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专题二 二次函数、方程与不等式-2021届高三《新题速递•数学》9月刊（江苏专用 适用于高考复习）
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这是一份专题二 二次函数、方程与不等式-2021届高三《新题速递•数学》9月刊（江苏专用 适用于高考复习），文件包含专题二二次函数方程与不等式原卷版docx、专题二二次函数方程与不等式解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共61页， 欢迎下载使用。
专题二 二次函数、方程与不等式
一、单选题
1．（2019·江西新余�高二期末（文））正数a,b满足,若不等式对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用基本不等式求得的最小值，把问题转化为恒成立的类型，求解的最大值即可.
【详解】
,
，且a,b为正数，
，
当且仅当，即时，，
若不等式对任意实数x恒成立，
则对任意实数x恒成立，
即对任意实数x恒成立，
，
，
故选：A
【点睛】
本题主要考查了恒成立问题，基本不等式求最值，二次函数求最值，属于中档题.
2．（2019·四川省绵阳南山中学高一月考）已知不等式的解集是,则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据所给的不等式的解集，并结合一元二次方程根与系数的关系求出的值，然后再解不等式即可．
【详解】
∵不等式的解集是，
∴是方程的两根，
∴，解得．
∴不等式为，
解得，
∴不等式的解集为．
故选A．
【点睛】
本题考查二次不等式的解法，解题时注意结合“三个二次”间的关系，注意不等式解集的端点值、二次方程的根与二次函数图象与x轴交点横坐标间的关系，解题的关键是根据条件求出的值．
3．（2019·四川省绵阳南山中学高一月考）已知平面内，，，且，则的最大值等于（ ）
A．13 B．15 C．19 D．21
【答案】A
【解析】
【分析】
令，，将，表示成，，即可将表示成，展开可得：，再利用基本不等式即可求得其最大值.
【详解】
令，，则
又，
所以
当且仅当时，等号成立.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了平面向量基本定理的应用及利用基本不等式求最值，考查转化能力及计算能力，属于难题.
4．（2020·营口市第二高级中学高二期末）若且，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题得，化简，再利用基本不等式求解.
【详解】
由题得，
所以
.
当且仅当时取等.
故选：B
【点睛】
本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5．（2020·全国高三其他（理））已知，均为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．9 D．12
【答案】B
【解析】
【分析】
由，则,,再换元法利用函数导数研究函数最值得到或利用基本不等式推广运用求最值得解.
【详解】
法一，
令，设，则，
令，解得；令，解得．
所以当时，取得最小值，为12，即当，时，取最小值，为，
法二
当且仅当即当，时，取最小值，为，
故选：B．
【点睛】
本题考查基本不等式的应用求最值，属于基础题.
6．（2020·枣庄市第三中学高一月考）已知m＞0，xy＞0，当x+y＝2时，不等式≥4恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．[，+∞） B．[2，+∞） C．（0，] D．（，2]
【答案】B
【解析】
【分析】
要使不等式≥4恒成立，只需，将乘以，然后利用基本不等式即可求出的最小值，解关于的不等式即可.
【详解】
要使不等式≥4恒成立，只需，
，
，
，
，
，
，
令，且，则不等式化为，
解得，即，
.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查不等式的恒成立、以及基本不等式的应用，属于中档题.
7．（2020·北京高二期中）已知函数f（x）＝2ax2+（a+2）x+1（a＜0），那么不等式f（x）＞0的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
对因式分解，比较所得两根的大小，由此求得的解集.
【详解】
依题意，令，
由于，故解得，且，
所以的解集为.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
8．（2020·枣庄市第三中学高一月考）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设该厂每天获得的利润为元，
则，，
根据题意知，，解得：，
所以当时，每天获得的利润不少于元，故选．
点睛：考查了根据实际问题分析和解决问题的能力，以及转化与化归的能力，对于函数的应用问题：（1）函数模型的关键是找到一个影响求解目标函数的变量，以这个变量为自变量表达其他需要的量，综合各种条件建立数学模型；（2）在实际问题的函数模型中要特别注意函数的定义域，它是实际问题决定的，不是由建立的函数解析式决定的．
9．（2020·安徽黄山�高一期末）在上定义运算 ，若不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知定义可把问题转化为恒成立，然后结合二次不等式的恒成立问题对进行分类讨论可求．
【详解】
解：由的解集为可得恒成立，
即恒成立，
当时，恒成立，满足题意；
当时，有，解可得，
综上可得，．
故选：．
【点睛】
本题以新定义为载体，主要考查了不等式的恒成立问题，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题．
10．（2020·黑龙江松北�哈九中高一月考）一元二次不等式的解集是，则的值是（ ）
A．10 B．-10 C．14 D．-14
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，由不等式的解集分析可得方程的两根为和，由根与系数的关系分析可得，解可得、的值，将其值相加即可得答案．
【详解】
解：根据题意，一元二次不等式的解集是，
则方程的两根为和，
则有，
解可得，，
则，
故选：．
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法，注意一元二次不等式的解集与一元二次方程的根之间的关系，属于基础题．
11．（2020·山西太原�高一期末）若不等式对于一切实数x都恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
当时，不等式恒成立；当时，根据二次函数的图象列式可解得结果.
【详解】
当时，不等式化为恒成立；
当时，一元二次不等式对于一切实数x都恒成立，等价于，解得，
综上可得实数a的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题考查了分类讨论思想，考查了一元二次不等式恒成立问题，属于基础题.
12．（2020·山东省滕州市第二中学高一月考）要使关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是
A． B．或 C．或 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得，二次函数的图象与轴的两个交点在的两边，则，由此求解关于的不等式得答案．
【详解】
解：方程对应的二次函数为，
其图象是开口向上的抛物线，要使方程的一根比1大且另一根比1小，
则抛物线与轴的两个交点在的两边，
，即，
解得．
故选：．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系，考查数学转化思想方法，灵活运用“三个二次”的结合是关键，属于基础题．
13．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一月考）若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，] B．（0，） C．[0，] D．[0，）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意将问题转化为二次型不等式恒成立问题，结合对参数的讨论，根据即可求得结果.
【详解】
要满足题意，只需在上恒成立即可.
当时，显然满足题意.
当时，只需，
解得.
综上所述，
故选：.
【点睛】
本题考查二次型不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题.
14．（2020·辽阳市第四高级中学高三月考）若命题：“，”为真命题，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分类讨论，时满足题意，时利用二次函数的性质求解．
【详解】
时，不等式为恒成立，
时，由题意得，解得，
综上的取值范围是．
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次不等式恒成立问题，掌握二次函数性质是解题关键，解题时注意对最高次系数是否为0进行讨论，最高次项系数为0，不等式不是二次不等式，求解方法与二次不等式不相同．
15．（2020·上海高一开学考试）已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．6
【答案】A
【解析】
【分析】
设另一根为t，结合韦达定理即可求解
【详解】
设方程的另一个根为t，
根据题意得2+t=﹣1，解得t=﹣3，
即方程的另一个根是﹣3．
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于基础题
16．（2020·上海高一开学考试）关于x的不等式的解集为，且：，则a=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
因为关于x的不等式的解集为，
所以，又，
所以，
解得，因为，所以.
故选：A.
17．（2020·全国高一课时练习）函数，记的解集为，若，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
因为，且，所以解集；然后根据，得不等式组，可得的取值范围．
【详解】
函数，抛物线开口向上，又，所以,则的解集为，得，解得，所以正确选项为A．
【点睛】
本题主要考查含参数的一元二次不等式解法，确定两根的大小是解决本题的关键．
18．（2020·全国高一课时练习）若00的解集是（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
判断出，再利用一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】
∵01，∴>t.
∴(t－x) >0⇔(x－t) <0⇔t
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
19．（2020·全国高一课时练习）不等式的解集为则函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用根与系数的关系x1+x2=−，x1•x2= 结合二次函数的图象可得结果
【详解】
由题知-2和1是ax2-x+c=0的两根，
由根与系数的关系知-2+1= ，，−2×1＝ ，∴a=-1，c=2，
∴=-x2+x+2=-（x-）2+ ，故选C
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法和二次函数的图象，以及一元二次方程根与系数的关系.一元二次不等式，一元二次方程，与一元二次函数的问题之间可相互转化，也体现了数形结合的思想方法.
20．（2019·山东济宁�高一月考）已知集合，则=
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
【详解】
由题意得，，则
．故选C．
【点睛】
不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
21．（2020·浙江高一单元测试）如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x（x∈N）为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运
A．3年 B．4年
C．5年 D．6年
【答案】C
【解析】
可设y=a(x－6)2+11，又曲线过(4，7)，∴7=a(4－6)2+11 ∴a=－1．
即y=－x2+12x－25，∴=12－(x+)≤12－2=2，当且仅当x=5时取等号. 故选C．
22．（2020·浙江高一单元测试）对任意实数x，不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）．
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【解析】
【分析】
时不等式恒成立，时只能有且，由此可得．
【详解】
由已知得即解得．
又当时，原不等式可化为，显然恒成立．
故a的取值范围是．
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次不等式恒成立问题，解题时要注意讨论二次项系数为0的情形，二次项系数为0时，它已经不是二次不等式了，要注意．
23．（2020·洮南市第一中学高二期末（文））若，则，，，按由小到大的顺序排列为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，利用怍差法求解.
【详解】
，
因为，
所以，
所以，
，
因为，
所以，
所以，
，
因为，
所以，
所以，
所以。
故选：A
【点睛】
本题主要考查不等式的基本性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
二、多选题
24．（2020·浙江高一单元测试）已知且，那么下列不等式中，恒成立的有（ ）．
A． B．C． D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用基本不等式，逐个进行验证，即可得到结论．
【详解】
，(当且仅当时取得等号)．所以选项A正确
由选项A有，设，则在上单调递减.
所以，所以选项B正确
(当且仅当时取得等号)，
．所以选项C正确.
（当且仅当时等号成立），所以选项D不正确．
故A，B，C正确
故选：ABC
【点睛】
本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题
第II卷（非选择题）
三、解答题
25．（2020·全国高三其他（文））已知，，为正数，证明：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）利用基本不等式直接证明即可；
（2）先通过基本不等式证明，，，，即可将不等式左边转化，再用基本不等式即可证明.
【详解】
（1）（当且仅当时取等号），
；
（2）（当且仅当时取等号），
同理有（当且仅当时取等号），
（当且仅当时取等号），
（当且仅当时取等号），
．
【点睛】
本题考查应用基本不等式证明不等式，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键.
26．（2020·湖北高三月考（文））设，，都是正数，且.
（1）求的最小值；
（2）证明：.
【答案】（1）4；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）因为，，为正数，且，可得，利用基本不等式即可求出结果；
（2）利用基本不等式，
，由此即可证明结果.
【详解】
（1）因为，，为正数，且，
所以.
当且仅当时取“=”，所以的最小值为4.
（2）.
当且仅当时等号成立.
.
当且仅当时等号成立.
所以.当且仅当时等号成立.
【点睛】
本题主要考查了基本不等式在不等式证明中的应用，属于中档题.
27．（2020·四川眉山�高一期末）已知不等式解集为.
（1）求，的值并求不等式的解集；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）；；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）由已知结合二次不等式的解集端点与二次方程的根的关系即可求解；
（2）结合二次不等式的求解对a进行分类讨论即可求解．
【详解】
（1）由题意知，1和是方程的两根，
则，解得
不等式即为，
解得，
∴
（2）不等式，即为，
即.
①当时，；
②当时，；
③当时，原不等式无解.
综上知，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
【点睛】
本题主要考查了二次方程与二次不等式的关系的应用及含参不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
28．（2020·自贡市第十四中学校高一期中）关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
分和两种情况进行讨论，结合二次函数的图象特征即可列出关于实数a的不等式，进而可求出实数a的取值范围.
【详解】
解：若，当时，原不等式为恒成立，符合题意；
当时，原不等式为，则解集为 ，不符合题意；
若，即时， ，解得，
综上所述，，即.
【点睛】
本题考查了不等式恒成立问题，属于中档题.本题的易错点是未讨论二次项的系数是否为零.
29．（2020·山西省长治市第二中学校高一期末（理））已知函数，，.
当时，求满足的的取值范围；
解关于的不等式；
若对于任意的，均成立，求的取值范围．
【答案】；当时，解集为；当 时，解集为空集；当时，解集为；.
【解析】
【分析】
当时，解一元二次不等式求得的取值范围；
化简为一元二次不等式形式并因式分解，对分成，，三类进行讨论，求出不等式解集；
将的式子转化成一元二次不等式，根据二次函数的性质求出的取值范围．
【详解】
解：当时，，所以，
即 ，解得.
所以的解集为.
由，得 ，
所以 ，
当时，解集为；
当 时，解集为空集；
当时，解集为.
因为对于任意的， 恒成立，
即对任意的时，成立，
根据二次函数的性质可知，对称轴，
所以，解得.
所以的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法，考查含有参数的一元二次不等式分类讨论，考查恒成立问题的解法，属于中档题.
30．（2019·四川省绵阳南山中学高一月考）设函数．
（1）若，且，求的最小值；
（2）若，且在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；(2)
【解析】
【分析】
（1）由，求得，利用基本不等式，即可求解的最小值；
（2）由，求得，得到不等式在上恒成立，
等价于是不等式解集的子集，分类讨论求得不等式的解集，进行判定，即可求解.
【详解】
（1）函数，由，可得，
所以，
当时等号成立，因为，，解得时等号成立，
此时的最小值是.
（2）由，即，
又由在上恒成立，即在上恒成立，
等价于是不等式解集的子集，
①当时，不等式的解集为，满足题意；
②当时，不等式的解集为，则，解得，故有；
③当时，即时，不等式的解集为，满足题意；
④当时，即时，不等式的解集为，不满足题意，（舍去），
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了基本不等式的应用，以及一元二次不等式的恒成立问题的求解，其中解答中熟记基本不等式的应用，以及熟练应用一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
31．（2020·山西省长治市第二中学校高一期末（文））已知函数．
（1）当时，求满足的的取值范围；
（2）解关于的不等式．
【答案】（1）；（2）当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为．
【解析】
【分析】
（1）解一元二次不等式可得；
（2）分类讨论，根据两根据的大小分类讨论．
【详解】
（1）当时，，所以，即
解得.所以的解集为.
（2） 由，得 ，所以 ，
当时，解集为；当时，解集为空集；
当时，解集为．
【点睛】
本题考查解一元二次不等式，对含参数的不等式一般需要分类讨论，分类的层次有三个：一是最高次项系数的正负或者是0，二是对应的一元二次方程有无实数解，三是方程有实数解，方程两根的大小关系．
32．（2020·枣庄市第三中学高一月考）已知函数.
（1）若关于的不等式的解集为，求和的值；
（2）若对，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）依题意，为方程的两解，利用韦达定理得到方程组，解得即可；
（2）依题意对任意的 恒成立，当时，显然成立，当时，参变分离，利用基本不等式求出的取值范围；
【详解】
解：（1）关于的不等式的解集为，即，为方程的两解，所以解得
（2）对任意的，恒成立，即对任意的恒成立，即恒成立，
①当时，不等式恒成立，此时
②当时，，
因为，所以，所以
当且仅当时，即，即时取等号，所以，
综上
【点睛】
本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，不等式恒成立问题，属于中档题.
33．（2020·江苏苏州�高二期末）解下列关于x的不等式：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）整理化简，对一元二次不等式分解因式，求解即可；
（2）将不等式移项，根据分子恒为负数，则只需求的解集即可.
【详解】
（1）原不等式可化为，即，
解得或，
所以原不等式的解集为.
（2）原不等式可化为，整理得，
由于
其恒为负值，故只要，
即，解之得.
所以原不等式的解集为.
【点睛】
本题考查一元二次不等式以及分式不等式的求解，属综合基础题.
34．（2020·哈尔滨德强学校高一期末）关于的不等式的解集为.
（1）求的值；
（2）求关于的不等式的解集．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）关于的不等式的解集为，说明，且﹣1和2是方程的两实数根，利用根与系数关系可以直接求解出的值；
（2）由（1）可知的值，根据一元二次不等式的求解方法，可以直接求解出不等式的解集．
【详解】
（1）关于的不等式的解集为，
∴，且﹣1和2是方程的两实数根，
由根与系数的关系知，，解得；
（2）由（1）知，时，
不等式为，
∴不等式的解集是.
【点睛】
本题考查了已知一元二次不等式的解集求参数问题，考查了一元二次方程与一元二次不等式之间的联系.
35．（2020·浙江高一开学考试）已知关于x的一元二次方程kx2+（1﹣2k）x+k﹣2＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）当k取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式α3+β2+β+2016的值．
【答案】（1）k＞﹣且k≠0；（2）2020.
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△＝（1﹣2k）2﹣4k（k﹣2）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可；
（2）k＝1．方程变为x2﹣x﹣1＝0，利用根与系数的关系得到α+β＝1，αβ＝﹣1，利用一元二次方程根的定义得到α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，则β2＝β+1，α3＝2α+1，然后利用整体代入的方法计算α3+β2+β+2016的值．
【详解】
（1）根据题意得k≠0且△＝（1﹣2k）2﹣4k（k﹣2）＞0，
解得k＞﹣且k≠0；
（2）∵k取满足（1）中条件的最小整数，
∴k＝1．此时方程变为x2﹣x﹣1＝0，
∴α+β＝1，αβ＝﹣1，
∵α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，
∴β2＝β+1，α2＝α+1
∴α3＝α2+α＝α+1+α＝2α+1，
α3+β2+β+2016
＝2α+1+β+1+β+2016
＝2（α+β）+2018
＝2×1+2018
＝2020．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．
36．（2020·浙江高一单元测试）已知不等式组的解集是不等式解集的子集，求实数的取值范围．
【答案】．
【解析】
【分析】
先解一元二次不等式组得，再根据题意转化为在上恒成立求解即可.
【详解】
解：．
所以，
由是解集的子集知，在上恒成立．
令，只需该函数在上的最大值不超过即可．
因该函数的对称轴为，所以，所以，解得．
故实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查一元二次不等式组的解法，不等式恒成立问题，是中档题.
四、填空题
37．（2020·四川眉山�高一期末）已知实数，，是与的等比中项，则的最小值是_________.
【答案】32
【解析】
【分析】
由是与的等比中项，求得，化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】
由题意，实数，，是与的等比中项，
可得，解得，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值是.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求最值，以及等比中项公式的应用，其中解答中熟记等比中项公式，合理利用“1”的代换，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
38．（2020·营口市第二高级中学高二期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是________.
【答案】.
【解析】
【分析】
在等式两边同时除以得到，将代数式和相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，由题意得出，解出该不等式即可得出实数的取值范围.
【详解】
，，且，在等式两边同时除以得，
由基本不等式得，
当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为，
由于不等式恒成立，则，即，
解得，因此，实数的取值范围是，故答案为.
【点睛】
本题考查基本不等式处理不等式恒成立问题，同时也考查了一元二次不等式的解法，在利用基本不等式求最值时，要创造出定值条件，并对代数式进行配凑，考查化归与转化数学思想，属于中等题.
39．（2020·山西省长治市第二中学校高一期末（文））已知正数满足，则的最大值为________
【答案】81
【解析】
【分析】
由基本不等式求解．
【详解】
∵，∴，当且仅当时等号成立．
故答案为：81．
【点睛】
本题考查基本不等式求最值．掌握应用基本不等式求最值的三个条件是解题关键．
40．（2020·江苏高三其他）已知，，则的最小值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由，两次利用基本不等式即可求解.
【详解】
由，，
，
当且仅当，时取等号，
故答案为：
【点睛】
本题考查了基本不等式求最值，注意等号成立的条件，属于中档题.
41．（2019·江西新余�高二期末（文））设关于x的不等式的解集为,则关于x的不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可知2且,利用标根法即可求得答案.
【详解】
不等式ax+b> 0的解集为{x|x< 2},
2是方程ax+b=0的解，且a<0,
,
由标根法得或，
所以不等式的解集为，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查高次不等式的解法，着重考查标根法的应用，求得是解决问题的关键，属于中档题.
42．（2020·安徽黄山�高一期末）已知二次函数，满足，对任意的都有恒成立，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
用a、b、c把各函数值表示出来，再由已知条件得到a、b、c之间的关系，进而得到不等式恒成立，即可求范围
【详解】
∵
∴
又由二次函数对任意的都有恒成立
知：，而
∴，故
∴，令
即
∴，若
有即可，而在上无最大值，无最小值但
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查了一元二次函数、一元二次不等式以及一元二次方程根与系数关系，首先由各函数值的表达式代入目标式并化简，再由一元二次方程根与系数关系确定系数间的不等关系，进而构造一元二次函数，根据不等式恒成立，求目标式范围
43．（2020·山东省滕州市第二中学高一月考）若不等式的解集为，则实数的取值范围是_____.
【答案】；
【解析】
【分析】
分三种情况讨论：（1）当等于0时，原不等式变为，显然成立；
（2）当时，根据二次函数的图象与性质可知解集为不可能；
（3）当时，二次函数开口向下，且与轴没有交点即△小于0时，由此可得结论．
【详解】
解：（1）当时，得到，显然不等式的解集为；
（2）当时，二次函数开口向上，函数值不恒小于0，故解集为不可能．
（3）当时，二次函数开口向下，由不等式的解集为，
得到二次函数与轴没有交点，即△，即，解得；
综上，的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查解不等式，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，属于基础题．
44．（2020·哈尔滨德强学校高一期末）若不等式的解集是，函数，当时恒成立，则实数a的取值范围是______
【答案】
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式和一元二次方程的关系得到，再根据二次函数的性质解答.
【详解】
解：的解集是
所以为方程的解且
，则
，
，对称轴为
，
即
故答案为：
【点睛】
本题考查一元二次不等式和一元二次方的关系，二次函数的性质，属于基础题.
45．（2020·四川省宜宾市第四中学校高二月考（理））若对于任意的关于的不等式恒成立，则的最小值为___________________
【答案】
【解析】
【分析】
令，根据对于任意的关于的不等式恒成立，结合二次函数的性质，则有，画出其可行域，令，表示原点与点 之间距离的平方，再求其最小值即可.
【详解】
令，
因为对于任意的关于的不等式恒成立，
所以，
即，其可行域如图阴影部分，
令，则表示原点与点 之间距离的平方，
如图，当 垂直于所在的直线时，距离最小，最小值为：，
所以的最小值为： ，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查二元一次不等式与平面区域及其应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
46．（2020·上海高一开学考试）已知函数的定义域为，则a的取值范围为___________ ；
【答案】
【解析】
【分析】
由已知得ax2＋2ax＋1≥0恒成立，分和两种情况分析，求得的取值范围.
【详解】
（1）∵函数的定义域为R，∴ax2＋2ax＋1≥0恒成立，
当a＝0时，1≥0恒成立，即符合题意，
当a≠0时，则，得，解得0
故答案为：
【点睛】
本题考查了一元二次型不等式恒成立的问题，考查了转化与化归思想，分类讨论思想，属于中档题.
47．（2020·全国高一课时练习）某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买吨，已知每次的运费为4万元/次，一年总的库存费用为万元，为了使总的费用最低，每次购买的数量为 _____________ ；
【答案】20吨
【解析】
【分析】
依题意写出表达式，均值不等式求最小值。
【详解】
由题意，总的费用，当时取“=”，所以答案为20吨。
【点睛】
实际问题一定注意实际问题中自变量的取值，取等号的条件。
48．（2020·全国高三课时练习（理））设，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．
【详解】
，
当且仅当，即时成立，
故所求的最小值为．
【点睛】
使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．
49．（2020·浙江高一单元测试）当时，函数与在同一点取得相同的最小值，那么当时，的最大值是______．
【答案】4．
【解析】
【分析】
先利用基本不等式求得图象的最低点坐标，根据二次函数的性质求得和，最后根据的范围求得的最大值．
【详解】
(当且仅当时取等号)
所以当时，取得最小值3，
所以函数在时，当时有最小值3.
所以二次函数的顶点坐标为
．
当时，．
故答案为：4
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，基本不等式的应用．考查了学生对二次函数图象的理解和灵活运用，属于中档题.
50．（2020·浙江高一单元测试）对于实数x，当且仅当时，规定，则不等式的解集是_____．
【答案】．
【解析】
【分析】
先解关于的二次不等式，得到的范围，再根据的定义，得到的范围.
【详解】
解关于于的二次不等式，
得，
因为当且仅当时，规定，
解得：．
故答案为：
【点睛】
本题考查解二次不等式，根据条件中的新定义解决问题，属于中档题.
专题二 二次函数、方程与不等式
一、单选题
1．（2019·江西新余�高二期末（文））正数a,b满足,若不等式对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用基本不等式求得的最小值，把问题转化为恒成立的类型，求解的最大值即可.
【详解】
,
，且a,b为正数，
，
当且仅当，即时，，
若不等式对任意实数x恒成立，
则对任意实数x恒成立，
即对任意实数x恒成立，
，
，
故选：A
【点睛】
本题主要考查了恒成立问题，基本不等式求最值，二次函数求最值，属于中档题.
2．（2019·四川省绵阳南山中学高一月考）已知不等式的解集是,则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据所给的不等式的解集，并结合一元二次方程根与系数的关系求出的值，然后再解不等式即可．
【详解】
∵不等式的解集是，
∴是方程的两根，
∴，解得．
∴不等式为，
解得，
∴不等式的解集为．
故选A．
【点睛】
本题考查二次不等式的解法，解题时注意结合“三个二次”间的关系，注意不等式解集的端点值、二次方程的根与二次函数图象与x轴交点横坐标间的关系，解题的关键是根据条件求出的值．
3．（2019·四川省绵阳南山中学高一月考）已知平面内，，，且，则的最大值等于（ ）
A．13 B．15 C．19 D．21
【答案】A
【解析】
【分析】
令，，将，表示成，，即可将表示成，展开可得：，再利用基本不等式即可求得其最大值.
【详解】
令，，则
又，
所以
当且仅当时，等号成立.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了平面向量基本定理的应用及利用基本不等式求最值，考查转化能力及计算能力，属于难题.
4．（2020·营口市第二高级中学高二期末）若且，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题得，化简，再利用基本不等式求解.
【详解】
由题得，
所以
.
当且仅当时取等.
故选：B
【点睛】
本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5．（2020·全国高三其他（理））已知，均为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．9 D．12
【答案】B
【解析】
【分析】
由，则,,再换元法利用函数导数研究函数最值得到或利用基本不等式推广运用求最值得解.
【详解】
法一，
令，设，则，
令，解得；令，解得．
所以当时，取得最小值，为12，即当，时，取最小值，为，
法二
当且仅当即当，时，取最小值，为，
故选：B．
【点睛】
本题考查基本不等式的应用求最值，属于基础题.
6．（2020·枣庄市第三中学高一月考）已知m＞0，xy＞0，当x+y＝2时，不等式≥4恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．[，+∞） B．[2，+∞） C．（0，] D．（，2]
【答案】B
【解析】
【分析】
要使不等式≥4恒成立，只需，将乘以，然后利用基本不等式即可求出的最小值，解关于的不等式即可.
【详解】
要使不等式≥4恒成立，只需，
，
，
，
，
，
，
令，且，则不等式化为，
解得，即，
.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查不等式的恒成立、以及基本不等式的应用，属于中档题.
7．（2020·北京高二期中）已知函数f（x）＝2ax2+（a+2）x+1（a＜0），那么不等式f（x）＞0的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
对因式分解，比较所得两根的大小，由此求得的解集.
【详解】
依题意，令，
由于，故解得，且，
所以的解集为.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
8．（2020·枣庄市第三中学高一月考）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设该厂每天获得的利润为元，
则，，
根据题意知，，解得：，
所以当时，每天获得的利润不少于元，故选．
点睛：考查了根据实际问题分析和解决问题的能力，以及转化与化归的能力，对于函数的应用问题：（1）函数模型的关键是找到一个影响求解目标函数的变量，以这个变量为自变量表达其他需要的量，综合各种条件建立数学模型；（2）在实际问题的函数模型中要特别注意函数的定义域，它是实际问题决定的，不是由建立的函数解析式决定的．
9．（2020·安徽黄山�高一期末）在上定义运算 ，若不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知定义可把问题转化为恒成立，然后结合二次不等式的恒成立问题对进行分类讨论可求．
【详解】
解：由的解集为可得恒成立，
即恒成立，
当时，恒成立，满足题意；
当时，有，解可得，
综上可得，．
故选：．
【点睛】
本题以新定义为载体，主要考查了不等式的恒成立问题，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题．
10．（2020·黑龙江松北�哈九中高一月考）一元二次不等式的解集是，则的值是（ ）
A．10 B．-10 C．14 D．-14
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，由不等式的解集分析可得方程的两根为和，由根与系数的关系分析可得，解可得、的值，将其值相加即可得答案．
【详解】
解：根据题意，一元二次不等式的解集是，
则方程的两根为和，
则有，
解可得，，
则，
故选：．
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法，注意一元二次不等式的解集与一元二次方程的根之间的关系，属于基础题．
11．（2020·山西太原�高一期末）若不等式对于一切实数x都恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
当时，不等式恒成立；当时，根据二次函数的图象列式可解得结果.
【详解】
当时，不等式化为恒成立；
当时，一元二次不等式对于一切实数x都恒成立，等价于，解得，
综上可得实数a的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题考查了分类讨论思想，考查了一元二次不等式恒成立问题，属于基础题.
12．（2020·山东省滕州市第二中学高一月考）要使关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是
A． B．或 C．或 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得，二次函数的图象与轴的两个交点在的两边，则，由此求解关于的不等式得答案．
【详解】
解：方程对应的二次函数为，
其图象是开口向上的抛物线，要使方程的一根比1大且另一根比1小，
则抛物线与轴的两个交点在的两边，
，即，
解得．
故选：．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系，考查数学转化思想方法，灵活运用“三个二次”的结合是关键，属于基础题．
13．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一月考）若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，] B．（0，） C．[0，] D．[0，）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意将问题转化为二次型不等式恒成立问题，结合对参数的讨论，根据即可求得结果.
【详解】
要满足题意，只需在上恒成立即可.
当时，显然满足题意.
当时，只需，
解得.
综上所述，
故选：.
【点睛】
本题考查二次型不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题.
14．（2020·辽阳市第四高级中学高三月考）若命题：“，”为真命题，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分类讨论，时满足题意，时利用二次函数的性质求解．
【详解】
时，不等式为恒成立，
时，由题意得，解得，
综上的取值范围是．
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次不等式恒成立问题，掌握二次函数性质是解题关键，解题时注意对最高次系数是否为0进行讨论，最高次项系数为0，不等式不是二次不等式，求解方法与二次不等式不相同．
15．（2020·上海高一开学考试）已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．6
【答案】A
【解析】
【分析】
设另一根为t，结合韦达定理即可求解
【详解】
设方程的另一个根为t，
根据题意得2+t=﹣1，解得t=﹣3，
即方程的另一个根是﹣3．
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于基础题
16．（2020·上海高一开学考试）关于x的不等式的解集为，且：，则a=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
因为关于x的不等式的解集为，
所以，又，
所以，
解得，因为，所以.
故选：A.
17．（2020·全国高一课时练习）函数，记的解集为，若，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
因为，且，所以解集；然后根据，得不等式组，可得的取值范围．
【详解】
函数，抛物线开口向上，又，所以,则的解集为，得，解得，所以正确选项为A．
【点睛】
本题主要考查含参数的一元二次不等式解法，确定两根的大小是解决本题的关键．
18．（2020·全国高一课时练习）若0
A． B．或
C．或 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
判断出，再利用一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】
∵0
∴(t－x) >0⇔(x－t) <0⇔t
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
19．（2020·全国高一课时练习）不等式的解集为则函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用根与系数的关系x1+x2=−，x1•x2= 结合二次函数的图象可得结果
【详解】
由题知-2和1是ax2-x+c=0的两根，
由根与系数的关系知-2+1= ，，−2×1＝ ，∴a=-1，c=2，
∴=-x2+x+2=-（x-）2+ ，故选C
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法和二次函数的图象，以及一元二次方程根与系数的关系.一元二次不等式，一元二次方程，与一元二次函数的问题之间可相互转化，也体现了数形结合的思想方法.
20．（2019·山东济宁�高一月考）已知集合，则=
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
【详解】
由题意得，，则
．故选C．
【点睛】
不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
21．（2020·浙江高一单元测试）如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x（x∈N）为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运
A．3年 B．4年
C．5年 D．6年
【答案】C
【解析】
可设y=a(x－6)2+11，又曲线过(4，7)，∴7=a(4－6)2+11 ∴a=－1．
即y=－x2+12x－25，∴=12－(x+)≤12－2=2，当且仅当x=5时取等号. 故选C．
22．（2020·浙江高一单元测试）对任意实数x，不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）．
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【解析】
【分析】
时不等式恒成立，时只能有且，由此可得．
【详解】
由已知得即解得．
又当时，原不等式可化为，显然恒成立．
故a的取值范围是．
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次不等式恒成立问题，解题时要注意讨论二次项系数为0的情形，二次项系数为0时，它已经不是二次不等式了，要注意．
23．（2020·洮南市第一中学高二期末（文））若，则，，，按由小到大的顺序排列为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，利用怍差法求解.
【详解】
，
因为，
所以，
所以，
，
因为，
所以，
所以，
，
因为，
所以，
所以，
所以。
故选：A
【点睛】
本题主要考查不等式的基本性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
二、多选题
24．（2020·浙江高一单元测试）已知且，那么下列不等式中，恒成立的有（ ）．
A． B．C． D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用基本不等式，逐个进行验证，即可得到结论．
【详解】
，(当且仅当时取得等号)．所以选项A正确
由选项A有，设，则在上单调递减.
所以，所以选项B正确
(当且仅当时取得等号)，
．所以选项C正确.
（当且仅当时等号成立），所以选项D不正确．
故A，B，C正确
故选：ABC
【点睛】
本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题
第II卷（非选择题）
三、解答题
25．（2020·全国高三其他（文））已知，，为正数，证明：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）利用基本不等式直接证明即可；
（2）先通过基本不等式证明，，，，即可将不等式左边转化，再用基本不等式即可证明.
【详解】
（1）（当且仅当时取等号），
；
（2）（当且仅当时取等号），
同理有（当且仅当时取等号），
（当且仅当时取等号），
（当且仅当时取等号），
．
【点睛】
本题考查应用基本不等式证明不等式，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键.
26．（2020·湖北高三月考（文））设，，都是正数，且.
（1）求的最小值；
（2）证明：.
【答案】（1）4；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）因为，，为正数，且，可得，利用基本不等式即可求出结果；
（2）利用基本不等式，
，由此即可证明结果.
【详解】
（1）因为，，为正数，且，
所以.
当且仅当时取“=”，所以的最小值为4.
（2）.
当且仅当时等号成立.
.
当且仅当时等号成立.
所以.当且仅当时等号成立.
【点睛】
本题主要考查了基本不等式在不等式证明中的应用，属于中档题.
27．（2020·四川眉山�高一期末）已知不等式解集为.
（1）求，的值并求不等式的解集；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）；；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）由已知结合二次不等式的解集端点与二次方程的根的关系即可求解；
（2）结合二次不等式的求解对a进行分类讨论即可求解．
【详解】
（1）由题意知，1和是方程的两根，
则，解得
不等式即为，
解得，
∴
（2）不等式，即为，
即.
①当时，；
②当时，；
③当时，原不等式无解.
综上知，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
【点睛】
本题主要考查了二次方程与二次不等式的关系的应用及含参不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
28．（2020·自贡市第十四中学校高一期中）关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
分和两种情况进行讨论，结合二次函数的图象特征即可列出关于实数a的不等式，进而可求出实数a的取值范围.
【详解】
解：若，当时，原不等式为恒成立，符合题意；
当时，原不等式为，则解集为 ，不符合题意；
若，即时， ，解得，
综上所述，，即.
【点睛】
本题考查了不等式恒成立问题，属于中档题.本题的易错点是未讨论二次项的系数是否为零.
29．（2020·山西省长治市第二中学校高一期末（理））已知函数，，.
当时，求满足的的取值范围；
解关于的不等式；
若对于任意的，均成立，求的取值范围．
【答案】；当时，解集为；当 时，解集为空集；当时，解集为；.
【解析】
【分析】
当时，解一元二次不等式求得的取值范围；
化简为一元二次不等式形式并因式分解，对分成，，三类进行讨论，求出不等式解集；
将的式子转化成一元二次不等式，根据二次函数的性质求出的取值范围．
【详解】
解：当时，，所以，
即 ，解得.
所以的解集为.
由，得 ，
所以 ，
当时，解集为；
当 时，解集为空集；
当时，解集为.
因为对于任意的， 恒成立，
即对任意的时，成立，
根据二次函数的性质可知，对称轴，
所以，解得.
所以的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法，考查含有参数的一元二次不等式分类讨论，考查恒成立问题的解法，属于中档题.
30．（2019·四川省绵阳南山中学高一月考）设函数．
（1）若，且，求的最小值；
（2）若，且在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；(2)
【解析】
【分析】
（1）由，求得，利用基本不等式，即可求解的最小值；
（2）由，求得，得到不等式在上恒成立，
等价于是不等式解集的子集，分类讨论求得不等式的解集，进行判定，即可求解.
【详解】
（1）函数，由，可得，
所以，
当时等号成立，因为，，解得时等号成立，
此时的最小值是.
（2）由，即，
又由在上恒成立，即在上恒成立，
等价于是不等式解集的子集，
①当时，不等式的解集为，满足题意；
②当时，不等式的解集为，则，解得，故有；
③当时，即时，不等式的解集为，满足题意；
④当时，即时，不等式的解集为，不满足题意，（舍去），
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了基本不等式的应用，以及一元二次不等式的恒成立问题的求解，其中解答中熟记基本不等式的应用，以及熟练应用一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
31．（2020·山西省长治市第二中学校高一期末（文））已知函数．
（1）当时，求满足的的取值范围；
（2）解关于的不等式．
【答案】（1）；（2）当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为．
【解析】
【分析】
（1）解一元二次不等式可得；
（2）分类讨论，根据两根据的大小分类讨论．
【详解】
（1）当时，，所以，即
解得.所以的解集为.
（2） 由，得 ，所以 ，
当时，解集为；当时，解集为空集；
当时，解集为．
【点睛】
本题考查解一元二次不等式，对含参数的不等式一般需要分类讨论，分类的层次有三个：一是最高次项系数的正负或者是0，二是对应的一元二次方程有无实数解，三是方程有实数解，方程两根的大小关系．
32．（2020·枣庄市第三中学高一月考）已知函数.
（1）若关于的不等式的解集为，求和的值；
（2）若对，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）依题意，为方程的两解，利用韦达定理得到方程组，解得即可；
（2）依题意对任意的 恒成立，当时，显然成立，当时，参变分离，利用基本不等式求出的取值范围；
【详解】
解：（1）关于的不等式的解集为，即，为方程的两解，所以解得
（2）对任意的，恒成立，即对任意的恒成立，即恒成立，
①当时，不等式恒成立，此时
②当时，，
因为，所以，所以
当且仅当时，即，即时取等号，所以，
综上
【点睛】
本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，不等式恒成立问题，属于中档题.
33．（2020·江苏苏州�高二期末）解下列关于x的不等式：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）整理化简，对一元二次不等式分解因式，求解即可；
（2）将不等式移项，根据分子恒为负数，则只需求的解集即可.
【详解】
（1）原不等式可化为，即，
解得或，
所以原不等式的解集为.
（2）原不等式可化为，整理得，
由于
其恒为负值，故只要，
即，解之得.
所以原不等式的解集为.
【点睛】
本题考查一元二次不等式以及分式不等式的求解，属综合基础题.
34．（2020·哈尔滨德强学校高一期末）关于的不等式的解集为.
（1）求的值；
（2）求关于的不等式的解集．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）关于的不等式的解集为，说明，且﹣1和2是方程的两实数根，利用根与系数关系可以直接求解出的值；
（2）由（1）可知的值，根据一元二次不等式的求解方法，可以直接求解出不等式的解集．
【详解】
（1）关于的不等式的解集为，
∴，且﹣1和2是方程的两实数根，
由根与系数的关系知，，解得；
（2）由（1）知，时，
不等式为，
∴不等式的解集是.
【点睛】
本题考查了已知一元二次不等式的解集求参数问题，考查了一元二次方程与一元二次不等式之间的联系.
35．（2020·浙江高一开学考试）已知关于x的一元二次方程kx2+（1﹣2k）x+k﹣2＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）当k取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式α3+β2+β+2016的值．
【答案】（1）k＞﹣且k≠0；（2）2020.
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△＝（1﹣2k）2﹣4k（k﹣2）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可；
（2）k＝1．方程变为x2﹣x﹣1＝0，利用根与系数的关系得到α+β＝1，αβ＝﹣1，利用一元二次方程根的定义得到α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，则β2＝β+1，α3＝2α+1，然后利用整体代入的方法计算α3+β2+β+2016的值．
【详解】
（1）根据题意得k≠0且△＝（1﹣2k）2﹣4k（k﹣2）＞0，
解得k＞﹣且k≠0；
（2）∵k取满足（1）中条件的最小整数，
∴k＝1．此时方程变为x2﹣x﹣1＝0，
∴α+β＝1，αβ＝﹣1，
∵α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，
∴β2＝β+1，α2＝α+1
∴α3＝α2+α＝α+1+α＝2α+1，
α3+β2+β+2016
＝2α+1+β+1+β+2016
＝2（α+β）+2018
＝2×1+2018
＝2020．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．
36．（2020·浙江高一单元测试）已知不等式组的解集是不等式解集的子集，求实数的取值范围．
【答案】．
【解析】
【分析】
先解一元二次不等式组得，再根据题意转化为在上恒成立求解即可.
【详解】
解：．
所以，
由是解集的子集知，在上恒成立．
令，只需该函数在上的最大值不超过即可．
因该函数的对称轴为，所以，所以，解得．
故实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查一元二次不等式组的解法，不等式恒成立问题，是中档题.
四、填空题
37．（2020·四川眉山�高一期末）已知实数，，是与的等比中项，则的最小值是_________.
【答案】32
【解析】
【分析】
由是与的等比中项，求得，化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】
由题意，实数，，是与的等比中项，
可得，解得，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值是.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求最值，以及等比中项公式的应用，其中解答中熟记等比中项公式，合理利用“1”的代换，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
38．（2020·营口市第二高级中学高二期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是________.
【答案】.
【解析】
【分析】
在等式两边同时除以得到，将代数式和相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，由题意得出，解出该不等式即可得出实数的取值范围.
【详解】
，，且，在等式两边同时除以得，
由基本不等式得，
当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为，
由于不等式恒成立，则，即，
解得，因此，实数的取值范围是，故答案为.
【点睛】
本题考查基本不等式处理不等式恒成立问题，同时也考查了一元二次不等式的解法，在利用基本不等式求最值时，要创造出定值条件，并对代数式进行配凑，考查化归与转化数学思想，属于中等题.
39．（2020·山西省长治市第二中学校高一期末（文））已知正数满足，则的最大值为________
【答案】81
【解析】
【分析】
由基本不等式求解．
【详解】
∵，∴，当且仅当时等号成立．
故答案为：81．
【点睛】
本题考查基本不等式求最值．掌握应用基本不等式求最值的三个条件是解题关键．
40．（2020·江苏高三其他）已知，，则的最小值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由，两次利用基本不等式即可求解.
【详解】
由，，
，
当且仅当，时取等号，
故答案为：
【点睛】
本题考查了基本不等式求最值，注意等号成立的条件，属于中档题.
41．（2019·江西新余�高二期末（文））设关于x的不等式的解集为,则关于x的不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可知2且,利用标根法即可求得答案.
【详解】
不等式ax+b> 0的解集为{x|x< 2},
2是方程ax+b=0的解，且a<0,
,
由标根法得或，
所以不等式的解集为，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查高次不等式的解法，着重考查标根法的应用，求得是解决问题的关键，属于中档题.
42．（2020·安徽黄山�高一期末）已知二次函数，满足，对任意的都有恒成立，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
用a、b、c把各函数值表示出来，再由已知条件得到a、b、c之间的关系，进而得到不等式恒成立，即可求范围
【详解】
∵
∴
又由二次函数对任意的都有恒成立
知：，而
∴，故
∴，令
即
∴，若
有即可，而在上无最大值，无最小值但
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查了一元二次函数、一元二次不等式以及一元二次方程根与系数关系，首先由各函数值的表达式代入目标式并化简，再由一元二次方程根与系数关系确定系数间的不等关系，进而构造一元二次函数，根据不等式恒成立，求目标式范围
43．（2020·山东省滕州市第二中学高一月考）若不等式的解集为，则实数的取值范围是_____.
【答案】；
【解析】
【分析】
分三种情况讨论：（1）当等于0时，原不等式变为，显然成立；
（2）当时，根据二次函数的图象与性质可知解集为不可能；
（3）当时，二次函数开口向下，且与轴没有交点即△小于0时，由此可得结论．
【详解】
解：（1）当时，得到，显然不等式的解集为；
（2）当时，二次函数开口向上，函数值不恒小于0，故解集为不可能．
（3）当时，二次函数开口向下，由不等式的解集为，
得到二次函数与轴没有交点，即△，即，解得；
综上，的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查解不等式，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，属于基础题．
44．（2020·哈尔滨德强学校高一期末）若不等式的解集是，函数，当时恒成立，则实数a的取值范围是______
【答案】
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式和一元二次方程的关系得到，再根据二次函数的性质解答.
【详解】
解：的解集是
所以为方程的解且
，则
，
，对称轴为
，
即
故答案为：
【点睛】
本题考查一元二次不等式和一元二次方的关系，二次函数的性质，属于基础题.
45．（2020·四川省宜宾市第四中学校高二月考（理））若对于任意的关于的不等式恒成立，则的最小值为___________________
【答案】
【解析】
【分析】
令，根据对于任意的关于的不等式恒成立，结合二次函数的性质，则有，画出其可行域，令，表示原点与点 之间距离的平方，再求其最小值即可.
【详解】
令，
因为对于任意的关于的不等式恒成立，
所以，
即，其可行域如图阴影部分，
令，则表示原点与点 之间距离的平方，
如图，当 垂直于所在的直线时，距离最小，最小值为：，
所以的最小值为： ，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查二元一次不等式与平面区域及其应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
46．（2020·上海高一开学考试）已知函数的定义域为，则a的取值范围为___________ ；
【答案】
【解析】
【分析】
由已知得ax2＋2ax＋1≥0恒成立，分和两种情况分析，求得的取值范围.
【详解】
（1）∵函数的定义域为R，∴ax2＋2ax＋1≥0恒成立，
当a＝0时，1≥0恒成立，即符合题意，
当a≠0时，则，得，解得0
故答案为：
【点睛】
本题考查了一元二次型不等式恒成立的问题，考查了转化与化归思想，分类讨论思想，属于中档题.
47．（2020·全国高一课时练习）某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买吨，已知每次的运费为4万元/次，一年总的库存费用为万元，为了使总的费用最低，每次购买的数量为 _____________ ；
【答案】20吨
【解析】
【分析】
依题意写出表达式，均值不等式求最小值。
【详解】
由题意，总的费用，当时取“=”，所以答案为20吨。
【点睛】
实际问题一定注意实际问题中自变量的取值，取等号的条件。
48．（2020·全国高三课时练习（理））设，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．
【详解】
，
当且仅当，即时成立，
故所求的最小值为．
【点睛】
使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．
49．（2020·浙江高一单元测试）当时，函数与在同一点取得相同的最小值，那么当时，的最大值是______．
【答案】4．
【解析】
【分析】
先利用基本不等式求得图象的最低点坐标，根据二次函数的性质求得和，最后根据的范围求得的最大值．
【详解】
(当且仅当时取等号)
所以当时，取得最小值3，
所以函数在时，当时有最小值3.
所以二次函数的顶点坐标为
．
当时，．
故答案为：4
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，基本不等式的应用．考查了学生对二次函数图象的理解和灵活运用，属于中档题.
50．（2020·浙江高一单元测试）对于实数x，当且仅当时，规定，则不等式的解集是_____．
【答案】．
【解析】
【分析】
先解关于的二次不等式，得到的范围，再根据的定义，得到的范围.
【详解】
解关于于的二次不等式，
得，
因为当且仅当时，规定，
解得：．
故答案为：
【点睛】
本题考查解二次不等式，根据条件中的新定义解决问题，属于中档题.
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