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专题八 三角函数变换与三角函数的应用-2021届高三《新题速递•数学》10月刊（江苏专用 适用于高考复习）
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这是一份专题八 三角函数变换与三角函数的应用-2021届高三《新题速递•数学》10月刊（江苏专用 适用于高考复习），文件包含专题八三角函数变换与三角函数的应用原卷版docx、专题八三角函数变换与三角函数的应用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共67页， 欢迎下载使用。
专题八 三角函数变换与三角函数的应用
一、单选题
1．（2020·黑龙江哈师大青冈实验中学月考（文））已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由所给等式利用同角三角函数的关系可求得，再利用降幂公式及二倍角公式将整理为，代入相应值即可得解.
【详解】
，，即，，
.
故选：B
【点睛】
本题考查同角三角函数的关系、降幂公式、二倍角公式，属于中档题.
2．（2020·辽宁期末）已知向量，，将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的运算和辅助角公式可得，向左平移个单位，得到，从而有，，再结合，即可得解.
【详解】
，
将函数的图象向左平移个单位，得到，
该函数的图象关于原点对称，该函数是奇函数，
，，，，
又，.
故选：D.
【点睛】
本题考查数量积的坐标运算、辅助角公式和三角函数的图象变换，属于中档题.
3．（2020·汨罗市第二中学开学考试）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知结合正弦定理以及三角恒等变换，化简求出，由结合，求得，从而求出的值，再由正弦定理将结合关系，转化为（或 ）角的三角函数，注意求出角的范围，再用三角恒等变换求出范围.
【详解】
由可得：
，∴.
，
∴，，，
∴，又，
，∴，
，
∵，∴，
∴.
故选B.
【点睛】
本题考查正弦定理边角互化，考查利用三角恒等变换，以及正弦函数的图像与性质的应用，解题中要注意角的范围，属于中档题.
4．（2020·湖南怀化·高一期末）已知的最大值为A，若存在实数，，使得对任意的实数x，总有成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
化简函数的解析式可得周期与最大值，对任意的实数x，总有成立，即半周期的整数倍，代入求最小值即可．
【详解】
，
则，
故选：B
【点睛】
本题考查正弦函数的性质，考查三角恒等变换，考查周期与最值的求法，属于中档题．
5．（2020·应城市第一高级中学开学考试）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若在上为增函数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用函数图象变换求得函数的解析式为，由函数在上为增函数可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的最大值.
【详解】
函数的图象向右平移个单位长度，
可得的图象.
当时，，
由于正弦函数在附近单调递增，且，
因为，函数在上为增函数，所以，，
所以，，解得，因此，的最大值为.
故选：C．
【点睛】
本题考查利用函数图象平移求函数解析式，同时也考查了利用正弦型函数在区间上的单调性求参数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
6．（2020·贵州高三其他（理））函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数的最小正周期 B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于对称 D．函数在上递增
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用辅助角公式化简函数解析式，再根据平移法则可得到函数的解析式，即可判断各选项的真假．
【详解】
因为，所以
，即可知函数的最小正周期，A正确；当时，，所以函数的图象关于直线对称，B正确；当时，，所以函数的图象关于对称，C正确；
因为，，所以D错误．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查辅助角公式和平移法则的应用，以及函数的性质应用，熟记公式和基本性质是解题的关键，属于基础题．
7．（2020·安徽金安·六安一中开学考试（理））将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，，均有，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用三角函数的最值，求出自变量、的值，然后判断选项即可.
【详解】
由题意可得：，
由可知，两个函数的最大值与最小值的差等于2，有，
不妨取，则，即在取得最小值，
所以，此时，符合题意，
取，则，即在取得最大值，
所以，此时，满足题意，所以
故选：B
【点睛】
本题主要考查了的图象变化规律，函数的最值以及函数周期的应用，属于中档题.
8．（2017·安徽安庆·二模（文））设函数的最小正周期是，将其图象向左平移后，得到的图象如图所示，则函数的单增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
由已知图象知，的最小正周期是所以解得.由得到，单增区间是或：因为所以将的图象向左平移后，所对应的解析式为.由图象知，所以.由得到，单增区间是
点晴：本题考查的是三角函数的图像和性质.已知函数的图象求解析式;(1);(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.确定解析式后，再根据可得单增区间是.
9．（2020·瑞安市上海新纪元高级中学期末）已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数在区间上是增函数
C．函数是偶函数
D．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象
【答案】C
【解析】
【分析】
求出函数的对应的对称中心和对称轴，即可判断和的正误；根据正弦函数的单调行可判断不对；对根据左加右减的原则函数进行平移，进而可判断；从而可判断答案．
【详解】
当时，即，函数的图象关于点，对称，当时，点，即点，．故选项错；
由，得，
函数在区间，上单调递增，当时函数在区间，上单调递增，故不对；
令，，故函数的对称轴是，故函数对称轴是，
当时，即关于轴对称，故是偶函数，故对；
将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，不是函数，不对．
故选：．
【点睛】
本题主要考查三角函数的基本性质单调性与对称性．高考对三角函数的考查以基础题为主，平时要注意基础知识的积累，到高考时才能做到游刃有余．
10．（2020·湖南怀化·高一期末）将函数图象向左平移()个单位后得到函数的图象，若函数在区间 上单调递减，且函数的最大负零点在区间上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出函数，根据其在区间上单调递减，可得，再由的最大负零点在区间上，可得，即可得答案；
【详解】
解：将函数图象向左平移()个单位
得到函数图象，
若函数在区间上单调递减，则，得①，
，则()，
求得()，
根据函数的最大负零点在区间上，∴，
求得②，由①②求得的取值范围为.
故选：D.
【点睛】
本题考查三角函数的平移变换及函数的单调性、零点，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
11．（2020·苏州市苏州高新区第一中学开学考试）一半径为的水轮如图所示，水轮圆心距离水面，已知水轮每逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ）
A．点第一次到达最高点需要
B．在水轮转动的一圈内，点距离水面的高度不低于共有的时间
C．点距离水面的高度（单位：）与时间（单位：）的函数解析式为
D．当水轮转动时，点在水面下方，距离水面
【答案】C
【解析】
【分析】
设点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为f（t）＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|）依题意可知f（t）的最大值为7.2，最小为﹣2.4，可得A+B＝7.2，﹣A+B＝﹣2.4，解得A，B．60，解得ω．当t＝0时，f（t）＝0，得sinφ求出φ，可得所求的函数关系式为f（t）．进而对各个选项依次判断即可．
【详解】
设点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为f（t）＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|）
依题意可知f（t）的最大值为7.2，最小为﹣2.4，
∴A+B＝7.2，﹣A+B＝﹣2，解得A＝4.8，B＝2.4．
60，解得ω．
∴f（t）＝4.8sin（t+φ）+2.4，
当t＝0时，f（t）＝0，得sinφ，|φ|，φ，
故所求的函数关系式为f（t）＝4.8sin（t ）+2.4，C对，
令4.8sin（t ）+2.4＝7.2，
可得：sin（t）＝1，
∴t，解得t＝20．
点P第一次到达最高点要20s时间．A错，
4.8sin（t ）+2.4≥4.8⇒sin（t ）⇒t⇒10≤t≤30；
∴在水轮转动的一圈内，有20秒的时间，点P距离水面的高度不低于4.8米；B错
t＝50时，f（t）＝4.8sin（t ）+2.4＝4.8sin（50 ）+2.4＝4.8sin2.4＝﹣2.4，D错．
故选： C．
【点睛】
本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．（2020·陕西延安中学期末）中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆(为坐标原点)的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题：
①对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个；
②函数可以是某个圆的“优美函数”；
③正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”；
④函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形．
A．①④ B．①③④ C．②③ D．①③
【答案】D
【解析】
【分析】
根据定义分析，优美函数具备的特征是，函数关于圆心（即坐标原点）呈中心对称.
【详解】
对①，中心对称图形有无数个，①正确
对②，函数是偶函数，不关于原点成中心对称.②错误
对③，正弦函数关于原点成中心对称图形，③正确.
对④，充要条件应该是关于原点成中心对称图形，④错误
故选D
【点睛】
仔细阅读新定义问题，理解定义中优美函数的含义，找到中心对称图形，即可判断各项正误.
二、多选题
13．（2020·江苏扬中市第二高级中学开学考试）在中，角的对边分别为，下列结论中正确的选项有（ ）
A．若，则
B．若，则可能为等腰三角形或直角三角形
C．若，则定为直角三角形
D．若且该三角形有两解，则的取值范围是
【答案】ABCD
【解析】
【分析】
结合正弦定理、诱导公式、三角恒等变换等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
对于A选项，由正弦定理得，故A选项正确.
对于B选项，由于，由于是三角形的内角，所以或，即或，所以可能为等腰三角形或直角三角形，故B选项正确.
对于C选项，由以及正弦定理得，
即，
所以，由于，所以，所以，故定为直角三角形.故C选项正确.
对于D选项，，且该三角形有两解，所以，即，也即，故D选项正确.
故选：ABCD
【点睛】
本小题主要考查正弦定理边角互化，考查诱导公式以及三角恒等变换，属于中档题.
14．（2020·湖南天心·长郡中学开学考试）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上是单调增函数，则实数可能的取值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据图象平移求得函数的解析式，再利用函数的单调性列出不等式求得的取值范围，即可求解.
【详解】
由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，
得到函数的图象，
若函数在区间上是单调增函数，
则满足，解得，
所以实数的可能的取值为.
故选：ABC.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换求函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的综合应用，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
15．（2020·江苏省溧阳中学开学考试）已知函数，则（ ）
A．函数的图象可以由的图象向左平移得到；
B．函数的图象关于点对称；
C．函数的图象关于直线对称；
D．函数在上单调递增
【答案】ABD
【解析】
【分析】
对A，利用图象变换判断，注意平移时要先提出前面的系数2，对B和C，可由函数的对称性判断，对D可由函数的单调性判断.
【详解】
A.左平移得到，所以A对；
B.令，，所以，，
所以时，对称中心为，所以B对；
C.令，，所以，，所以取不到，
所以C错；
D.令，所以单调递增区间为，，
当时，单调递增区间为，故在上单调递增，所以D对.
故选：ABD.
【点睛】
本题考查了余弦型函数的对称性，单调性，图象变换，属于中档题.
16．（2020·南京市秦淮中学开学考试）已知函数的图象的一个最高点为，与之相邻的一个对称中心为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A．为偶函数 B．的一个单调递增区间为
C．为奇函数 D．在上只有一个零点
【答案】BD
【解析】
【分析】
先根据余弦函数的图象和性质，求得的解析式，再结合三角函数的图象变换，求得函数的解析式，再结合余弦函数的图象与性质，即可求解.
【详解】
由题意，可得，所以，可得，
所以，
因为，所以，
因为，所以，即，
所以，
可得函数为非奇非偶函数，
令，可得，
当时，函数的一个单调递增区间为；
由，解得，
所以函数在上只有一个零点.
故选：BD
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质，其中解答中熟记三角函数的图象变换，以及熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
17．（2020·江苏苏州·高三开学考试）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转简车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（ ）.
A．
B．当时，函数单调递增
C．当时，的最大值为
D．当时，.
【答案】AD
【解析】
【分析】
求出圆的半径，利用周期求出，通过三角函数的解析式求出初相，再利用正弦函数的性质判断求解即可．
【详解】
解：由题意，，，所以；
又点代入可得，解得；
又，所以．正确；
所以，当，时，，，所以函数先增后减，错误；
，时，点到轴的距离的最大值为6，错误；
当时，，的纵坐标为，横坐标为，所以，正确．
故选：．
【点睛】
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，属于中档题．
第II卷（非选择题）
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三、解答题
18．（2020·四川成都·期末（文））已知，，.
（1）求的值；
（2）求角的大小.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用同角三角函数的基本关系求得的值，然后利用二倍角的正切公式可求的值；
（2）利用两角差的正弦公式求得的值，结合角的取值范围，进而可求得角的值.
【详解】
（1），，，
，因此，；
（2），，
，，
，
，.
【点睛】
本题考查利用同角三角函数的基本关系以及二倍角的正切公式求值，同时也考查了利用三角函数值求角，考查计算能力，属于中等题.
19．（2020·河南罗山·月考（文））如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由任意角的三角函数的定义可得，然后代入中可得结果；
（2）由题意可得，然后利用诱导公式求出，从而可求出的值
【详解】
解：（1）由题得，
.
（2）由题得，
，
，
.
【点睛】
本题主要考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题.
20．（2020·四川资阳·高一期末）已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由已知求得的，展开二倍角的正切，分类求得的值；
（2）分别求出与的值，再由两角差的余弦求解的值.
【详解】
解：由，得，即，
解得或.
（1）当时，；
当时，；
（2）当时，，
，
；
当时，，
，
.
综上.
【点睛】
本题考查商数关系、平方关系以及两角和的余弦公式，重在识记公式，属于中档题.
21．（2020·六盘山高级中学期末）已知函数，.
（1）求的对称中心和最小正周期；
（2）若，求的值.
【答案】（1）对称中心为（），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）直接利用三角函数关系系的变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步求出函数的对称中心和最小正周期.
（2）利用三角函数的关系式的平方求出结果.
【详解】
（1），
令，解得（），
所以函数的对称中心为（），
函数的最小正周期为.
（2）由于，
所以，
故，
解得.
【点睛】
本题考查三角函数的对称中心、周期，考查三角函数的化简和求值，属于基础题．
22．（2020·湖南省衡阳县第四中学月考）已知点，点，且函数（为坐标原点），
（1）求函数的解析式及值域；
（2）求函数的最小正周期及单调递增区间.
【答案】（1）；值域为；
（2）最小正周期为；单调递增区间为.
【解析】
【分析】
（1）由向量数量积的坐标运算得和辅助角公式化简得，再根据函数性质即可得函数值域；
（2）结合正弦函数的性质，根据整体代换思想求解即可.
【详解】
解（1）
由，所以，
所以的值域为.
（2）由，所以最小正周期为
由，得
，
所以的单调递增区间为
【点睛】
本题考查三角函数的化简，三角函数的性质，考查运算能力，是中档题.
23．（2020·江苏省镇江中学开学考试）在三角形中，角，，分别对应这边，，.已知，且.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用同角三角函数的商数关系，两角和的正弦公式以及正弦定理化简，可得的值；
（2）利用余弦定理结合已知条件求出的值．
【详解】
（1）
.
（2）∵，∴，∴，
∴，∴在中由余弦定理得
，
∴.
【点睛】
本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查三角恒等变换，属于中档题．
24．（2020·安徽省舒城中学开学考试（理））已知向量，，其中，，又函数的图象任意两相邻对称轴间距为.
（1）求的值:
（2）设是第一象限角，且，求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）首先根据题意得到，再根据函数的周期即可得到的值.
（2）根据得到，，再化简即可得到答案.
【详解】
（1）由题意得，
所以
.
因为函数的图象任意两相邻对称轴间距为.
所以函数的最小正周期为，又，所以.
（2）由（1）知，
所以
.
解得，因为是第一象限角，故，
所以
.
【点睛】
本题主要考查三角函数的恒等变换，同时考查了函数的周期和三角函数的诱导公式，属于中档题.
25．（2020·南开大学附属中学月考）已知.
(1)求的值;
(2)求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：（1）利用正切的两角和公式求的值；（2）利用第一问的结果求第二问，但需要先将式子化简，最后变形成关于的式子，需要运用三角函数的倍角公式将化成单角的三角函数，然后分子分母都除以，然后代入的值即可．
试题解析：（1）由
（2）
考点：1.正切的两角和公式；2.正余弦的倍角公式.
26．（2020·汨罗市第二中学开学考试）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，设S为△ABC的面积，
满足.
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若，设，，求函数的解析式和最大值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（），．
【解析】
试题分析：（1）由已知及三角形面积公式和余弦定理得，化简后可得；（2）由正弦定理得，，所以，最大值为.
试题解析：
（1）由已知及三角形面积公式和余弦定理得
，又
所以
（2）由（1）知，△ABC的内角和，又得
由正弦定理，知，
所以
当，即时，取得最大值
考点：解三角形．
27．（2020·山东高三其他）在①acosB+bcosA=cosC；②2asinAcosB+bsin2A=a；③△ABC的面积为S，且4S=(a2+b2-c2)，这三个条件中任意选择一个，填入下面的问题中，并求解，在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数=2sinωxcosωx+2cos2ωx的最小正周期为π，c为在[0，]上的最大值，求a-b的取值范围.注:如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.
【答案】三种情况，a-b的取值范围都是
【解析】
【分析】
对于①，利用正弦定理结合条件得到角C的大小，再用正弦定理用角A表示边a，b，从而得到三角函数式，进而用三角恒等变换和三角函数有界性得到结果；对于②，利用正弦定理，结合条件得到角C的大小，同①得到结果；对于③，利用余弦定理，结合条件得到角C的大小，同①得到结果.
【详解】
函数=2sinωxcosωx+2cos2ωx
，
函数的最小正周期为π，则，，
当[0，]，，
，故c=3,
若选①，acosB+bcosA=cosC,
由正弦定理得
可得，
,
又C为三角形内角，则，
由正弦定理得，
∴，，
则
,
因为
故.
若选②，2asinAcosB+bsin2A=a，
由正弦定理得，
，
，
又C为三角形内角，则，（舍去），
由正弦定理得，
∴，，
则
,
因为
故.
若选③，△ABC的面积为S，且4S=(a2+b2-c2)，
可得,
,
,
又C为三角形内角，则，
由正弦定理得，
∴，，
则
,
因为
故.
【点睛】
本题主要考查解三角形、三角恒等变换等知识，考查考生的转化与化归能力、运算求解能力，属于中等题.
28．（2020·黑龙江哈师大青冈实验中学月考（文））已知，且.将表示为的函数，若记此函数为，
（1）求的单调递增区间；
（2）将的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数在上的最大值与最小值.
【答案】（1）单调递增区间为（2）最大值为3，最小值为0.
【解析】
试题分析：（1）根据向量的垂直关系求出 的解析式，结合三角函数的性质求出函数的递增区间即可；
（2）求出 的解析式，根据自变量的范围，以及三角函数的性质求出函数的最大值和最小值即可．
试题解析：（1）由得，
所以.
由得，
即函数的单调递增区间为
（2）由题意知
因为，
故当时， 有最大值为3；
当时， 有最小值为0.
故函数在上的最大值为3，最小值为0.
29．（2020·内蒙古赤峰·高一期末（文））已知函数的图像过点，且图像上与点最近的一个最低点坐标为.
（1）求函数的解析式；
（2）若将此函数的图像向左平移个单位长度后，再向上平移2个单位长度得到的图像，求在上的值域.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）本题首先可根据最低点的坐标为得出，然后根据得出，最后将点带入中，即可求出的值，得出结果；
（2）本题首先可根据图像变换得出，然后根据得出，最后根据正弦函数性质即可求出函数的值域.
【详解】
（1）因为一个最低点的坐标为，所以，，
因为，所以最小正周期，，，
将点带入中，
可得，解得，
因为，所以，.
（2）向左平移个单位长度后得到函数，
再向上平移2个单位长度得到，
因为，
所以，，，
故函数在上的值域为
【点睛】
本题考查三角函数解析式的求法、三角函数图像变换以及三角函数的值域，可根据最值、周期、三角函数上的点坐标来求出三角函数解析式，考查正弦函数性质，考查推理能力与计算能力，是中档题.
30．（2020·安徽金安·六安一中开学考试（理））若函数的部分图象如图所示，、分别是图象的最低点和最高点，其中.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象关于轴对称，求实数的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由图象可得出函数的最小正周期，可求得的值，利用平面向量的模长公式可求得的值，再将点的坐标代入函数的解析式，结合的取值范围可求得的值，进而可求得函数的解析式；
（2）利用三角函数图象变换规律可得出函数的解析式，由函数图象的对称性可得出关于的表达式，进而可求得正数的最小值.
【详解】
（1）由图象可知，函数的最小正周期，，
由图象可得，.
将代入函数的解析式得，，
，，，解得，
；
（2）将函数的图象向左平移个单位后，可得到函数的图象，
所以，，
由于函数的图象关于轴对称，所以，，，
当时，正数取得最小值.
【点睛】
本题考查利用图象求正弦型函数的解析式，同时也考查了利用图象平移求函数解析式，以及利用图象的对称性求参数，考查了平面向量模长公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
31．（2020·山东滕州市第一中学新校高二开学考试）已知函数（，，）的图象如下图所示
（1）求出函数的解析式；
（2）若将函数的图象向右移动个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，求出函数的单调增区间及对称中心.
【答案】（1）；
（2），.
【解析】
【分析】
（1）通过函数的图象求出振幅，周期，以及b．求出函数f（x）的解析式；
（2）利用平移变换的运算求出函数y＝g（x）的解析式，通过正弦函数的单调增区间求解函数单调增区间及对称中心．
【详解】
（1）
由图可得
且而,
故
综上
（2）显然
由得
的单调递增区间为..
由.
【点睛】
本题考查三角函数的解析式的求法，平移变换以及正弦函数的单调区间，对称中心的求法，考查计算能力．
32．（2020·河南月考（理））将一块圆心角为120°，半径为的扇形铁片裁成一块矩形，如图有两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径上(图1)，或让矩形一边与弦平行(图2).对于图1和图2均记，问哪种裁法得到的矩形的面积最大？
【答案】选择（2）裁法能得到面积最大的矩形.
【解析】
【分析】
对于甲图：，，将矩形面积表示出来，利用二倍角公式和三角函数性质即可求出最大值.对于乙图：利用正弦定理的，利用三角函数可得，即可表示出矩形的面积，利用三角恒等变换以及三角函数可求得最大值，比较看哪个面积最大即可.
【详解】
如题图1，矩形的面积为()，
当时，.
如题图2，在中，由正弦定理得.
由对称性可知，的平分线为对称轴，
则.
所以矩形的面积为
()
当时，.
综上，，选择（2）裁法能得到面积最大的矩形.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的实际应用，利用三角函数和三角恒等变换求最值，属于中档题.
33．（2020·苏州市苏州高新区第一中学开学考试）某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民.为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）.已知该扇形的半径为200米，圆心角，点在上，点在上，点在弧上，设.
（1）若矩形是正方形，求的值；
（2）为方便市民观赏绿地景观，从点处向修建两条观赏通道和（宽度不计），使，，其中依而建，为让市民有更多时间观赏，希望最长，试问：此时点应在何处？说明你的理由.
【答案】（1）矩形是正方形时，（2）当是的中点时，最大
【解析】
试题分析：（1）因为四边形是扇形的内接正方形，所以，注意到，代入前者就可以求出. （2）由题设可由，，利用两角差的正弦和辅助角公式把化成的形式，从而求出的最大值.
解析：（1）在中， ，，在中， ， 所以，因为矩形是正方形，，所以，所以，所以 ．
（2）因为所以， ，．所以, 即时，最大，此时是的中点．
答：（1）矩形是正方形时，；
（2）当是的中点时，最大．
34．（2020·广东韶关·高一期末）如图，某市为了提升城市形象，满足人民群众需要，拟在一个边长为4百米的正方形生态公园中，规划修建以正方形中心为圆心，百米为半径的圆形观景湖，以及一条从边上点出发，穿过生态公园且与观景湖相切的观赏道（其中在边上）.
（1）以点为原点，射线为轴的正半轴建立平面直角坐标系，设，求观赏道的长关于的函数关系式及定义域；
（2）在（1）的条件下，设，若建造观赏道和观景湖总预算为百万元（是正常数），试问当为何值时，可使总预算最小？并求出此时最小预算.
参考公式：
【答案】（1）；定义域为；（2）当时，可使总预算最小，此时最小预算为百万元.
【解析】
【分析】
（1）以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，写出的方程，再由圆心到直线的距离等于半径可得.然后利用点与点重合及点与点重合求得值，可得的定义域；
（2），，用换元法设，由的范围求得的范围，把化为关于的函数，再由单调性求最值.
【详解】
解：（1）以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，，，
则的方程为，即.
∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离.
∵时，，即，整理得：.
化简（*）得：，即.
∴.
设切点为，当点与点重合时，由直线与圆相切知，
，，，.
当点Q与点D重合时，同理可得，.
故的定义域为；
（2），，
设，又，故.
故.
又，故.
根据题意，，∴.
而在内单调递减，故.
此时.
故当时，可使总预算最小，此时最小预算为百万元.
【点睛】
本题考查三角函数的应用，解题时根据所给参数，列出关于的函数，应用三角函数知识求解，在关于和的代数式的最值（值域）问题中常常用换元法，即设，则，转化灾一般的函数求解．
35．（2019·上海市建平中学月考）某城市为发展城市旅游经济，拟在景观河道的两侧，沿河岸直线与修建景观路（桥），如图所示，河道为东西方向，现要在矩形区域内沿直线将与接通，已知，，河道两侧的景观道路修建费用为每米1万元，架设在河道上方的景观桥部分的修建费用为每米2万元.
（1）若景观桥长时，求桥与河道所成角的大小；
（2）如何设计景观桥的位置，使矩形区域内的总修建费用最低？最低总造价是多少？
【答案】（1）；（2）景观桥与和河道沿线所成的角为时，最低总造价是万元.
【解析】
【分析】
设与所成的角为（1）在△中有且，求角，进而求桥与河道所成角；（2）由题意可知总修建费用得到关于的函数，利用辅助角公式及正弦函数的性质即可求最低修建费用及景观桥的位置；
【详解】
如题设中的图示，垂足为，设与所成的角为，即，故有，.
（1）当景观桥的长为时，得，即景观桥与和河道沿线所成的角为.
（2）由，可得总修建费用，
令，又，故，则且，又有，
所以最大值为，有最小值为，此时，景观桥与河道沿线所成的角为.
【点睛】
本题考查了利用三角函数解决实际问题，结合辅助角公式及正弦函数的值域范围求最值问题，注意实际问题中的约束条件；
36．（2020·江苏其他）如图，在市中心有一矩形空地．市政府欲将它改造成绿化景观带，具体方案如下：在边上分别取点M，N，在三角形内建造假山，在以为直径的半圆内建造喷泉，其余区域栽种各种观赏类植物．
（1）若假山区域面积为，求喷泉区域面积的最小值；
（2）若，求假山区域面积的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设，半圆的直径，根据假山区域面积为，找到与的关系，再表示出喷泉区域面积，求最值，注意验证半圆是否在矩形空地内，即验证是否能取到最小值；
（2）由（1）根据以为直径的半圆区域在矩形广场内，求得的范围，再将假山区域面积用表示出来，再求最值.
【详解】
解：（1）设，半圆的直径，半圆的圆心为O．
在直角三角形中，，所以．
因为假山区域面积为，
所以
所以，所以喷泉区域面积，
当且仅当，即时取等号．此时．
因为点O到的距离，点O到的距离，
所以，即，
，即．
所以以为直径的半圆区域一定在矩形广场内．
所以当时，取得最小值．
喷泉区域面积的最小值为．
（2）由（1）知，若，则．
所以点O到的距离，
点O到的距离，
因为以为直径的半圆区域在矩形广场内，
所以即所以．
又因为，所以．
所以假山区域面积，
因为，所以，
所以当时，假山区域面积的最大值为．
【点睛】
本题是三角函数在几何中的应用题，结合考查了直线与圆的位置关系，二倍角公式，还考查了学生的分析理解能力，运算能力，属于中档题.
专题八 三角函数变换与三角函数的应用
一、单选题
1．（2020·黑龙江哈师大青冈实验中学月考（文））已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由所给等式利用同角三角函数的关系可求得，再利用降幂公式及二倍角公式将整理为，代入相应值即可得解.
【详解】
，，即，，
.
故选：B
【点睛】
本题考查同角三角函数的关系、降幂公式、二倍角公式，属于中档题.
2．（2020·辽宁期末）已知向量，，将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的运算和辅助角公式可得，向左平移个单位，得到，从而有，，再结合，即可得解.
【详解】
，
将函数的图象向左平移个单位，得到，
该函数的图象关于原点对称，该函数是奇函数，
，，，，
又，.
故选：D.
【点睛】
本题考查数量积的坐标运算、辅助角公式和三角函数的图象变换，属于中档题.
3．（2020·汨罗市第二中学开学考试）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知结合正弦定理以及三角恒等变换，化简求出，由结合，求得，从而求出的值，再由正弦定理将结合关系，转化为（或 ）角的三角函数，注意求出角的范围，再用三角恒等变换求出范围.
【详解】
由可得：
，∴.
，
∴，，，
∴，又，
，∴，
，
∵，∴，
∴.
故选B.
【点睛】
本题考查正弦定理边角互化，考查利用三角恒等变换，以及正弦函数的图像与性质的应用，解题中要注意角的范围，属于中档题.
4．（2020·湖南怀化·高一期末）已知的最大值为A，若存在实数，，使得对任意的实数x，总有成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
化简函数的解析式可得周期与最大值，对任意的实数x，总有成立，即半周期的整数倍，代入求最小值即可．
【详解】
，
则，
故选：B
【点睛】
本题考查正弦函数的性质，考查三角恒等变换，考查周期与最值的求法，属于中档题．
5．（2020·应城市第一高级中学开学考试）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若在上为增函数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用函数图象变换求得函数的解析式为，由函数在上为增函数可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的最大值.
【详解】
函数的图象向右平移个单位长度，
可得的图象.
当时，，
由于正弦函数在附近单调递增，且，
因为，函数在上为增函数，所以，，
所以，，解得，因此，的最大值为.
故选：C．
【点睛】
本题考查利用函数图象平移求函数解析式，同时也考查了利用正弦型函数在区间上的单调性求参数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
6．（2020·贵州高三其他（理））函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数的最小正周期 B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于对称 D．函数在上递增
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用辅助角公式化简函数解析式，再根据平移法则可得到函数的解析式，即可判断各选项的真假．
【详解】
因为，所以
，即可知函数的最小正周期，A正确；当时，，所以函数的图象关于直线对称，B正确；当时，，所以函数的图象关于对称，C正确；
因为，，所以D错误．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查辅助角公式和平移法则的应用，以及函数的性质应用，熟记公式和基本性质是解题的关键，属于基础题．
7．（2020·安徽金安·六安一中开学考试（理））将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，，均有，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用三角函数的最值，求出自变量、的值，然后判断选项即可.
【详解】
由题意可得：，
由可知，两个函数的最大值与最小值的差等于2，有，
不妨取，则，即在取得最小值，
所以，此时，符合题意，
取，则，即在取得最大值，
所以，此时，满足题意，所以
故选：B
【点睛】
本题主要考查了的图象变化规律，函数的最值以及函数周期的应用，属于中档题.
8．（2017·安徽安庆·二模（文））设函数的最小正周期是，将其图象向左平移后，得到的图象如图所示，则函数的单增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
由已知图象知，的最小正周期是所以解得.由得到，单增区间是或：因为所以将的图象向左平移后，所对应的解析式为.由图象知，所以.由得到，单增区间是
点晴：本题考查的是三角函数的图像和性质.已知函数的图象求解析式;(1);(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.确定解析式后，再根据可得单增区间是.
9．（2020·瑞安市上海新纪元高级中学期末）已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数在区间上是增函数
C．函数是偶函数
D．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象
【答案】C
【解析】
【分析】
求出函数的对应的对称中心和对称轴，即可判断和的正误；根据正弦函数的单调行可判断不对；对根据左加右减的原则函数进行平移，进而可判断；从而可判断答案．
【详解】
当时，即，函数的图象关于点，对称，当时，点，即点，．故选项错；
由，得，
函数在区间，上单调递增，当时函数在区间，上单调递增，故不对；
令，，故函数的对称轴是，故函数对称轴是，
当时，即关于轴对称，故是偶函数，故对；
将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，不是函数，不对．
故选：．
【点睛】
本题主要考查三角函数的基本性质单调性与对称性．高考对三角函数的考查以基础题为主，平时要注意基础知识的积累，到高考时才能做到游刃有余．
10．（2020·湖南怀化·高一期末）将函数图象向左平移()个单位后得到函数的图象，若函数在区间 上单调递减，且函数的最大负零点在区间上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出函数，根据其在区间上单调递减，可得，再由的最大负零点在区间上，可得，即可得答案；
【详解】
解：将函数图象向左平移()个单位
得到函数图象，
若函数在区间上单调递减，则，得①，
，则()，
求得()，
根据函数的最大负零点在区间上，∴，
求得②，由①②求得的取值范围为.
故选：D.
【点睛】
本题考查三角函数的平移变换及函数的单调性、零点，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
11．（2020·苏州市苏州高新区第一中学开学考试）一半径为的水轮如图所示，水轮圆心距离水面，已知水轮每逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ）
A．点第一次到达最高点需要
B．在水轮转动的一圈内，点距离水面的高度不低于共有的时间
C．点距离水面的高度（单位：）与时间（单位：）的函数解析式为
D．当水轮转动时，点在水面下方，距离水面
【答案】C
【解析】
【分析】
设点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为f（t）＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|）依题意可知f（t）的最大值为7.2，最小为﹣2.4，可得A+B＝7.2，﹣A+B＝﹣2.4，解得A，B．60，解得ω．当t＝0时，f（t）＝0，得sinφ求出φ，可得所求的函数关系式为f（t）．进而对各个选项依次判断即可．
【详解】
设点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为f（t）＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|）
依题意可知f（t）的最大值为7.2，最小为﹣2.4，
∴A+B＝7.2，﹣A+B＝﹣2，解得A＝4.8，B＝2.4．
60，解得ω．
∴f（t）＝4.8sin（t+φ）+2.4，
当t＝0时，f（t）＝0，得sinφ，|φ|，φ，
故所求的函数关系式为f（t）＝4.8sin（t ）+2.4，C对，
令4.8sin（t ）+2.4＝7.2，
可得：sin（t）＝1，
∴t，解得t＝20．
点P第一次到达最高点要20s时间．A错，
4.8sin（t ）+2.4≥4.8⇒sin（t ）⇒t⇒10≤t≤30；
∴在水轮转动的一圈内，有20秒的时间，点P距离水面的高度不低于4.8米；B错
t＝50时，f（t）＝4.8sin（t ）+2.4＝4.8sin（50 ）+2.4＝4.8sin2.4＝﹣2.4，D错．
故选： C．
【点睛】
本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．（2020·陕西延安中学期末）中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆(为坐标原点)的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题：
①对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个；
②函数可以是某个圆的“优美函数”；
③正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”；
④函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形．
A．①④ B．①③④ C．②③ D．①③
【答案】D
【解析】
【分析】
根据定义分析，优美函数具备的特征是，函数关于圆心（即坐标原点）呈中心对称.
【详解】
对①，中心对称图形有无数个，①正确
对②，函数是偶函数，不关于原点成中心对称.②错误
对③，正弦函数关于原点成中心对称图形，③正确.
对④，充要条件应该是关于原点成中心对称图形，④错误
故选D
【点睛】
仔细阅读新定义问题，理解定义中优美函数的含义，找到中心对称图形，即可判断各项正误.
二、多选题
13．（2020·江苏扬中市第二高级中学开学考试）在中，角的对边分别为，下列结论中正确的选项有（ ）
A．若，则
B．若，则可能为等腰三角形或直角三角形
C．若，则定为直角三角形
D．若且该三角形有两解，则的取值范围是
【答案】ABCD
【解析】
【分析】
结合正弦定理、诱导公式、三角恒等变换等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
对于A选项，由正弦定理得，故A选项正确.
对于B选项，由于，由于是三角形的内角，所以或，即或，所以可能为等腰三角形或直角三角形，故B选项正确.
对于C选项，由以及正弦定理得，
即，
所以，由于，所以，所以，故定为直角三角形.故C选项正确.
对于D选项，，且该三角形有两解，所以，即，也即，故D选项正确.
故选：ABCD
【点睛】
本小题主要考查正弦定理边角互化，考查诱导公式以及三角恒等变换，属于中档题.
14．（2020·湖南天心·长郡中学开学考试）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上是单调增函数，则实数可能的取值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据图象平移求得函数的解析式，再利用函数的单调性列出不等式求得的取值范围，即可求解.
【详解】
由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，
得到函数的图象，
若函数在区间上是单调增函数，
则满足，解得，
所以实数的可能的取值为.
故选：ABC.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换求函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的综合应用，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
15．（2020·江苏省溧阳中学开学考试）已知函数，则（ ）
A．函数的图象可以由的图象向左平移得到；
B．函数的图象关于点对称；
C．函数的图象关于直线对称；
D．函数在上单调递增
【答案】ABD
【解析】
【分析】
对A，利用图象变换判断，注意平移时要先提出前面的系数2，对B和C，可由函数的对称性判断，对D可由函数的单调性判断.
【详解】
A.左平移得到，所以A对；
B.令，，所以，，
所以时，对称中心为，所以B对；
C.令，，所以，，所以取不到，
所以C错；
D.令，所以单调递增区间为，，
当时，单调递增区间为，故在上单调递增，所以D对.
故选：ABD.
【点睛】
本题考查了余弦型函数的对称性，单调性，图象变换，属于中档题.
16．（2020·南京市秦淮中学开学考试）已知函数的图象的一个最高点为，与之相邻的一个对称中心为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A．为偶函数 B．的一个单调递增区间为
C．为奇函数 D．在上只有一个零点
【答案】BD
【解析】
【分析】
先根据余弦函数的图象和性质，求得的解析式，再结合三角函数的图象变换，求得函数的解析式，再结合余弦函数的图象与性质，即可求解.
【详解】
由题意，可得，所以，可得，
所以，
因为，所以，
因为，所以，即，
所以，
可得函数为非奇非偶函数，
令，可得，
当时，函数的一个单调递增区间为；
由，解得，
所以函数在上只有一个零点.
故选：BD
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质，其中解答中熟记三角函数的图象变换，以及熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
17．（2020·江苏苏州·高三开学考试）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转简车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（ ）.
A．
B．当时，函数单调递增
C．当时，的最大值为
D．当时，.
【答案】AD
【解析】
【分析】
求出圆的半径，利用周期求出，通过三角函数的解析式求出初相，再利用正弦函数的性质判断求解即可．
【详解】
解：由题意，，，所以；
又点代入可得，解得；
又，所以．正确；
所以，当，时，，，所以函数先增后减，错误；
，时，点到轴的距离的最大值为6，错误；
当时，，的纵坐标为，横坐标为，所以，正确．
故选：．
【点睛】
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，属于中档题．
第II卷（非选择题）
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三、解答题
18．（2020·四川成都·期末（文））已知，，.
（1）求的值；
（2）求角的大小.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用同角三角函数的基本关系求得的值，然后利用二倍角的正切公式可求的值；
（2）利用两角差的正弦公式求得的值，结合角的取值范围，进而可求得角的值.
【详解】
（1），，，
，因此，；
（2），，
，，
，
，.
【点睛】
本题考查利用同角三角函数的基本关系以及二倍角的正切公式求值，同时也考查了利用三角函数值求角，考查计算能力，属于中等题.
19．（2020·河南罗山·月考（文））如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由任意角的三角函数的定义可得，然后代入中可得结果；
（2）由题意可得，然后利用诱导公式求出，从而可求出的值
【详解】
解：（1）由题得，
.
（2）由题得，
，
，
.
【点睛】
本题主要考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题.
20．（2020·四川资阳·高一期末）已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由已知求得的，展开二倍角的正切，分类求得的值；
（2）分别求出与的值，再由两角差的余弦求解的值.
【详解】
解：由，得，即，
解得或.
（1）当时，；
当时，；
（2）当时，，
，
；
当时，，
，
.
综上.
【点睛】
本题考查商数关系、平方关系以及两角和的余弦公式，重在识记公式，属于中档题.
21．（2020·六盘山高级中学期末）已知函数，.
（1）求的对称中心和最小正周期；
（2）若，求的值.
【答案】（1）对称中心为（），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）直接利用三角函数关系系的变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步求出函数的对称中心和最小正周期.
（2）利用三角函数的关系式的平方求出结果.
【详解】
（1），
令，解得（），
所以函数的对称中心为（），
函数的最小正周期为.
（2）由于，
所以，
故，
解得.
【点睛】
本题考查三角函数的对称中心、周期，考查三角函数的化简和求值，属于基础题．
22．（2020·湖南省衡阳县第四中学月考）已知点，点，且函数（为坐标原点），
（1）求函数的解析式及值域；
（2）求函数的最小正周期及单调递增区间.
【答案】（1）；值域为；
（2）最小正周期为；单调递增区间为.
【解析】
【分析】
（1）由向量数量积的坐标运算得和辅助角公式化简得，再根据函数性质即可得函数值域；
（2）结合正弦函数的性质，根据整体代换思想求解即可.
【详解】
解（1）
由，所以，
所以的值域为.
（2）由，所以最小正周期为
由，得
，
所以的单调递增区间为
【点睛】
本题考查三角函数的化简，三角函数的性质，考查运算能力，是中档题.
23．（2020·江苏省镇江中学开学考试）在三角形中，角，，分别对应这边，，.已知，且.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用同角三角函数的商数关系，两角和的正弦公式以及正弦定理化简，可得的值；
（2）利用余弦定理结合已知条件求出的值．
【详解】
（1）
.
（2）∵，∴，∴，
∴，∴在中由余弦定理得
，
∴.
【点睛】
本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查三角恒等变换，属于中档题．
24．（2020·安徽省舒城中学开学考试（理））已知向量，，其中，，又函数的图象任意两相邻对称轴间距为.
（1）求的值:
（2）设是第一象限角，且，求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）首先根据题意得到，再根据函数的周期即可得到的值.
（2）根据得到，，再化简即可得到答案.
【详解】
（1）由题意得，
所以
.
因为函数的图象任意两相邻对称轴间距为.
所以函数的最小正周期为，又，所以.
（2）由（1）知，
所以
.
解得，因为是第一象限角，故，
所以
.
【点睛】
本题主要考查三角函数的恒等变换，同时考查了函数的周期和三角函数的诱导公式，属于中档题.
25．（2020·南开大学附属中学月考）已知.
(1)求的值;
(2)求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：（1）利用正切的两角和公式求的值；（2）利用第一问的结果求第二问，但需要先将式子化简，最后变形成关于的式子，需要运用三角函数的倍角公式将化成单角的三角函数，然后分子分母都除以，然后代入的值即可．
试题解析：（1）由
（2）
考点：1.正切的两角和公式；2.正余弦的倍角公式.
26．（2020·汨罗市第二中学开学考试）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，设S为△ABC的面积，
满足.
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若，设，，求函数的解析式和最大值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（），．
【解析】
试题分析：（1）由已知及三角形面积公式和余弦定理得，化简后可得；（2）由正弦定理得，，所以，最大值为.
试题解析：
（1）由已知及三角形面积公式和余弦定理得
，又
所以
（2）由（1）知，△ABC的内角和，又得
由正弦定理，知，
所以
当，即时，取得最大值
考点：解三角形．
27．（2020·山东高三其他）在①acosB+bcosA=cosC；②2asinAcosB+bsin2A=a；③△ABC的面积为S，且4S=(a2+b2-c2)，这三个条件中任意选择一个，填入下面的问题中，并求解，在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数=2sinωxcosωx+2cos2ωx的最小正周期为π，c为在[0，]上的最大值，求a-b的取值范围.注:如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.
【答案】三种情况，a-b的取值范围都是
【解析】
【分析】
对于①，利用正弦定理结合条件得到角C的大小，再用正弦定理用角A表示边a，b，从而得到三角函数式，进而用三角恒等变换和三角函数有界性得到结果；对于②，利用正弦定理，结合条件得到角C的大小，同①得到结果；对于③，利用余弦定理，结合条件得到角C的大小，同①得到结果.
【详解】
函数=2sinωxcosωx+2cos2ωx
，
函数的最小正周期为π，则，，
当[0，]，，
，故c=3,
若选①，acosB+bcosA=cosC,
由正弦定理得
可得，
,
又C为三角形内角，则，
由正弦定理得，
∴，，
则
,
因为
故.
若选②，2asinAcosB+bsin2A=a，
由正弦定理得，
，
，
又C为三角形内角，则，（舍去），
由正弦定理得，
∴，，
则
,
因为
故.
若选③，△ABC的面积为S，且4S=(a2+b2-c2)，
可得,
,
,
又C为三角形内角，则，
由正弦定理得，
∴，，
则
,
因为
故.
【点睛】
本题主要考查解三角形、三角恒等变换等知识，考查考生的转化与化归能力、运算求解能力，属于中等题.
28．（2020·黑龙江哈师大青冈实验中学月考（文））已知，且.将表示为的函数，若记此函数为，
（1）求的单调递增区间；
（2）将的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数在上的最大值与最小值.
【答案】（1）单调递增区间为（2）最大值为3，最小值为0.
【解析】
试题分析：（1）根据向量的垂直关系求出 的解析式，结合三角函数的性质求出函数的递增区间即可；
（2）求出 的解析式，根据自变量的范围，以及三角函数的性质求出函数的最大值和最小值即可．
试题解析：（1）由得，
所以.
由得，
即函数的单调递增区间为
（2）由题意知
因为，
故当时， 有最大值为3；
当时， 有最小值为0.
故函数在上的最大值为3，最小值为0.
29．（2020·内蒙古赤峰·高一期末（文））已知函数的图像过点，且图像上与点最近的一个最低点坐标为.
（1）求函数的解析式；
（2）若将此函数的图像向左平移个单位长度后，再向上平移2个单位长度得到的图像，求在上的值域.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）本题首先可根据最低点的坐标为得出，然后根据得出，最后将点带入中，即可求出的值，得出结果；
（2）本题首先可根据图像变换得出，然后根据得出，最后根据正弦函数性质即可求出函数的值域.
【详解】
（1）因为一个最低点的坐标为，所以，，
因为，所以最小正周期，，，
将点带入中，
可得，解得，
因为，所以，.
（2）向左平移个单位长度后得到函数，
再向上平移2个单位长度得到，
因为，
所以，，，
故函数在上的值域为
【点睛】
本题考查三角函数解析式的求法、三角函数图像变换以及三角函数的值域，可根据最值、周期、三角函数上的点坐标来求出三角函数解析式，考查正弦函数性质，考查推理能力与计算能力，是中档题.
30．（2020·安徽金安·六安一中开学考试（理））若函数的部分图象如图所示，、分别是图象的最低点和最高点，其中.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象关于轴对称，求实数的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由图象可得出函数的最小正周期，可求得的值，利用平面向量的模长公式可求得的值，再将点的坐标代入函数的解析式，结合的取值范围可求得的值，进而可求得函数的解析式；
（2）利用三角函数图象变换规律可得出函数的解析式，由函数图象的对称性可得出关于的表达式，进而可求得正数的最小值.
【详解】
（1）由图象可知，函数的最小正周期，，
由图象可得，.
将代入函数的解析式得，，
，，，解得，
；
（2）将函数的图象向左平移个单位后，可得到函数的图象，
所以，，
由于函数的图象关于轴对称，所以，，，
当时，正数取得最小值.
【点睛】
本题考查利用图象求正弦型函数的解析式，同时也考查了利用图象平移求函数解析式，以及利用图象的对称性求参数，考查了平面向量模长公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
31．（2020·山东滕州市第一中学新校高二开学考试）已知函数（，，）的图象如下图所示
（1）求出函数的解析式；
（2）若将函数的图象向右移动个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，求出函数的单调增区间及对称中心.
【答案】（1）；
（2），.
【解析】
【分析】
（1）通过函数的图象求出振幅，周期，以及b．求出函数f（x）的解析式；
（2）利用平移变换的运算求出函数y＝g（x）的解析式，通过正弦函数的单调增区间求解函数单调增区间及对称中心．
【详解】
（1）
由图可得
且而,
故
综上
（2）显然
由得
的单调递增区间为..
由.
【点睛】
本题考查三角函数的解析式的求法，平移变换以及正弦函数的单调区间，对称中心的求法，考查计算能力．
32．（2020·河南月考（理））将一块圆心角为120°，半径为的扇形铁片裁成一块矩形，如图有两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径上(图1)，或让矩形一边与弦平行(图2).对于图1和图2均记，问哪种裁法得到的矩形的面积最大？
【答案】选择（2）裁法能得到面积最大的矩形.
【解析】
【分析】
对于甲图：，，将矩形面积表示出来，利用二倍角公式和三角函数性质即可求出最大值.对于乙图：利用正弦定理的，利用三角函数可得，即可表示出矩形的面积，利用三角恒等变换以及三角函数可求得最大值，比较看哪个面积最大即可.
【详解】
如题图1，矩形的面积为()，
当时，.
如题图2，在中，由正弦定理得.
由对称性可知，的平分线为对称轴，
则.
所以矩形的面积为
()
当时，.
综上，，选择（2）裁法能得到面积最大的矩形.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的实际应用，利用三角函数和三角恒等变换求最值，属于中档题.
33．（2020·苏州市苏州高新区第一中学开学考试）某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民.为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）.已知该扇形的半径为200米，圆心角，点在上，点在上，点在弧上，设.
（1）若矩形是正方形，求的值；
（2）为方便市民观赏绿地景观，从点处向修建两条观赏通道和（宽度不计），使，，其中依而建，为让市民有更多时间观赏，希望最长，试问：此时点应在何处？说明你的理由.
【答案】（1）矩形是正方形时，（2）当是的中点时，最大
【解析】
试题分析：（1）因为四边形是扇形的内接正方形，所以，注意到，代入前者就可以求出. （2）由题设可由，，利用两角差的正弦和辅助角公式把化成的形式，从而求出的最大值.
解析：（1）在中， ，，在中， ， 所以，因为矩形是正方形，，所以，所以，所以 ．
（2）因为所以， ，．所以, 即时，最大，此时是的中点．
答：（1）矩形是正方形时，；
（2）当是的中点时，最大．
34．（2020·广东韶关·高一期末）如图，某市为了提升城市形象，满足人民群众需要，拟在一个边长为4百米的正方形生态公园中，规划修建以正方形中心为圆心，百米为半径的圆形观景湖，以及一条从边上点出发，穿过生态公园且与观景湖相切的观赏道（其中在边上）.
（1）以点为原点，射线为轴的正半轴建立平面直角坐标系，设，求观赏道的长关于的函数关系式及定义域；
（2）在（1）的条件下，设，若建造观赏道和观景湖总预算为百万元（是正常数），试问当为何值时，可使总预算最小？并求出此时最小预算.
参考公式：
【答案】（1）；定义域为；（2）当时，可使总预算最小，此时最小预算为百万元.
【解析】
【分析】
（1）以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，写出的方程，再由圆心到直线的距离等于半径可得.然后利用点与点重合及点与点重合求得值，可得的定义域；
（2），，用换元法设，由的范围求得的范围，把化为关于的函数，再由单调性求最值.
【详解】
解：（1）以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，，，
则的方程为，即.
∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离.
∵时，，即，整理得：.
化简（*）得：，即.
∴.
设切点为，当点与点重合时，由直线与圆相切知，
，，，.
当点Q与点D重合时，同理可得，.
故的定义域为；
（2），，
设，又，故.
故.
又，故.
根据题意，，∴.
而在内单调递减，故.
此时.
故当时，可使总预算最小，此时最小预算为百万元.
【点睛】
本题考查三角函数的应用，解题时根据所给参数，列出关于的函数，应用三角函数知识求解，在关于和的代数式的最值（值域）问题中常常用换元法，即设，则，转化灾一般的函数求解．
35．（2019·上海市建平中学月考）某城市为发展城市旅游经济，拟在景观河道的两侧，沿河岸直线与修建景观路（桥），如图所示，河道为东西方向，现要在矩形区域内沿直线将与接通，已知，，河道两侧的景观道路修建费用为每米1万元，架设在河道上方的景观桥部分的修建费用为每米2万元.
（1）若景观桥长时，求桥与河道所成角的大小；
（2）如何设计景观桥的位置，使矩形区域内的总修建费用最低？最低总造价是多少？
【答案】（1）；（2）景观桥与和河道沿线所成的角为时，最低总造价是万元.
【解析】
【分析】
设与所成的角为（1）在△中有且，求角，进而求桥与河道所成角；（2）由题意可知总修建费用得到关于的函数，利用辅助角公式及正弦函数的性质即可求最低修建费用及景观桥的位置；
【详解】
如题设中的图示，垂足为，设与所成的角为，即，故有，.
（1）当景观桥的长为时，得，即景观桥与和河道沿线所成的角为.
（2）由，可得总修建费用，
令，又，故，则且，又有，
所以最大值为，有最小值为，此时，景观桥与河道沿线所成的角为.
【点睛】
本题考查了利用三角函数解决实际问题，结合辅助角公式及正弦函数的值域范围求最值问题，注意实际问题中的约束条件；
36．（2020·江苏其他）如图，在市中心有一矩形空地．市政府欲将它改造成绿化景观带，具体方案如下：在边上分别取点M，N，在三角形内建造假山，在以为直径的半圆内建造喷泉，其余区域栽种各种观赏类植物．
（1）若假山区域面积为，求喷泉区域面积的最小值；
（2）若，求假山区域面积的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设，半圆的直径，根据假山区域面积为，找到与的关系，再表示出喷泉区域面积，求最值，注意验证半圆是否在矩形空地内，即验证是否能取到最小值；
（2）由（1）根据以为直径的半圆区域在矩形广场内，求得的范围，再将假山区域面积用表示出来，再求最值.
【详解】
解：（1）设，半圆的直径，半圆的圆心为O．
在直角三角形中，，所以．
因为假山区域面积为，
所以
所以，所以喷泉区域面积，
当且仅当，即时取等号．此时．
因为点O到的距离，点O到的距离，
所以，即，
，即．
所以以为直径的半圆区域一定在矩形广场内．
所以当时，取得最小值．
喷泉区域面积的最小值为．
（2）由（1）知，若，则．
所以点O到的距离，
点O到的距离，
因为以为直径的半圆区域在矩形广场内，
所以即所以．
又因为，所以．
所以假山区域面积，
因为，所以，
所以当时，假山区域面积的最大值为．
【点睛】
本题是三角函数在几何中的应用题，结合考查了直线与圆的位置关系，二倍角公式，还考查了学生的分析理解能力，运算能力，属于中档题.
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