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专题五 导数的运算及在函数性质中的应用-2021届高三《新题速递•数学》11月刊(江苏专用 适用于高考复习)
展开专题五 导数的运算及在函数性质中的应用
一、单选题
1.(2020·江苏南通·期中)已知,,记,则( )
A.的最小值为 B.的最小值为
C.的最小值为 D.的最小值为
【答案】D
【解析】
【分析】
设,,,,点在函数的图象上,点在直线上,则的最小值转化为函数的图象上的点与直线上点距离最小值的平方,利用导数求出切点坐标,再由点到直线的距离公式求解.求出的最小值为两直线平行时的距离,即可得到的最小值,并可求出此时对应的从而得解.
【详解】
解:设,,,,
点在函数的图象上,点在直线上,
的最小值转化为函数的图象上的点与直线上点距离最小值的平方.
由,得,与直线平行的直线的斜率为.
令,得,则切点坐标为,
切点到直线的距离.
即的最小值为.
又过且与垂直的直线为,即,
联立,解得,
即当最小时,.
故选:D.
【点睛】
本题考查函数的最值及其几何意义,考查数学转化思想方法,训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,属于中档题.
2.(2020·湖北武汉·高二期末)已知a,b为正实数,直线与曲线相切,则的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由导数的几何意义转化条件得,进而可得,由基本不等式即可得解.
【详解】
因为函数的导数,
由切线的方程可得切线的斜率为1,
所以即切点的横坐标为,所以切点为,
代入得,即,
又、为正实数,
所以,
当且仅当,时,等号成立.
所以的最小值是.
故选:D.
【点睛】
本题考查了导数几何意义及基本不等式的应用,考查了运算求解能力与转化化归思想,属于中档题.
3.(2020·黑龙江大庆实验中学高三月考(文))若实数满足,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将题意转化为求函数与直线上任意两点之间距离的最小值的平方的问题,利用导数的几何意义,即可容易求得结果.
【详解】
因为,故可得,,
故点可理解为函数上的任意两点.
又,令,故可得,
即函数在处的切线与平行,
又切线方程为:,
则函数在处的切线方程与直线之间的距离
,
故的最小值即为.
故选:.
【点睛】
本题考查利用导数的几何意义求切线方程,注意本题对目标式的转化才是本题的关键,属综合中档题.
4.(2020·黑龙江大庆实验中学高三月考(文))曲线在点处的切线方程为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求得函数的导数,可得切线的斜率,运用点斜式方程可得切线的方程.
【详解】
的导数为,
可得曲线在点处的切线斜率为,
所以曲线在点处的切线方程为,
即,
故选A.
【点睛】
该题考查的是有关曲线在某点处的切线方程的问题,涉及到的知识点有求导公式,导数的几何意义,直线方程的点斜式,属于简单题目.
5.(2020·江西高三月考(理))已知实数满足,则对任意的正实数,的最小值为( )
A. B.8 C. D.18
【答案】B
【解析】
【分析】
将问题转化为圆上任意一点到曲线上任意一点的距离的最小值的平方,可求曲线上到圆心距离最小的点为,利用导数求出点,求出圆心到点的距离减去半径再平方即可求解.
【详解】
由题意可知,该问题可转化为求圆上任意一点
到曲线上任意一点的距离的最小值的平方,
不妨设圆为圆,
其圆心为,半径为,
因为圆外任意一点到圆上一点的距离的最小值为该点到圆心的距离减去半径,
所以只需求曲线上到圆心距离最小的点为,
则点满足曲线在点处的切线与直线垂直,
因为点在曲线上,所以,
令,则,
则,
即曲线在点处的切线的斜率为,
又因为,,
所以直线的斜率为,
所以,
即,
解得,
所以点坐标为,又因为,
所以,
所以圆上任意一点到曲线上任意一点的距离的最小值的平方为
,
所以的最小值为8.
故选:B
【点睛】
本题主要考查了对数函数、圆的方程、导数的几何意义以及导数的运算、两点间的距离公式,属于中档题.
6.(2019·重庆高三期中(文))记函数的导函数为,则函数在内的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先对函数求导,再利用辅助角公式化简,然后利用正弦函数图像和性质即可分增区间.
【详解】
,
,
,
令,
解得,
在内的递增区间为.
故选:.
【点睛】
本题主要考查的是正弦复合函数的单调性以及单调区间的求解,以及复合函数的导数的求法,熟练掌握正弦函数图像和性质是解决本题的关键,是中档题.
7.(2020·张家界市民族中学月考)设函数,若的导函数是偶函数,则可以是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出导函数,根据偶函数的性质得到,,,当时,.
【详解】
因为,
所以,
因为为偶函数,所以对任意实数恒成立,
所以对任意实数恒成立,
所以对任意实数恒成立,
所以对任意实数恒成立,
所以对任意实数恒成立,
所以,所以,.
当时,.
故选:A
【点睛】
本题考查了导数的计算,考查了函数的奇偶性,考查了两角和与差的余弦公式,属于中档题.
8.(2020·北京中关村中学高三月考)函数的导函数为,若对于定义域为任意,有恒成立,则称为恒均变函数.给出下列函数:
①;②;③;④
其中为恒均变函数的序号是( )
A.①③ B.①② C.①②③ D.①②④
【答案】B
【解析】
【分析】
针对每一个函数,分别计算出与,检验两者是否恒相等,即可得解.
【详解】
对于①,,,满足,故①为恒均变函数;
对于②,
,,满足,
故②为恒均变函数;
对于③,当,时,,即此时,故③不为恒均变函数;
对于④,当,时,,
,
即此时,故④不为恒均变函数.
故选:B.
【点睛】
本题考查了导数的计算,考查了运算能力和对于新概念的理解,属于中档题.
9.(2020·江西高二期末(理))若函数的导数满足,则( )
A.e B.2 C.1 D.0
【答案】D
【解析】
【分析】
求导得,令,可求出的值,从而得的解析式,再代入,即可得解.
【详解】
∵,
∴,
令,可得,
解得,
因此,
,
故选:D
【点睛】
本题主要考查了导数的运算法则,求导公式,考查了运算能力,属于中档题.
10.(2020·海原县第一中学高二月考(理))设,则
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用导数的四则运算法则,结合初等基本函数的求导公式可得出其导函数,从而可得结果.
【详解】
,故选A.
【点睛】
本题主要考查导数的运算法则与求导公式,考查了计算能力,解题关键在于掌握导数的四则运算法则,属于基础题.
11.(2020·林芝市第二高级中学高二期末(理))设,函数的导函数为,且是奇函数,则a为( )
A.0 B.1 C.2 D.-1
【答案】D
【解析】
∵函数
∴
∵是奇函数
∴,即.
∴
故选D.
点睛:正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题:(1)定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数必要不充分条件;(2)或是定义域上的恒等式.
12.(2020·湖南雨花·高二期末)已知函数的导函数,且满足,则( )
A.5 B.6 C.7 D.-12
【答案】B
【解析】
【分析】
将看出常数利用导数的运算法则求出,令求出代入,令求出即可.
【详解】
解:,
,
故选.
【点睛】
本题主要考查了导数的运算法则,解题的关键是弄清是常数,属于基础题.
13.(2020·四川宜宾·高二期末(理))已知是函数的导函数,对任意,都有,且,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题首先可以令,然后根据得出,再然后设,通过求出,最后将转化为,通过计算即可得出结果.
【详解】
令,则,
因为,所以,
设,
因为,所以,,
因为,所以,
即,,解得,
故选:D.
【点睛】
本题考查利用导函数求函数解析式以及不等式的解法,考查导函数与函数之间的转化,考查一元二次不等式的解法,考查计算能力,考查转化与化归思想,是中档题.
14.(2020·云南弥勒市一中高二月考(文))等比数列中,,函数,则( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由可得的表达式,可得的表达式,利用等比数列的性质可得答案.
【详解】
解:由题意,记,则,
故.
故选:C.
【分析】
本题主要考查等比数列的性质,函数导数的应用,考查学生分析问题和解决问题的能力.
15.(2020·山东临沂·高二期末)设函数的导函数为,则图象大致是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出导函数,然后研究的性质,用排除法确定正确选项.
【详解】
因为,所以,所以,
所以函数是奇函数,其图象关于原点成中心对称,而函数为偶函数,其图象关于轴对称,所以选项B,C错误;又因为其图象过原点,所以选项A错误.
故选:D.
【点睛】
本题考查导数的运算,考查由函数解析式选择函数图象,解题时可根据解析式确定函数的性质,利用排除法得出正确选项.
16.(2020·江苏省丰县中学高三月考)设,,,…,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角函数的导函数和已知定义,依次对其求导,观察得出,可得解.
【详解】
,,
,
,
,
,
由此可知:,
.
故选:D.
【点晴】
本题考查三角函数的导数,依次求三角函数的导数找到所具有的周期性是解决此问题的关键,属于中档题.
17.(2020·北京八中高二期末)已知函数在,上为增函数,在上为减函数,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求导得到,然后根据在,上为增函数,在上为减函数,由求解.
【详解】
已知函数,
则,
因为在,上为增函数,在上为减函数,
所以,即,
解得 ,
所以实数的取值范围为
故选:B
【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性以及二次函数与根的分布,还考查了逻辑推理和运算求解的能力,属于中档题.
18.(2020·海南期中)若函数恰有两个不同的零点,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意,得到方程有两不等实根,构造函数,,对其求导,判定函数单调性,求出极值,画出函数大致图像,结合图像,即可得出结果.
【详解】
显然,不是函数的零点,令,得,
构造函数,,则,
令得到,令得到且,
即函数在上单调递减,在上单调递减,在上单调递增;
所以函数有极小值;
画出函数的图象,如图所示,
由图像可知,
当时,直线与的图象不可能有两个交点,
当,只需,的图象与直线即有两个不同的交点,
即函数恰有两个不同的零点,
∴的取值范围为.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查导数的方法研究函数的零点,利用数形结合的方法即可求解,属于常考题型.
19.(2020·四川成都·月考(文))已知函数,,设,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据导数求得函数在上单调递增,结合函数的单调性,即可求解.
【详解】
由题意,函数,可得,
所以在上单调递增,
又由,可得,
所以.
故选:D.
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,以及利用函数的单调性比较函数值的大小,其中解答中熟练利用导数求得函数的单调性是解答的关键,着重考查推理与运算能力.
20.(2020·北京期末)设函数在R上可导,其导函数为,且函数的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )
A.有极大值 B.有极小值
C.有极大值 D.有极小值
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数的图象,可得时,;时,;时,.由此可得函数的单调性,则答案可求.
【详解】
解:函数的图象如图所示,
∴时,;时,;时,.
∴函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递减.
∴有极大值.
故选:A.
【点睛】
本题考查根据导函数的相关图象求函数的单调区间,考查数形结合思想,是中档题.
21.(2020·广东汕头·月考)已知偶函数对于任意的满足(其中是函数的导函数),则下列不等式中成立的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
试题分析:令,因,故由题设可得,即函数在上单调递增且是偶函数.又因,故,即,所以,故应选D.
考点:导数在研究函数的单调性方面的运用.
【易错点晴】本题将导数的知识和函数的单调性及不等式的解法等知识有机地结合起来,综合考查学生的数学思想和数学方法及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时,先将巧妙地构造函数,再运用求导法则求得,故由题设可得,即函数在上单调递增且是偶函数.再运用检验的方法逐一验证四个答案的真伪,从而使得问题获解.
22.(2020·浙江月考)已知函数的单调递增区间是,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先求出函数的导函数,再根据函数的单调递增区间为,即可的解集为,即可得到、、的关系,从而得解;
【详解】
解:由题可得,则的解集为,即,,可得,∴,
故选:C.
【点睛】
本题考查函数的单调性,考查运算求解能力及推理论证能力,属于中档题.
23.(2020·重庆月考)已知函数在定义域上的导函数为,若函数没有零点,且,当在上与在上的单调性相同时,则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据导函数与单调性关系,可知为上的单调函数,设,
利用换元法即可得,进而可得为增函数,即可知也为增函数,先求得,并令,结合正弦函数的性质即可确定k的取值范围.
【详解】
由函数没有零点,即方程无解,则或恒成立,
所以为上的单调函数,
都有,则为定值,
设,
则,易知为上的增函数,
∵,
∴,
又与的单调性相同,
∴在上单调递增,则当时,恒成立.
当时,,
所以由正弦函数性质可知,
∴.
所以,即,
故选:A.
【点睛】
本题考查了导函数与单调性关系,换元法求函数解析式,正弦函数的性质求参数的取值范围,属于中档题.
24.(2020·安徽月考(理))已知函数,则( )
A.函数的极大值点为 B.函数在上单调递减
C.函数在R上有3个零点 D.函数在原点处的切线方程为
【答案】D
【解析】
【分析】
求出函数的导函数,用导数判断函数的单调性,并求极值,从而可以判断零点个数逐项排除可得答案.
【详解】
令得或.
当时,,函数的增区间为,;
当时,,函数的减区间为,故B错误.
所以当时,函数有极大值,故A错误.
当时,恒成立,所以函数在没有零点;
当时,函数在上单调递减,且,存在唯一零点;
当时,函数在上单调递增,且,存在唯一零点.
故函数在R上有两个零点,故C错误.
函数,得,则;
又,从而曲线在原点处的切线方程为,故D正确.
故选:D.
【点睛】
本题考查了用导数判断函数的单调性、极值、零点及求切线方程,要求学生有较好的理解力和运算能力,是中档题.
25.(2018·安徽淮北·月考(理))已知函数,,(为自然对数的底数),若关于的不等式有解,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将不等式整理为,利用基本不等式和导数可求得不等式左侧的最小值为,不等式右侧的最大值为,则可知不等式有解,则需最值点重合,由此构造方程求得结果.
【详解】
由得:(*)
,当且仅当,即时取等号;
记,则,
当时,,单调递增;当时,,单调递减;
.
若(*)成立,则,解得:.
故选:.
【点睛】
本题考查根据不等式有解求解参数值的问题,解题关键是能够将问题转化为函数最值的求解问题,从而利用基本不等式和导数求得函数最值,考查了学生分析和解决问题的能力,属于中档题.
二、多选题
26.(2020·广东月考)已知定义在R上的函数满足,则下列式子成立的是( )
A. B.
C.是R上的增函数 D.,则有
【答案】AD
【解析】
【分析】
由题意得,即为增函数,可得,即可判断,举出反例可判断C,根据单调性可判断D.
【详解】
由,得,即,
所以函数为增函数,故,
所以,故A正确,B不正确;
函数为增函数时,不一定为增函数,
如是增函数,但是减函数,所以C不正确;
因为函数为增函数,所以时,有,
故有成立,所以D正确.
故选:AD.
【点睛】
本题主要考查了利用导数判断函数的单调性,构造函数是解题的关键,属于中档题.
27.(2020·湖南郴州·月考)已知函数在上可导且,其导函数满足,对于函数,下列结论正确的是( )
A.函数在上为增函数 B.是函数的极小值点
C.函数必有2个零点 D.
【答案】BD
【解析】
【分析】
对函数求导,求出单调区间和极值,可判断选项A,B;根据极小值的大小可得函数的零点个数,判断选项C;利用在上为增函数,比较与的大小关系,判断出选项D.
【详解】
函数,则,
当时,,故在上为增函数,A错误;
当时,,故在单调递减,故是函数g(x)的极小值点,B正确;
若,则有两个零点,
若,则有一个零点,
若,则没有零点,故C错误;
在上为增函数,则,即,化简得,D正确;
故选:BD
【点睛】
本题考查导数在单调性中的应用,考查函数的极值,考查函数的零点问题,考查利用单调性比较大小,属于中档题.
第II卷(非选择题)
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三、解答题
28.(2020·天津和平·期中)
已知函数,其中是常数.
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)若存在实数,使得关于的方程在上有两个不相等的实数根,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
【分析】
(Ⅰ)当a=1时,f(1)=e,f′(1)=4e,由点斜式可求得y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ) 令f′(x)=ex[x2+(a+2)x)]=0,可解得x=﹣(a+2)或x=0,对﹣(a+2)与0的大小关系分类讨论,可求得关于x的方程f(x)=k在[0,+∞)上有两个不相等的实数根的k的取值范围.
【详解】
解:(Ⅰ)由可得
.
当时,,.
所以 曲线在点处的切线方程为,
即
(Ⅱ) 令,
解得或
当,即时,在区间上,,所以是上的增函数.
所以 方程在上不可能有两个不相等的实数根.
当,即时,随的变化情况如下表
↘
↗
由上表可知函数在上的最小值为.
因为 函数是上的减函数,是上的增函数,
且当时,有.
所以 要使方程在上有两个不相等的实数根,的取值范围必须是
.
【点睛】
本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程,考查利用导数研究函数的极值,突出考查分类讨论思想与转化思想的应用,考查综合分析与综合运算的能力,属于难题.
29.(2020·江苏高三月考)已知函数,.
(1)当为何值时,直线是曲线的切线;
(2)若不等式在上恒成立,求的取值范围.
【答案】(1) .(2) .
【解析】
【分析】
(1)先令,求其导数,设切点为,由直线是曲线的切线,得到,用导数的方法研究函数的单调性,即可求出结果;
(2)先令,对其求导,分别讨论和两种情况,结合题意,即可得到结果.
【详解】
(1)令,,
设切点为,则,,则.
令,,则函数在上单调递减,在上单调递增,且,所以.
(2)令,则,
①当时,,所以函数在上单调递减,
所以,所以满足题意.
②当时,令,得,
所以当时, ,当时,.
所以函数在上单调递增,在上单调递减.
(ⅰ)当,即时,在上单调递增,
所以,所以,此时无解.
(ⅱ)当,即时,函数在上单调递增,在上单调递减.
所以 .
设 ,则,
所以在上单调递增,
,不满足题意.
(ⅲ)当,即时,在上单调递减,
所以,所以 满足题意.
综上所述:的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查由切线方程求参数,以及导数的应用,熟记导数的几何意义,以及导数的方法研究函数的单调性、极值等,灵活运用分类讨论的思想求解即可,属于常考题型.
30.(2020·北京高三二模)设函数,其中,曲线在点处的切线经过点.
(1)求的值;
(2)求函数的极值;
(3)证明:.
【答案】(1);(2)极小值,没有极大值;(3)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)由题意,结合导数的几何意义可求切线的斜率,进而可求切线方程,代入已知点的坐标可求;
(2)先对函数求导,结合导数与极值的关系即可求解;
(3)由于等价于,结合(2)可得,故只要证明即可,(需验证等号不同时成立)结合导数可证.
【详解】
解:(1),
则,
故在处的切线方程,
把点代入切线方程可得,,
(2)由(1)可得,
易得,当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,
故当时,函数取得极小值,没有极大值,
证明:(3)等价于,
由(2)可得(当且仅当时等号成立)①,
所以,
故只要证明即可,(需验证等号不同时成立)
设,则,
当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,
所以,当且仅当时等号成立,②
因为①②等号不同时成立,
所以当时,.
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义及导数与极值的关系,还考查了利用导数证明不等式,体现了转化思想的应用.
31.(2020·唐山市第十一中学高二期末)已知函数
求曲线在点处的切线方程
若函数,恰有2个零点,求实数a的取值范围
【答案】(1) x+y-1=0.
(2) .
【解析】
【分析】
(1)求得f(x)的导数,可得切线的斜率和切点,即可得到所求切线方程;
(2) 函数恰有2个零点转化为两个图象的交点个数问题,数形结合解题即可.
【详解】
(1)因为,所以.
所以
又
所以曲线在点处的切线方程为
即.(5分)
(2)由题意得,,
所以.
由,解得,
故当时,,在上单调递减;
当时,,在上单调递增.
所以.
又,,
若函数恰有两个零点,
则解得.
所以实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法,一个是利用二分法求解,另一个是化原函数为两个函数,利用两个函数的交点来求解.
32.(2020·北京八中高二期末)已知函数,是奇函数.
(1)求的表达式;
(2)求函数的极值.
【答案】(1);(2)极大值,极小值.
【解析】
【分析】
(1)求导,由得到的表达式,然后利用是奇函数求解.
(2)由(1)知,求导,再利用极值的定义求解.
【详解】
(1)函数,
所以,
所以,
因为是奇函数,
所以,
所以,解得,
所以的表达式为.
(2)由(1)知,
则,
当或时,,递减;
当时,,递增;
所以当时,取得极大值,
当时,取得极小值.
【点睛】
本题主要考查函数导数的求法,利用奇偶性求函数解析式以及函数极值的求法,还考查了运算求解的能力,属于中档题.
33.(2020·广西其他(理))已知函数.
(1)求函数在区间上的最大值和最小值;
(2)若有解,求实数a的取值范围.
【答案】(1)最大值为,最小值为;(2).
【解析】
【分析】
(1)求导得在区间上单调递增,进而可得答案;
(2)由题得,求导得,再分和两种情况讨论求解即可.
【详解】
(1)由题可知的定义域为
函数,
所以函数在区间上是增函数.
在区间上的最大值为,最小值为.
(2),令,
.
当时,.,显然有解.
当时,由得,
当时,,
当时,,
故在处取得最大值.
若使有解,只需
解得.
结合,此时a的取值范围为.
综上所述,a的取值范围为.
【点睛】
本题考查利用导数求函数的最值,研究不等式,考查分类讨论思想和数学运算能力,是中档题.
34.(2020·渝中·重庆巴蜀中学月考)已知,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)已知存在极值,若对,都,使得不等式成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析;(2).
【解析】
【分析】
(1)分别在和两种情况下,根据的正负可确定的单调性;
(2)根据(1)的结论可知,结合分离变量的方式将问题转化为在有解,设,利用导数求得在上的最大值,由此可得结果.
【详解】
(1),,
①当时,在上恒成立,
在上单调递增;
②当时,
若,则;若,则;
在上单调递减,在上单调递增;
综上所述:当时,在上单调递增;当时,在上单调递减,在上单调递增.
(2)由(1)知:若存在极值,则,且,
故原题转化为:,使得成立,
即在有解,
则在有解,
令,,
则,
在上单调递增,,,
即实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查导数在研究函数中的应用,涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、能成立与恒成立的综合应用问题;解决恒、能成立问题的关键是能够将问题转化为函数最值的求解问题,属于常考题型.
35.(2020·云南昆明一中月考(理))已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)若当时,恒成立,求正整数的最大值.
【答案】(1);(2) .
【解析】
【分析】
(1),,利用点斜式即可写出方程;
(2)由恒成立,即,只需要,再对求导判断单调性即可求解
【详解】
(1)函数的定义域为,
,因为,,
所以曲线在点处的切线方程为,
即.
(2)由,得.
即对于恒成立,
令,只需,
,
令,则,
所以在单调递增,
因为,,,
所以,使得,
且当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以在单调递减,在单调递增,
所以,
又因为,所以.
【点睛】
本题主要考查了利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程,考查了恒成立问题求参数的取值范围,属于中档题
36.(2020·广东中山纪念中学月考)已知函数,且
(1)若函数在处取得极值,求函数的解析式;
(2)在(1)的条件下,令,求的单调区间;
【答案】(1);(2)的单调递减区间为,单调递增区间为.
【解析】
【分析】
(1)求出导函数,由,可解得,得函数解析式;
(2)求出,然后求出的解,确定的正负,得单调区间.
【详解】
(1)函数的定义域为
由已知可得:
解得,经检验:符合题意
(2)的定义域为
由于满足
故:在上单增,故:当时,恒成立
故
单调递减
单调递增
故:的单调递减区间为,单调递增区间为
【点睛】
本题考查用导数研究函数的极值,求单调区间,解题基础是掌握导数的运算法则,求出导函数.再根据导数与极值、单调性的关系求解.
37.(2020·北京期末)已知函数.
(1)求的极值;
(2)若函数在定义域内有三个零点,求实数a的取值范围.
【答案】(1)极大值为,极小值为;(2).
【解析】
【分析】
(1)先对函数求导,然后结合导数可分析函数的单调性,进而可求函数的极值;
(2)“函数,在定义域内有三个零点”可以转化为“方程有两个非零实根”.构造函数,对其求导,然后结合导数及函数的性质可求.
【详解】
解:由题意可知函数的定义域为R.
(1)因为.
所以,
由,得,,
当时,,函数单调递增,
当时,,函数单调递减,
当时,,函数单调递增,
因此,当时,有极大值,并且极大值为;
当时,有极小值,并且极小值为.
(2)因为,
所以为一个零点.
所以“函数,在定义域内有三个零点”可以转化为“方程有两个非零实根”.
令,则,
所以,当时,,在上单调递减;
当时,,在上单调递增;
当时,有最小值,时,,时,.
若方程有两个非零实根,则,即.
若,方程只有一个非零实根,
所以.
综上,.
【点睛】
本题考查函数极值的求解,利用导数研究函数零点的个数,考查化归转化思想和数学运算能力,是中档题.
38.(2019·广东湛江·期末(理))已知函数.
(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)若对所有都有,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)最小值;(Ⅱ)
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由导数的应用,研究函数的单调性,再求其最值,
(Ⅱ)构造函数,由导数的应用求函数的最值即可得解.
【详解】
解:(Ⅰ)的定义域为,的导数. 令,
解得;令,解得.从而在单调递减,在单调递增.
所以,当时,取得最小值.
(Ⅱ)依题意,得在上恒成立,即不等式对于恒成立.
令, 则. 当时,因为,
故是上的增函数,所以的最小值是,
从而的取值范围是.
【点睛】
本题考查了利用导数求函数的最值及利用导数研究不等式,属中档题.
39.(2020·广东月考)设函数.
(1)证明:函数在区间内单调递增;
(2)当时,恒成立,求整数的最小值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
【分析】
(1)利用导数证明函数的单调性即可.
(2)首先利用导数求出函数在的最大值,再根据恒成立,即可得到答案.
【详解】
(1)因为,
记,所以.
当时,恒成立,
所以在区间内单调递增,
所以,所以当时,恒成立,
所以函数在区间内单调递增.
(2)由(1)知,
令,解得,
当时,,即单调递减;
当时,,即单调递增.
又,,
所以在区间内,存在唯一零点,
满足,即.
当时,,即函数在区间内单调递增;
当时,,即函数在区间内单调递减,
所以当时,.
由,可得,
所以,
由,可得,
因为恒成立,且,
所以整数的最小值为.
【点睛】
本题第一问考查利用导数证明函数的单调性,第二考查利用导数解决恒成立问题,同时考查学生分析问题的能力,属于中档题.
40.(2020·湖北宜昌·高三期末(文))已知函数.
(1)当时,求的单调区间;
(2)若对于定义域内任意的,恒成立,求的取值范围;
(3)记,若在区间内有两个零点,求的取值范围.
【答案】(1)在上单调递减,在上单调递减;(2);(3).
【解析】
【分析】
(1)求定义域,求,令在定义域内解不等式得单调增区间,令在定义域内解不等式得单调减区间;
(2)由已知只需即可,求,对分,,讨论的单调性,即可求,再由,即可求出的取值范围;
(3)由,得,令,研究函数的单调性,利用数形结合可知只需,即可求出的取值范围或求,对分,,讨论的单调性,再利用图象结合零点存在性定理列出不等式组,即可求出的取值范围.
【详解】
(1)的定义域为,
令,得;令,得,
所以的单调减区间,单调递增区间为.
(2) 的定义域为,,
当时,恒成立;
当时,时,;时,,
所以在上单调递减,上单调递增,
所以,解得;
当时,在上单调递减,上单调递增,
所以,解得;
综上,的取值范围.
(3)法一:显然,不是的零点,所以
由,得,令,,令得,
当时,;当时,,
所以在和单调递减,单调递增,
又时,,不成立,
所以只需,
故的取值范围.
法二:,
当时,不合题意,舍去;
当时,在上单调递减,上单调递增,要使在区间内有两个零点,则
需满足,即,解得;
当时,在上单调递减,上单调递增,要使在区间内有两个零点,则
需满足 ,即,解得;
综上,的取值范围.
【点睛】
本题主要考查导数在研究函数中的应用,考查了利用导数求函数的单调区间,含参单调区间的求法,恒成立问题的处理方法及数形结合思想,属于中档题.
四、填空题
41.(2020·湖南雨花·雅礼中学高三月考)函数存在与直线平行的切线,则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
试题分析:由题意,得,故存在切点,使得,所以有解.由于,所以(当且仅当取等号),即.
考点:1、导数的几何意义;2、基本不等式.
【思路点晴】求解时要充分借助题设和直线与函数代表的曲线相切的的条件,建立含参数的方程,然后运用存在变量使得方程有解,再进一步转化为求函数的值域问题.求值域时又利用题设中的,巧妙运用基本不等式使得问题简捷巧妙获解.
42.(2020·渝中·重庆巴蜀中学高三月考)已知,则______.
【答案】
【解析】
【分析】
求出导函数,分别将代入原函数、导函数,得到关于的方程组,求得即可得答案.
【详解】
,解得,
故答案为: .
【点睛】
本题主要考查导数的运算法则以及基本初等函数的求导公式,属于基础题,
43.(2020·渝中·重庆巴蜀中学月考)已知在内有且仅有一个零点,当时,函数的值域是,则______.
【答案】2
【解析】
【分析】
先对函数求导,求出极值点,根据函数在内有且仅有一个零点可得,将极小值点代入函数即可求出,再根据函数的单调性可知求函数在的值域,即可求出,最后求出的值.
【详解】
解:,,
令,可得,
在内有且仅有一个零点,则必有,
且极小,则,
此时在,,,
又,,,,
故的值域是,即,,
所以.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数零点的意义,考查函数的单调性和值域.属于中档题.
44.(2020·天津和平·期中)已知均为正实数..则的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
均为正实数,,可得,所以,
再利用导数研究单调性极值与最值即可求解.
【详解】
因为,所以,
所以,
令,
则
令,即,解得 ,此时单调递增,
令,即,解得 ,此时单调递减,
所以时,,
所以时的最小值为3,
故答案为:
【点睛】
本题主要考查了利用导数求函数的最值,属于中档题.
45.(2020·北京期末)已知函数,,若成立,则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据得到m,n的关系,利用消元法转化为关于t的函数,构造函数,求函数的导数,利用导数研究函数的最值即可得到结论.
【详解】
解:不妨设,
∴,()
∴,即,,
故(),
令(),
,
所以在上是增函数,且,
当时,,
当时,,
即当时,取得极小值同时也是最小值,
此时,即的最小值为,
故答案为:.
【点睛】
本题考查利用导数求函数的最小值,考查化归转化思想与运算能力,是中档题.
五、双空题
46.(2020·山东潍坊·高三月考)若函数的导函数存在导数,记的导数为.如果对x(a,b),都有,则有如下性质:,其中n,,,…,(a,b).若,则=_______;在锐角△ABC中,根据上述性质推断:sinA+sinB+sinC的最大值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
构造函数,,求导,则,由正弦函数的图象可知成立,根据函数的性质,即可求得的最大值.
【详解】
解:设,,则,则,,
有如下性质:.
则,
的最大值为,
故答案为:,.
【点睛】
本题考查函数的性质,考查正弦函数的性质,考查转化思想,属于中档题.
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