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专题一 集合与常用逻辑用语-2021届高三《新题速递•数学》11月刊（江苏专用 适用于高考复习）
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这是一份专题一 集合与常用逻辑用语-2021届高三《新题速递•数学》11月刊（江苏专用 适用于高考复习），文件包含专题一集合与常用逻辑用语原卷版docx、专题一集合与常用逻辑用语解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。
专题一 集合与常用逻辑用语
一、多选题
1．（2020·江苏镇江·高一月考）下列命题为真命题的是（ ）
A．点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在圆O外的充要条件
B．两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件
C．是的必要不充分条件
D．x或y为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件
【答案】AD
【解析】
【分析】
选项A根据点与圆的位置关系判断；选项B举例说明即可；选项C根据集合的关系直接判断；选项D举例说明即可.
【详解】
选项A：根据点与圆的位置关系知点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在外的充要条件，故选项A为真命题；
选项B：两个三角形面积相等也可能同底等高，全等三角形面积一定相等，故两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件，故选项B为假命题.
选项C：是的充要条件，故选项C为假命题.
选项D当时,满足“x或y为有理数”但“xy为有理数”不成立；当时满足“xy为有理数”但“x或y为有理数”不成立，故选项D为真命题.
故选：AD.
【点睛】
本题主要考查充分与必要条件的辨析、点与圆的位置关系、三角形面积相等与三角形全等的关系、根据集合运算的结果判断集合的包含关系，是基础题.
2．（2020·江苏淮安·高三月考）下列命题中正确命题的是（ ）
A．已知a，b是实数，则“”是“”的充分而不必要条件；
B．，使；
C．设是函数的一个极值点，则
D．若角的终边在第一象限，则的取值集合为.
【答案】CD
【解析】
【分析】
对于A项，结合指数函数和对数函数的单调性以及对数式要求真数大于零，可判断正误；
对于B项，结合指数函数随着底数的大小，图象的与坐标轴的靠近程度得到结果；
对于C项，结合极值点满足的条件，确定出，将转化为关于的关系式，代入求得结果；
对于D项，根据角的终边在第一象限，判断出是第一象限角或第三象限角，判断其正余弦值的符号求得结果.
【详解】
对于A，若“”，则，若“”，则.
所以“”，是“”的必要不充分条件.所以A不正确；
对于B，要使成立，即，需，
所以不存在，使得成立，所以B不正确；
对于C，，
，，
，
所以C正确.
对于D，角的终边在第一象限，则，，
在第一象限时，，
当在第三象限时，则.
则的取值集合为：.所以D正确；
故选：CD.
【点睛】
该题考查的是有关命题真假判断，涉及到的知识点有指数函数、对数函数的性质，充分必要条件的判断，三角函数的计算，属于中档题.
3．（2020·江苏淮安·高一月考）下列说法不正确是（ ）
A．不等式的解集为
B．已知，，则是的充分不必要条件
C．若，则函数的最小值为2
D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】
运用一元二次不等式的解法求解选项A和选项D的结果，并对其进行判断，运用充分条件和必要条件知识判断选项B，运用函数单调性求解选项C中的最值.
【详解】
对于A，根据不等式可得，所以或，
则不等式的解集为，故选项A的说法错误；
对于B，当时，成立；当时，解得，所以故是的充分不必要条件，故选项B正确；
对于C，设 则，，当时，单调递增，故，故选项C的说法错误；
对于D，若当时，不等式恒成立；则当时，不等式化为恒成立，故符合题意，
当时，只要，解得，所以不等式的解集为R，则实数的取值范围是，故选项D的说法错误；
故答案为：ACD
【点睛】
本题考查了解一元二次函数不等式，以及恒成立问题，在解答恒成立问题时注意对参量的分类讨论，运用基本不等式时注意取等条件，判断充分条件和必要条件时注意取值范围问题.
4．（2020·南京外国语学校高一月考）对任意A，BR，记A⊕B＝{x|x∈A∪B，xA∩B}，并称A⊕B为集合A，B的对称差.例如，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A⊕B＝{1，4}，下列命题中，为真命题的是（ ）
A．若A，BR且A⊕B＝B，则A＝
B．若A，BR且A⊕B＝，则A＝B
C．若A，BR且A⊕BA，则AB
D．存在A，BR，使得A⊕B＝⊕
E.存在A，BR，使得
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据新定义判断．
【详解】
根据定义，
A.若，则，，，，∴，A正确；
B.若，则，，，B正确；
C. 若，则，，则，C错；
D.时，，，D正确；
E.由定义，，E错．
故选：ABD．
【点睛】
本题考查新定义，解题关键是新定义的理解，把新定义转化为集合的交并补运算．
5．（2020·江苏广陵·扬州中学高三月考）下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的充要条件
C．命题“，”的否定是“，使得”
D．已知函数的定义域为，则“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件
【答案】ACD
【解析】
【分析】
对于A、B，解不等式即可判断；对于C，根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可；对于D，根据奇函数的性质判断即可；
【详解】
解：对于A：，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；
对于B：，则解得且，故B错误；
对于C：全称量词命题的否定为存在量词命题，故命题“，”的否定是“，使得”正确；
对于D：因为函数的定义域为，若函数为奇函数，则，若得不到为奇函数，若，故“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件，故D正确；
故选：ACD
【点睛】
本题考查了命题真假性的判断问题，也考查了充分条件、必要条件，属于中档题．
6．（2020·江苏启东中学高三开学考试）下列命题正确的是（ ）
A．若随机变量，且，则
B．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为
C．已知，则“”是“”的充分不必要条件
D．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若样本中心点为，则
【答案】BD
【解析】
【分析】
对A，利用方差的公式；对B，根据偶函数的性质及函数的单调性；对C，根据集合间的关系判断；对D，根据回归直线经过样本点的中心.
【详解】
对A，，，，，故A错误；
对B，函数是定义在上的偶函数，，，，故B正确；
对C，，“”推不出“”，而“”可以推出“”，“”是“”的必要不充分条件，故C错误；
对D，样本中心点为，，故D正确；
故选：BD.
【点睛】
本题考查二项分布方差公式、充分条件与必要条件、抽象函数的奇偶性与单调性、回归直线与样本点的中心，考查运算求解能力.
7．（2020·江苏省梅村高级中学高三开学考试）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（ ）
A．；q：方程的曲线是椭圆.
B．；q：对不等式恒成立.
C．设是首项为正数的等比数列，p：公比小于0；q：对任意的正整数n，.
D．已知空间向量，，；q：向量与的夹角是.
【答案】ABC
【解析】
【分析】
中求出方程表示椭圆时的的范围，可判断，中求出不等式恒成立时的的范围后可判断，根据不充分条件的定义判断，中求出两向量夹角为时的值后判断．
【详解】
方程表示椭圆则，解得且，A正确；
对不等式恒成立，则，∴，B正确；
是首项为正数的等比数列，公比小于0，若，则，不能得出成立，但若，则，又，∴，则，成立，C正确；
向量与的夹角是，则，解得，是的充分不必要条件，D错误．
故选：ABC．
【点睛】
本题考查必要不充分条件的判断，判断方法有两种：一是根据充分必要条件与集合包含之间的关系判断，二是根据必要不充分条件的定义判断．
二、单选题
8．（2020·江苏镇江·高一月考）我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为且.类似地，对于集合，我们把集合，且叫做集合A与B的差集，记作.设，若，则差集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据已知条件求解出，然后根据差集的概念求解出的结果.
【详解】
因为，
根据差集定义可知：，
故选：C.
【点睛】
本题考查集合的新定义问题，其中涉及到交、并集的运算，主要考查学生的理解能力，难度一般.本例中，差集可以理解为.
9．（2020·江苏镇江·高一月考）若，则恒成立的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先由基本不等式求出，再根据恒成立求出，最后给出答案即可.
【详解】
解：因为，由基本不等式，
当且仅当即时，取等号，
要使得恒成立，则，
所以恒成立的一个充分条件是
故选：B
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值、根据恒成立求参数范围、根据充分条件求参数范围，是基础题.
10．（2020·江苏镇江·高一月考）集合论是德国数学家康托尔（G.Cantor）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合中元素的个数，例如：，则.若对于任意两个有限集合，有.某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有9人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（ ）
A．28 B．23 C．18 D．16
【答案】C
【解析】
【分析】
设参加田赛、径赛的同学组成集合，再由集合论即可得解.
【详解】
设参加田赛的学生组成集合A，则，
参加径赛的学生组成集合B，则，
由题意得，
所以，
所以高一（1）班参加本次运动会的人数共有.
故选：C.
【点睛】
本题考查了数学文化与集合运算的综合应用，考查了转化化归思想，属于基础题.
11．（2020·江苏镇江·高一月考）已知集合,，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
先判断出Ü，再根据包含关系判断“”是“”的必要不充分条件.
【详解】
解：因为,，所以Ü，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
【点睛】
本题考查集合的基本关系，根据集合的包含关系判断必要不充分条件，是基础题.
12．（2020·江苏镇江·高一月考）已知集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出和，再求即可.
【详解】
解：因为，所以，
因为，所以，
所以
故选：D.
【点睛】
本题考查集合的表示、集合的交集运算，是基础题.
13．（2020·江苏鼓楼·金陵中学高一月考）设全集U＝R，M＝或，N＝.如图所示，则阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先观察图，得出图中阴影部分表示的集合，再结合已知条件，即可求解.
【详解】
由图中阴影部分表示的集中的元素在集合中，又在集合中，即，
又由或，
所以图中阴影部分表示的集合为
或，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了图表达集合的关系及其运算，以及图的应用等基础知识，其中解答中观察图，得出图中阴影部分表示的集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及数形结合思想的应用，属于基础题.
14．（2020·江苏高三月考）设全集为R，集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意先求得，然后进行交集运算即可求得答案.
【详解】
集合，，
则.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查交集的运算，解分式不等式，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15．（2020·江苏江都·邵伯高级中学高二月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出集合、，利用交集的定义可求得集合.
【详解】
，，
因此，.
故选：A.
【点睛】
本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.
16．（2020·浙江西湖·学军中学高一月考）已知集合，则=
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
【详解】
由题意得，，则
．故选C．
【点睛】
不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
17．（2020·南京市人民中学月考）设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
求出的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】
等价于，故推不出；
由能推出．
故“”是“”的必要不充分条件．
故选B．
【点睛】
充要条件的三种判断方法：
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；
(2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．
18．（2017·江苏海安·高二期中（理））对于实数，“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
试题分析：由于不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac＞bc”必须有c＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B
考点：不等式的性质
点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．
19．（2020·扬州大学附属中学东部分校高三月考）下列命题中：①若“”是“”的充要条件；
②若“，”，则实数的取值范围是；
③已知平面、、，直线、，若，，，，则；
④函数的所有零点存在区间是.
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用充分条件与必要条件的关系判断①的正误；根据特称命题成立的等价条件求实数的取值范围，可判断②的正误；由面面垂直的性质定理可判断③的正误；利用零点存在定理可判断④的正误.
【详解】
①由，可知，所以有，当时，满足，但不成立，所以①错误；
②要使“，”成立，则有对应方程的判别式，即，解得或，所以②正确；
③因为，，，所以，又，所以根据面面垂直的性质定理知，所以③正确；
④因为，，且函数连续，
所以根据零点存在定理可知在区间上，函数存在零点，所以④正确.
所以正确的是②③④，共有三个.
故选：C.
【点睛】
本题考查命题的真假判断．正确推理是解题的关键．要求各相关知识必须熟练，考查推理能力，属于中等题.
20．（2020·扬州市邗江区蒋王中学高三月考）已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求得在，的值域，以及函数的导数，判断单调性，求得在，的值域，由题意可得包含于，可得的不等式，解不等式可得所求范围．
【详解】
在，递减，此时，．
的导数为，
可得在，单调递减，，单调递增，
则在，的最小值为，最大值为（1），即值域为，．
对任意的，，存在唯一的，，使得，
可得，，，
可得，
解得．
故选：B
【点睛】
本题主要考查恒成立和存在性问题，考查利用导数求函数的最值，考查集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
21．（2020·江苏如皋·高一月考）已知集合，集合，若集合中有个元素，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
联立，可得出，设，可知函数在上有两个不等的零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
联立，消去得，设，
所以，函数在上有两个不等的零点，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用交集的元素个数求参数的取值范围，同时也考查了利用二次函数的零点分布求参数，考查计算能力，属于中等题.
22．（2020·江苏如皋·高一月考）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①的最小值是；②，；③若，则；④集合中只有一个元素的充要条件是.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用基本不等式可判断①的正误；利用特殊值法可判断②的正误；取，，，可判断③的正误；根据题意求得实数的值，可判断④的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于命题①，，
当且仅当时，即当时，而，等号不成立，
即，命题①错误；
对于命题②，取，则，命题②正确；
对于命题③，取，，，则，但，命题③错误；
对于命题④，关于的方程.
当时，方程为，解得；
当时，若方程只有一个实数解，则，解得.
所以，集合中只有一个元素的充要条件是或，命题④错误.
综上所述，真命题的个数为.
故选：A.
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查利用基本不等式求最值、特称命题真假的判断以及利用集合元素的个数求参数值，考查计算能力，属于中等题.
23．（2020·江苏宝应中学高三开学考试）在下列四个命题中，
①若是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件；
②若，则；
③“”是“”的必要不充分条件；
④若“或”为真命题，“且”为假命题，则为真命题，为假命题．
正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
根据充要条件的包含关系可知①正确.如，，故②错误.解得，与没有包含关系，故③错误.对于④，有可能为假命题，为真命题，故④错误.综上所述，只有个正确，故选.
第II卷（非选择题）
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三、解答题
24．（2020·江苏镇江·高一月考）在①AB=B，②AB，③BA这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数a存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由.
问题：已知集合，，是否存在实数a，使得____成立.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案不唯一，具体见解析
【解析】
【分析】
求出集合，按照、、讨论，表示出集合A，
选择①：转化条件为，运算即可得解；
选择②：由集合交集的结果运算即可得解；
选择③：表示出,再由集合间的关系即可得解.
【详解】
由题意，，
当时，；当时，；当时，；
选择①：，则，
当时，，则，所以；
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意；
则实数a的取值范围是.
选择②：，
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，，不满足题意；
则实数a的取值范围是.
选择③：，
当时，，而，不满足题意；
当时，，，而，满足题意；
当时，，，而，满足题意；
则实数a的取值范围是.
【点睛】
本题考查了一元二次不等式及分式不等式的求解，考查了由集合间的包含关系及运算的结果求参数，属于基础题.
25．（2020·江苏镇江·高一月考）已知集合，.
（1）命题，命题，且是的必要非充分条件，求实数的取值范围；
（2）若，都有，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出集合，由题意可得出Ü，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；
（2）由参变量分离法可知，不等式对任意的恒成立，利用二次函数的基本性质求出函数在区间上的最大值，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
（1）解不等式，即，解得，
所以，.
由于是的必要非充分条件，则Ü，所以，解得，
因此，实数的取值范围是；
（2）由，都有，得，，
令，，
当时，取最大值为，所以，.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查利用必要不充分条件求参数的取值范围，同时也考查了利用一元二次不等式在区间上恒成立求参数，考查了参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题.
26．（2020·江苏镇江·高一月考）已知全集，集合.
（1）求；
（2）集合C满足，请写出所有满足条件的集合C．
【答案】（1）；；（2）可为.
【解析】
【分析】
（1）结合集合的交集，补集的定义分别进行求解即可；
（2）直接根据集合子集的定义求解即可.
【详解】
解：（1）由,
得，，
由，
得
（2）由，，
得.
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，结合集合补集，交集，并集的定义是解决本题的关键.
27．（2020·江苏扬州·高三开学考试）已知命题：关于的不等式无解；命题：指数函数是上的增函数.
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若满足为假命题且为真命题的实数取值范围是集合，集合，且，求实数的取值范围.
【答案】（1）.（2）
【解析】
【分析】
（1）利用判别式求得为真时的取值范围.根据指数函数的单调性求得为真时的取值范围.由于为真命题，所以真真，求两个的范围的交集，得到最终的取值范围.（2）求得假真时的取值范围，即集合，根据列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】
解:（1）由为真命题知，解得，所以的范围是，
由为真命题知，，，取交集得到.
综上，的范围是.
（2）由（1）可知，当为假命题时，；为真命题，则解得：
则的取值范围是即，
而，可得，
解得：
所以，的取值范围是
【点睛】
本小题主要考查根据命题的真假性，求参数的取值范围，考查一元二次不等式解集为空集的条件，考查指数函数的单调性，考查子集的概念和运用，属于中档题.
28．（2020·南京外国语学校高一月考）已知命题p：x2﹣4x﹣5≤0，命题q：x2﹣2x＋1﹣m2≤0(m＞0)．
（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
（2）若m＝5，命题p和q中有且只有一个真命题，求实数x的取值范围．
【答案】（1）[4，+∞)；（2，，.
【解析】
【分析】
（1）求出命题，成立时的的范围，利用充分条件，根据包含关系列出不等式求解即可．
（2）讨论p真q假或p假q真，分别利用命题的真假关系列出不等式组，求解即可．
【详解】
(1)对于，，
对于，，是的充分条件，
可得，，，．
(2)若m＝5，命题p和q中有且只有一个真命题，
此时命题q对应得集合为B=，
则p真q假或p假q真，
所以①当p真q假时，x∈，且x∪(6，+∞)，则此时无解；
②当p假q真时，x∈∪(5，+∞)，且x∈，
，，．
综上所述，x的取值范围为，，．
【点睛】
本题考查命题的真假的判断与应用，充要条件的应用，集合的关系，考查转化思想以及计算能力．
29．（2020·江苏省如皋中学月考）若关于的不等式的解集是或.
（1）求实数，的值.
（2）若关于的不等式的解集为，不等式的解集为，且，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）转化为，2是方程的两根，再根据韦达定理可得结果；
（2）化简集合，分类与解得集合，根据列式可得解.
【详解】
（1）由一元二次不等式的解集知，，2是方程的两根，且.
由韦达定理得，解得，
（2）由不等式得，得，所以集合，
由（1）知，所以不等式
可化为
因为方程的解为或，
当即时，则不等式的解集为，即，满足
当即时，，则不等式的解集为，要使即，即与不符.
当即时，，则不等式的解集为，要使即，即.
综上，的取值范围是.
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论思想，考查了根据集合的包含关系求参数的取值范围，属于中档题.
30．（2020·江苏省江浦高级中学月考）已知集合．问是否存在，使
（1）中只有一个元素；
（2）中至多有一个元素；
（3）中至少有一个元素．若存在，分别求出来；若不存在，说明理由．
【答案】（1）存在，或；（2）存在，或；（3）存在，.
【解析】
【分析】
（1）考虑和两种情况，计算得到答案.
（2）考虑或中只有一个元素，计算得到答案.
（3）中至少有一个元素，即方程有解，考虑方程有一个解或者方程有两个解的情况，计算得到答案.
【详解】
（1）当时，方程只有一解，即；
当，且，即时，方程有两个相等的根，中只有一个元素.
综上所述：当或时，中只有一个元素.
（2）中至多有一个元素，即或中只有一个元素.
由（1）可知或时中只有一个元素，
而，即时方程无解，为空集，
综上所述：当或时，中至多有一个元素.
（3）中至少有一个元素，即方程有解，
时，，即，其中时，方程有两个相等的根，，.
若，方程有两个不相等的根，，，此时.
时，方程有根，.
综上所述：时，中至少有一个元素.
【点睛】
本题考查了根据集合中元素的个数求参数，意在考查学生的计算能力和分类讨论能力.
31．（2020·江苏省如东高级中学高一月考）设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题与命题一真一假，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）或..
【解析】
【分析】
（1）p为真命题时，任意，不等式恒成立可转化为，求解即可
（2）先求出命题为真时，的范围.根据p，q一真一假，结合（1），即可求出m的取值范围.
【详解】
（1）对于命题：成立，而，有，
所以，∴.
（2）对于命题：存在，使得不等式成立，只需，
而，∴，∴；
若为假命题，为真命题，则，所以；
若为假命题，为真命题，
为假命题，则或，为真命题，则
所以.
综上：或.
【点睛】
本题考查不等式恒（或存在）成立与函数最值关系，以及命题真假关系求参数范围，考查等价转化思想，计算求解能力，属于中档题.
32．（2020·江苏省梅村高级中学高二月考）若关于x的不等式的解集为A，不等式的解集为B.
（1）已知B是A的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
（2）设命题p：，若命题p为假命题，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求解一元二次不等式化简，，由题意可得，再由两集合端点值间的关系列不等式组求解；
（2）写出特称命题的否定，由命题为真命题，结合二次函数的性质可得关于的不等式组，求解得答案．
【详解】
（1），
,
．
B是A的必要不充分条件，
，
则，解得．
的取值范围是；
（2）命题，的否定为，．
命题为假命题，命题为真命题，
即，恒成立．
令，则，
即，解得．
实数的取值范围是．
【点睛】
本题考查复合命题的真假判定,考查了充要条件的判定方法、不等式的性质、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
33．（2020·江苏省梅村高级中学高二月考）设首项为1的正项数列的前n项和为数列的前n项和为且其中p为常数.
（1）求p的值；
（2）求证：数列为等比数列；
（3）证明：“数列成等差数列，其中x､y均为整数”的充要条件是“x=1，且y=2”.
【答案】（1），（2）证明见解析，（3）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）当时，由求得的值，再排除的情形即可得结论；
（2）当时，，再得，两式相减可得，再得，两式相减，可得数列为等比数列；
（3）分充分性与必要性分别证明即可
【详解】
（1）解：当时，由得或，
若时，，当时，，解得或，
而，所以 不合题意，所以，
（2）证明：当时，……①，
则……②，
②①，化简得……③，
则……④，
④③，得（），
当时，，得，由解得，
所以，
所以数列是以为公比，1为首项的等比数列；
（3）证明：充分性：若，由（2）可知，
所以依次为，
满足，即成等比数列；
必要性：假设成等差数列，其中均为整数，
因为，所以，
化简得，
显然，设，
因为均为整数，所以当时，或，
故当，且当，且时上式成立，即，
所以“数列成等差数列，其中x､y均为整数”的充要条件是“x=1，且y=2”.
【点睛】
此题考查等差数列、等比数列的定义与通项公式、求和公式等知识，考查推理计算能力，属于中档题
四、填空题
34．（2020·江苏镇江·高一月考）已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据“， ”是假命题，得出它的否定命题是真命题，求出实数a的取值范围．
【详解】
解：∵命题“， ”是假命题，
∴，是真命题，
即使不等式有解；
所以，解得：或.
∴实数a的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查根据特称命题与全称命题的真假求参数，考查了一元二次不等式能成立问题，属于基础题.
35．（2020·江苏省如皋中学月考）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
解一元二次不等式求得，根据是的必要不充分条件求得的取值范围.
【详解】
由，解得.
所以.
由于是的必要不充分条件，所以，
解得.
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查根据必要不充分条件求参数，考查一元二次不等式的解法，属于中档题.
专题一 集合与常用逻辑用语
一、多选题
1．（2020·江苏镇江·高一月考）下列命题为真命题的是（ ）
A．点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在圆O外的充要条件
B．两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件
C．是的必要不充分条件
D．x或y为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件
【答案】AD
【解析】
【分析】
选项A根据点与圆的位置关系判断；选项B举例说明即可；选项C根据集合的关系直接判断；选项D举例说明即可.
【详解】
选项A：根据点与圆的位置关系知点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在外的充要条件，故选项A为真命题；
选项B：两个三角形面积相等也可能同底等高，全等三角形面积一定相等，故两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件，故选项B为假命题.
选项C：是的充要条件，故选项C为假命题.
选项D当时,满足“x或y为有理数”但“xy为有理数”不成立；当时满足“xy为有理数”但“x或y为有理数”不成立，故选项D为真命题.
故选：AD.
【点睛】
本题主要考查充分与必要条件的辨析、点与圆的位置关系、三角形面积相等与三角形全等的关系、根据集合运算的结果判断集合的包含关系，是基础题.
2．（2020·江苏淮安·高三月考）下列命题中正确命题的是（ ）
A．已知a，b是实数，则“”是“”的充分而不必要条件；
B．，使；
C．设是函数的一个极值点，则
D．若角的终边在第一象限，则的取值集合为.
【答案】CD
【解析】
【分析】
对于A项，结合指数函数和对数函数的单调性以及对数式要求真数大于零，可判断正误；
对于B项，结合指数函数随着底数的大小，图象的与坐标轴的靠近程度得到结果；
对于C项，结合极值点满足的条件，确定出，将转化为关于的关系式，代入求得结果；
对于D项，根据角的终边在第一象限，判断出是第一象限角或第三象限角，判断其正余弦值的符号求得结果.
【详解】
对于A，若“”，则，若“”，则.
所以“”，是“”的必要不充分条件.所以A不正确；
对于B，要使成立，即，需，
所以不存在，使得成立，所以B不正确；
对于C，，
，，
，
所以C正确.
对于D，角的终边在第一象限，则，，
在第一象限时，，
当在第三象限时，则.
则的取值集合为：.所以D正确；
故选：CD.
【点睛】
该题考查的是有关命题真假判断，涉及到的知识点有指数函数、对数函数的性质，充分必要条件的判断，三角函数的计算，属于中档题.
3．（2020·江苏淮安·高一月考）下列说法不正确是（ ）
A．不等式的解集为
B．已知，，则是的充分不必要条件
C．若，则函数的最小值为2
D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】
运用一元二次不等式的解法求解选项A和选项D的结果，并对其进行判断，运用充分条件和必要条件知识判断选项B，运用函数单调性求解选项C中的最值.
【详解】
对于A，根据不等式可得，所以或，
则不等式的解集为，故选项A的说法错误；
对于B，当时，成立；当时，解得，所以故是的充分不必要条件，故选项B正确；
对于C，设 则，，当时，单调递增，故，故选项C的说法错误；
对于D，若当时，不等式恒成立；则当时，不等式化为恒成立，故符合题意，
当时，只要，解得，所以不等式的解集为R，则实数的取值范围是，故选项D的说法错误；
故答案为：ACD
【点睛】
本题考查了解一元二次函数不等式，以及恒成立问题，在解答恒成立问题时注意对参量的分类讨论，运用基本不等式时注意取等条件，判断充分条件和必要条件时注意取值范围问题.
4．（2020·南京外国语学校高一月考）对任意A，BR，记A⊕B＝{x|x∈A∪B，xA∩B}，并称A⊕B为集合A，B的对称差.例如，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A⊕B＝{1，4}，下列命题中，为真命题的是（ ）
A．若A，BR且A⊕B＝B，则A＝
B．若A，BR且A⊕B＝，则A＝B
C．若A，BR且A⊕BA，则AB
D．存在A，BR，使得A⊕B＝⊕
E.存在A，BR，使得
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据新定义判断．
【详解】
根据定义，
A.若，则，，，，∴，A正确；
B.若，则，，，B正确；
C. 若，则，，则，C错；
D.时，，，D正确；
E.由定义，，E错．
故选：ABD．
【点睛】
本题考查新定义，解题关键是新定义的理解，把新定义转化为集合的交并补运算．
5．（2020·江苏广陵·扬州中学高三月考）下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的充要条件
C．命题“，”的否定是“，使得”
D．已知函数的定义域为，则“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件
【答案】ACD
【解析】
【分析】
对于A、B，解不等式即可判断；对于C，根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可；对于D，根据奇函数的性质判断即可；
【详解】
解：对于A：，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；
对于B：，则解得且，故B错误；
对于C：全称量词命题的否定为存在量词命题，故命题“，”的否定是“，使得”正确；
对于D：因为函数的定义域为，若函数为奇函数，则，若得不到为奇函数，若，故“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件，故D正确；
故选：ACD
【点睛】
本题考查了命题真假性的判断问题，也考查了充分条件、必要条件，属于中档题．
6．（2020·江苏启东中学高三开学考试）下列命题正确的是（ ）
A．若随机变量，且，则
B．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为
C．已知，则“”是“”的充分不必要条件
D．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若样本中心点为，则
【答案】BD
【解析】
【分析】
对A，利用方差的公式；对B，根据偶函数的性质及函数的单调性；对C，根据集合间的关系判断；对D，根据回归直线经过样本点的中心.
【详解】
对A，，，，，故A错误；
对B，函数是定义在上的偶函数，，，，故B正确；
对C，，“”推不出“”，而“”可以推出“”，“”是“”的必要不充分条件，故C错误；
对D，样本中心点为，，故D正确；
故选：BD.
【点睛】
本题考查二项分布方差公式、充分条件与必要条件、抽象函数的奇偶性与单调性、回归直线与样本点的中心，考查运算求解能力.
7．（2020·江苏省梅村高级中学高三开学考试）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（ ）
A．；q：方程的曲线是椭圆.
B．；q：对不等式恒成立.
C．设是首项为正数的等比数列，p：公比小于0；q：对任意的正整数n，.
D．已知空间向量，，；q：向量与的夹角是.
【答案】ABC
【解析】
【分析】
中求出方程表示椭圆时的的范围，可判断，中求出不等式恒成立时的的范围后可判断，根据不充分条件的定义判断，中求出两向量夹角为时的值后判断．
【详解】
方程表示椭圆则，解得且，A正确；
对不等式恒成立，则，∴，B正确；
是首项为正数的等比数列，公比小于0，若，则，不能得出成立，但若，则，又，∴，则，成立，C正确；
向量与的夹角是，则，解得，是的充分不必要条件，D错误．
故选：ABC．
【点睛】
本题考查必要不充分条件的判断，判断方法有两种：一是根据充分必要条件与集合包含之间的关系判断，二是根据必要不充分条件的定义判断．
二、单选题
8．（2020·江苏镇江·高一月考）我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为且.类似地，对于集合，我们把集合，且叫做集合A与B的差集，记作.设，若，则差集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据已知条件求解出，然后根据差集的概念求解出的结果.
【详解】
因为，
根据差集定义可知：，
故选：C.
【点睛】
本题考查集合的新定义问题，其中涉及到交、并集的运算，主要考查学生的理解能力，难度一般.本例中，差集可以理解为.
9．（2020·江苏镇江·高一月考）若，则恒成立的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先由基本不等式求出，再根据恒成立求出，最后给出答案即可.
【详解】
解：因为，由基本不等式，
当且仅当即时，取等号，
要使得恒成立，则，
所以恒成立的一个充分条件是
故选：B
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值、根据恒成立求参数范围、根据充分条件求参数范围，是基础题.
10．（2020·江苏镇江·高一月考）集合论是德国数学家康托尔（G.Cantor）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合中元素的个数，例如：，则.若对于任意两个有限集合，有.某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有9人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（ ）
A．28 B．23 C．18 D．16
【答案】C
【解析】
【分析】
设参加田赛、径赛的同学组成集合，再由集合论即可得解.
【详解】
设参加田赛的学生组成集合A，则，
参加径赛的学生组成集合B，则，
由题意得，
所以，
所以高一（1）班参加本次运动会的人数共有.
故选：C.
【点睛】
本题考查了数学文化与集合运算的综合应用，考查了转化化归思想，属于基础题.
11．（2020·江苏镇江·高一月考）已知集合,，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
先判断出Ü，再根据包含关系判断“”是“”的必要不充分条件.
【详解】
解：因为,，所以Ü，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
【点睛】
本题考查集合的基本关系，根据集合的包含关系判断必要不充分条件，是基础题.
12．（2020·江苏镇江·高一月考）已知集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出和，再求即可.
【详解】
解：因为，所以，
因为，所以，
所以
故选：D.
【点睛】
本题考查集合的表示、集合的交集运算，是基础题.
13．（2020·江苏鼓楼·金陵中学高一月考）设全集U＝R，M＝或，N＝.如图所示，则阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先观察图，得出图中阴影部分表示的集合，再结合已知条件，即可求解.
【详解】
由图中阴影部分表示的集中的元素在集合中，又在集合中，即，
又由或，
所以图中阴影部分表示的集合为
或，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了图表达集合的关系及其运算，以及图的应用等基础知识，其中解答中观察图，得出图中阴影部分表示的集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及数形结合思想的应用，属于基础题.
14．（2020·江苏高三月考）设全集为R，集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意先求得，然后进行交集运算即可求得答案.
【详解】
集合，，
则.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查交集的运算，解分式不等式，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15．（2020·江苏江都·邵伯高级中学高二月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出集合、，利用交集的定义可求得集合.
【详解】
，，
因此，.
故选：A.
【点睛】
本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.
16．（2020·浙江西湖·学军中学高一月考）已知集合，则=
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
【详解】
由题意得，，则
．故选C．
【点睛】
不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
17．（2020·南京市人民中学月考）设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
求出的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】
等价于，故推不出；
由能推出．
故“”是“”的必要不充分条件．
故选B．
【点睛】
充要条件的三种判断方法：
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；
(2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．
18．（2017·江苏海安·高二期中（理））对于实数，“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
试题分析：由于不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac＞bc”必须有c＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B
考点：不等式的性质
点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．
19．（2020·扬州大学附属中学东部分校高三月考）下列命题中：①若“”是“”的充要条件；
②若“，”，则实数的取值范围是；
③已知平面、、，直线、，若，，，，则；
④函数的所有零点存在区间是.
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用充分条件与必要条件的关系判断①的正误；根据特称命题成立的等价条件求实数的取值范围，可判断②的正误；由面面垂直的性质定理可判断③的正误；利用零点存在定理可判断④的正误.
【详解】
①由，可知，所以有，当时，满足，但不成立，所以①错误；
②要使“，”成立，则有对应方程的判别式，即，解得或，所以②正确；
③因为，，，所以，又，所以根据面面垂直的性质定理知，所以③正确；
④因为，，且函数连续，
所以根据零点存在定理可知在区间上，函数存在零点，所以④正确.
所以正确的是②③④，共有三个.
故选：C.
【点睛】
本题考查命题的真假判断．正确推理是解题的关键．要求各相关知识必须熟练，考查推理能力，属于中等题.
20．（2020·扬州市邗江区蒋王中学高三月考）已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求得在，的值域，以及函数的导数，判断单调性，求得在，的值域，由题意可得包含于，可得的不等式，解不等式可得所求范围．
【详解】
在，递减，此时，．
的导数为，
可得在，单调递减，，单调递增，
则在，的最小值为，最大值为（1），即值域为，．
对任意的，，存在唯一的，，使得，
可得，，，
可得，
解得．
故选：B
【点睛】
本题主要考查恒成立和存在性问题，考查利用导数求函数的最值，考查集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
21．（2020·江苏如皋·高一月考）已知集合，集合，若集合中有个元素，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
联立，可得出，设，可知函数在上有两个不等的零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
联立，消去得，设，
所以，函数在上有两个不等的零点，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用交集的元素个数求参数的取值范围，同时也考查了利用二次函数的零点分布求参数，考查计算能力，属于中等题.
22．（2020·江苏如皋·高一月考）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①的最小值是；②，；③若，则；④集合中只有一个元素的充要条件是.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用基本不等式可判断①的正误；利用特殊值法可判断②的正误；取，，，可判断③的正误；根据题意求得实数的值，可判断④的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于命题①，，
当且仅当时，即当时，而，等号不成立，
即，命题①错误；
对于命题②，取，则，命题②正确；
对于命题③，取，，，则，但，命题③错误；
对于命题④，关于的方程.
当时，方程为，解得；
当时，若方程只有一个实数解，则，解得.
所以，集合中只有一个元素的充要条件是或，命题④错误.
综上所述，真命题的个数为.
故选：A.
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查利用基本不等式求最值、特称命题真假的判断以及利用集合元素的个数求参数值，考查计算能力，属于中等题.
23．（2020·江苏宝应中学高三开学考试）在下列四个命题中，
①若是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件；
②若，则；
③“”是“”的必要不充分条件；
④若“或”为真命题，“且”为假命题，则为真命题，为假命题．
正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
根据充要条件的包含关系可知①正确.如，，故②错误.解得，与没有包含关系，故③错误.对于④，有可能为假命题，为真命题，故④错误.综上所述，只有个正确，故选.
第II卷（非选择题）
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三、解答题
24．（2020·江苏镇江·高一月考）在①AB=B，②AB，③BA这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数a存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由.
问题：已知集合，，是否存在实数a，使得____成立.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案不唯一，具体见解析
【解析】
【分析】
求出集合，按照、、讨论，表示出集合A，
选择①：转化条件为，运算即可得解；
选择②：由集合交集的结果运算即可得解；
选择③：表示出,再由集合间的关系即可得解.
【详解】
由题意，，
当时，；当时，；当时，；
选择①：，则，
当时，，则，所以；
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意；
则实数a的取值范围是.
选择②：，
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，，不满足题意；
则实数a的取值范围是.
选择③：，
当时，，而，不满足题意；
当时，，，而，满足题意；
当时，，，而，满足题意；
则实数a的取值范围是.
【点睛】
本题考查了一元二次不等式及分式不等式的求解，考查了由集合间的包含关系及运算的结果求参数，属于基础题.
25．（2020·江苏镇江·高一月考）已知集合，.
（1）命题，命题，且是的必要非充分条件，求实数的取值范围；
（2）若，都有，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出集合，由题意可得出Ü，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；
（2）由参变量分离法可知，不等式对任意的恒成立，利用二次函数的基本性质求出函数在区间上的最大值，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
（1）解不等式，即，解得，
所以，.
由于是的必要非充分条件，则Ü，所以，解得，
因此，实数的取值范围是；
（2）由，都有，得，，
令，，
当时，取最大值为，所以，.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查利用必要不充分条件求参数的取值范围，同时也考查了利用一元二次不等式在区间上恒成立求参数，考查了参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题.
26．（2020·江苏镇江·高一月考）已知全集，集合.
（1）求；
（2）集合C满足，请写出所有满足条件的集合C．
【答案】（1）；；（2）可为.
【解析】
【分析】
（1）结合集合的交集，补集的定义分别进行求解即可；
（2）直接根据集合子集的定义求解即可.
【详解】
解：（1）由,
得，，
由，
得
（2）由，，
得.
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，结合集合补集，交集，并集的定义是解决本题的关键.
27．（2020·江苏扬州·高三开学考试）已知命题：关于的不等式无解；命题：指数函数是上的增函数.
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若满足为假命题且为真命题的实数取值范围是集合，集合，且，求实数的取值范围.
【答案】（1）.（2）
【解析】
【分析】
（1）利用判别式求得为真时的取值范围.根据指数函数的单调性求得为真时的取值范围.由于为真命题，所以真真，求两个的范围的交集，得到最终的取值范围.（2）求得假真时的取值范围，即集合，根据列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】
解:（1）由为真命题知，解得，所以的范围是，
由为真命题知，，，取交集得到.
综上，的范围是.
（2）由（1）可知，当为假命题时，；为真命题，则解得：
则的取值范围是即，
而，可得，
解得：
所以，的取值范围是
【点睛】
本小题主要考查根据命题的真假性，求参数的取值范围，考查一元二次不等式解集为空集的条件，考查指数函数的单调性，考查子集的概念和运用，属于中档题.
28．（2020·南京外国语学校高一月考）已知命题p：x2﹣4x﹣5≤0，命题q：x2﹣2x＋1﹣m2≤0(m＞0)．
（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
（2）若m＝5，命题p和q中有且只有一个真命题，求实数x的取值范围．
【答案】（1）[4，+∞)；（2，，.
【解析】
【分析】
（1）求出命题，成立时的的范围，利用充分条件，根据包含关系列出不等式求解即可．
（2）讨论p真q假或p假q真，分别利用命题的真假关系列出不等式组，求解即可．
【详解】
(1)对于，，
对于，，是的充分条件，
可得，，，．
(2)若m＝5，命题p和q中有且只有一个真命题，
此时命题q对应得集合为B=，
则p真q假或p假q真，
所以①当p真q假时，x∈，且x∪(6，+∞)，则此时无解；
②当p假q真时，x∈∪(5，+∞)，且x∈，
，，．
综上所述，x的取值范围为，，．
【点睛】
本题考查命题的真假的判断与应用，充要条件的应用，集合的关系，考查转化思想以及计算能力．
29．（2020·江苏省如皋中学月考）若关于的不等式的解集是或.
（1）求实数，的值.
（2）若关于的不等式的解集为，不等式的解集为，且，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）转化为，2是方程的两根，再根据韦达定理可得结果；
（2）化简集合，分类与解得集合，根据列式可得解.
【详解】
（1）由一元二次不等式的解集知，，2是方程的两根，且.
由韦达定理得，解得，
（2）由不等式得，得，所以集合，
由（1）知，所以不等式
可化为
因为方程的解为或，
当即时，则不等式的解集为，即，满足
当即时，，则不等式的解集为，要使即，即与不符.
当即时，，则不等式的解集为，要使即，即.
综上，的取值范围是.
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论思想，考查了根据集合的包含关系求参数的取值范围，属于中档题.
30．（2020·江苏省江浦高级中学月考）已知集合．问是否存在，使
（1）中只有一个元素；
（2）中至多有一个元素；
（3）中至少有一个元素．若存在，分别求出来；若不存在，说明理由．
【答案】（1）存在，或；（2）存在，或；（3）存在，.
【解析】
【分析】
（1）考虑和两种情况，计算得到答案.
（2）考虑或中只有一个元素，计算得到答案.
（3）中至少有一个元素，即方程有解，考虑方程有一个解或者方程有两个解的情况，计算得到答案.
【详解】
（1）当时，方程只有一解，即；
当，且，即时，方程有两个相等的根，中只有一个元素.
综上所述：当或时，中只有一个元素.
（2）中至多有一个元素，即或中只有一个元素.
由（1）可知或时中只有一个元素，
而，即时方程无解，为空集，
综上所述：当或时，中至多有一个元素.
（3）中至少有一个元素，即方程有解，
时，，即，其中时，方程有两个相等的根，，.
若，方程有两个不相等的根，，，此时.
时，方程有根，.
综上所述：时，中至少有一个元素.
【点睛】
本题考查了根据集合中元素的个数求参数，意在考查学生的计算能力和分类讨论能力.
31．（2020·江苏省如东高级中学高一月考）设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题与命题一真一假，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）或..
【解析】
【分析】
（1）p为真命题时，任意，不等式恒成立可转化为，求解即可
（2）先求出命题为真时，的范围.根据p，q一真一假，结合（1），即可求出m的取值范围.
【详解】
（1）对于命题：成立，而，有，
所以，∴.
（2）对于命题：存在，使得不等式成立，只需，
而，∴，∴；
若为假命题，为真命题，则，所以；
若为假命题，为真命题，
为假命题，则或，为真命题，则
所以.
综上：或.
【点睛】
本题考查不等式恒（或存在）成立与函数最值关系，以及命题真假关系求参数范围，考查等价转化思想，计算求解能力，属于中档题.
32．（2020·江苏省梅村高级中学高二月考）若关于x的不等式的解集为A，不等式的解集为B.
（1）已知B是A的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
（2）设命题p：，若命题p为假命题，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求解一元二次不等式化简，，由题意可得，再由两集合端点值间的关系列不等式组求解；
（2）写出特称命题的否定，由命题为真命题，结合二次函数的性质可得关于的不等式组，求解得答案．
【详解】
（1），
,
．
B是A的必要不充分条件，
，
则，解得．
的取值范围是；
（2）命题，的否定为，．
命题为假命题，命题为真命题，
即，恒成立．
令，则，
即，解得．
实数的取值范围是．
【点睛】
本题考查复合命题的真假判定,考查了充要条件的判定方法、不等式的性质、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
33．（2020·江苏省梅村高级中学高二月考）设首项为1的正项数列的前n项和为数列的前n项和为且其中p为常数.
（1）求p的值；
（2）求证：数列为等比数列；
（3）证明：“数列成等差数列，其中x､y均为整数”的充要条件是“x=1，且y=2”.
【答案】（1），（2）证明见解析，（3）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）当时，由求得的值，再排除的情形即可得结论；
（2）当时，，再得，两式相减可得，再得，两式相减，可得数列为等比数列；
（3）分充分性与必要性分别证明即可
【详解】
（1）解：当时，由得或，
若时，，当时，，解得或，
而，所以 不合题意，所以，
（2）证明：当时，……①，
则……②，
②①，化简得……③，
则……④，
④③，得（），
当时，，得，由解得，
所以，
所以数列是以为公比，1为首项的等比数列；
（3）证明：充分性：若，由（2）可知，
所以依次为，
满足，即成等比数列；
必要性：假设成等差数列，其中均为整数，
因为，所以，
化简得，
显然，设，
因为均为整数，所以当时，或，
故当，且当，且时上式成立，即，
所以“数列成等差数列，其中x､y均为整数”的充要条件是“x=1，且y=2”.
【点睛】
此题考查等差数列、等比数列的定义与通项公式、求和公式等知识，考查推理计算能力，属于中档题
四、填空题
34．（2020·江苏镇江·高一月考）已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据“， ”是假命题，得出它的否定命题是真命题，求出实数a的取值范围．
【详解】
解：∵命题“， ”是假命题，
∴，是真命题，
即使不等式有解；
所以，解得：或.
∴实数a的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查根据特称命题与全称命题的真假求参数，考查了一元二次不等式能成立问题，属于基础题.
35．（2020·江苏省如皋中学月考）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
解一元二次不等式求得，根据是的必要不充分条件求得的取值范围.
【详解】
由，解得.
所以.
由于是的必要不充分条件，所以，
解得.
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查根据必要不充分条件求参数，考查一元二次不等式的解法，属于中档题.
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