可转化为大根大于等于2求解）
综上，所求实数m的取值范围为．
【点睛】
本题考查新定义，解题方法把新定义问题进行转化，转化为方程有解，从而把问题转化二次方程根的分布．
28．（2020·苏州湾（吴江）外国语学校高二期中）（Ⅰ）已知不等式的解集为，求的最小值．
（Ⅱ）若正数满足，求证：．
【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）证明见解析．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用根与系数的关系及基本不等式求解的最小值；
（Ⅱ）直接利用基本不等式结合证明；
【详解】
解：（Ⅰ）时，，
因为不等式的解集为，
所以方程的两根为，
由韦达定理可得，，
因为，所以，
则，
当且仅当时取等号，故的最小值为4；

（Ⅱ）基本不等式，由为正数且
由基本不等式，有
三式相加可得：
，即（当且仅当时等号成立）
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解集与方程根的关系，训练了利用基本不等式求最值，属于中档题．
29．（2020·江苏邗江·公道中学月考）已知函数，.
（1）若关于x的不等式在有解，求a的取值范围；
（2）解关于x的不等式.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用分离常数法将转化为，结合基本不等式求得的取值范围.
（2）将不等式转化为且，然后对进行分类讨论，由此求得不等式的解集.
【详解】
（1）在有解，即在有解，
因为，
所以，，
因为，
当且仅当时等号成立，
所以.
（2），，且，
1）时，不等式化为，解得，即原不等式的解集为；
当时，方程的两个根为和.
2）时，，所以原不等式解得或，即原不等式的解集为；
3）时，，所以原不等式解得，即原不等式的解集为；
4）时，，原不等式无解；
5）时，，所以原不等式解得，即原不等式的解集为.
【点睛】
本小题主要考查基本不等式，考查分式不等式的解法，属于中档题.

四、填空题
30．（2019·江苏省如东高级中学高二期中）设，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．
【详解】


，
当且仅当，即时成立，
故所求的最小值为．
【点睛】
使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．
31．（2020·江苏秦淮·高三期中）已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
因为函数的图象开口向上的抛物线，
所以要使对于任意的都有成立，
，解得，
所以实数的取值范围为．
【考点】
二次函数的性质．

32．（2020·江苏淮安·高一月考）已知不等式的解集为，不等式的解集为.若关于的不等式的解集为，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用一元二次不等式的解法求得集合A，B，然后求得，再根据不等式的解集为，利用不等式的解集的端点值是相应方程的根求解.
【详解】
由不等式，
解得
所以不等式的解集为，
即 ，
由不等式，
解得，
所以的解集为，
即，
所以，
因为不等式的解集为，
所以-1，3是方程的两根，
所以，
解得，
所以，
故答案为：-5
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法以及应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
33．（2020·江苏省如东高级中学高二月考）定义：关于x的两个不等式和的解集分别为和，则称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式与不等式为对偶不等式，且，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
先设出两个不等式对应的一元二次方程的两个根，根据韦达定理得到三角关系式，再利用同角三角关系及特殊角正切值解得即可.
【详解】
因为不等式与不等式为对偶不等式，
设不等式的对应方程两个根为a、b，
则不等式对应方程两个根为：、，
所以，，，
故即：.
因为，，所以
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了新定义，考查了一元二次不等式与对应的一元二次方程的根之间的关系及韦达定理，以及同角三角关系的应用，属于中档题.