资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩9页未读，
继续阅读
所属成套资源：2021届高三《新题速递·数学》（江苏专用）
成套系列资料，整套一键下载
专题十九 计数原理与概率及其分布-2021届高三《新题速递•数学》11月刊（江苏专用 适用于高考复习）
展开
这是一份专题十九 计数原理与概率及其分布-2021届高三《新题速递•数学》11月刊（江苏专用 适用于高考复习），文件包含专题十九计数原理与概率及其分布原卷版docx、专题十九计数原理与概率及其分布解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共53页， 欢迎下载使用。
专题十九 计数原理与概率及其分布
一、单选题
1．（2020·江苏省太湖高级中学期中）3位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ）
A．5种 B．6种 C．8种 D．9种
【答案】C
【分析】
根据题意，可得每位同学都有2种报名方法，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】
由题意，3位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，
则每位同学都有2种报名方法，则这3为同学共有种不同的报名方法，
故选：C.
【点睛】
利用分步计数原理解决问题的策略：
（1）利用分步计数原理解决问题时要注意事件发生的过程来合理分步，即分步是有先有后的顺序，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤时相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事；
（2）分步必须满足两个条件：一是各步骤相互独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成.
2．（2020·贵溪市实验中学月考）、、、、五人排一个5天的值日表，每天由一人值日，每人可以值多天或不值，但相邻的两天不能由同一人值，那么值日表的排法种数为（ ）
A．120 B．324 C．720 D．1280
【答案】D
【分析】
根据分步计数原理，结合限制条件，逐次排列，即可求解.
【详解】
根据分步计数原理，可得：
第一天可以是5个人中的任意一个，共有5种情形；
第二天除了第一天的那个人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情形；
第三天除了第二天的那个人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情形；
第四天除了第三天的那个人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情形；
第五天除了第四天的那个人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情形；
所以所有的排法总数为：种.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了分步计数原理的应用，其中解答中注意对限制条件的排列与遵循原则，属于基础题.
3．（2019·南宁市银海三美学校月考（理））如图，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有多少种（ ）
A．280 B．180 C．96 D．60
【答案】B
【分析】
按区域分四步，由分步乘法计数原理，即可求得结论.
【详解】
按区域分四步：第1步，A区域有5种颜色可选；
第2步，B区域有4种颜色可选；
第3步，C区域有3种颜色可选；
第4步，D区域也有3种颜色可选.
由分步乘法计数原理，共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案.
选选：B.
【点睛】
本题主要考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确分步是关键，属于基础题.
4．（2020·重庆期末）完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（ ）
A．5种 B．4种 C．9种 D．45种
【答案】C
【分析】
根据加法计算原理，分成两类方法相加可得选项.
【详解】
会用第一种方法的有5个人，选1个人完成这项工作有5种选择；
会用第二种方法的有4个人，选1个人完成这项工作有4种选择；两者相加一共有9种选择，
故选：C.
【点睛】
本题考查分类加法计数原理，属于基础题.
5．（2020·大名县第一中学月考）一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A､B､C三个景点及沿途风景，则不重复（除交汇点O外）的不同游览线路有（ ）
A．6种 B．8种 C．12种 D．48种
【答案】D
【分析】
由环形线路知，每个景点都有两种进出方式，以分步计数方法即可求出不同游览的线路总数.
【详解】
游览每一个景点所走环形路线都有2个出入口，
1、3个景点选一个先游览有种选法，2种进出方式，故有种；
2、2个景点选第二个游览有种选法，有2种进出方式，故有种；
3、最后一个景点有2种进出方式；
∴综上，一共有种.
故选：D
【点睛】
本题考查了分步计数原理，利用分步乘法求总计数，属于基础题.
6．（2020·云南昆明一中其他模拟（理））数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343 ，12521等.两位数的回文数有11 ，22 ，3，……，99共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是（ ）
A．40 B．30 C．20 D．10
【答案】A
【分析】
根据回文数定义，确定首位，再确定中间数，最后根据分步乘法计数原理得结果.
【详解】
由题意，若三位数的回文数是偶数，则末（首）位可能为，，，.如果末（首）位为，
中间一位数有种可能，同理可得，如果末（首）位为或或，
中间一位数均有种可能，所以有个，
故选：A
【点睛】
本题考查分步计数原理实际应用，考查基本分析求解能力，属基础题.
7．为支援边远地区教育事业的发展，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区三所不同的学校去支教，每个学校至少去1人，甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有( )
A．180种 B．150种 C．90种 D．114种
【答案】D
【分析】
先安排甲，再安排乙，最后三人分成四种情况：（1）三个人一块到第三所学校，（2）两个人到第三所学校，另一人到前两所学校中任意一所，（3）一人到第三所学校，另两个人一起到前两所学校中任意一所，（4）一人到第三所学校，两个人分别到前两所学校中任意一所；
【详解】
解：分四种情况：
（1）安排甲到一所学校有种方法，安排乙到第二所学校有种方法，余下三人一起
到第三所学校有1种方法，共有种方法；
（2）安排甲到第一所学校有种方法，安排乙到第二所学校有种方法，余下三人中两人一起到第三所学校有种方法，另一人到前两所学校中任意一所有，共有种方法；
（3）安排甲到第一所学校有种方法，安排乙到第二所学校有种方法，余下三人中一
人到第三所学校有，另两人一起到前两所学校中任意一所有，共有种方法；
（4）安排甲到第一所学校有种方法，安排乙到第二所学校有种方法，余下三人中一
人到第三所学校有，另两个人分别到前两所学校有种方法共有种方法，种方法；
综合以上有：
故选：D
【点睛】
考查分类计数原理和分布计数原理，基础题.
8．（2020·广东金山中学月考）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲､乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．8种
【答案】A
【分析】
分3步进行：①甲地选一名老师，②甲地选两个学生，③剩下的1名教师，2名学生安排到乙地，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
根据题意，分3步进行分析：
①甲地选一名老师，有种选法；
②甲地选两个学生，有种选法；
③剩下的1名教师，2名学生安排到乙地，有1种选法；
故不同的安排方案共有种；
故选：．
【点睛】
本题考查分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，恰当分步是解决本题的关键，属基础题．
9．甲、乙、丙、丁四位同学计划去4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件=“四位同学去的景点不相同”，事件=“甲同学独自去一个景点”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题意结合计数原理的知识求出所有基本事件数、发生的基本事件数、发生的基本事件数，由古典概型概率公式可得、，再利用条件概率概率公式即可得解.
【详解】
甲、乙、丙、丁四位同学计划去4个景点旅游，每人只去一个景点共有个基本事件，
甲同学独自去一个景点，共有个基本事件，则；
事件、同时发生即事件：四位同学去的景点不相同发生，共有个基本事件，则；
所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查了条件概率的求解，考查了计数原理与古典概型概率公式的应用，熟记公式、合理分步是解题关键，属于中档题.
10．（2020·辽宁期末）某同学收到的生日礼物中有同样的迷你风扇3个，同样的迷你优盘2个，从这5个礼物中取出4个，赠送给4位朋友每位朋友1个，则不同的赠送方法共有（ ）种
A．5 B．6 C．10 D．12
【答案】C
【分析】
根据题意，分2种情况讨论①选出的4件礼物为迷你风扇3个，迷你优盘1个， ②选出的4件礼物为迷你风扇2个，迷你优盘2个，分别求得其方法数，然后利用分类计数原理求解.
【详解】
根据题意，分2种情况讨论：
①选出的4件礼物为迷你风扇3个，迷你优盘1个，赠送给4位朋友，有种情况，
②选出的4件礼物为迷你风扇2个，迷你优盘2个，赠送给4位朋友，有种情况，
则有种不同的赠送方法.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查组合应用题和分类计数原理，属于基础题.
11．（2020·浙江温州·月考）若随机变量X的分布列是：
则当实数a在内增大时，（ ）
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】D
【分析】
先计算随机变量的数学期望，然后利用计算出方差的表达式，分析在上的单调性.
【详解】
∵
∴
由二次函数的性质可知，在上递减，在上递增.
故选：D.
【点睛】
本题考查随机变量的分布列及数学期望、方差的计算，准确运用公式是关键.数学期望；方差.
二、多选题
12．（2020·吕叔湘中学期中）甲、乙两类水果的质量（单位：）分别服从正态分布，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．甲类水果的平均质量
B．乙类水果的平均质量
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近
【答案】ACD
【分析】
根据正态分布图象，以及正态分布中的意义，直接判断选项.
【详解】
由图象可知，甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称，所以，，且，故AC正确，B不正确；
甲图比乙图更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故D正确.
故选：ACD
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
13．（2020·山东济南外国语学校高三月考）甲、乙等5名同学参加志愿者服务,分别到三个路口硫导交通,每个路口有1名或2名志原者,则甲、乙在同一路口的分配方案共有种数________(用数字作答).
【答案】
【分析】
甲、乙两人在同一路口时，根据题意可知:另外两人在同一路口，剩下一个在第三个路口,即可求解.
【详解】
解： 甲、乙两人在同一路口分配方案，
故答案为.
【点睛】
本题考查排列组合基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（2020·江西南昌二中其他模拟（理））高三年级毕业成人礼活动中，要求，，三个班级各出三人，组成小方阵，则来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率为__.
【答案】.
【分析】
根据题意，由排列、组合数公式计算“三个班级各出三人，组成小方阵”和“来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列”的排法，由古典概型公式计算可得答案.
【详解】
根据题意，，，三个班级各出三人，组成小方阵，有种安排方法，
若来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列，则第一行队伍的排法有种，第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；
第一行的每个位置的人员安排方法有种，第二行的每个位置的人员安排有种，第三行的每个位置的人员安排有种，
则自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率；
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查古典概型的概率求法以及排列组合的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.
15．（2020·河北月考）2020年是我国脱贫攻坚决战决胜之年，某县农业局为支持该县的扶贫工作，决定派出8名农技人员（5男3女），并分成两组，分配到2个贫困村进行扶贫工作，若每组至少3人，且每组都有男农技人员，则不同的分配方案共有______种（用数字填写答案）．
【答案】180
【分析】
分为两类：第一类是一组3人，另一组5人，第二类是两组均为4人，然后根据人数分组，再进行排列即可.
【详解】
分配的方案有两类，
第一类：一组3人，另一组5人，有种；
第二类：两组均为4人，有种，
所以共有种不同的分配方案．
故填：180
【点睛】
本题考查了分类计数原理和分步计数原理以及排列组合数的计算，属于中档题目，解题中需要注意分组的条件要充分考虑到，防止重复和遗漏.
16．（2020·大名县第一中学月考）某玩具厂参加2020年邯郸园博园产品展出，带了四款不同类型不同价格的玩具牛，它们的价格费你别是20，30，50，100，某礼品进货商想趁牛年之际搞一个玩具特卖会，准备买若干款不同类型的玩具样品（每款只购一只，且必须至少买一款），因信用卡出现故障，身上现金只剩170元，请问该礼品进货商购买玩具样品的方案有___种（用数字表示）.
【答案】13
【分析】
依题意，每款只购一只，且必须至少买一款，且消费金额不能超过170元，分三种情况讨论，分别列出所有可能情况，即可得解；
【详解】
解：依题意，每款只购一只，且必须至少买一款，且消费金额不能超过170元，
故可分为以下几种情况：
①只购买一款玩具样品，共四种方案
②购买两款玩具样品，
买20和30的各一只；买20和50的各一只；买20和100的各一只；买30和50的各一只；买30和100的各一只；买50和100的各一只；共六种方案；
③购买三款玩具样品
买20，30和50的各一只；买20，30和100的各一只；买20、50和100的各一只；
共3种方案；
所以购买玩具的方案共有13种；
故答案为：13
【点睛】
本题考查分类计数原理的应用，属于基础题.
17．如图，圆形花坛分为部分，现在这部分种植花卉，要求每部分种植种，且相邻部分不能种植同一种花卉，现有种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有______种（用数字作答）
【答案】260
【分析】
先分1，3相同与1，3不相同两类，每类中按分步计数原理，分2，4相同或不同两类求解，然后再分类计数原理求和.
【详解】
根据题意：当1，3相同时，2，4相同或不同两类，有：种，
当1，3不相同时，2，4相同或不同两类，有：种，
所以不同的种植方案共有种，
故答案为：260
【点睛】
本题主要考查计数原理的应用问题，还考查了分析求解问题的能力，所以中档题.
四、解答题
18．（2020·河南南阳·期末（理））已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行测试，直至找出所有的次品为止.
（1）若恰在第5次测试后就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是多少？
（2）若恰在第2次测试才测试到第1件次品，第7次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
【答案】（1）576种；（2）17280种.
【分析】
（1）由已知得第5次测试的产品恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，且前4次有一件正品出现，根据排列组合知识可得不同的测试方法总数；
（2）由已知分3步进行分析：先排第1次测试，只能取正品，再从4件次品中选2件排在第2次和第7次的位置上测试，最后排余下4件的测试位置，再每一步中运用排列组合知识，再由分步乘法原理可得测试方法总数.
【详解】
（1）根据题意，若恰在第5次测试后就找出了所有次品，
即第5次测试的产品恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，
则前4次有一件正品出现，所以共有种不同的测试方法；
（2）根据题意，分3步进行分析：
先排第1次测试，只能取正品，有6种不同的测试方法，
再从4件次品中选2件排在第2次和第7次的位置上测试，有种测试方法，
最后排余下4件的测试位置，有种测试方法.
所以共有种不同的测试方法.
【点睛】
本题考查分类、分步计数原理，综合考查排列组合知识，属于中档题.
19．（2020·东莞市东华高级中学月考）某学校为了了解学生暑假期间学习数学的情况，抽取了人数相等的甲、乙两班进行调查，甲班同学每天学习数学的平均时间的频率分布直方图（将时间分成共6组）和乙班同学每天学习数学的平均时间的频数分布表如图所示（单位：小时）.
（1）从甲班每天学习数学的平均时间在的人中随机选出3人，求3人中恰有1人学习数学的平均时间在范围内的概率；
（2）从甲、乙两个班每天学习数学平均时间不小于5个小时的学生中随机抽取4人进一步了解其他情况，设4人中乙班学生的人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【分析】
（1）先求出甲班的总人数，再利用频率分布直方图求出甲班在[0，1），[1，2）的人数，从而可以计算出抽取 3人中恰有1人学习数学的平均时间在范围内的概率；（2）首先计算出甲，乙两班中数学平均时间在区间[5，6]的人数，从而可以得到随机变量的取值，并计算出对应的概率，写出随机变量的分布列，即可计算出随机变量的数学期望.
【详解】
（1）因为乙班学生的总人数为2+5+10+16+14+3=50，
所以甲班中学习平均时间在[0，1）内的人数为50×0.04=2，
甲班中学习平均时间在[1，2）内的人数为50×0.08=4.
设“3人中恰有1人学习数学的平均时间在[0，1）范围内”为事件，
则；
（2）甲班学习数学平均时间在区间[5，6]的人数为50×0.08=4.
由频数分布表知乙班学习数学平均时间在区间[5，6]的人数为3，
两班中学习数学平均时间不小于5小时的同学共7人，的所有可能取值为0，1，2，3.
，
，
，
.
所以的分布列为
0
1
2
3
.
【点睛】
思路点睛：离散型随机变量分布列：
（1）明取值；（2）求概率；（3）画表格；（4）做检验.
20．（2020·湖南长沙一中月考）甲、乙两人组成“虎队”代表班级参加学校体育节的篮球投篮比赛活动，每轮活动由甲、乙两人各投篮一次，在一轮活动中，如果两人都投中，则“虎队”得3分；如果只有一个人投中，则“虎队”得1分；如果两人都没投中，则“虎队”得0分.已知甲每轮投中的概率是，乙每轮投中的概率是；每轮活动中甲、乙投中与否互不影响.各轮结果亦互不影响.
（1）假设“虎队”参加两轮活动，求：“虎队”至少投中3个的概率；
（2）①设“虎队”两轮得分之和为，求的分布列；
②设“虎队”轮得分之和为，求的期望值.（参考公式）
【答案】（1）；（2）①答案见解析；②.
【分析】
（1）设甲、乙在第轮投中分别记作事件，，“虎队”至少投中3个记作事件，根据相互独立事件的概率公式，即可求解.
（2）①“虎队”两轮得分之和的可能取值为：0，1，2，3，4，6，求得相应的概率，得到分布列；②得到，求得相应的概率，结合期望的公式，即可求解.
【详解】
（1）设甲、乙在第轮投中分别记作事件，，“虎队”至少投中3个记作事件，
则
.
（2）①“虎队”两轮得分之和的可能取值为：0，1，2，3，4，6，
则，
，
，
，
，.
故的分布列如下图所示：
0
1
2
3
4
6
②，，
，，
∴，.
【点睛】
本题主要考查了相互独立事件的概率计算，以及离散型随机变量的分布列及数学期望，其中解答中熟记相互独立事件概率的计算公式，以及求得随机变量取值的概率，得到分布列是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.
21．（2020·吕叔湘中学月考）为了拓展城市的旅游业，实现不同市区间的物资交流，政府决定在A市与B市之间建一条直达公路，中间设有至少8个的偶数个十字路口，记为2m，现规划在每个路口处种植一颗杨树或者木棉树，且种植每种树木的概率均为.
（1）现征求两市居民的种植意见，看看哪一种植物更受欢迎，得到的数据如下所示：
A市居民
B市居民
喜欢杨树
300
200
喜欢木棉树
250
250
是否有99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性；
（2）若从所有的路口中随机抽取4个路口，恰有X个路口种植杨树，求X的分布列以及数学期望；
附：
P(K2≥k)
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
【答案】（1）没有99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性；（2）分布列答案见解析，数学期望：.
【分析】
（1）根据题中数据，计算，再结合临界值表，即可得出结果；
（2）根据题中条件，先得到的可能取值为0，1，2，3，4，且，根据二项分布的概率计算公式求出分布列，进而可得数学期望.
【详解】
（1）由题中条件可得，，
故没有99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性；
（2）依题意，的可能取值为0，1，2，3，4，且，
故，，
，
所以的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
故数学期望为.
【点睛】
思路点睛：
求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）
22．（2020·湖南郴州·月考）某蔬菜种植基地有一批蔬菜需要两天内采摘完毕，天气预报显示这两天每天是否有雨相互独立，无雨的概率都为0.8.现有两种方案可以选择：
方案一：基地人员自己采摘，不额外聘请工人，需要两天完成，两天都无雨收益为2万元，只有一天有雨收益为1万元，两天都有雨收益为0.75万元.
方案二：基地额外聘请工人，只要一天就可以完成采摘.当天无雨收益为2万元，有雨收益为1万元.额外聘请工人的成本为万元.
问：（1）若不额外聘请工人，写出基地收益的分布列及基地的预期收益；
（2）该基地是否应该外聘工人？请说明理由.
【答案】（1）分布列见解析；期望为万元；（2）答案不唯一，具体见解析.
【分析】
（1）求出每种收益情况的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式进行求解即可；
（2）根据题意求出基地额外聘请工人情况下的数学期望，结合（1）中数据，利用比较法分类讨论进行判断即可.
【详解】
（1）基地收益的可能值为2，1，0.75，
因为两天每天无雨的概率都为0.8，所以两天每天有雨的概率都为，
则，
，
，
故的分布列为
2
1
0.75
0.64
0.32
0.04
则.
（2）设基地额外聘请工人时的收益为万元，则其预期收益
，
，
当时，即时，不外聘工人；
当时，即时，外聘工人；
当时，即时，是否外聘工人均可以，
综上可得，当额外聘请工人的成本高于0.17万元时，不外聘工人，
当成本低于0.17万元时，外聘工人，
当成本恰为0.17万元时，是否外聘工人均可以.
【点睛】
本题考查了离散型随机变量分布列，考查了数学期望的应用，考查了数学阅读能力和数学运算能力.
23．（2020·蕉岭县蕉岭中学月考）中国网络教育快速发展以来，中学生的学习方式发生了巨大转变.近年来，网络在线学习已成为重要的学习方式之一.为了解某学校上个月，两种网络学习方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人进行调查，发现，两种学习方式都不使用的有15人，仅使用和仅使用的学生的学习时间分布情况如下：
（1）用这100人使用，两种学习方式的频率来代替概率，从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月，两种学习方式都使用的概率；
（2）以频率代替概率从全校仅使用和仅使用的学生中各随机抽取2人，以表示这4人当中上个月学习时间大于10小时的人数，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，1.8.
【分析】
（1）求出两种学习方式都使用的人数，即可估计出概率；
（2）可知可能的取值为0，1，2，3，4，求出各取值的概率即可列出分布列，求出数学期望.
【详解】
（1）记：该学生上个月，两种学习方式都使用为事件.
由题意可知，两种学习方式都使用的人数为：人，
该学生上个月，两种学习方式都使用的概率.
（2）由题意可知，仅使用学习方式的学生中，学习时间不大于10小时的人数占，时间大于10小时的人数占，仅使用学习方式的学生中，学习时间不大于10小时的人数占，时间大于10小时的人数占，可能的取值为0，1，2，3，4.
，
，
，
，
.
∴的分布列：
0
1
2
3
4
数学期望.
24．（2020·凯里市第三中学月考（理））北京是历史悠久的千年古都，现在是中国的政治、经济、文化等多领域的中心，历史文化积淀深厚，自然人文景观丰富，科学技术发达，教育资源众多，成为当代绝大多数人的理想向往之地．凯里市为了将来更好的推进“研学游学”项目来丰富中学生的课余生活，帮助中学生树立崇高理想，更好地实现人生价值．为了更好了解学生的喜好情况，某组织负责人把项目分为历史人文游、科技体验游、自然风光游三种类型，并在全市中学中随机抽取10所学校学生意向选择喜好类型，统计如下：
类型
历史人文游
科技体验游
自然风光游
学校数
4
4
2
在这10所中小学中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游学意向类型的概率（假设每所学校在选择研学游学类型时仅能选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响）．
（1）若这3所学校选择的研学游学类型是历史人文游、自然风光游，求这两种都有学校选择的概率；
（2）设这3所学校中选择科技体验游学校的随机数，求的分布列与数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，．
【分析】
（1）先求学校选择历史人文游、科技体验游、自然风光游的概率，根据互斥事件的概率加法公式可得答案.
（2）求出的所有可能值及对应的概率，列出分布列，求出期望.
【详解】
（1）由题设学校选择历史人文游、科技体验游、自然风光游的概率分别为、、，则易知，，，
所以这3所学校选择的研学游学类型是历史人文游、自然风光游的概率为
；
（2）由题知这3所学校中选择科技体验游学校的概率为，
选择非科技体验游学校的概率为，
所以的所有可能值有：0，1，2，3，
则，
，
，
，
所以的分布列如下：
0
1
2
3
所以的数学期望为．
【点睛】
考查了随机变量的分布列及期望，对于二项分布的期望可以有公式得到； 对于互斥事件的概率与独立事件的概率，确定出事件间的相互关系是正确利用公式的前提.
25．（2020·内蒙古其他模拟（理））在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求.某学生小组通过问卷调査，随机收集了和该区居民的日常生活习惯有关的六类数据.分别是：（1）卫生习惯；（2）垃圾处理；（3）体育锻炼；（4）心理健康；（5）膳食合理；（6）作息规律.经过数据整理，得如表：
卫生习惯
垃圾处理
体育锻炼
心理健康
膳食合理
作息规律
有效答卷份数
380
550
330
410
400
430
习惯良好频率
0.6
0.9
0.8
0.7
0.65
0.6
假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，且各类调查的结果相互独立.
（1）从该小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是“垃圾处理”中习惯良好者的概率；
（2）从“体育锻炼”和“心理健康”两类中各随机选取一份，估计恰有一份是具有良好习惯的概率；
（3）利用上述六类习惯调查的排序，即“卫生习惯”是第一类，“垃圾处理”是第二类“作息规律”是第六类用“”表示任选一位第类受访者是习惯良好者，“”表示任选一位第类受访者不是习惯良好者，2，3，4，5，.求出方差，，2，3，4，5，，并由小到大排序.
【答案】（1）；（2）；（3）见解析.
【分析】
（1）记事件为：从该小组收集的有效答卷中随机选取1份，这份试卷的调查结果是“垃圾处理”中习惯良好者“，由古典概型能求出这份试卷的调查结果是“垃圾处理”中习惯良好者的概率.
（2）从“体育锻炼”和“心理健康”两类中各随机选取一份，设事件为：恰有一份是具有良好习惯，由相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能估计恰有一份是具有良好习惯的概率为.
（3）分别求出分布列、数学期望和方差，由此能求出.
【详解】
（1）记事件为：从该小组收集的有效答卷中随机选取1份，这份试卷的调查结果是“垃圾处理”中习惯良好者“，从该小组收集的有效答卷中随机选取1份，
由数据整理统计表得这份试卷的调查结果是“垃圾处理”中习惯良好者的概率为：
（A）.
（2）从“体育锻炼”和“心理健康”两类中各随机选取一份，
设事件为：恰有一份是具有良好习惯，
从“体育锻炼”和“心理健康”两类中各随机选取一份，
由相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式估计恰有一份是具有良好习惯的概率为：（B）.
（3）由题意得：
1
0
0.6
0.4
，，
1
0
0.9
0.1
，，
1
0
0.8
0.2
，，
1
0
0.7
0.3
，，
1
0
0.65
0.35
，，
1
0
0.6
0.4
，，
.
【点睛】
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查学生运用数学基础知识解决实际问题的能力，是中档题.
26．（2020·湖南永州·月考）某市为了在全市营造“浪费可耻、节约为荣”的氛围，制定施行“光盘行动”有关政策，为进一步了解此项政策对市民的影响程度，市政府在全市随机抽取了名市民进行调查，其中男士与女士的人数之比为，男士中有人表示政策无效，女士中有人表示政策有效.
（1）根据下列列联表写出和的值，并判断能否有的把握认为“政策是否有效与性别有关”；
政策有效
政策无效
总计
男生
女生
合计
（2）从被调查的市民中，采取分层抽样方法抽取名市民，再从这名市民中任意抽取名，对政策的有效性进行调研分析，设随机变量表示抽取到的名市民中女士的人数，求的分布列及数学期望.
参考公式： .
【答案】（1），，没有；（2）答案见解析，.
【分析】
（1）男士人数为，女士人数为，即可填写列联表，计算出的值，与独立性检验判断表比较作出判断.
（2）利用分层抽样抽取10名市民，男士抽取人，女士抽取4人，利用古典概型计算求得的分布列为和数学期望.
【详解】
解：（1）由题意知，男士人数为，女士人数为，
由此填写列联表如下：
政策有效
政策无效
总计
男生
50
10
60
女生
25
15
40
合计
75
25
100
可知 ，
由表中数据，计算
所以没有的把握认为对“政策是否有效与性别有关”；
（2）从被调查的该餐饮机构的市民中，利用分层抽样抽取10名市民，
男士抽取人，女士抽取4人，
随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，
，，
，
所以的分布列为
0
1
2
3
4
数学期望为：.
【点睛】
本题考查本题考查独立性检验和随机变量的概率及数学期望.属于基础题.
27．（2018·安徽淮北·月考（理））某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况,从产品中随机抽取了个进行测量,根据所测量的数据画出频率分布直方图如下:
注:尺寸数据在内的零件为合格品,频率作为概率.
(Ⅰ) 从产品中随机抽取件,合格品的个数为,求的分布列与期望；
(Ⅱ) 从产品中随机抽取件,全是合格品的概率不小于,求的最大值；
(Ⅲ) 为了提高产品合格率,现提出两种不同的改进方案进行试验.若按方案进行试验后,随机抽取件产品,不合格个数的期望是；若按方案试验后,抽取件产品,不合格个数的期望是,你会选择哪个改进方案?
【答案】(Ⅰ)分布列见解析，； (Ⅱ)； (Ⅲ)选择方案.
【分析】
(Ⅰ)先根据直方图求出合格率，然后求出ξ的可能取值和相应的概率，作分布列，再利用随机变量的分布列进行求期望；
(Ⅱ)根据n件产品都合格的概率大于等于0.3，列不等式求解n的最大值；
(Ⅲ)根据期望求出A，B方案不合格的概率，即可选择.
【详解】
(Ⅰ)由直方图可知,抽出产品为合格品的频率为,即抽出产品为合格品的概率为, 从产品中随机抽取件,合格品的个数的所有可能取值为且 ,,, ,, 所以的分布列为
故数学期望
(Ⅱ) 随机抽取件,全是合格品的概率为,依题意,故的最大值为.
(Ⅲ) 按方案随机抽取产品不合格的概率是,随机抽取件产品,不合格个数；
按方案随机抽取产品不合格的概率是,随机抽取件产品,不合格个数,
依题意,,解得,
因为,所以应选择方案.
【点睛】
本题考查了频率直方图的实际应用，利用二项分布的概念求分布列，以及二项分布期望计算，以及期望的实际应用，考查学生的计算能力；若 则 .
28．（2020·湖北随州·期末）疫情过后，为促进居民消费，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到500元则可参加一轮抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.在一个不透明的盒子中装有6个质地均匀且大小相同的小球，其中2个红球，4个白球，搅拌均匀.
方案一：顾客从盒子中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得50元的返金券，若抽到白球则获得30元的返金券，可以有放回地抽取3次，最终获得的返金券金额累加.
方案二：顾客从盒子中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得100元的返金券，若抽到白球则不获得返金券，可以有放回地抽取3次，最终获得的返金券金额累加.
（1）方案一中，设顾客抽取3次后最终可能获得的返金券的金额为X，求X的分布列；
（2）若某顾客获得抽奖机会，试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望，并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适.
【答案】（1）答案见解析；（2）方案一数学期望为（元），方案二数学期望为100（元）；方案一.
【分析】
（1）先由题意，得到方案一和方案二中单次抽到红球的概率为，抽到白球的概率为，确定X的可能取值，再分别求出对应的概率，即可得出分布列；
（2）先由（1）得出选择方案一时最终获得返金券金额的数学期望；选择方案二时，设摸到红球的次数为Y，最终可能获得返金券金额为Z元，根据题意，得到，求出对应的期望，比较大小，即可得出结果.
【详解】
（1）由题意易知，方案一和方案二中单次抽到红球的概率为，抽到白球的概率为，
依题意，X的取值可能为90，110，130，150.
且，
，
其分布列为
X
90
110
130
150
p
（2）由（1）知选择方案一时最终获得返金券金额的数学期望为
（元），
选择方案二时，设摸到红球的次数为Y，最终可能获得返金券金额为Z元，
由题意可知，，得
由可知，该顾客应该选择方案一抽奖.
【点睛】
思路点睛：
求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.
29．（2020·湖北期中）某款游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次，若出现一次音乐获得1分，若出现两次音乐获得2分，若出现三次音乐获得5分，若没有出现音乐则扣15分(即获得分).设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.
（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列.
（2）玩三盘此游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的人发现，若干盘游戏后，与最初的得分相比，得分没有增加反而减少了.请你分析得分减少的原因.
【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）答案见解析.
【分析】
（1）根据击鼓三次，出现一次音乐获得1分，若出现两次音乐获得2分，若出现三次音乐获得5分，若没有出现音乐则扣15分，得到X可能的取值为1，2，5，，然后分别求得其相应概率，列出分布列；
（2）设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件，根据每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立得到，然后利用对立事件的概率求解.
（3）根据（1）的结论，算出随机变量X的数学期望即可.
【详解】
（1）X可能的取值为1，2，5，
根据题意，有，
，
，
.
所以X的分布列为：
X
1
2
5
P
（2）设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件，
则.
所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为.
因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是
（3）由（1）知，随机变量X的数学期望为.
这表明，获得分数X的均值为负.
因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大.
【点睛】
本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的应用以及独立事件和对立事件的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
30．（2020·济南市历城第二中学月考）共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚．某市有统计数据显示，2020年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示．若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁－39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”．已知在“经常使用单车用户”中有是“年轻人”．
（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列列联表，并根据列联表的独立性检验，判断是否有85%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关？
年轻人
非年轻人
合计
经常使用单车用户
120
不常使用单车用户
80
合计
160
40
200
使用共享单车情况与年龄列联表
（2）将（1）中频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量，求的分布列与期望．
参考数据：独立性检验界值表
0.15
0.10
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
其中，，
【答案】（1）列联表见解析，有的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关；（2）分布列见解析，数学期望为．
【分析】
（1）补全的列联表，利用公式求得，即可得到结论；
（2）由（1）的列联表可知，经常使用单车的“非年轻人”的概率，即可利用独立重复试验求解随机变量取每个数值的概率，列出分布列，求解数学期望.
【详解】
（1）补全的列联表如下：
年轻人
非年轻人
合计
经常使用共享单车
100
20
120
不常使用共享单车
60
20
80
合计
160
40
200
于是，，，，
∴，
即有的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关．
（2）由（1）的列联表可知，
经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为，
即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1，
∵，
∴，
，，
∴的分布列为
0
1
2
3
0.729
0.243
0.027
0.001．
∴的数学期望．
【点睛】
本题主要考查了列联表,独立性检验，二项分布，二项分布的期望，属于中档题.
专题十九 计数原理与概率及其分布
一、单选题
1．（2020·江苏省太湖高级中学期中）3位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ）
A．5种 B．6种 C．8种 D．9种
【答案】C
【分析】
根据题意，可得每位同学都有2种报名方法，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】
由题意，3位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，
则每位同学都有2种报名方法，则这3为同学共有种不同的报名方法，
故选：C.
【点睛】
利用分步计数原理解决问题的策略：
（1）利用分步计数原理解决问题时要注意事件发生的过程来合理分步，即分步是有先有后的顺序，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤时相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事；
（2）分步必须满足两个条件：一是各步骤相互独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成.
2．（2020·贵溪市实验中学月考）、、、、五人排一个5天的值日表，每天由一人值日，每人可以值多天或不值，但相邻的两天不能由同一人值，那么值日表的排法种数为（ ）
A．120 B．324 C．720 D．1280
【答案】D
【分析】
根据分步计数原理，结合限制条件，逐次排列，即可求解.
【详解】
根据分步计数原理，可得：
第一天可以是5个人中的任意一个，共有5种情形；
第二天除了第一天的那个人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情形；
第三天除了第二天的那个人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情形；
第四天除了第三天的那个人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情形；
第五天除了第四天的那个人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情形；
所以所有的排法总数为：种.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了分步计数原理的应用，其中解答中注意对限制条件的排列与遵循原则，属于基础题.
3．（2019·南宁市银海三美学校月考（理））如图，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有多少种（ ）
A．280 B．180 C．96 D．60
【答案】B
【分析】
按区域分四步，由分步乘法计数原理，即可求得结论.
【详解】
按区域分四步：第1步，A区域有5种颜色可选；
第2步，B区域有4种颜色可选；
第3步，C区域有3种颜色可选；
第4步，D区域也有3种颜色可选.
由分步乘法计数原理，共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案.
选选：B.
【点睛】
本题主要考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确分步是关键，属于基础题.
4．（2020·重庆期末）完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（ ）
A．5种 B．4种 C．9种 D．45种
【答案】C
【分析】
根据加法计算原理，分成两类方法相加可得选项.
【详解】
会用第一种方法的有5个人，选1个人完成这项工作有5种选择；
会用第二种方法的有4个人，选1个人完成这项工作有4种选择；两者相加一共有9种选择，
故选：C.
【点睛】
本题考查分类加法计数原理，属于基础题.
5．（2020·大名县第一中学月考）一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A､B､C三个景点及沿途风景，则不重复（除交汇点O外）的不同游览线路有（ ）
A．6种 B．8种 C．12种 D．48种
【答案】D
【分析】
由环形线路知，每个景点都有两种进出方式，以分步计数方法即可求出不同游览的线路总数.
【详解】
游览每一个景点所走环形路线都有2个出入口，
1、3个景点选一个先游览有种选法，2种进出方式，故有种；
2、2个景点选第二个游览有种选法，有2种进出方式，故有种；
3、最后一个景点有2种进出方式；
∴综上，一共有种.
故选：D
【点睛】
本题考查了分步计数原理，利用分步乘法求总计数，属于基础题.
6．（2020·云南昆明一中其他模拟（理））数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343 ，12521等.两位数的回文数有11 ，22 ，3，……，99共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是（ ）
A．40 B．30 C．20 D．10
【答案】A
【分析】
根据回文数定义，确定首位，再确定中间数，最后根据分步乘法计数原理得结果.
【详解】
由题意，若三位数的回文数是偶数，则末（首）位可能为，，，.如果末（首）位为，
中间一位数有种可能，同理可得，如果末（首）位为或或，
中间一位数均有种可能，所以有个，
故选：A
【点睛】
本题考查分步计数原理实际应用，考查基本分析求解能力，属基础题.
7．为支援边远地区教育事业的发展，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区三所不同的学校去支教，每个学校至少去1人，甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有( )
A．180种 B．150种 C．90种 D．114种
【答案】D
【分析】
先安排甲，再安排乙，最后三人分成四种情况：（1）三个人一块到第三所学校，（2）两个人到第三所学校，另一人到前两所学校中任意一所，（3）一人到第三所学校，另两个人一起到前两所学校中任意一所，（4）一人到第三所学校，两个人分别到前两所学校中任意一所；
【详解】
解：分四种情况：
（1）安排甲到一所学校有种方法，安排乙到第二所学校有种方法，余下三人一起
到第三所学校有1种方法，共有种方法；
（2）安排甲到第一所学校有种方法，安排乙到第二所学校有种方法，余下三人中两人一起到第三所学校有种方法，另一人到前两所学校中任意一所有，共有种方法；
（3）安排甲到第一所学校有种方法，安排乙到第二所学校有种方法，余下三人中一
人到第三所学校有，另两人一起到前两所学校中任意一所有，共有种方法；
（4）安排甲到第一所学校有种方法，安排乙到第二所学校有种方法，余下三人中一
人到第三所学校有，另两个人分别到前两所学校有种方法共有种方法，种方法；
综合以上有：
故选：D
【点睛】
考查分类计数原理和分布计数原理，基础题.
8．（2020·广东金山中学月考）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲､乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．8种
【答案】A
【分析】
分3步进行：①甲地选一名老师，②甲地选两个学生，③剩下的1名教师，2名学生安排到乙地，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
根据题意，分3步进行分析：
①甲地选一名老师，有种选法；
②甲地选两个学生，有种选法；
③剩下的1名教师，2名学生安排到乙地，有1种选法；
故不同的安排方案共有种；
故选：．
【点睛】
本题考查分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，恰当分步是解决本题的关键，属基础题．
9．甲、乙、丙、丁四位同学计划去4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件=“四位同学去的景点不相同”，事件=“甲同学独自去一个景点”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题意结合计数原理的知识求出所有基本事件数、发生的基本事件数、发生的基本事件数，由古典概型概率公式可得、，再利用条件概率概率公式即可得解.
【详解】
甲、乙、丙、丁四位同学计划去4个景点旅游，每人只去一个景点共有个基本事件，
甲同学独自去一个景点，共有个基本事件，则；
事件、同时发生即事件：四位同学去的景点不相同发生，共有个基本事件，则；
所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查了条件概率的求解，考查了计数原理与古典概型概率公式的应用，熟记公式、合理分步是解题关键，属于中档题.
10．（2020·辽宁期末）某同学收到的生日礼物中有同样的迷你风扇3个，同样的迷你优盘2个，从这5个礼物中取出4个，赠送给4位朋友每位朋友1个，则不同的赠送方法共有（ ）种
A．5 B．6 C．10 D．12
【答案】C
【分析】
根据题意，分2种情况讨论①选出的4件礼物为迷你风扇3个，迷你优盘1个， ②选出的4件礼物为迷你风扇2个，迷你优盘2个，分别求得其方法数，然后利用分类计数原理求解.
【详解】
根据题意，分2种情况讨论：
①选出的4件礼物为迷你风扇3个，迷你优盘1个，赠送给4位朋友，有种情况，
②选出的4件礼物为迷你风扇2个，迷你优盘2个，赠送给4位朋友，有种情况，
则有种不同的赠送方法.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查组合应用题和分类计数原理，属于基础题.
11．（2020·浙江温州·月考）若随机变量X的分布列是：
则当实数a在内增大时，（ ）
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】D
【分析】
先计算随机变量的数学期望，然后利用计算出方差的表达式，分析在上的单调性.
【详解】
∵
∴
由二次函数的性质可知，在上递减，在上递增.
故选：D.
【点睛】
本题考查随机变量的分布列及数学期望、方差的计算，准确运用公式是关键.数学期望；方差.
二、多选题
12．（2020·吕叔湘中学期中）甲、乙两类水果的质量（单位：）分别服从正态分布，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．甲类水果的平均质量
B．乙类水果的平均质量
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近
【答案】ACD
【分析】
根据正态分布图象，以及正态分布中的意义，直接判断选项.
【详解】
由图象可知，甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称，所以，，且，故AC正确，B不正确；
甲图比乙图更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故D正确.
故选：ACD
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
13．（2020·山东济南外国语学校高三月考）甲、乙等5名同学参加志愿者服务,分别到三个路口硫导交通,每个路口有1名或2名志原者,则甲、乙在同一路口的分配方案共有种数________(用数字作答).
【答案】
【分析】
甲、乙两人在同一路口时，根据题意可知:另外两人在同一路口，剩下一个在第三个路口,即可求解.
【详解】
解： 甲、乙两人在同一路口分配方案，
故答案为.
【点睛】
本题考查排列组合基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（2020·江西南昌二中其他模拟（理））高三年级毕业成人礼活动中，要求，，三个班级各出三人，组成小方阵，则来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率为__.
【答案】.
【分析】
根据题意，由排列、组合数公式计算“三个班级各出三人，组成小方阵”和“来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列”的排法，由古典概型公式计算可得答案.
【详解】
根据题意，，，三个班级各出三人，组成小方阵，有种安排方法，
若来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列，则第一行队伍的排法有种，第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；
第一行的每个位置的人员安排方法有种，第二行的每个位置的人员安排有种，第三行的每个位置的人员安排有种，
则自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率；
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查古典概型的概率求法以及排列组合的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.
15．（2020·河北月考）2020年是我国脱贫攻坚决战决胜之年，某县农业局为支持该县的扶贫工作，决定派出8名农技人员（5男3女），并分成两组，分配到2个贫困村进行扶贫工作，若每组至少3人，且每组都有男农技人员，则不同的分配方案共有______种（用数字填写答案）．
【答案】180
【分析】
分为两类：第一类是一组3人，另一组5人，第二类是两组均为4人，然后根据人数分组，再进行排列即可.
【详解】
分配的方案有两类，
第一类：一组3人，另一组5人，有种；
第二类：两组均为4人，有种，
所以共有种不同的分配方案．
故填：180
【点睛】
本题考查了分类计数原理和分步计数原理以及排列组合数的计算，属于中档题目，解题中需要注意分组的条件要充分考虑到，防止重复和遗漏.
16．（2020·大名县第一中学月考）某玩具厂参加2020年邯郸园博园产品展出，带了四款不同类型不同价格的玩具牛，它们的价格费你别是20，30，50，100，某礼品进货商想趁牛年之际搞一个玩具特卖会，准备买若干款不同类型的玩具样品（每款只购一只，且必须至少买一款），因信用卡出现故障，身上现金只剩170元，请问该礼品进货商购买玩具样品的方案有___种（用数字表示）.
【答案】13
【分析】
依题意，每款只购一只，且必须至少买一款，且消费金额不能超过170元，分三种情况讨论，分别列出所有可能情况，即可得解；
【详解】
解：依题意，每款只购一只，且必须至少买一款，且消费金额不能超过170元，
故可分为以下几种情况：
①只购买一款玩具样品，共四种方案
②购买两款玩具样品，
买20和30的各一只；买20和50的各一只；买20和100的各一只；买30和50的各一只；买30和100的各一只；买50和100的各一只；共六种方案；
③购买三款玩具样品
买20，30和50的各一只；买20，30和100的各一只；买20、50和100的各一只；
共3种方案；
所以购买玩具的方案共有13种；
故答案为：13
【点睛】
本题考查分类计数原理的应用，属于基础题.
17．如图，圆形花坛分为部分，现在这部分种植花卉，要求每部分种植种，且相邻部分不能种植同一种花卉，现有种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有______种（用数字作答）
【答案】260
【分析】
先分1，3相同与1，3不相同两类，每类中按分步计数原理，分2，4相同或不同两类求解，然后再分类计数原理求和.
【详解】
根据题意：当1，3相同时，2，4相同或不同两类，有：种，
当1，3不相同时，2，4相同或不同两类，有：种，
所以不同的种植方案共有种，
故答案为：260
【点睛】
本题主要考查计数原理的应用问题，还考查了分析求解问题的能力，所以中档题.
四、解答题
18．（2020·河南南阳·期末（理））已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行测试，直至找出所有的次品为止.
（1）若恰在第5次测试后就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是多少？
（2）若恰在第2次测试才测试到第1件次品，第7次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
【答案】（1）576种；（2）17280种.
【分析】
（1）由已知得第5次测试的产品恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，且前4次有一件正品出现，根据排列组合知识可得不同的测试方法总数；
（2）由已知分3步进行分析：先排第1次测试，只能取正品，再从4件次品中选2件排在第2次和第7次的位置上测试，最后排余下4件的测试位置，再每一步中运用排列组合知识，再由分步乘法原理可得测试方法总数.
【详解】
（1）根据题意，若恰在第5次测试后就找出了所有次品，
即第5次测试的产品恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，
则前4次有一件正品出现，所以共有种不同的测试方法；
（2）根据题意，分3步进行分析：
先排第1次测试，只能取正品，有6种不同的测试方法，
再从4件次品中选2件排在第2次和第7次的位置上测试，有种测试方法，
最后排余下4件的测试位置，有种测试方法.
所以共有种不同的测试方法.
【点睛】
本题考查分类、分步计数原理，综合考查排列组合知识，属于中档题.
19．（2020·东莞市东华高级中学月考）某学校为了了解学生暑假期间学习数学的情况，抽取了人数相等的甲、乙两班进行调查，甲班同学每天学习数学的平均时间的频率分布直方图（将时间分成共6组）和乙班同学每天学习数学的平均时间的频数分布表如图所示（单位：小时）.
（1）从甲班每天学习数学的平均时间在的人中随机选出3人，求3人中恰有1人学习数学的平均时间在范围内的概率；
（2）从甲、乙两个班每天学习数学平均时间不小于5个小时的学生中随机抽取4人进一步了解其他情况，设4人中乙班学生的人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【分析】
（1）先求出甲班的总人数，再利用频率分布直方图求出甲班在[0，1），[1，2）的人数，从而可以计算出抽取 3人中恰有1人学习数学的平均时间在范围内的概率；（2）首先计算出甲，乙两班中数学平均时间在区间[5，6]的人数，从而可以得到随机变量的取值，并计算出对应的概率，写出随机变量的分布列，即可计算出随机变量的数学期望.
【详解】
（1）因为乙班学生的总人数为2+5+10+16+14+3=50，
所以甲班中学习平均时间在[0，1）内的人数为50×0.04=2，
甲班中学习平均时间在[1，2）内的人数为50×0.08=4.
设“3人中恰有1人学习数学的平均时间在[0，1）范围内”为事件，
则；
（2）甲班学习数学平均时间在区间[5，6]的人数为50×0.08=4.
由频数分布表知乙班学习数学平均时间在区间[5，6]的人数为3，
两班中学习数学平均时间不小于5小时的同学共7人，的所有可能取值为0，1，2，3.
，
，
，
.
所以的分布列为
0
1
2
3
.
【点睛】
思路点睛：离散型随机变量分布列：
（1）明取值；（2）求概率；（3）画表格；（4）做检验.
20．（2020·湖南长沙一中月考）甲、乙两人组成“虎队”代表班级参加学校体育节的篮球投篮比赛活动，每轮活动由甲、乙两人各投篮一次，在一轮活动中，如果两人都投中，则“虎队”得3分；如果只有一个人投中，则“虎队”得1分；如果两人都没投中，则“虎队”得0分.已知甲每轮投中的概率是，乙每轮投中的概率是；每轮活动中甲、乙投中与否互不影响.各轮结果亦互不影响.
（1）假设“虎队”参加两轮活动，求：“虎队”至少投中3个的概率；
（2）①设“虎队”两轮得分之和为，求的分布列；
②设“虎队”轮得分之和为，求的期望值.（参考公式）
【答案】（1）；（2）①答案见解析；②.
【分析】
（1）设甲、乙在第轮投中分别记作事件，，“虎队”至少投中3个记作事件，根据相互独立事件的概率公式，即可求解.
（2）①“虎队”两轮得分之和的可能取值为：0，1，2，3，4，6，求得相应的概率，得到分布列；②得到，求得相应的概率，结合期望的公式，即可求解.
【详解】
（1）设甲、乙在第轮投中分别记作事件，，“虎队”至少投中3个记作事件，
则
.
（2）①“虎队”两轮得分之和的可能取值为：0，1，2，3，4，6，
则，
，
，
，
，.
故的分布列如下图所示：
0
1
2
3
4
6
②，，
，，
∴，.
【点睛】
本题主要考查了相互独立事件的概率计算，以及离散型随机变量的分布列及数学期望，其中解答中熟记相互独立事件概率的计算公式，以及求得随机变量取值的概率，得到分布列是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.
21．（2020·吕叔湘中学月考）为了拓展城市的旅游业，实现不同市区间的物资交流，政府决定在A市与B市之间建一条直达公路，中间设有至少8个的偶数个十字路口，记为2m，现规划在每个路口处种植一颗杨树或者木棉树，且种植每种树木的概率均为.
（1）现征求两市居民的种植意见，看看哪一种植物更受欢迎，得到的数据如下所示：
A市居民
B市居民
喜欢杨树
300
200
喜欢木棉树
250
250
是否有99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性；
（2）若从所有的路口中随机抽取4个路口，恰有X个路口种植杨树，求X的分布列以及数学期望；
附：
P(K2≥k)
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
【答案】（1）没有99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性；（2）分布列答案见解析，数学期望：.
【分析】
（1）根据题中数据，计算，再结合临界值表，即可得出结果；
（2）根据题中条件，先得到的可能取值为0，1，2，3，4，且，根据二项分布的概率计算公式求出分布列，进而可得数学期望.
【详解】
（1）由题中条件可得，，
故没有99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性；
（2）依题意，的可能取值为0，1，2，3，4，且，
故，，
，
所以的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
故数学期望为.
【点睛】
思路点睛：
求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）
22．（2020·湖南郴州·月考）某蔬菜种植基地有一批蔬菜需要两天内采摘完毕，天气预报显示这两天每天是否有雨相互独立，无雨的概率都为0.8.现有两种方案可以选择：
方案一：基地人员自己采摘，不额外聘请工人，需要两天完成，两天都无雨收益为2万元，只有一天有雨收益为1万元，两天都有雨收益为0.75万元.
方案二：基地额外聘请工人，只要一天就可以完成采摘.当天无雨收益为2万元，有雨收益为1万元.额外聘请工人的成本为万元.
问：（1）若不额外聘请工人，写出基地收益的分布列及基地的预期收益；
（2）该基地是否应该外聘工人？请说明理由.
【答案】（1）分布列见解析；期望为万元；（2）答案不唯一，具体见解析.
【分析】
（1）求出每种收益情况的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式进行求解即可；
（2）根据题意求出基地额外聘请工人情况下的数学期望，结合（1）中数据，利用比较法分类讨论进行判断即可.
【详解】
（1）基地收益的可能值为2，1，0.75，
因为两天每天无雨的概率都为0.8，所以两天每天有雨的概率都为，
则，
，
，
故的分布列为
2
1
0.75
0.64
0.32
0.04
则.
（2）设基地额外聘请工人时的收益为万元，则其预期收益
，
，
当时，即时，不外聘工人；
当时，即时，外聘工人；
当时，即时，是否外聘工人均可以，
综上可得，当额外聘请工人的成本高于0.17万元时，不外聘工人，
当成本低于0.17万元时，外聘工人，
当成本恰为0.17万元时，是否外聘工人均可以.
【点睛】
本题考查了离散型随机变量分布列，考查了数学期望的应用，考查了数学阅读能力和数学运算能力.
23．（2020·蕉岭县蕉岭中学月考）中国网络教育快速发展以来，中学生的学习方式发生了巨大转变.近年来，网络在线学习已成为重要的学习方式之一.为了解某学校上个月，两种网络学习方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人进行调查，发现，两种学习方式都不使用的有15人，仅使用和仅使用的学生的学习时间分布情况如下：
（1）用这100人使用，两种学习方式的频率来代替概率，从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月，两种学习方式都使用的概率；
（2）以频率代替概率从全校仅使用和仅使用的学生中各随机抽取2人，以表示这4人当中上个月学习时间大于10小时的人数，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，1.8.
【分析】
（1）求出两种学习方式都使用的人数，即可估计出概率；
（2）可知可能的取值为0，1，2，3，4，求出各取值的概率即可列出分布列，求出数学期望.
【详解】
（1）记：该学生上个月，两种学习方式都使用为事件.
由题意可知，两种学习方式都使用的人数为：人，
该学生上个月，两种学习方式都使用的概率.
（2）由题意可知，仅使用学习方式的学生中，学习时间不大于10小时的人数占，时间大于10小时的人数占，仅使用学习方式的学生中，学习时间不大于10小时的人数占，时间大于10小时的人数占，可能的取值为0，1，2，3，4.
，
，
，
，
.
∴的分布列：
0
1
2
3
4
数学期望.
24．（2020·凯里市第三中学月考（理））北京是历史悠久的千年古都，现在是中国的政治、经济、文化等多领域的中心，历史文化积淀深厚，自然人文景观丰富，科学技术发达，教育资源众多，成为当代绝大多数人的理想向往之地．凯里市为了将来更好的推进“研学游学”项目来丰富中学生的课余生活，帮助中学生树立崇高理想，更好地实现人生价值．为了更好了解学生的喜好情况，某组织负责人把项目分为历史人文游、科技体验游、自然风光游三种类型，并在全市中学中随机抽取10所学校学生意向选择喜好类型，统计如下：
类型
历史人文游
科技体验游
自然风光游
学校数
4
4
2
在这10所中小学中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游学意向类型的概率（假设每所学校在选择研学游学类型时仅能选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响）．
（1）若这3所学校选择的研学游学类型是历史人文游、自然风光游，求这两种都有学校选择的概率；
（2）设这3所学校中选择科技体验游学校的随机数，求的分布列与数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，．
【分析】
（1）先求学校选择历史人文游、科技体验游、自然风光游的概率，根据互斥事件的概率加法公式可得答案.
（2）求出的所有可能值及对应的概率，列出分布列，求出期望.
【详解】
（1）由题设学校选择历史人文游、科技体验游、自然风光游的概率分别为、、，则易知，，，
所以这3所学校选择的研学游学类型是历史人文游、自然风光游的概率为
；
（2）由题知这3所学校中选择科技体验游学校的概率为，
选择非科技体验游学校的概率为，
所以的所有可能值有：0，1，2，3，
则，
，
，
，
所以的分布列如下：
0
1
2
3
所以的数学期望为．
【点睛】
考查了随机变量的分布列及期望，对于二项分布的期望可以有公式得到； 对于互斥事件的概率与独立事件的概率，确定出事件间的相互关系是正确利用公式的前提.
25．（2020·内蒙古其他模拟（理））在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求.某学生小组通过问卷调査，随机收集了和该区居民的日常生活习惯有关的六类数据.分别是：（1）卫生习惯；（2）垃圾处理；（3）体育锻炼；（4）心理健康；（5）膳食合理；（6）作息规律.经过数据整理，得如表：
卫生习惯
垃圾处理
体育锻炼
心理健康
膳食合理
作息规律
有效答卷份数
380
550
330
410
400
430
习惯良好频率
0.6
0.9
0.8
0.7
0.65
0.6
假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，且各类调查的结果相互独立.
（1）从该小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是“垃圾处理”中习惯良好者的概率；
（2）从“体育锻炼”和“心理健康”两类中各随机选取一份，估计恰有一份是具有良好习惯的概率；
（3）利用上述六类习惯调查的排序，即“卫生习惯”是第一类，“垃圾处理”是第二类“作息规律”是第六类用“”表示任选一位第类受访者是习惯良好者，“”表示任选一位第类受访者不是习惯良好者，2，3，4，5，.求出方差，，2，3，4，5，，并由小到大排序.
【答案】（1）；（2）；（3）见解析.
【分析】
（1）记事件为：从该小组收集的有效答卷中随机选取1份，这份试卷的调查结果是“垃圾处理”中习惯良好者“，由古典概型能求出这份试卷的调查结果是“垃圾处理”中习惯良好者的概率.
（2）从“体育锻炼”和“心理健康”两类中各随机选取一份，设事件为：恰有一份是具有良好习惯，由相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能估计恰有一份是具有良好习惯的概率为.
（3）分别求出分布列、数学期望和方差，由此能求出.
【详解】
（1）记事件为：从该小组收集的有效答卷中随机选取1份，这份试卷的调查结果是“垃圾处理”中习惯良好者“，从该小组收集的有效答卷中随机选取1份，
由数据整理统计表得这份试卷的调查结果是“垃圾处理”中习惯良好者的概率为：
（A）.
（2）从“体育锻炼”和“心理健康”两类中各随机选取一份，
设事件为：恰有一份是具有良好习惯，
从“体育锻炼”和“心理健康”两类中各随机选取一份，
由相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式估计恰有一份是具有良好习惯的概率为：（B）.
（3）由题意得：
1
0
0.6
0.4
，，
1
0
0.9
0.1
，，
1
0
0.8
0.2
，，
1
0
0.7
0.3
，，
1
0
0.65
0.35
，，
1
0
0.6
0.4
，，
.
【点睛】
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查学生运用数学基础知识解决实际问题的能力，是中档题.
26．（2020·湖南永州·月考）某市为了在全市营造“浪费可耻、节约为荣”的氛围，制定施行“光盘行动”有关政策，为进一步了解此项政策对市民的影响程度，市政府在全市随机抽取了名市民进行调查，其中男士与女士的人数之比为，男士中有人表示政策无效，女士中有人表示政策有效.
（1）根据下列列联表写出和的值，并判断能否有的把握认为“政策是否有效与性别有关”；
政策有效
政策无效
总计
男生
女生
合计
（2）从被调查的市民中，采取分层抽样方法抽取名市民，再从这名市民中任意抽取名，对政策的有效性进行调研分析，设随机变量表示抽取到的名市民中女士的人数，求的分布列及数学期望.
参考公式： .
【答案】（1），，没有；（2）答案见解析，.
【分析】
（1）男士人数为，女士人数为，即可填写列联表，计算出的值，与独立性检验判断表比较作出判断.
（2）利用分层抽样抽取10名市民，男士抽取人，女士抽取4人，利用古典概型计算求得的分布列为和数学期望.
【详解】
解：（1）由题意知，男士人数为，女士人数为，
由此填写列联表如下：
政策有效
政策无效
总计
男生
50
10
60
女生
25
15
40
合计
75
25
100
可知 ，
由表中数据，计算
所以没有的把握认为对“政策是否有效与性别有关”；
（2）从被调查的该餐饮机构的市民中，利用分层抽样抽取10名市民，
男士抽取人，女士抽取4人，
随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，
，，
，
所以的分布列为
0
1
2
3
4
数学期望为：.
【点睛】
本题考查本题考查独立性检验和随机变量的概率及数学期望.属于基础题.
27．（2018·安徽淮北·月考（理））某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况,从产品中随机抽取了个进行测量,根据所测量的数据画出频率分布直方图如下:
注:尺寸数据在内的零件为合格品,频率作为概率.
(Ⅰ) 从产品中随机抽取件,合格品的个数为,求的分布列与期望；
(Ⅱ) 从产品中随机抽取件,全是合格品的概率不小于,求的最大值；
(Ⅲ) 为了提高产品合格率,现提出两种不同的改进方案进行试验.若按方案进行试验后,随机抽取件产品,不合格个数的期望是；若按方案试验后,抽取件产品,不合格个数的期望是,你会选择哪个改进方案?
【答案】(Ⅰ)分布列见解析，； (Ⅱ)； (Ⅲ)选择方案.
【分析】
(Ⅰ)先根据直方图求出合格率，然后求出ξ的可能取值和相应的概率，作分布列，再利用随机变量的分布列进行求期望；
(Ⅱ)根据n件产品都合格的概率大于等于0.3，列不等式求解n的最大值；
(Ⅲ)根据期望求出A，B方案不合格的概率，即可选择.
【详解】
(Ⅰ)由直方图可知,抽出产品为合格品的频率为,即抽出产品为合格品的概率为, 从产品中随机抽取件,合格品的个数的所有可能取值为且 ,,, ,, 所以的分布列为
故数学期望
(Ⅱ) 随机抽取件,全是合格品的概率为,依题意,故的最大值为.
(Ⅲ) 按方案随机抽取产品不合格的概率是,随机抽取件产品,不合格个数；
按方案随机抽取产品不合格的概率是,随机抽取件产品,不合格个数,
依题意,,解得,
因为,所以应选择方案.
【点睛】
本题考查了频率直方图的实际应用，利用二项分布的概念求分布列，以及二项分布期望计算，以及期望的实际应用，考查学生的计算能力；若 则 .
28．（2020·湖北随州·期末）疫情过后，为促进居民消费，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到500元则可参加一轮抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.在一个不透明的盒子中装有6个质地均匀且大小相同的小球，其中2个红球，4个白球，搅拌均匀.
方案一：顾客从盒子中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得50元的返金券，若抽到白球则获得30元的返金券，可以有放回地抽取3次，最终获得的返金券金额累加.
方案二：顾客从盒子中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得100元的返金券，若抽到白球则不获得返金券，可以有放回地抽取3次，最终获得的返金券金额累加.
（1）方案一中，设顾客抽取3次后最终可能获得的返金券的金额为X，求X的分布列；
（2）若某顾客获得抽奖机会，试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望，并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适.
【答案】（1）答案见解析；（2）方案一数学期望为（元），方案二数学期望为100（元）；方案一.
【分析】
（1）先由题意，得到方案一和方案二中单次抽到红球的概率为，抽到白球的概率为，确定X的可能取值，再分别求出对应的概率，即可得出分布列；
（2）先由（1）得出选择方案一时最终获得返金券金额的数学期望；选择方案二时，设摸到红球的次数为Y，最终可能获得返金券金额为Z元，根据题意，得到，求出对应的期望，比较大小，即可得出结果.
【详解】
（1）由题意易知，方案一和方案二中单次抽到红球的概率为，抽到白球的概率为，
依题意，X的取值可能为90，110，130，150.
且，
，
其分布列为
X
90
110
130
150
p
（2）由（1）知选择方案一时最终获得返金券金额的数学期望为
（元），
选择方案二时，设摸到红球的次数为Y，最终可能获得返金券金额为Z元，
由题意可知，，得
由可知，该顾客应该选择方案一抽奖.
【点睛】
思路点睛：
求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.
29．（2020·湖北期中）某款游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次，若出现一次音乐获得1分，若出现两次音乐获得2分，若出现三次音乐获得5分，若没有出现音乐则扣15分(即获得分).设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.
（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列.
（2）玩三盘此游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的人发现，若干盘游戏后，与最初的得分相比，得分没有增加反而减少了.请你分析得分减少的原因.
【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）答案见解析.
【分析】
（1）根据击鼓三次，出现一次音乐获得1分，若出现两次音乐获得2分，若出现三次音乐获得5分，若没有出现音乐则扣15分，得到X可能的取值为1，2，5，，然后分别求得其相应概率，列出分布列；
（2）设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件，根据每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立得到，然后利用对立事件的概率求解.
（3）根据（1）的结论，算出随机变量X的数学期望即可.
【详解】
（1）X可能的取值为1，2，5，
根据题意，有，
，
，
.
所以X的分布列为：
X
1
2
5
P
（2）设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件，
则.
所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为.
因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是
（3）由（1）知，随机变量X的数学期望为.
这表明，获得分数X的均值为负.
因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大.
【点睛】
本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的应用以及独立事件和对立事件的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
30．（2020·济南市历城第二中学月考）共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚．某市有统计数据显示，2020年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示．若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁－39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”．已知在“经常使用单车用户”中有是“年轻人”．
（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列列联表，并根据列联表的独立性检验，判断是否有85%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关？
年轻人
非年轻人
合计
经常使用单车用户
120
不常使用单车用户
80
合计
160
40
200
使用共享单车情况与年龄列联表
（2）将（1）中频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量，求的分布列与期望．
参考数据：独立性检验界值表
0.15
0.10
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
其中，，
【答案】（1）列联表见解析，有的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关；（2）分布列见解析，数学期望为．
【分析】
（1）补全的列联表，利用公式求得，即可得到结论；
（2）由（1）的列联表可知，经常使用单车的“非年轻人”的概率，即可利用独立重复试验求解随机变量取每个数值的概率，列出分布列，求解数学期望.
【详解】
（1）补全的列联表如下：
年轻人
非年轻人
合计
经常使用共享单车
100
20
120
不常使用共享单车
60
20
80
合计
160
40
200
于是，，，，
∴，
即有的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关．
（2）由（1）的列联表可知，
经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为，
即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1，
∵，
∴，
，，
∴的分布列为
0
1
2
3
0.729
0.243
0.027
0.001．
∴的数学期望．
【点睛】
本题主要考查了列联表,独立性检验，二项分布，二项分布的期望，属于中档题.
相关试卷
专题十九 计数原理与概率及其分布-2021届高三《新题速递•数学》10月刊（江苏专用 适用于高考复习）： 这是一份专题十九 计数原理与概率及其分布-2021届高三《新题速递•数学》10月刊（江苏专用 适用于高考复习），文件包含专题十九计数原理与概率及其分布原卷版docx、专题十九计数原理与概率及其分布解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共59页， 欢迎下载使用。
专题十九 计数原理与概率及其分布-2021届高三《新题速递•数学》9月刊（江苏专用 适用于高考复习）： 这是一份专题十九 计数原理与概率及其分布-2021届高三《新题速递•数学》9月刊（江苏专用 适用于高考复习），文件包含专题十九计数原理与概率及其分布原卷版docx、专题十九计数原理与概率及其分布解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共67页， 欢迎下载使用。
专题十七 圆锥曲线的方程-2021届高三《新题速递•数学》11月刊（江苏专用 适用于高考复习）： 这是一份专题十七 圆锥曲线的方程-2021届高三《新题速递•数学》11月刊（江苏专用 适用于高考复习），文件包含专题十七圆锥曲线的方程原卷版docx、专题十七圆锥曲线的方程解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共69页， 欢迎下载使用。
