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专题七 三角函数的概念、图像和性质-2021届高三《新题速递•数学》11月刊（江苏专用 适用于高考复习）
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这是一份专题七 三角函数的概念、图像和性质-2021届高三《新题速递•数学》11月刊（江苏专用 适用于高考复习），文件包含专题七三角函数的概念原卷版docx、专题七三角函数的概念解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共65页， 欢迎下载使用。
专题七 三角函数的概念、图像和性质
一、单选题
1．（2020·云南师大附中高三月考（文））已知，下列结论中错误的是（ ）
A．即是奇函数也是周期函数 B．的最大值为
C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点中心对称
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性的定义及判定，可判定A是正确的；根据函数的对称性，可判定C、D是正确的；由，令，利用求导方法求函数的最值，即可判定B选项错误.
【详解】
由题意，函数的定义域为关于原点对称，
又由，所以是奇函数；
且，
所以又是周期函数，所以A是正确的；
由，即，
所以关于直线对称，所以C是正确的；
由，
所以关于点对称，所以D是正确的；
由，
令，，
令，
，
的单调递减区间是，
的单调递增区间是，
的极大值为，
所以的最大值为，
即函数的最大值为，故B选项错误.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了三角函数的函数的基本性质的判定及应用，其中解答中熟记函数的周期性、对称性，以及三角函数的基本关系式和应用导数求最值是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
2．函数的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．的最小正周期是 B．在上单调递增
C．在上单调递增 D．直线是曲线的一条对称轴
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图像，可得，利用正弦函数的性质，结合整体法计算，以及对选项的排除法，可得结果.
【详解】
由图可知，，
该三角函数的最小正周期，
故A项正确；
所以，则.
因为，所以该函数的
一条对称轴为，
将代入，
则，
解得，
故.
令，
得，
令，则
故函数在上单调递增.故B项正确；
令，
得，
令，
故函数在上单调递减.故C项错误；
令，得，
令，
故直线是的一条对称轴.故D项正确.
故选C.
【点睛】
本题考查正弦型函数的性质，对这种问题要参照正弦函数的性质，并结合整体法解决问题，属中档题.
3．（2020·四川攀枝花·高三月考（文））关于函数的下述四个结论中，正确的是（ ）
A．是奇函数
B．的最大值为
C．在有个零点
D．在区间单调递增
【答案】D
【解析】
【分析】
分析函数的奇偶性、最值、零点、单调性，对各选项进行逐一判断即可.
【详解】
，
所以是偶函数，不是奇函数，故A不正确.
，且当时取得等号；
，且当时取得等号，
所以但等号无法取得，
即的最大值小于，故B不正确.
由是偶函数且，
可得在区间上的零点个数必为偶数，故C不正确.
当时，单调递增，故D正确.
故选D.
【点睛】
本题考查三角函数的性质，涉及奇偶性、最值、零点、单调性的.解选择题要善于利用排除法，如选项B,可不必求出具体的最大值，只需判断最大值是不是即可.
4．（2020·江西省万载中学高二开学考试）已知函数的部分图象如图所示，点，，则下列说法错误的是（ ）
A．直线是图象的一条对称轴
B．的最小正周期为
C．在区间上单调递增
D．的图象可由向左平移个单位而得到
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角函数的图象，求得函数的解析式，再结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求求解.
【详解】
由题意，函数的图象过点，
可得，即，即，
因为，所以，即，
又由点，即，可得，解得，
所以函数的解析式为，
令，可得，所以是函数的一条对称轴，所以A是正确的；
由正弦型函数的最小正周期的计算的公式，可得，所以B是正确的；
当，则，
根据正弦函数的性质，可得函数在区间单调递增，所以C是正确的；
由函数向左平移个单位而得到函数，
所以选项D不正确.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了利用三角函数的图象求解三角函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算与逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
5．（2019·河北衡水·高三一模（理））已知函数的一条对称轴与相邻的一个对称中心的距离为，将其向右平移后得到函数的图象，若函数的图象在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数图象的特征和图象变换得到，然后求出函数的单调递增区间，再根据是增区间的子集可得所求范围．
【详解】
由题意得，所以，因此，
所以．
从而，
由，，
得，．
要使的图象在区间上单调递增，
则需满足，即，
解得，，
当，可得，符合条件．
故选B．
【点睛】
解答本题的关键是正确理解题意，如题中的“一条对称轴与相邻的一个对称中心的距离”即为四分之一个周期，“函数的图象在区间上单调递增”则说明区间是函数增区间的子集等．本题综合考查三角函数的性质，具有综合性，属于中档题．
6．如图，与轴的正半轴交点为，点，在上，且，点在第一象限，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题得：，得OB=OC=1又,由三角函数定义得: ,,,
7．（2020·广东中山·高一期末）已知函数 () 的图象与函数的图象交于，两点，则（为坐标原点）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意利用三角函数的图象，求得A、B的坐标，用分割法求△OAB的面积．
【详解】
解：函数y＝2cosx（x∈[0，π]）和函数y＝3tanx的图象相交于A、B两点，O为坐标原点，
由2cosx＝3tanx，可得2cos2x＝3sinx，即 2sin2x+3sinx﹣2＝0，
求得sinx，或sinx＝﹣2（舍去），结合x∈[0，π]，
∴x，或 x；
∴A（，）、B（，），画出图象如图所示；
根据函数图象的对称性可得AB的中点C（，0），
∴△OAB的面积等于△OAC的面积加上△OCB的面积，
等于•OC•|yA|OC•|yC|•OC•|yA﹣yC|••2π，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．
8．（2019·福建漳州·高三其他（文））已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先求得的值，然后结合三角函数的性质和图象确定的值即可.
【详解】
由函数的最小正周期公式可得：，
则函数的解析式为，
将的图象向右平移个单位长度或所得的函数解析式为：
，
函数图象关于轴对称，则函数为偶函数，即当时：
，
则， ①
令可得：，
其余选项明显不适合①式.
本题选择B选项.
【点睛】
本题主要考查三角函数解析式的求解，三角函数的平移变换，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9．（2020·湖南开福·长沙一中高三月考（理））已知函数满足，，且在区间单调，则的取值个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题设条件，求得，两式相减得，解得，结合在区间单调，求得，即可求解.
【详解】
由题意，函数满足，，
可得，
两式相减得，解得，
又由，可得，即，解得，
所以.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，根据题设条件列出方程和不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
10．（2020·绥德中学高一月考（理））己知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的值域为[-1，1].
B．是以为周期的周期函数.
C．当且仅当时，取最大值.
D．当且仅当时， <0.
【答案】D
【解析】
【分析】
画出函数的图象，结合图象求得最值和函数的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，结合和的图象，可得函数的图象，图中实线的部分，如图所示，
结合图象，可知当时，函数图象位于最低点，此时函数取得最小值，最小值为，所以A不正确；
因为，但，所以函数的最小正周期为，
所以B不正确；
由图象可知，在当或时，函数取得最大值1，
所以C不正确；
由图象可得，当时，，所以D正确.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了分段函数的性质，以及正弦函数与余弦函数的应用，其中解答中根据正弦函数和余弦函数的图象，画出函数的图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.
11．（2020·广西柳州·高三三模（文））若函数的相邻两条对称轴间的距离为，且在取得最大值2，则（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由函数相邻两条对称轴间的距离为，求得，再由函数图象经过点，求得，得出函数的解析式，即可求解.
【详解】
由题意，函数的相邻两条对称轴间的距离为，
可得，解得，所以，
又因为函数图象经过点，所以，
因为，可得，所以，
所以.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，求解函数的解析式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.
12．（2020·湖南高一月考）已知函数的图像与函数的图像交于M，N两点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，利用同角三角函数商数关系和平方关系可得，解方程即可得，，即可得解.
【详解】
由得即，
即，
解得或，由可得，
或，
，，显然MN与x轴交于点，
.
故选：B.
【点睛】
本题考查了同角三角函数关系的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.
13．（2020·全国高三月考（理））已知函数，若函数在区间上有且只有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设，化简函数为，得到函数在上前三个零点，列出不等式组，即可求解．
【详解】
由题意，因为，可得，
设，则函数
则函数在上，前三个零点分别是，
所以，解得.
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，结合零点的概念得出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
14．（2020·全国高三月考（理））已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是( )
A．关于直线对称 B．关于点对称
C．周期为 D．在上是增函数
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量的数量积的运算和三角恒等变换化简函数的解析式，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，，
当时，，所以不是函数的对称轴；
当时，，所以是函数的对称中心；
由，可函数的最小正周期为；
当，则，可得函数不是单调函数.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用向量的数量积的运算公式和三角恒等变换的公式化简得到函数的解析式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
15．（2019·四川双流中学高三月考（理））已知函数的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
结合函数的图象平移和诱导公式，求得的解析式，再利用余弦函数的性质，取出函数的单调递增区间，最后结合已知条件，即可求解.
【详解】
由题意，的图象向右平移个单位长度，
可得，
令，解得，
当时，可得单调递增区间为，
因为在区间上单调递增，所以，解得，
所以实数的最大值为.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换，以及余弦函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象变换求得函数的解析式，合理应用余弦函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
16．（2019·五华·云南师大附中高三月考（理））已知函数为偶函数,,是其图象上两点,若的最小值是1,则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由函数为偶函数,求得，得到,再根据的最小值是1，求得,得到函数的解析式，代入即可求解.
【详解】
由题意，函数为偶函数,所以,
因为，所以，所以,
由于的最小值是1,可得,所以,即,
则.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，求得函数的解析式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
17．已知函数（，），满足，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的取值可以为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
由，求得，进而得，再结合三角函数的性质，求得，，即可求解.
【详解】
因为，即，所以，
又因为，所以，所以，
函数的图象向右平移个单位得到，
的图象关于直线对称，，，
即，，令，得.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的综合应用，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
18．（2019·广西兴宁·南宁三中高三月考（理））下面有五个命题：
①函数的最小正周期是；
②终边在轴上的角的集合是；
③在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点；
④把函数的图象向右平移个单位得到的图象；
⑤函数在上是减函数；
其中真命题的序号是（ ）
A．①②⑤ B．①④ C．③⑤ D．②④
【答案】B
【解析】
【分析】
①将所给函数化为，由余弦型函数最小正周期的求法可知①正确；
②当时，可知所表示角终边不在轴上，知②错误；
③令，利用导数可确定时，的单调性，结合奇偶性可知时，的单调性，进而确定零点个数，即可知两函数交点仅有一个，③错误；
④由三角函数左右平移原则可得到结果，知④正确；
⑤利用诱导公式将所给函数化为，根据余弦函数在区间内的单调性可得所求函数的单调性，知⑤错误.
【详解】
①中，
最小正周期，①正确；
②中，当时，，终边在轴上，②错误；
③中，令，则，可知为奇函数
当时， 在上单调递减
由为奇函数可得在上单调递减
综上所述：仅有一个零点，即与仅有一个公共点，③错误；
④中，向右平移个单位得，④正确；
⑤中，，当时，单调递减，则单调递增，⑤错误.
故选：
【点睛】
本题考查三角函数部分知识的综合应用问题，涉及到三角恒等变换和诱导公式的化简问题、余弦型函数的最小正周期和单调性问题、图象平移变换及图象交点个数问题的求解；对学生对三角函数部分知识的掌握要求较高.
19．（2020·北京期末）设，是三角形的两个内角，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【解析】
【分析】
结合三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法，逐项判定，即可求解得到答案.
【详解】
对于A中，因为，则
又由，
所以是正确的；
对于B中，例如，此时，
所以不一定成立，所以不正确；
对于C中，因为，例如时，，
所以不正确；
对于D中，因为，例如时，，
所以不正确，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及三角函数值的应用，其中解答熟记三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
20．（2019·浙江宁波·高三月考）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，）满足f（）＝f（）＝﹣f（），且当x∈[，]时恒有f（x）≥0，则（ ）
A．ω＝2 B．ω＝4 C．ω＝2或4 D．ω不确定
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角函数的图象与性质，求得函数的对称轴和对称点，判断周期的取值范围，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，函数，因为f（）＝f（）＝﹣f（），
可得f（x）有一条对称轴为，对称点的横坐标为，
又由x∈[，]时恒有f（x）≥0，所以f（）＝1，又f（）＝0，．
所以，，
可得当T＝π，ω＝2；当T时，ω＝6，
当x时，sin（6•φ）＝cosφ＞0，不成立，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
二、解答题
21．（2020·新绛县第二中学月考）已知函数，.
（1）求的最大值和最小值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由，可得，结合三角函数的性质，即可求解；
由不等式在上恒成立，转化为对恒成立，结合函数的最值，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数，
因为，可得，
所以当，即时，函数取得最大值，最大值为；
当，即时，函数取得最小值，最小值为.
由题意，不等式在上恒成立，
即不等式对恒成立，
又当时，，所以，解得，
故的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质及其应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及不等式恒成立的求解方法，合理应用分类参数求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
22．（2019·湖北黄石·高二月考）某公园欲将一块空地规划成如图所示的区域，其中在边长为20米的正方形内种植经红色郁金香，在正方形的剩余部分（即四个直角三角形内）种植黄色郁金香．现要在以为边长的矩形内种植绿色草坪，要求绿色草坪的面积等于黄色郁金香的面积．设，米．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）求的最大值．
【答案】（1），其中（2）米
【解析】
【分析】
（1）利用已知条件将黄色郁金香和绿色草坪的面积表示出来，然后根据面积相等，得到与之间的函数关系式，注意定义域；
（2）根据，用换元法并构造新函数完成最大值的求解.
【详解】
解：（1）在中，，则，
同理，在中，，则，
所以．
因为在矩形内种植与黄花面积相等的草坪，
设矩形的面积为，则，
所以，
所以，其中．
（2）令，则．
因为，所以，
所以，因为在上单调递增，
所以，
答：的最大值为米．
【点睛】
（1）实际问题中求解函数关系式时，不仅要给出正确的函数解析式同时还要注意定义域问题；
（2）与的关系：.
23．（2020·广东潮州·高一期中）已知，函数，当时，.
（1）求常数的值；
（2）设且，求的单调区间.
【答案】（1）；
（2）递增区间为；递减区间为.
【解析】
【分析】
（1）由，得到，得出，根据，列出方程组，即可求解；
（2）由（1）得，得到，由，得到，结合三角函数的图象与性质，即可求解.
【详解】
（1）由，所以，则，
所以，所以，
又因为，可得，解得.
（2）由（1）得，
则，
又由，可得，
所以，即，
所以，
当时，解得，
此时函数单调递增，即的递增区间为
当时，解得，
此时函数单调递减，即的递减区间为.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中根据三角函数的性质，求得函数的解析式，熟练应用三角函数的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
24．（2020·安徽高二月考）若函数的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为，且当时，取得最小值.
（1）求的解析式；
（2）若，求的值域.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题设条件，求得的周期，得到，再由时，取得最小值，求得，即可得到函数的解析式；
（2）因为，可得，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为，
可得的周期，即，解得，
又因为当时，取得最小值，
所以，
所以，解得，
因为，所以，所以.
（2）因为，可得，
所以当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
所以函数的值域是.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及三角函数在区间上的性质的求法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
25．（2020·江苏高三二模）已知函数（其中，，）的图象与轴的相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.
（1）求的解析式；
（2）当时，求的最大值及相应的的值.
【答案】（1） （2）的最大值为2，此时
【解析】
【分析】
（1）由题意，求得，，得到，将代入求得，即可得到函数的解析式；
（2）由，得到，结合三角函数的图象与性质，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数图象上一个最低点为，可得，
又由函数图象与轴的相邻两个交点之间的距离为，即，可得，
此时函数，
将代入上式，得，即，
因为，可得，所以.
（2）因为，则，
所以当且仅当，即时，，则，
即时，函数的最大值为2.
【点睛】
本题主要考查了三角函数解析式的求解，以及三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
26．（2017·黑龙江哈尔滨三中（理））已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求当时，的值域.
【答案】
【解析】
【分析】
（1）利用和与差的三角函数的公式和二倍角公式，以及辅助角公式，化简函数的解析式，即可求解函数的最小正周期；
（2）当时，求解内层函数的范围，即可求得函数的值域.
【详解】
由题意，函数
，
（1）所以函数的最小正周期为.
（2）当时，可得，则，
所以，
所以函数的值域为.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的恒等变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数恒等变换的公式求得函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
27．（2020·江苏省江浦高级中学月考）已知函数．
（1）求的最小正周期，并求的最小值及取得最小值时的集合；
（2）令，若对于恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）最小正周期是，最小值为．的集合为；
（2）.
【解析】
【分析】
（1）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解；
（2）化简，根据，求得的最大值为，再根据题意，得到，即可求解．
【详解】
（1）由题意，函数，
可得其最小正周期是，
当，可得，即时，
函数的最小值为．
此时的集合为．
（2）由
因为，得，则，
所以，
若对于恒成立，则，
所以，即求实数的取值范围．
【点睛】
本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质综合应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式，求得函数的解析式，结合三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
28．（2019·上海市实验学校高一期末）已知函数，.
（1）将化为的形式（，，）并求的最小正周期；
（2）设，若在上的值域为，求实数、的值；
（3）若对任意的和恒成立，求实数取值范围.
【答案】（1），；（2），，或，；（3）.
【解析】
【分析】
(1)由三角函数的恒等变换公式和正弦函数的周期的公式，即可求解；
(2)由正弦函数的图象与性质，讨论的范围，得到的方程组，即可求得的值；
（3）对讨论奇数和偶数，由参数分离和函数的最值，即可求得的范围.
【详解】
(1)由题意，函数
所以函数的最小正周期为.
（2）由（1）知，
当时，则，所以，
即，令，则，
函数，即，，
当时，在为单调递增函数，
可得且，即，解得；
当时，在为单调递减函数，
可得且，即，解得；
综上可得，或，；
（3）由（2）可知，当时，，
当为奇数时，，即为，即恒成立，
又由，即；
当为偶数时，，即为，即恒成立，
又由，即；
综上可得，实数满足，即实数取值范围.
【点睛】
本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解中熟练化简函数的解析式，合理应用三角函数的图象与性质，以及利用分类讨论和分离参数求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，分离参数，以及推理与运算能力，属于中档试题.
三、填空题
29．（2019·安徽高三开学考试（文））函数的最小值为___________________．
【答案】-1
【解析】
【分析】
利用诱导公式和二倍角公式化简函数为，令，，可将函数化为二次函数的形式，根据二次函数性质可求得最小值.
【详解】
令，则
，
当时，，即的最小值为
本题正确结果：
【点睛】
本题考查换元法求解三角函数的最值问题，涉及到利用诱导公式、二倍角公式化简三角函数、二次函数最值的求解等知识；易错点是在进行换元时，忽略新的自变量的取值范围，造成求解错误.
30．（2020·上海市七宝中学高一期中）函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论正确的是______.
①的一个周期为； ②的图象关于对称；
③是的一个零点； ④在单调递减；
【答案】①②③
【解析】
【分析】
先由图像的平移变换推导出的解析式，再分析函数的周期、零点、对称性、单调性，判断是否正确．
【详解】
解：函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，
，
的一个周期为，故①正确；
的对称轴满足：，，
当时，的图象关于对称，故②正确；
由，得，
是的一个零点，故③正确；
当时，，
在上单调递增，故④错误．
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查三角函数的平移变换、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
31．（2020·小店·山西大附中高一月考）已知函数，点是直线与函数的图象自左至右的某三个相邻交点，若，则 _____
【答案】3
【解析】
【分析】
画出示意图，分析可得，即求得的周期，从而求得，再根据两点处函数值相等及两点横坐标的关系，求得点处的函数值，得到的值，求得答案.
【详解】
作出示意图如图所示：
由，则，则，故的周期，
得，即，且，
可得，且，得,
则，得，则.
故答案为：3
【点睛】
本题考查了正弦型函数图象的应用，属于中档题.
32．（2020·渭南市尚德中学高一月考）下列命题中，正确命题的序号是______．
①函数的最小正周期是；
②终边在轴上的角的集合是；
③在同一坐标系中，函数的图像与函数图像在内有1个公共点；
④把函数的图像的对称轴是．
【答案】①④
【解析】
【分析】
利用平方差公式及二倍角公式化简函数解析式，求出周期可判断①正确；终边在轴上的角的集合是，②错误；根据正弦、余弦函数在上的图象可判断③错误；由正弦函数的对称性可求出此函数的对称轴，④正确.
【详解】
①，此函数的最小正周期为，①正确；
②终边在轴上的角的集合是，②错误；
③根据正弦、余弦函数在上的图象知在同一坐标系中，函数的图像与函数图像在内有2个公共点，③错误；
④令，解得，所以函数的图像的对称轴是，④正确.
故答案为：①④
【点睛】
本题考查正弦、余弦函数的图象与性质、终边在特殊位置上的角的集合、二倍角公式，属于中档题.
33．（2020·安徽省太和第一中学高二月考（理））若将函数的图象向左平移个单位长度，平移后的图象关于点对称，则函数在上的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据三角函数的图象变换，求得，再结合三角函数的性质，得到函数的解析式，进而求得其最小值，得到答案.
【详解】
由题意，函数，
将函数的图象向左移个单位，可得，
因为关于点对称，
所以，
又因为，可得，故，
又由，可得，所以，
所以函数的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
34．（2020·榆林市第二中学高三月考（理））已知函数的相邻两个对称中心距离为，且，将其上所有点的再向右平移个单位，纵坐标不变，横坐标变为原来的，得的图像，则的表达式为_______
【答案】.
【解析】
【分析】
利用正切函数的图象和性质，函数的图象变换规律，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，函数的相邻两个对称中心距离为，解得，
且，即，因为，解得，
所以，
将图象上的点向右平移个单位，可得，
再把所得图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，可得的图象，
即函数的解析式为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了正切函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换的应用，其中解答中熟记正切函数的图象与性质，以及熟练应用三角函数的图象变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
35．（2019·重庆市万州第二高级中学高一期中）若（），则在中，正数的个数是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据正弦函数的周期，以及数列的知识，可得结果.
【详解】
令，可知最小正周期为
且若为整数，可得为0
所以，
而共7个
共7个
其他
所以正数一共有
个
故答案为：86
【点睛】
本题主要考查正弦型函数的周期的应用，属中档题.
四、双空题
36．（2019·浙江湖州·高三一模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知tan()＝2，则sinA的值为______，若B＝，a＝4，则△ABC的面积等于___．
【答案】 16
【解析】
【分析】
利用正切的和与差化简tan()＝2．可得tanA的值，根据同角三角函数基本关系式可求得sinA的值，由正弦定理可求得b的值，同角三角函数基本关系式求cosA的值，两角和的正弦函数公式求sinC的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．
【详解】
∵由tan()＝2，可得：
∴tanA＝，即
又∵cos2A+sin2A＝1
∴解得：sinA＝
∵B＝，a＝4，sinA＝
∴由正弦定理：，可得：
∵tanA＝，sinA＝，即
∴sinC＝sin(A+B)＝sinAcosB+cosAsinB＝
∴△ABC的面积S＝absinC＝×4×4×＝16．
故答案为：，16
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题
五、多选题
37．（2020·江苏省黄桥中学月考）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．若是函数的零点，则是的整数倍
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象与函数的图象相同
D．函数的图象可由的图象先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到
【答案】BC
【解析】
【分析】
首先由三角恒等变换化简函数解析式，作出图象，数形结合判断A错误；由正弦函数的对称性可判断函数的对称性；利用三角函数诱导公式可判断C选项；根据三角函数图象变换规则可判断D选项.
【详解】
，
画出函数的图象，如图所示：
的图象与轴相邻的两个交点的距离不相等，且不为，故A错；
因为，所以函数的图象关于对称，则函数的图象关于点对称，故B正确；
函数，故C正确；
函数的图象可由先向上平移个单位，再向左平移个单位长度得到，故D错误.
故选：BC
【点睛】
本题考查三角恒等变换、正弦型函数的对称性、三角函数诱导公式及三角函数图象变换规则，属于中档题.
38．设是一个钝角三角形的两个锐角,下列四个不等式中正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据三角形内角和特点可得到，利用诱导公式可得，从而验证出正确；根据，，，结合辅助角公式和正弦函数的值域可求得正确；利用二倍角的正切公式展开，由，根据正切函数的值域和不等式的性质可验证出错误.
【详解】
设且
，正确；
且
，正确；
，正确；
，则
，即，错误.
故选：
【点睛】
本题考查与三角函数有关的不等关系的辨析问题，涉及到诱导公式、二倍角公式和辅助角公式的应用、正弦函数值域和正切函数值域的求解等知识；关键是能够根据已知得到两个角所处的范围，进而将所验证不等式化为同角问题进行求解.
专题七 三角函数的概念、图像和性质
一、单选题
1．（2020·云南师大附中高三月考（文））已知，下列结论中错误的是（ ）
A．即是奇函数也是周期函数 B．的最大值为
C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点中心对称
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性的定义及判定，可判定A是正确的；根据函数的对称性，可判定C、D是正确的；由，令，利用求导方法求函数的最值，即可判定B选项错误.
【详解】
由题意，函数的定义域为关于原点对称，
又由，所以是奇函数；
且，
所以又是周期函数，所以A是正确的；
由，即，
所以关于直线对称，所以C是正确的；
由，
所以关于点对称，所以D是正确的；
由，
令，，
令，
，
的单调递减区间是，
的单调递增区间是，
的极大值为，
所以的最大值为，
即函数的最大值为，故B选项错误.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了三角函数的函数的基本性质的判定及应用，其中解答中熟记函数的周期性、对称性，以及三角函数的基本关系式和应用导数求最值是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
2．函数的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．的最小正周期是 B．在上单调递增
C．在上单调递增 D．直线是曲线的一条对称轴
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图像，可得，利用正弦函数的性质，结合整体法计算，以及对选项的排除法，可得结果.
【详解】
由图可知，，
该三角函数的最小正周期，
故A项正确；
所以，则.
因为，所以该函数的
一条对称轴为，
将代入，
则，
解得，
故.
令，
得，
令，则
故函数在上单调递增.故B项正确；
令，
得，
令，
故函数在上单调递减.故C项错误；
令，得，
令，
故直线是的一条对称轴.故D项正确.
故选C.
【点睛】
本题考查正弦型函数的性质，对这种问题要参照正弦函数的性质，并结合整体法解决问题，属中档题.
3．（2020·四川攀枝花·高三月考（文））关于函数的下述四个结论中，正确的是（ ）
A．是奇函数
B．的最大值为
C．在有个零点
D．在区间单调递增
【答案】D
【解析】
【分析】
分析函数的奇偶性、最值、零点、单调性，对各选项进行逐一判断即可.
【详解】
，
所以是偶函数，不是奇函数，故A不正确.
，且当时取得等号；
，且当时取得等号，
所以但等号无法取得，
即的最大值小于，故B不正确.
由是偶函数且，
可得在区间上的零点个数必为偶数，故C不正确.
当时，单调递增，故D正确.
故选D.
【点睛】
本题考查三角函数的性质，涉及奇偶性、最值、零点、单调性的.解选择题要善于利用排除法，如选项B,可不必求出具体的最大值，只需判断最大值是不是即可.
4．（2020·江西省万载中学高二开学考试）已知函数的部分图象如图所示，点，，则下列说法错误的是（ ）
A．直线是图象的一条对称轴
B．的最小正周期为
C．在区间上单调递增
D．的图象可由向左平移个单位而得到
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角函数的图象，求得函数的解析式，再结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求求解.
【详解】
由题意，函数的图象过点，
可得，即，即，
因为，所以，即，
又由点，即，可得，解得，
所以函数的解析式为，
令，可得，所以是函数的一条对称轴，所以A是正确的；
由正弦型函数的最小正周期的计算的公式，可得，所以B是正确的；
当，则，
根据正弦函数的性质，可得函数在区间单调递增，所以C是正确的；
由函数向左平移个单位而得到函数，
所以选项D不正确.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了利用三角函数的图象求解三角函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算与逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
5．（2019·河北衡水·高三一模（理））已知函数的一条对称轴与相邻的一个对称中心的距离为，将其向右平移后得到函数的图象，若函数的图象在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数图象的特征和图象变换得到，然后求出函数的单调递增区间，再根据是增区间的子集可得所求范围．
【详解】
由题意得，所以，因此，
所以．
从而，
由，，
得，．
要使的图象在区间上单调递增，
则需满足，即，
解得，，
当，可得，符合条件．
故选B．
【点睛】
解答本题的关键是正确理解题意，如题中的“一条对称轴与相邻的一个对称中心的距离”即为四分之一个周期，“函数的图象在区间上单调递增”则说明区间是函数增区间的子集等．本题综合考查三角函数的性质，具有综合性，属于中档题．
6．如图，与轴的正半轴交点为，点，在上，且，点在第一象限，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题得：，得OB=OC=1又,由三角函数定义得: ,,,
7．（2020·广东中山·高一期末）已知函数 () 的图象与函数的图象交于，两点，则（为坐标原点）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意利用三角函数的图象，求得A、B的坐标，用分割法求△OAB的面积．
【详解】
解：函数y＝2cosx（x∈[0，π]）和函数y＝3tanx的图象相交于A、B两点，O为坐标原点，
由2cosx＝3tanx，可得2cos2x＝3sinx，即 2sin2x+3sinx﹣2＝0，
求得sinx，或sinx＝﹣2（舍去），结合x∈[0，π]，
∴x，或 x；
∴A（，）、B（，），画出图象如图所示；
根据函数图象的对称性可得AB的中点C（，0），
∴△OAB的面积等于△OAC的面积加上△OCB的面积，
等于•OC•|yA|OC•|yC|•OC•|yA﹣yC|••2π，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．
8．（2019·福建漳州·高三其他（文））已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先求得的值，然后结合三角函数的性质和图象确定的值即可.
【详解】
由函数的最小正周期公式可得：，
则函数的解析式为，
将的图象向右平移个单位长度或所得的函数解析式为：
，
函数图象关于轴对称，则函数为偶函数，即当时：
，
则， ①
令可得：，
其余选项明显不适合①式.
本题选择B选项.
【点睛】
本题主要考查三角函数解析式的求解，三角函数的平移变换，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9．（2020·湖南开福·长沙一中高三月考（理））已知函数满足，，且在区间单调，则的取值个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题设条件，求得，两式相减得，解得，结合在区间单调，求得，即可求解.
【详解】
由题意，函数满足，，
可得，
两式相减得，解得，
又由，可得，即，解得，
所以.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，根据题设条件列出方程和不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
10．（2020·绥德中学高一月考（理））己知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的值域为[-1，1].
B．是以为周期的周期函数.
C．当且仅当时，取最大值.
D．当且仅当时， <0.
【答案】D
【解析】
【分析】
画出函数的图象，结合图象求得最值和函数的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，结合和的图象，可得函数的图象，图中实线的部分，如图所示，
结合图象，可知当时，函数图象位于最低点，此时函数取得最小值，最小值为，所以A不正确；
因为，但，所以函数的最小正周期为，
所以B不正确；
由图象可知，在当或时，函数取得最大值1，
所以C不正确；
由图象可得，当时，，所以D正确.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了分段函数的性质，以及正弦函数与余弦函数的应用，其中解答中根据正弦函数和余弦函数的图象，画出函数的图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.
11．（2020·广西柳州·高三三模（文））若函数的相邻两条对称轴间的距离为，且在取得最大值2，则（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由函数相邻两条对称轴间的距离为，求得，再由函数图象经过点，求得，得出函数的解析式，即可求解.
【详解】
由题意，函数的相邻两条对称轴间的距离为，
可得，解得，所以，
又因为函数图象经过点，所以，
因为，可得，所以，
所以.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，求解函数的解析式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.
12．（2020·湖南高一月考）已知函数的图像与函数的图像交于M，N两点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，利用同角三角函数商数关系和平方关系可得，解方程即可得，，即可得解.
【详解】
由得即，
即，
解得或，由可得，
或，
，，显然MN与x轴交于点，
.
故选：B.
【点睛】
本题考查了同角三角函数关系的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.
13．（2020·全国高三月考（理））已知函数，若函数在区间上有且只有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设，化简函数为，得到函数在上前三个零点，列出不等式组，即可求解．
【详解】
由题意，因为，可得，
设，则函数
则函数在上，前三个零点分别是，
所以，解得.
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，结合零点的概念得出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
14．（2020·全国高三月考（理））已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是( )
A．关于直线对称 B．关于点对称
C．周期为 D．在上是增函数
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量的数量积的运算和三角恒等变换化简函数的解析式，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，，
当时，，所以不是函数的对称轴；
当时，，所以是函数的对称中心；
由，可函数的最小正周期为；
当，则，可得函数不是单调函数.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用向量的数量积的运算公式和三角恒等变换的公式化简得到函数的解析式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
15．（2019·四川双流中学高三月考（理））已知函数的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
结合函数的图象平移和诱导公式，求得的解析式，再利用余弦函数的性质，取出函数的单调递增区间，最后结合已知条件，即可求解.
【详解】
由题意，的图象向右平移个单位长度，
可得，
令，解得，
当时，可得单调递增区间为，
因为在区间上单调递增，所以，解得，
所以实数的最大值为.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换，以及余弦函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象变换求得函数的解析式，合理应用余弦函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
16．（2019·五华·云南师大附中高三月考（理））已知函数为偶函数,,是其图象上两点,若的最小值是1,则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由函数为偶函数,求得，得到,再根据的最小值是1，求得,得到函数的解析式，代入即可求解.
【详解】
由题意，函数为偶函数,所以,
因为，所以，所以,
由于的最小值是1,可得,所以,即,
则.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，求得函数的解析式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
17．已知函数（，），满足，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的取值可以为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
由，求得，进而得，再结合三角函数的性质，求得，，即可求解.
【详解】
因为，即，所以，
又因为，所以，所以，
函数的图象向右平移个单位得到，
的图象关于直线对称，，，
即，，令，得.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的综合应用，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
18．（2019·广西兴宁·南宁三中高三月考（理））下面有五个命题：
①函数的最小正周期是；
②终边在轴上的角的集合是；
③在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点；
④把函数的图象向右平移个单位得到的图象；
⑤函数在上是减函数；
其中真命题的序号是（ ）
A．①②⑤ B．①④ C．③⑤ D．②④
【答案】B
【解析】
【分析】
①将所给函数化为，由余弦型函数最小正周期的求法可知①正确；
②当时，可知所表示角终边不在轴上，知②错误；
③令，利用导数可确定时，的单调性，结合奇偶性可知时，的单调性，进而确定零点个数，即可知两函数交点仅有一个，③错误；
④由三角函数左右平移原则可得到结果，知④正确；
⑤利用诱导公式将所给函数化为，根据余弦函数在区间内的单调性可得所求函数的单调性，知⑤错误.
【详解】
①中，
最小正周期，①正确；
②中，当时，，终边在轴上，②错误；
③中，令，则，可知为奇函数
当时， 在上单调递减
由为奇函数可得在上单调递减
综上所述：仅有一个零点，即与仅有一个公共点，③错误；
④中，向右平移个单位得，④正确；
⑤中，，当时，单调递减，则单调递增，⑤错误.
故选：
【点睛】
本题考查三角函数部分知识的综合应用问题，涉及到三角恒等变换和诱导公式的化简问题、余弦型函数的最小正周期和单调性问题、图象平移变换及图象交点个数问题的求解；对学生对三角函数部分知识的掌握要求较高.
19．（2020·北京期末）设，是三角形的两个内角，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【解析】
【分析】
结合三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法，逐项判定，即可求解得到答案.
【详解】
对于A中，因为，则
又由，
所以是正确的；
对于B中，例如，此时，
所以不一定成立，所以不正确；
对于C中，因为，例如时，，
所以不正确；
对于D中，因为，例如时，，
所以不正确，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及三角函数值的应用，其中解答熟记三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
20．（2019·浙江宁波·高三月考）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，）满足f（）＝f（）＝﹣f（），且当x∈[，]时恒有f（x）≥0，则（ ）
A．ω＝2 B．ω＝4 C．ω＝2或4 D．ω不确定
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角函数的图象与性质，求得函数的对称轴和对称点，判断周期的取值范围，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，函数，因为f（）＝f（）＝﹣f（），
可得f（x）有一条对称轴为，对称点的横坐标为，
又由x∈[，]时恒有f（x）≥0，所以f（）＝1，又f（）＝0，．
所以，，
可得当T＝π，ω＝2；当T时，ω＝6，
当x时，sin（6•φ）＝cosφ＞0，不成立，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
二、解答题
21．（2020·新绛县第二中学月考）已知函数，.
（1）求的最大值和最小值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由，可得，结合三角函数的性质，即可求解；
由不等式在上恒成立，转化为对恒成立，结合函数的最值，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数，
因为，可得，
所以当，即时，函数取得最大值，最大值为；
当，即时，函数取得最小值，最小值为.
由题意，不等式在上恒成立，
即不等式对恒成立，
又当时，，所以，解得，
故的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质及其应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及不等式恒成立的求解方法，合理应用分类参数求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
22．（2019·湖北黄石·高二月考）某公园欲将一块空地规划成如图所示的区域，其中在边长为20米的正方形内种植经红色郁金香，在正方形的剩余部分（即四个直角三角形内）种植黄色郁金香．现要在以为边长的矩形内种植绿色草坪，要求绿色草坪的面积等于黄色郁金香的面积．设，米．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）求的最大值．
【答案】（1），其中（2）米
【解析】
【分析】
（1）利用已知条件将黄色郁金香和绿色草坪的面积表示出来，然后根据面积相等，得到与之间的函数关系式，注意定义域；
（2）根据，用换元法并构造新函数完成最大值的求解.
【详解】
解：（1）在中，，则，
同理，在中，，则，
所以．
因为在矩形内种植与黄花面积相等的草坪，
设矩形的面积为，则，
所以，
所以，其中．
（2）令，则．
因为，所以，
所以，因为在上单调递增，
所以，
答：的最大值为米．
【点睛】
（1）实际问题中求解函数关系式时，不仅要给出正确的函数解析式同时还要注意定义域问题；
（2）与的关系：.
23．（2020·广东潮州·高一期中）已知，函数，当时，.
（1）求常数的值；
（2）设且，求的单调区间.
【答案】（1）；
（2）递增区间为；递减区间为.
【解析】
【分析】
（1）由，得到，得出，根据，列出方程组，即可求解；
（2）由（1）得，得到，由，得到，结合三角函数的图象与性质，即可求解.
【详解】
（1）由，所以，则，
所以，所以，
又因为，可得，解得.
（2）由（1）得，
则，
又由，可得，
所以，即，
所以，
当时，解得，
此时函数单调递增，即的递增区间为
当时，解得，
此时函数单调递减，即的递减区间为.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中根据三角函数的性质，求得函数的解析式，熟练应用三角函数的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
24．（2020·安徽高二月考）若函数的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为，且当时，取得最小值.
（1）求的解析式；
（2）若，求的值域.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题设条件，求得的周期，得到，再由时，取得最小值，求得，即可得到函数的解析式；
（2）因为，可得，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为，
可得的周期，即，解得，
又因为当时，取得最小值，
所以，
所以，解得，
因为，所以，所以.
（2）因为，可得，
所以当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
所以函数的值域是.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及三角函数在区间上的性质的求法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
25．（2020·江苏高三二模）已知函数（其中，，）的图象与轴的相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.
（1）求的解析式；
（2）当时，求的最大值及相应的的值.
【答案】（1） （2）的最大值为2，此时
【解析】
【分析】
（1）由题意，求得，，得到，将代入求得，即可得到函数的解析式；
（2）由，得到，结合三角函数的图象与性质，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数图象上一个最低点为，可得，
又由函数图象与轴的相邻两个交点之间的距离为，即，可得，
此时函数，
将代入上式，得，即，
因为，可得，所以.
（2）因为，则，
所以当且仅当，即时，，则，
即时，函数的最大值为2.
【点睛】
本题主要考查了三角函数解析式的求解，以及三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
26．（2017·黑龙江哈尔滨三中（理））已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求当时，的值域.
【答案】
【解析】
【分析】
（1）利用和与差的三角函数的公式和二倍角公式，以及辅助角公式，化简函数的解析式，即可求解函数的最小正周期；
（2）当时，求解内层函数的范围，即可求得函数的值域.
【详解】
由题意，函数
，
（1）所以函数的最小正周期为.
（2）当时，可得，则，
所以，
所以函数的值域为.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的恒等变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数恒等变换的公式求得函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
27．（2020·江苏省江浦高级中学月考）已知函数．
（1）求的最小正周期，并求的最小值及取得最小值时的集合；
（2）令，若对于恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）最小正周期是，最小值为．的集合为；
（2）.
【解析】
【分析】
（1）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解；
（2）化简，根据，求得的最大值为，再根据题意，得到，即可求解．
【详解】
（1）由题意，函数，
可得其最小正周期是，
当，可得，即时，
函数的最小值为．
此时的集合为．
（2）由
因为，得，则，
所以，
若对于恒成立，则，
所以，即求实数的取值范围．
【点睛】
本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质综合应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式，求得函数的解析式，结合三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
28．（2019·上海市实验学校高一期末）已知函数，.
（1）将化为的形式（，，）并求的最小正周期；
（2）设，若在上的值域为，求实数、的值；
（3）若对任意的和恒成立，求实数取值范围.
【答案】（1），；（2），，或，；（3）.
【解析】
【分析】
(1)由三角函数的恒等变换公式和正弦函数的周期的公式，即可求解；
(2)由正弦函数的图象与性质，讨论的范围，得到的方程组，即可求得的值；
（3）对讨论奇数和偶数，由参数分离和函数的最值，即可求得的范围.
【详解】
(1)由题意，函数
所以函数的最小正周期为.
（2）由（1）知，
当时，则，所以，
即，令，则，
函数，即，，
当时，在为单调递增函数，
可得且，即，解得；
当时，在为单调递减函数，
可得且，即，解得；
综上可得，或，；
（3）由（2）可知，当时，，
当为奇数时，，即为，即恒成立，
又由，即；
当为偶数时，，即为，即恒成立，
又由，即；
综上可得，实数满足，即实数取值范围.
【点睛】
本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解中熟练化简函数的解析式，合理应用三角函数的图象与性质，以及利用分类讨论和分离参数求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，分离参数，以及推理与运算能力，属于中档试题.
三、填空题
29．（2019·安徽高三开学考试（文））函数的最小值为___________________．
【答案】-1
【解析】
【分析】
利用诱导公式和二倍角公式化简函数为，令，，可将函数化为二次函数的形式，根据二次函数性质可求得最小值.
【详解】
令，则
，
当时，，即的最小值为
本题正确结果：
【点睛】
本题考查换元法求解三角函数的最值问题，涉及到利用诱导公式、二倍角公式化简三角函数、二次函数最值的求解等知识；易错点是在进行换元时，忽略新的自变量的取值范围，造成求解错误.
30．（2020·上海市七宝中学高一期中）函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论正确的是______.
①的一个周期为； ②的图象关于对称；
③是的一个零点； ④在单调递减；
【答案】①②③
【解析】
【分析】
先由图像的平移变换推导出的解析式，再分析函数的周期、零点、对称性、单调性，判断是否正确．
【详解】
解：函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，
，
的一个周期为，故①正确；
的对称轴满足：，，
当时，的图象关于对称，故②正确；
由，得，
是的一个零点，故③正确；
当时，，
在上单调递增，故④错误．
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查三角函数的平移变换、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
31．（2020·小店·山西大附中高一月考）已知函数，点是直线与函数的图象自左至右的某三个相邻交点，若，则 _____
【答案】3
【解析】
【分析】
画出示意图，分析可得，即求得的周期，从而求得，再根据两点处函数值相等及两点横坐标的关系，求得点处的函数值，得到的值，求得答案.
【详解】
作出示意图如图所示：
由，则，则，故的周期，
得，即，且，
可得，且，得,
则，得，则.
故答案为：3
【点睛】
本题考查了正弦型函数图象的应用，属于中档题.
32．（2020·渭南市尚德中学高一月考）下列命题中，正确命题的序号是______．
①函数的最小正周期是；
②终边在轴上的角的集合是；
③在同一坐标系中，函数的图像与函数图像在内有1个公共点；
④把函数的图像的对称轴是．
【答案】①④
【解析】
【分析】
利用平方差公式及二倍角公式化简函数解析式，求出周期可判断①正确；终边在轴上的角的集合是，②错误；根据正弦、余弦函数在上的图象可判断③错误；由正弦函数的对称性可求出此函数的对称轴，④正确.
【详解】
①，此函数的最小正周期为，①正确；
②终边在轴上的角的集合是，②错误；
③根据正弦、余弦函数在上的图象知在同一坐标系中，函数的图像与函数图像在内有2个公共点，③错误；
④令，解得，所以函数的图像的对称轴是，④正确.
故答案为：①④
【点睛】
本题考查正弦、余弦函数的图象与性质、终边在特殊位置上的角的集合、二倍角公式，属于中档题.
33．（2020·安徽省太和第一中学高二月考（理））若将函数的图象向左平移个单位长度，平移后的图象关于点对称，则函数在上的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据三角函数的图象变换，求得，再结合三角函数的性质，得到函数的解析式，进而求得其最小值，得到答案.
【详解】
由题意，函数，
将函数的图象向左移个单位，可得，
因为关于点对称，
所以，
又因为，可得，故，
又由，可得，所以，
所以函数的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
34．（2020·榆林市第二中学高三月考（理））已知函数的相邻两个对称中心距离为，且，将其上所有点的再向右平移个单位，纵坐标不变，横坐标变为原来的，得的图像，则的表达式为_______
【答案】.
【解析】
【分析】
利用正切函数的图象和性质，函数的图象变换规律，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，函数的相邻两个对称中心距离为，解得，
且，即，因为，解得，
所以，
将图象上的点向右平移个单位，可得，
再把所得图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，可得的图象，
即函数的解析式为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了正切函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换的应用，其中解答中熟记正切函数的图象与性质，以及熟练应用三角函数的图象变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
35．（2019·重庆市万州第二高级中学高一期中）若（），则在中，正数的个数是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据正弦函数的周期，以及数列的知识，可得结果.
【详解】
令，可知最小正周期为
且若为整数，可得为0
所以，
而共7个
共7个
其他
所以正数一共有
个
故答案为：86
【点睛】
本题主要考查正弦型函数的周期的应用，属中档题.
四、双空题
36．（2019·浙江湖州·高三一模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知tan()＝2，则sinA的值为______，若B＝，a＝4，则△ABC的面积等于___．
【答案】 16
【解析】
【分析】
利用正切的和与差化简tan()＝2．可得tanA的值，根据同角三角函数基本关系式可求得sinA的值，由正弦定理可求得b的值，同角三角函数基本关系式求cosA的值，两角和的正弦函数公式求sinC的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．
【详解】
∵由tan()＝2，可得：
∴tanA＝，即
又∵cos2A+sin2A＝1
∴解得：sinA＝
∵B＝，a＝4，sinA＝
∴由正弦定理：，可得：
∵tanA＝，sinA＝，即
∴sinC＝sin(A+B)＝sinAcosB+cosAsinB＝
∴△ABC的面积S＝absinC＝×4×4×＝16．
故答案为：，16
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题
五、多选题
37．（2020·江苏省黄桥中学月考）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．若是函数的零点，则是的整数倍
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象与函数的图象相同
D．函数的图象可由的图象先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到
【答案】BC
【解析】
【分析】
首先由三角恒等变换化简函数解析式，作出图象，数形结合判断A错误；由正弦函数的对称性可判断函数的对称性；利用三角函数诱导公式可判断C选项；根据三角函数图象变换规则可判断D选项.
【详解】
，
画出函数的图象，如图所示：
的图象与轴相邻的两个交点的距离不相等，且不为，故A错；
因为，所以函数的图象关于对称，则函数的图象关于点对称，故B正确；
函数，故C正确；
函数的图象可由先向上平移个单位，再向左平移个单位长度得到，故D错误.
故选：BC
【点睛】
本题考查三角恒等变换、正弦型函数的对称性、三角函数诱导公式及三角函数图象变换规则，属于中档题.
38．设是一个钝角三角形的两个锐角,下列四个不等式中正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据三角形内角和特点可得到，利用诱导公式可得，从而验证出正确；根据，，，结合辅助角公式和正弦函数的值域可求得正确；利用二倍角的正切公式展开，由，根据正切函数的值域和不等式的性质可验证出错误.
【详解】
设且
，正确；
且
，正确；
，正确；
，则
，即，错误.
故选：
【点睛】
本题考查与三角函数有关的不等关系的辨析问题，涉及到诱导公式、二倍角公式和辅助角公式的应用、正弦函数值域和正切函数值域的求解等知识；关键是能够根据已知得到两个角所处的范围，进而将所验证不等式化为同角问题进行求解.
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