专题二 二次函数、方程与不等式-2021届高三《新题速递•数学》10月刊（江苏专用 适用于高考复习）

专题二   二次函数、方程与不等式

一、单选题

1．（2020·全国高一学业考试）关于x的不等式的解集为，且：，则a=（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

【详解】

因为关于x的不等式的解集为，

所以，又，

所以，

解得，因为，所以.
故选：A.

2．（2020·全国课时练习）函数，记的解集为，若，则的取值范围（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

因为，且，所以解集；然后根据，得不等式组，可得的取值范围．

【详解】

函数，抛物线开口向上，又，所以,则的解集为，得，解得，所以正确选项为A．

【点睛】

本题主要考查含参数的一元二次不等式解法，确定两根的大小是解决本题的关键．

3．（2020·全国课时练习）不等式的解集为则函数的图像大致为（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】C

【解析】

【分析】

利用根与系数的关系x1+x2=−，x1•x2= 结合二次函数的图象可得结果

【详解】

由题知-2和1是ax2-x+c=0的两根，

由根与系数的关系知-2+1= ，，−2×1＝ ，∴a=-1，c=2，

∴=-x2+x+2=-（x-）2+ ，故选C

【点睛】

本题考查了一元二次不等式的解法和二次函数的图象，以及一元二次方程根与系数的关系.一元二次不等式，一元二次方程，与一元二次函数的问题之间可相互转化，也体现了数形结合的思想方法.

4．（2020·浙江单元测试）已知不等式对任意实数、恒成立，则实数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意可知，，将代数式展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于的不等式，解出即可.

【详解】

.

若，则，从而无最小值，不合乎题意；

若，则，.

①当时，无最小值，不合乎题意；

②当时，，则不恒成立；

③当时，，

当且仅当时，等号成立.

所以，，解得，因此，实数的最小值为.

故选：C.

【点睛】

本题考查基本不等式恒成立问题，一般转化为与最值相关的不等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.

5．（2020·安徽省舒城中学高二期末（文））如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（  ）

A．如果,那么 B．如果,那么

C．对任意正实数和，有， 当且仅当时等号成立 D．对任意正实数和，有,当且仅当时等号成立

【答案】C

【解析】

【分析】

观察图形,设直角三角形的长直角边为,短直角边为,由4个三角形的面积和与大正方形的面积的大小关系,得到,并判明何时取等即可

【详解】

通过观察,可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的,设直角三角形的长直角边为,短直角边为,如图,整个大正方形的面积大于等于4个小三角形的面积和,即,即.当时,中间空白的正方形消失,即整个大正形与4个小三角形重合.其他选项通过该图无法证明,

故选C

【点睛】

本题考查均值定理的几何法证明,考查数形结合,属于基础题

6．（2020·全国高三（文））若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

此题转化为（x+）min＜m2+3m，利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解关于m的一元二次不等式的解集即可得到答案．

【详解】

∵不等式x+ m2+3m有解，

∴（x+）min＜m2﹣3m，

∵x＞0，y＞0，且，

∴x+＝（x+）（）＝＝4，

当且仅当，即x＝2，y＝8时取“＝”，

∴（x+）min＝4，

故m2+3m＞4，即（m-1）（m+4）＞0，

解得m＜﹣4或m＞1，

∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）．

故选C．

【点睛】

本题考查了基本不等式在最值中的应用和不等式有解问题．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．对于不等式的有解问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解．

7．（2020·辽宁辽阳·高三二模（文））已知，，，则的最小值为（    ）

A．20 B．24 C．25 D．28

【答案】C

【解析】

【分析】

化简得到，变换，利用均值不等式得到答案.

【详解】

因为，，，所以，

则，

当且仅当时，等号成立.

故选：.

【点睛】

本题考查了利用均值不等式求最值，变换是解题的关键.

8．（2020·福建省福清第一中学月考）正数a，b满足，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

利用基本不等式求出的最小值16，将所求问题转化为对任意实数x恒成立的问题即可.

【详解】

因为，当且仅当时，等

号成立，故不等式对任意实数x恒成立，转化为

对任意实数x恒成立，又的最大值为6，所以.

故选：D.

【点睛】

本题考查基本不等式求最值以及不等式恒成立求参数范围的问题，考查学生等价转化及运算能力，是一道中档题.

9．（2019·全国）已知不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（　　）

A．或 B．

C．或 D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据一元一次不等式的解求出，利用消参法转化为含有参数的一元二次不等式，进行求解即可得答案．

【详解】

根据题意，，变形可得，

又由不等式的解集为，

则有且，

解得，则不等式

等价为．

解可得：，

故不等式的解集为,故选B．

【点睛】

本题主要考查含有参数的一元一次不等式和一元二次函数不等式的求解，属于中档题．若，则的解集是；的解集是.

第II卷（非选择题）

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二、解答题

10．（2020·山东枣庄·高二期末）已知函数f（x）＝ax2﹣（4a+1）x+4（a∈R）.

（1）若关于x的不等式f（x）≥b的解集为{x|1≤x≤2}，求实数a，b的值；

（2）解关于x的不等式f（x）＞0.

【答案】（1）-1,6；（2）答案见详解

【解析】

【分析】

（1）由f（x）≥b的解集为{x|1≤x≤2}结合韦达定理即可求解参数a，b的值；

（2）原式可因式分解为，再分类讨论即可，对再细分为即可求解.

【详解】

（1）由f（x）≥b得，因为f（x）≥b的解集为{x|1≤x≤2}，故满足，，解得；

（2）原式因式分解可得，

当时，，解得；

当时，的解集为；

当时，，

①若，即，则的解集为；

②若，即时，解得；

③若，即时，解得.

【点睛】

本题考查由一元二次不等式的解求解参数，分类讨论求解一元二次不等式，属于中档题.

11．（2020·浙江课时练习）如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

（1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

【答案】（1）炮的最大射程是10千米．

（2）当不超过6千米时，炮弹可以击中目标．

【解析】

试题分析：（1）求炮的最大射程即求（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解

试题解析：（1）令y＝0，得kx－ （1＋k2）x2＝0，

由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，

故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．

（2）因为a＞0，所以炮弹可击中目标

⇔存在k＞0，使3.2＝ka－ （1＋k2）a2成立

⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根

⇔判别式Δ＝（－20a）2－4a2（a2＋64）≥0

⇔a≤6.

所以当a不超过6（千米）时，可击中目标．

考点：函数模型的选择与应用

12．（2020·浙江单元测试）已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,求证：(-1)(-1)(-1)≥8．

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

【详解】

主要考查不等关系与基本不等式．

证明：因为a, b, c且a+b+c=1，所以．

13．（2020·浙江单元测试）已知且，求使不等式恒成立的实数m的取值范围．

【答案】.

【解析】

【分析】

要使不等式恒成立，只需求的最小值，将展开利用基本不等式可求解.

【详解】

由，则．

当且仅当即时取到最小值16．

若恒成立，则．

【点睛】

本题考查不等式恒成立问题，考查利用基本不等式求最值问题，属于基础题.

14．（2020·浙江高一课时练习）已知关于x的不等式．

（1）若不等式的解集是或，求k的值．

（2）若不等式的解集是，求k的值．

（3）若不等式的解集是R，求k的取值范围．

（4）若不等式的解集是，求k的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．

【解析】

【分析】

（1）根据不等式对应方程的根与系数的关系得到答案.

（2）根据题意得到，解得答案.

（3）根据题意得到，解得答案.

（4）根据题意得到，解得答案.

【详解】

（1）由不等式的解集为或可知，

且与是方程的两根，，解得．

（2）由不等式的解集为可知，解得．

（3）依题意知解得．

（4）依题意知解得．

【点睛】

本题考查了根据不等式的解集求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.

15．（2020·广东番禺·仲元中学高一期中）已知关于x的不等式．

（1）若不等式的解集是，求的值；

（2）若，，求此不等式的解集．

【答案】（1）；（2）分类讨论，答案见解析．

【解析】

【分析】

（1）利用根与系数关系列式，求得的值，进而求得的值.

（2）将原不等式转化为，对分成三种情况，讨论不等式的解集.

【详解】

（1）由题意知，且1和5是方程的两根，

∴，且，

解得，，∴．

（2）若，，原不等式为，

∴，∴．

∴时，，原不等式解集为，

时，，原不等式解集为，

时，，原不等式解集为，

综上所述：当时，原不等式解集为，

当时，原不等式解集为．

当时，原不等式解集为．

【点睛】

本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根与系数关系，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.

16．（2018·兰州市第四中学高二期中）某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低（）个百分点，预测收购量可增加个百分点.

（1）写出税收（万元）与的函数关系式；

（2）要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的，试确定的取值范围

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据征税率降低x（x≠0）个百分点，预测收购量可增加2x个百分点，可知降低税率后的税率为（10-x）%，农产品的收购量为a（1+2x%）万担，收购总金额 200a（1+2x%），从而可求税收y（万元）与x的函数关系式；
（Ⅱ）利用税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，可建立不等关系，从而可得x的取值范围．

试题解析：

（1）降低税率后的税率为，农产品的收购量为万担,

收购总金额为万元.

依题意有

（2）原计划税收为万元

依题意有

化简得

.

的取范围是.

点睛：解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．

17．（2019·辽宁朝阳·高一期中）设．

（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；

（2）解关于的不等式（R）．

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）由不等式对于一切实数恒成立等价于对于一切实数恒成立，利用二次函数的性质，即可求解，得到答案．

（2）不等式化为，根据一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解．

【详解】

（1）由题意，不等式对于一切实数恒成立，等价于对于一切实数恒成立．

当时，不等式可化为，不满足题意；

当时，满足，即，解得．

（2）不等式等价于．

当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；

当时，不等式可化为，此时，

所以不等式的解集为；

当时，不等式可化为，

①当时，，不等式的解集为；

②当时，，不等式的解集为；

③当时，，不等式的解集为．

【点睛】

本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及含参数的一元二次不等式的解法，其中解答中熟记一元二次不等式的解法，以及一元二次方程的性质是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．

18．某建筑工地在一块长米，宽米的矩形地块上施工，规划建设占地如图中矩形ABCD的学生公寓，要求顶点C在地块的对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB长度为米．

（1）要使矩形学生公寓ABCD的面积不小于144平方米，AB的长度应在什么范围？

（2）长度AB和宽度AD分别为多少米时矩形学生公寓ABCD的面积最大？最大值是多少平方米？

【答案】（1）；（2）米，米时，学生公寓ABCD的面积最大，最大值是150平方米.

【解析】

【分析】

（1）首先利用三角形的相似性，求得边AD与边AB的长度关系，建立三角形面积函数模型，再由，得出边AB的长度范围；（2）对二次函数进行配方，利用二次函数的性质求最值即可．

【详解】

（1）依题意设，则，

∴，所以，

又∵，∴，解得，

要使公寓ABCD的面积不小于144平方米，AB的长度应在内.

（2），

当时，，取得最大值150．

答：米，米时，公寓ABCD的面积最大，最大值是150平方米．

【点睛】

本题主要考查二次函数的最值的求法和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．

19．（2016·河南许昌·高二月考（理））某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为万元时，经销A，B商品中所获得的收益分别为万元与万元，其中如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益．

【答案】该个体户可对商品投入3万元，对商品投入2万元，这样可以获得11万元的最大收益．

【解析】

试题分析：投入商品的资金为万元（），则投入商品的资金为万元，根据已知条件可得收益为的解析式，可知为分段函数．当时应用基本不等式求其最大值；当时应用二次函数配方法求最值．比较两个最值取最大的一个即为所求．

试题解析：解：投入商品的资金为万元（），则投入商品的资金为万元，并设获得的收益为万元．

（1）当时，

，当且仅当，即时取“＝”；

（2）当时，

，当时，取“＝”．

∵，∴最大收益为11万元．

∴该个体户可对商品投入3万元，对商品投入2万元，这样可以获得11万元的最大收益

考点：1函数解析式；2基本不等式求最值；3二次函数求最值．

三、填空题

20．（2020·全国高三课时练习（理））设，则的最小值为______.

【答案】

【解析】

【分析】

把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．

【详解】

，

当且仅当，即时成立，

故所求的最小值为．

【点睛】

使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．

21．（2020·全国高三课时练习（理））已知，且，则的最小值为_________．

【答案】4

【解析】

【分析】

根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.

【详解】

，,

，当且仅当=4时取等号，

结合,解得，或时，等号成立.

故答案为：

【点睛】

本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.

22．（2020·全国高一）下列命题中：

①若，则的最大值为；

②当时，；

③的最小值为； ④当且仅当均为正数时，恒成立.

其中是真命题的是__________．(填上所有真命题的序号)

【答案】①②

【解析】

【分析】

根据均值不等式依次判断每个选项的正误，得到答案.

【详解】

①若，则的最大值为

，正确

②当时，

，时等号成立，正确

③的最小值为，

取 错误

④当且仅当均为正数时，恒成立

均为负数时也成立.

故答案为① ②

【点睛】

本题考查了均值不等式，掌握一正二定三相等的具体含义是解题的关键.

23．（2020·全国课时练习）若，，则的最小值为___________.

【答案】4

【解析】

，（前一个等号成立条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时取得，则当且仅当时取等号）.

【考点】均值不等式

【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1） ，当且仅当时取等号；（2） ， ，当且仅当时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.

24．（2019·江苏启东·高一期中）正数满足，则的值为______．

【答案】；

【解析】

【分析】

由可因式分解得出的关系,再代入求解即可.

【详解】

由题,可得,又正数,故,即,所以.

故答案为.

【点睛】

本题主要考查二元函数的因式分解问题,属于基本技能题型.

25．正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是______．

【答案】[6，＋∞)

【解析】

【分析】

先利用基本不等式，求得的最小值为.再对题目所给的恒成立的不等式分离常数，求得含有的表达式的最小值，由此求得的取值范围.

【详解】

因为a>0，b>0，＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)·＝10＋＋≥10＋2＝16，

由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立．

又x2－4x－2＝(x－2)2－6，所以x2－4x－2的最小值为－6，所以－6≥－m，即m≥6.

【点睛】

本小题主要考查利用基本不等式求和式的最小值，考查不等式恒成立问题的解决策略——分离常数法.属于中档题.

26．（2019·全国课时练习）不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是_________．

【答案】

【解析】

【分析】

首先讨论a=0的情况成立，然后当时，根据一元二次不等式大于等于0恒成立的条件列出关系式，然后对a求解即可.

【详解】

解：当a=0时，不等式等价于，恒成立，所以a=0符合条件.

当时，不等式等价于，即 ，解得：，

所以a的范围为.

故答案为 .

【点睛】

本题考查一元二次型函数最高项系数的讨论，考查一元二次不等式恒成立的条件，属于基础题.