资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩6页未读，
继续阅读
所属成套资源：2021届高三《新题速递·数学》（江苏专用）
成套系列资料，整套一键下载
专题三 函数的概念、图像和性质-2021届高三《新题速递•数学》10月刊（江苏专用 适用于高考复习）
展开
这是一份专题三 函数的概念、图像和性质-2021届高三《新题速递•数学》10月刊（江苏专用 适用于高考复习），文件包含专题三函数的概念图像和性质原卷版docx、专题三函数的概念图像和性质解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共55页， 欢迎下载使用。
专题三 函数的概念、图像和性质
一、单选题
1．（2020·云南省云天化中学高一期末）已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.
详解：因为是定义域为的奇函数，且，
所以,
因此，
因为，所以，
，从而，选C.
点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
2．（2020·昆明市官渡区第一中学开学考试）设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．
【详解】
时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．
如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，，故选B．
【点睛】
易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．
3．（2020·梁河县第一中学月考（理））用表示a，b两个数中的最小值.已知，设，则R的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用新定义，基本不等式化简函数，然后再根据函数的性质求最大值．
【详解】
∵，∴，
∴，
当时，，时，，时，，
∴，
当时，，当时，，
∴时，，∴，
又当，，即，
∴的最大值是，的最大值是．
故选：C
【点睛】
本题考查函数的新定义，解题关键理解新定义，根据新定义化简函数，变为已知的熟悉的函数，然后求解．
4．（2020·山东微山县第二中学开学考试）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】
因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
【点睛】
本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
5．（2020·安徽期末（文））已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题设条件，求得，得到函数是周期为4的周期函数，进而得到，代入即可求解.
【详解】
由题意，函数是定义在上的奇函数，且，
可得，所以，
所以函数是周期为4的周期函数，
又由当时，，
则.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和周期性是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
6．（2020·昆明市官渡区第一中学高一开学考试）已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在上是减函数，由此可将不等式化为；利用分离变量法可得，求得的最大值和的最小值即可得到结果.
【详解】
为定义在上的偶函数，图象关于轴对称
又在上是增函数 在上是减函数
，即
对于恒成立 在上恒成立
，即的取值范围为：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.
7．（2020·昆明市官渡区第一中学高二期中（理））设，若当时，恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先判定函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质把不等式转化为在上恒成立，进而结合的范围，得到不等式，即可求解.
【详解】
由题意，函数，可得，
所以函数为奇函数，且在上为单调递增函数，
因为当时，恒成立，
即当时，恒成立，
所以，即在上恒成立，
当时，，则，
所以，解得或，
即实数的取值范围为.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，以及恒成立问题的求解，其中解答中合理利用函数的基本性质进行转化是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.
8．（2019·浙江南湖·嘉兴一中月考）设是定义在上的奇函数,且当时,,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
因为是定义在上的奇函数,且当时,,则当,有,,可得,即在上是单调递增函数,且满足,结合已知,即可得求答案.
【详解】
是定义在上的奇函数,且当时,
当,有,
即
在上是单调递增函数,且满足
不等式在恒成立,
,恒成立
对恒成立
解得:
则实数的取值范围是:.
故选:A.
【点睛】
本题考查了根据函数不等式恒成立求参数,解题关键是掌握奇函数的性质和函数不等式恒成立的解法,考查了分析能力和计算能力,属于难题.
9．（2020·浙江高一单元测试）函数是奇函数，且在内是增函数，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
易判断f（x）在（-∞，0）上的单调性及f（x）图象所过特殊点，作出f（x）的草图，根据图象可解不等式．
【详解】
∵f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，
由f（-3）＝0，得f（﹣3）＝﹣f（3）＝0，
即f（3）＝0，
作出f（x）的草图，如图所示：
由图象，得
解得0＜x＜3或﹣3＜x＜0，
∴xf（x）＜0的解集为：（﹣3，0）∪（0，3），
故选D．
【点睛】
本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．
10．（2020·安徽安庆·高三三模（文））已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
作出函数图象，根据直线恒过，采用数形结合的方式，分别在、和三种情况下确定符合题意的情况，进而求得结果.
【详解】
作出函数的图象如下图所示：
直线恒过定点.
当时，直线与分段函数有交点，显然满足题意；
当时，直线为，不符合题意；
当时，联立得：，
则，解得：或（舍）.
综上可得：实数的取值范围是.
故选：.
【点睛】
本题考查函数中能成立问题的求解，关键是能够将问题转化为恒过定点的直线与分段函数有交点的问题，通过数形结合的方式来进行求解.
11．（2020·江西临川一中高一开学考试）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则为( )
A． B．
C．或5 D．或
【答案】D
【解析】
【分析】
利用是奇函数，以及函数在上的解析式，合理转化，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，当时，，
①当时，由，解得，此时无解；
②当时，由，解得，此时无解；
又由函数是定义在上的奇函数，所以，
因为，所以，
③当时，则，可得，解得；
④当，则，可得，解得，
综上可得，实数的值为或.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了分段函数的解析式的应用，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数的解析，结合函数的奇偶性合理转化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
12．（2020·湖北武昌·（理））已知一个正方形的四个顶点都在函数的图像上，则此正方形的面积为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得正方形的中心为，设直线的方程为，则直线的方程为，联立方程组可得，，再由可得或，最后利用化简即可得解.
【详解】
设正方形，，，，，
，，
，
又，，
当时，，
又函数的图象可看做是由奇函数的图象向上平移一个单位所得，
函数的图象的对称中心为，
正方形的中心为，符合题意；
当时，则即可得，
此时，不合题意；
不妨设直线的方程为，则直线的方程为，
则，消去得，由可得，
同理可得，
，
，
由可得即，
化简可得即，
或即或，
正方形面积，
当时，；
当时，；
所以此正方形的面积为10或17.
故选：D.
【点睛】
本题考查了函数图象与正方形对称性的应用，考查了运算能力和转化化归思想，属于中档题.
13．（2020·广东深圳·高三月考（理））设是定义在上以2为周期的偶函数，当时，，则时，的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性和周期性可得、时的解析式，即可得解.
【详解】
是定义在上以2为周期的偶函数，
当时，，；
当时，，，
当时，.
故选：B.
【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性和周期性确定函数的解析式，属于中档题.
14．（2019·内蒙古昆都仑·包钢一中高一期中）定义在上的函数满足：且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设，得到函数单调递减函数，把不等式，转化为
结合，即可求解.
【详解】
由题意，设，
因为，即，所以函数单调递减函数，
不等式，即，
因为，所以不等式等价于，即
又由，则，所以不等式的解集为.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性的判定及应用，以及不等式的求解，其中解答中熟记函数的单调性的判定方法，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
15．（2019·上海浦东新·高三月考）已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
当时， ， 单调递减，且，单调递增，且 ，此时有且仅有一个交点；当时， ，在 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需 选B.
【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
16．（2020·江西抚州·高一期末）定义在R上的函数是偶函数，且.若在区间上是增函数，则( )
A．在区间上是增函数，在区间上是减函数
B．在区间上是增函数，在区间上是增函数
C．在区间上是减函数，在区间上是增函数
D．在区间上是减函数，在区间上是减函数
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数满足，且为偶函数，求得函数为周期函数且周期为2，结合函数在区间上是增函数，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，函数满足，可得函数图象关于对称，
又函数为偶函数，所以，所以函数为周期函数且周期为2，又由函数在区间上是增函数，可得在区间上为减函数，
当，则，此时，所以函数在上为增函数，
当，则，此时，所以函数在上为增函数.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性与函数的周期性的应用，其中解答中求得函数为周期函数，且周期是2是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
17．（2018·西藏巴宜·林芝一中高一期末）函数f（x）是定义在R上的奇函数,下列说法:
①f（0）=0;
②若f（x）在[0,+∞）上有最小值为-1,则f（x）在（-∞,0]上有最大值为1;
③若f（x）在[1,+∞）上为增函数,则f（x）在（-∞,-1]上为减函数;
④若x>0时,f（x）=x2-2x,则x<0时,f（x）=-x2-2x．其中正确说法的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
试题分析：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（-x）=-f（x），所以f（0）=0，故①对；
因为奇函数的图象关于原点对称，所以f（x）在[0，+∞）上有最小值为-1，则f（x）在（-∞，0]上有最大值为1；故②对；
因为奇函数的图象关于原点对称，所以f（x）在[1，+∞）上为增函数，则f（x）在（-∞，-1]上为增函数；故③错；
对于④，设x＜0，则-x＞0，因为x＞0时，f（x）=x2-2x，所以f（-x）=（-x）2-2（-x）=x2+2x，
因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）=-x2-2x，故④对；
所以正确的命题有①②④，
考点：函数单调性奇偶性
18．（2019·荆门市龙泉中学高三月考（文））已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的对称轴为，且在上单调递增
B．函数的对称轴为，且在上单调递增
C．函数的对称中心为，且在上单调递增
D．函数的对称中心为，且在上单调递增
【答案】A
【解析】
【分析】
由中为常数,故可以考虑到利用函数对称性,再计算对称轴与区间端点处的函数值考查单调性进行排除.
【详解】
依题意,,解得,因为,故函数的对称轴为,
排除C、D；因为,,故,排除B,
故选:A．
【点睛】
若函数满足则函数关于对称.
二、多选题
19．（2020·江苏海安高级中学期末）已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（ ）．
A．是偶函数 B．的周期
C． D．在单调递减
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由的图象关于直线对称，则，即，故是偶函数，可判断A的正误；由，令，可得，则，得到的周期，可判断B的正误；又在递增，结合奇偶性，周期性，再判断CD是否正确.
【详解】
由的图象关于直线对称，则，
即，故是偶函数，A正确；
由，令，可得，则，
则的周期，B正确；
，故C正确；
又在递增，则递减，由周期，则在单调递增，
故D错误.
故答案为：ABC
【点睛】
本题考查了抽象函数的性质，综合考查了函数的对称性，奇偶性，周期性，单调性，属于中档题.
20．（2020·浙江高一单元测试）函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若在上有最小值，则在上有最大值1
C．若在上为增函数，则在上为减函数
D．若时，，则时，
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据奇函数的定义与性质判断．
【详解】
由得，A正确；
当时，，则时，，，最大值为1，B正确；
若在上为增函数，则在上为增函数，C错；
若时，，则时，，，D正确．
故选：ABD．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．
21．（2020·新泰市第二中学高二月考）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数 B．函数为偶函数
C．若，则 D．若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】
先代点求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，由可判断C，利用展开和0比即可判断D.
【详解】
将点(4,2)代入函数得：，则.
所以，
显然在定义域上为增函数，所以A正确.
的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确.
当时，，即，所以C正确.
当若时，
=
=.
即成立，所以D正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查了幂函数的性质，
22．（2019·山东黄岛·期中）已知定义在R上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③.则下列选项成立的是（ ）
A． B．若，则
C．若， D．，，使得
【答案】CD
【解析】
【分析】
由条件可得是偶函数且在上单调递增，然后即可判断出每个答案正确与否.
【详解】
由条件①得是偶函数，条件②得在上单调递增
所以，故A错
若，则，得，故B错
若则或，因为
所以或，故C正确
因为定义在R上函数的图象是连续不断的，且在上单调递增
所以，所以对，只需即可，故D正确
故选：CD
【点睛】
1.偶函数的图象关于轴对称，比较函数值的大小即比较自变量到轴的远近
2. ，当时，都有在上单调递增；
，当时，都有在上单调递减.
23．（2019·山东莒县·高一期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．函数既是偶函数又在区间上是增函数
B．函数的最小值为2
C．“”是“”的充要条件
D．
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性，基本不等式，算术平方根的性质，取特值，即可得出结论.
【详解】
当时，，当时，，
所以不是偶函数，选项错误；
令根据对勾函数的单调性可得，
在是增函数，的最小值为，
即的最小值为，选项错误；
，选项正确；
当时，成立，选项正确.
故选:CD.
【点睛】
本题考查命题真假的判断，涉及到函数的性质、对勾函数、以及特称命题的判断，属于中档题.
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、解答题
24．（2020·浙江课时练习）定义在上的函数，满足，且当时，.
（1）求的值.
（2）求证：.
（3）求证：在上是增函数.
（4）若，解不等式.
（5）比较与的大小.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）；（5）.
【解析】
【分析】
（1）令，代入可求解；
（2）由代入已知条件变形可得；
（3）由单调性定义证明；
（4）根据已知把不等式变为，再由单调性求解；
（5）由，然后比较与的大小即可．
【详解】
（1）令，由条件得.
（2），
即.
（3）任取，，且，则.
由（2）得.，即.
∴在上是增函数.
（4）∵，∴，
.
又在上为增函数，∴
解得.
故不等式的解集为.
（5）∵，
，
∵，
∴（当且仅当时取等号）.
又在上是增函数，
∴.
∴.
【点睛】
本题考查抽象函数的性质，考查函数单调性的应用．解题关键是充分利用抽象函数的定义，对问题进行转化．
25．（2020·浙江高一单元测试）已知函数是奇函数，且.
（1）求实数和的值；
（2）判断函数在上的单调性，并加以证明．
【答案】（1），；（2）上为增函数，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据奇函数有可得，再由可得；
（2）根据函数单调性定义法证明即可.
【详解】
（1）∵是奇函数，
∴．
即，
比较得，.
又，
∴，
解得，
即实数和的值分别是2和0.
（2）函数在上为增函数．
证明如下：由（1）知，
设，
则，
，，，
∴，
∴，
即函数在上为增函数．
【点睛】
本题主要考查了函数奇偶性的应用，函数单调性的定义法证明，属于中档题.
26．（2020·浙江高一单元测试）已知函数．
（1）若函数的最大值为0，求实数m的值．
（2）若函数在上单调递减，求实数m的取值范围．
（3）是否存在实数m，使得在上的值域恰好是？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）或；（2）；（3）存在，
【解析】
【分析】
（1）配方后得最大值，由最大值为0可解得的值；
（2）由对称轴在区间的左侧可得；
（3）分类讨论求函数在上的最大值和最小值，由最大值为3最小值为2求解的值．
【详解】
（1），则最大值，即，解得或．
（2）函数图象的对称轴是，要使在上单调递减，应满足，解得．
（3）①当，即时，在上递减，
若存在实数m，使在上的值域是，则
即，此时m无解．
②当，即时，在上递增，则即解得．
③当，即时，在上先递增，再递减，所以在处取得最大值，则，解得或6，舍去．
综上可得，存在实数，使得在上的值域恰好是．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，考查二次函数的最值，对称轴，单调性等性质，掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
27．（2020·陕西渭滨·高二期末（文））一次函数是R上的增函数，，.
（1）求；
（2）对任意，恒有，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）直接设，代入计算；
（2）求出在的最大值和最小值，由两者之差不大于24可得结论．
【详解】
解：（1）∵一次函数是上的增函数，
∴设，
，
∴，解得， ∴.
（2）对任意，恒有等价于在上的最大值与最小值之差，由（1）知，
的对称轴为且开口向上，
在上单调递增，
，，
,解得，
综上可知，.
【点睛】
本题考查求函数解析式，考查二次函数的性质．在已知函数类型时可用待定系数法求函数解析式，二次函数是高中数学的一个重要函数，它贯穿整个高中数学的始终，必须熟练掌握．
28．（2020·和平·天津市第二南开中学高一期末）已知函数是定义域上的奇函数.
（1）确定的解析式；
（2）用定义证明：在区间上是减函数；
（3）解不等式.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）利用奇函数的定义，经过化简计算可求得实数，进而可得出函数的解析式；
（2）任取、，且，作差，化简变形后判断的符号，即可证得结论；
（3）利用奇函数的性质将所求不等式变形为，再利用函数的定义域和单调性可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围.
【详解】
（1）由于函数是定义域上的奇函数，则，
即，化简得，因此，；
（2）任取、，且，即，
则，
，，，，，，.
，，因此，函数在区间上是减函数；
（3）由（2）可知，函数是定义域为的减函数，且为奇函数，
由得，所以，解得.
因此，不等式的解集为.
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性求参数、利用定义法证明函数的单调性以及函数不等式的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.
29．（2019·甘肃省岷县第一中学期末）已知函数，．
（1）当时，求的最值；
（2）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数；
【答案】（1）最小值是，最大值是35.；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数的性质求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可；
（2）求出函数的对称轴，得到关于的不等式，求出的范围即可．
【详解】
解：（1）当时，，
由于，在上单调递减，在上单调递增，
的最小值是，又，故的最大值是35.
（2）由于函数的图像开口向上，对称轴是，
所以要使在上是单调函数，应有或，即或.
【点睛】
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．
30．（2019·湖北襄阳·高一期末）若函数在时，函数值y的取值区间恰为[]，就称区间为的一个“倒域区间”．定义在上的奇函数，当时，．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）求函数在内的“倒域区间”；
（Ⅲ）若函数在定义域内所有“倒域区间”上的图像作为函数=的图像，是否存在实数，使集合恰含有2个元素．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）
【解析】
试题分析：（1）运用奇偶性得出；（2）得出方程组问题
（3），利用方程思想求解，m应当使方程，在内恰有一个实数根，并且使方程，在内恰有一个实数
试题解析：（Ⅰ）当时，
（Ⅱ）设1≤＜≤2，∵在上递减，
∴整理得
，解得．
∴在内的“倒域区间”为．
（Ⅲ）∵在时，函数值y的取值区间恰为，其中
∴，∴同号．只考虑0＜＜≤2或－2≤＜＜0
当0＜＜≤2时，根据的图像知，最大值为1，，
∴1≤＜≤2，由（Ⅱ）知在内的“倒域区间”为；
当－2≤＜＜0时间，最小值为-1，，
∴，同理知在内的“倒域区间”为．
依题意：抛物线与函数的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．因此，应当使方程，在内恰有一个实数根，并且使方程，在内恰有一个实数
由方程在内恰有一根知；
由方程在内恰有一根知，
综上：＝－2．
考点：1．函数奇偶性的性质；2．分段函数的应用
31．（2020·江西抚州·高一期末）已知函数是定义在区间上的奇函数，且，若对于任意的m，有.
(1)判断函数的单调性（不要求证明）；
(2)解不等式；
(3)若对于任意的，恒成立，求实数t的取值范围.
【答案】(1)函数在区间上是减函数；(2)；(3).
【解析】
【分析】
（1）设，化简得到，结合函数的单调性的定义，即可得到结论；
（2）由(1)知函数在区间上是减函数，根据，列出不等式组，即可求解不等式的解集；
(3)要使得对于任意的，都有恒成立，只需对任意的，恒成立，再结合关于a的一次函数的性质，即可求解.
【详解】
（1）函数在区间上是减函数.
证明：由题意可知，对于任意的m，有，
设，则，即，
当时，，所以函数在上为单调递减函数；
当时，，所以函数在上为单调递减函数，
综上，函数在上为单调递减函数.
（2）由(1)知函数在区间上是减函数，
因为，可得，解得解得，
所以不等式的解集为.
(3)因为函数在区间上是减函数，且，
要使得对于任意的，都有恒成立，
只需对任意的，恒成立.
令，此时y可以看作a的一次函数，且在时，恒成立.
因此只需，解得解得，
所以实数t的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性，奇偶性及其综合应用，同时考查了抽象不等式及恒成立问题的求解，其中解答中合理利用函数的性质去掉函数符号“”，以及合理转化是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
32．（2020·广西柳南·柳铁一中高一期末）已知函数.
（1）若的定义域为，求实数的值；
（2）若的定义域为，求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意定义域为，可知不等式的解集为，根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系即可求解.
（2）的定义域为，可知不等式恒成立，然后讨论二次项系数，借助二次函数的性质即可求解.
【详解】
解：（1）的定义域为，即的解集为，
故，解得；
（2）的定义域为，即恒成立，
当时，，经检验只有满足条件；
当时，，解得，
综上，.
【点睛】
本题主要考查函数的定义域、一元二次不等式的解法、一元二次不等式与二次函数的关系，综合性比较强.
33．（2020·上海闵行中学高一期中）已知函数，.
（1）若函数的图像与轴无交点，求的取值范围；
（2）若方程在区间上存在实根，求的取值范围；
（3）设函数，，当时若对任意的，总存在，使得，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）或.
【解析】
【分析】
（1）函数与轴无交点，即方程没有实数根，即可求得的取值范围；（2）函数的对称轴是，所以函数在上单调递减，则需满足；（3）根据题意可知，函数在上的函数值的取值集合是函数在上的函数值的取值集合的子集，对于函数，可分讨论函数的值域，利用子集关系列不等式求的范围.
【详解】
（1）若函数的图象与轴无关点，则方程的根的判别式，即，解得.
故的取值范围为.
（2）因为函数的图象的对称轴是直线，
所以在上是减函数.
又在上存在零点，所以，即，解得.
故的取值范围为.
（3）若对任意的，总存在，使得，则函数在上的函数值的取值集合是函数在上的函数值的取值集合的子集.
当时，函数图象的对称轴是直线，所以在上的函数值的取值集合为.
①当时，，不符合题意，舍去.
②当时，在上的值域为，只需，解得.
③当时，在上的值域为，只需，解得.
综上，的取值范围为或.
【点睛】
本题考查了二次函数无零点和有零点时求参数取值范围，以及恒成立求参数的取值范围的综合问题，一元二次方程给定区间有零点求参数的取值范围，可根据参变分离的方法转化为求函数值域的方法，或是利用二次函数的图象转化为根的分布问题求解.
四、填空题
34．（2019·浙江丽水·月考）若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为______________.
【答案】
【解析】
【分析】
化简函数，令，得到函数为奇函数，再根据题意，得到，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，函数，
令，可得函数，
所以函数为奇函数，
因为函数的最大值为，最小值为，且，
所以，即，所以.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及函数的最大值和最小值的应用，其中解答中合理化简函数的解析式，熟练应用函数的奇偶性进行转化是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
专题三 函数的概念、图像和性质
一、单选题
1．（2020·云南省云天化中学高一期末）已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.
详解：因为是定义域为的奇函数，且，
所以,
因此，
因为，所以，
，从而，选C.
点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
2．（2020·昆明市官渡区第一中学开学考试）设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．
【详解】
时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．
如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，，故选B．
【点睛】
易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．
3．（2020·梁河县第一中学月考（理））用表示a，b两个数中的最小值.已知，设，则R的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用新定义，基本不等式化简函数，然后再根据函数的性质求最大值．
【详解】
∵，∴，
∴，
当时，，时，，时，，
∴，
当时，，当时，，
∴时，，∴，
又当，，即，
∴的最大值是，的最大值是．
故选：C
【点睛】
本题考查函数的新定义，解题关键理解新定义，根据新定义化简函数，变为已知的熟悉的函数，然后求解．
4．（2020·山东微山县第二中学开学考试）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】
因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
【点睛】
本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
5．（2020·安徽期末（文））已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题设条件，求得，得到函数是周期为4的周期函数，进而得到，代入即可求解.
【详解】
由题意，函数是定义在上的奇函数，且，
可得，所以，
所以函数是周期为4的周期函数，
又由当时，，
则.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和周期性是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
6．（2020·昆明市官渡区第一中学高一开学考试）已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在上是减函数，由此可将不等式化为；利用分离变量法可得，求得的最大值和的最小值即可得到结果.
【详解】
为定义在上的偶函数，图象关于轴对称
又在上是增函数 在上是减函数
，即
对于恒成立 在上恒成立
，即的取值范围为：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.
7．（2020·昆明市官渡区第一中学高二期中（理））设，若当时，恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先判定函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质把不等式转化为在上恒成立，进而结合的范围，得到不等式，即可求解.
【详解】
由题意，函数，可得，
所以函数为奇函数，且在上为单调递增函数，
因为当时，恒成立，
即当时，恒成立，
所以，即在上恒成立，
当时，，则，
所以，解得或，
即实数的取值范围为.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，以及恒成立问题的求解，其中解答中合理利用函数的基本性质进行转化是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.
8．（2019·浙江南湖·嘉兴一中月考）设是定义在上的奇函数,且当时,,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
因为是定义在上的奇函数,且当时,,则当,有,,可得,即在上是单调递增函数,且满足,结合已知,即可得求答案.
【详解】
是定义在上的奇函数,且当时,
当,有,
即
在上是单调递增函数,且满足
不等式在恒成立,
,恒成立
对恒成立
解得:
则实数的取值范围是:.
故选:A.
【点睛】
本题考查了根据函数不等式恒成立求参数,解题关键是掌握奇函数的性质和函数不等式恒成立的解法,考查了分析能力和计算能力,属于难题.
9．（2020·浙江高一单元测试）函数是奇函数，且在内是增函数，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
易判断f（x）在（-∞，0）上的单调性及f（x）图象所过特殊点，作出f（x）的草图，根据图象可解不等式．
【详解】
∵f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，
由f（-3）＝0，得f（﹣3）＝﹣f（3）＝0，
即f（3）＝0，
作出f（x）的草图，如图所示：
由图象，得
解得0＜x＜3或﹣3＜x＜0，
∴xf（x）＜0的解集为：（﹣3，0）∪（0，3），
故选D．
【点睛】
本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．
10．（2020·安徽安庆·高三三模（文））已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
作出函数图象，根据直线恒过，采用数形结合的方式，分别在、和三种情况下确定符合题意的情况，进而求得结果.
【详解】
作出函数的图象如下图所示：
直线恒过定点.
当时，直线与分段函数有交点，显然满足题意；
当时，直线为，不符合题意；
当时，联立得：，
则，解得：或（舍）.
综上可得：实数的取值范围是.
故选：.
【点睛】
本题考查函数中能成立问题的求解，关键是能够将问题转化为恒过定点的直线与分段函数有交点的问题，通过数形结合的方式来进行求解.
11．（2020·江西临川一中高一开学考试）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则为( )
A． B．
C．或5 D．或
【答案】D
【解析】
【分析】
利用是奇函数，以及函数在上的解析式，合理转化，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，当时，，
①当时，由，解得，此时无解；
②当时，由，解得，此时无解；
又由函数是定义在上的奇函数，所以，
因为，所以，
③当时，则，可得，解得；
④当，则，可得，解得，
综上可得，实数的值为或.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了分段函数的解析式的应用，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数的解析，结合函数的奇偶性合理转化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
12．（2020·湖北武昌·（理））已知一个正方形的四个顶点都在函数的图像上，则此正方形的面积为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得正方形的中心为，设直线的方程为，则直线的方程为，联立方程组可得，，再由可得或，最后利用化简即可得解.
【详解】
设正方形，，，，，
，，
，
又，，
当时，，
又函数的图象可看做是由奇函数的图象向上平移一个单位所得，
函数的图象的对称中心为，
正方形的中心为，符合题意；
当时，则即可得，
此时，不合题意；
不妨设直线的方程为，则直线的方程为，
则，消去得，由可得，
同理可得，
，
，
由可得即，
化简可得即，
或即或，
正方形面积，
当时，；
当时，；
所以此正方形的面积为10或17.
故选：D.
【点睛】
本题考查了函数图象与正方形对称性的应用，考查了运算能力和转化化归思想，属于中档题.
13．（2020·广东深圳·高三月考（理））设是定义在上以2为周期的偶函数，当时，，则时，的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性和周期性可得、时的解析式，即可得解.
【详解】
是定义在上以2为周期的偶函数，
当时，，；
当时，，，
当时，.
故选：B.
【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性和周期性确定函数的解析式，属于中档题.
14．（2019·内蒙古昆都仑·包钢一中高一期中）定义在上的函数满足：且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设，得到函数单调递减函数，把不等式，转化为
结合，即可求解.
【详解】
由题意，设，
因为，即，所以函数单调递减函数，
不等式，即，
因为，所以不等式等价于，即
又由，则，所以不等式的解集为.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性的判定及应用，以及不等式的求解，其中解答中熟记函数的单调性的判定方法，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
15．（2019·上海浦东新·高三月考）已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
当时， ， 单调递减，且，单调递增，且 ，此时有且仅有一个交点；当时， ，在 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需 选B.
【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
16．（2020·江西抚州·高一期末）定义在R上的函数是偶函数，且.若在区间上是增函数，则( )
A．在区间上是增函数，在区间上是减函数
B．在区间上是增函数，在区间上是增函数
C．在区间上是减函数，在区间上是增函数
D．在区间上是减函数，在区间上是减函数
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数满足，且为偶函数，求得函数为周期函数且周期为2，结合函数在区间上是增函数，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，函数满足，可得函数图象关于对称，
又函数为偶函数，所以，所以函数为周期函数且周期为2，又由函数在区间上是增函数，可得在区间上为减函数，
当，则，此时，所以函数在上为增函数，
当，则，此时，所以函数在上为增函数.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性与函数的周期性的应用，其中解答中求得函数为周期函数，且周期是2是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
17．（2018·西藏巴宜·林芝一中高一期末）函数f（x）是定义在R上的奇函数,下列说法:
①f（0）=0;
②若f（x）在[0,+∞）上有最小值为-1,则f（x）在（-∞,0]上有最大值为1;
③若f（x）在[1,+∞）上为增函数,则f（x）在（-∞,-1]上为减函数;
④若x>0时,f（x）=x2-2x,则x<0时,f（x）=-x2-2x．其中正确说法的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
试题分析：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（-x）=-f（x），所以f（0）=0，故①对；
因为奇函数的图象关于原点对称，所以f（x）在[0，+∞）上有最小值为-1，则f（x）在（-∞，0]上有最大值为1；故②对；
因为奇函数的图象关于原点对称，所以f（x）在[1，+∞）上为增函数，则f（x）在（-∞，-1]上为增函数；故③错；
对于④，设x＜0，则-x＞0，因为x＞0时，f（x）=x2-2x，所以f（-x）=（-x）2-2（-x）=x2+2x，
因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）=-x2-2x，故④对；
所以正确的命题有①②④，
考点：函数单调性奇偶性
18．（2019·荆门市龙泉中学高三月考（文））已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的对称轴为，且在上单调递增
B．函数的对称轴为，且在上单调递增
C．函数的对称中心为，且在上单调递增
D．函数的对称中心为，且在上单调递增
【答案】A
【解析】
【分析】
由中为常数,故可以考虑到利用函数对称性,再计算对称轴与区间端点处的函数值考查单调性进行排除.
【详解】
依题意,,解得,因为,故函数的对称轴为,
排除C、D；因为,,故,排除B,
故选:A．
【点睛】
若函数满足则函数关于对称.
二、多选题
19．（2020·江苏海安高级中学期末）已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（ ）．
A．是偶函数 B．的周期
C． D．在单调递减
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由的图象关于直线对称，则，即，故是偶函数，可判断A的正误；由，令，可得，则，得到的周期，可判断B的正误；又在递增，结合奇偶性，周期性，再判断CD是否正确.
【详解】
由的图象关于直线对称，则，
即，故是偶函数，A正确；
由，令，可得，则，
则的周期，B正确；
，故C正确；
又在递增，则递减，由周期，则在单调递增，
故D错误.
故答案为：ABC
【点睛】
本题考查了抽象函数的性质，综合考查了函数的对称性，奇偶性，周期性，单调性，属于中档题.
20．（2020·浙江高一单元测试）函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若在上有最小值，则在上有最大值1
C．若在上为增函数，则在上为减函数
D．若时，，则时，
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据奇函数的定义与性质判断．
【详解】
由得，A正确；
当时，，则时，，，最大值为1，B正确；
若在上为增函数，则在上为增函数，C错；
若时，，则时，，，D正确．
故选：ABD．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．
21．（2020·新泰市第二中学高二月考）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数 B．函数为偶函数
C．若，则 D．若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】
先代点求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，由可判断C，利用展开和0比即可判断D.
【详解】
将点(4,2)代入函数得：，则.
所以，
显然在定义域上为增函数，所以A正确.
的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确.
当时，，即，所以C正确.
当若时，
=
=.
即成立，所以D正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查了幂函数的性质，
22．（2019·山东黄岛·期中）已知定义在R上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③.则下列选项成立的是（ ）
A． B．若，则
C．若， D．，，使得
【答案】CD
【解析】
【分析】
由条件可得是偶函数且在上单调递增，然后即可判断出每个答案正确与否.
【详解】
由条件①得是偶函数，条件②得在上单调递增
所以，故A错
若，则，得，故B错
若则或，因为
所以或，故C正确
因为定义在R上函数的图象是连续不断的，且在上单调递增
所以，所以对，只需即可，故D正确
故选：CD
【点睛】
1.偶函数的图象关于轴对称，比较函数值的大小即比较自变量到轴的远近
2. ，当时，都有在上单调递增；
，当时，都有在上单调递减.
23．（2019·山东莒县·高一期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．函数既是偶函数又在区间上是增函数
B．函数的最小值为2
C．“”是“”的充要条件
D．
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性，基本不等式，算术平方根的性质，取特值，即可得出结论.
【详解】
当时，，当时，，
所以不是偶函数，选项错误；
令根据对勾函数的单调性可得，
在是增函数，的最小值为，
即的最小值为，选项错误；
，选项正确；
当时，成立，选项正确.
故选:CD.
【点睛】
本题考查命题真假的判断，涉及到函数的性质、对勾函数、以及特称命题的判断，属于中档题.
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、解答题
24．（2020·浙江课时练习）定义在上的函数，满足，且当时，.
（1）求的值.
（2）求证：.
（3）求证：在上是增函数.
（4）若，解不等式.
（5）比较与的大小.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）；（5）.
【解析】
【分析】
（1）令，代入可求解；
（2）由代入已知条件变形可得；
（3）由单调性定义证明；
（4）根据已知把不等式变为，再由单调性求解；
（5）由，然后比较与的大小即可．
【详解】
（1）令，由条件得.
（2），
即.
（3）任取，，且，则.
由（2）得.，即.
∴在上是增函数.
（4）∵，∴，
.
又在上为增函数，∴
解得.
故不等式的解集为.
（5）∵，
，
∵，
∴（当且仅当时取等号）.
又在上是增函数，
∴.
∴.
【点睛】
本题考查抽象函数的性质，考查函数单调性的应用．解题关键是充分利用抽象函数的定义，对问题进行转化．
25．（2020·浙江高一单元测试）已知函数是奇函数，且.
（1）求实数和的值；
（2）判断函数在上的单调性，并加以证明．
【答案】（1），；（2）上为增函数，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据奇函数有可得，再由可得；
（2）根据函数单调性定义法证明即可.
【详解】
（1）∵是奇函数，
∴．
即，
比较得，.
又，
∴，
解得，
即实数和的值分别是2和0.
（2）函数在上为增函数．
证明如下：由（1）知，
设，
则，
，，，
∴，
∴，
即函数在上为增函数．
【点睛】
本题主要考查了函数奇偶性的应用，函数单调性的定义法证明，属于中档题.
26．（2020·浙江高一单元测试）已知函数．
（1）若函数的最大值为0，求实数m的值．
（2）若函数在上单调递减，求实数m的取值范围．
（3）是否存在实数m，使得在上的值域恰好是？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）或；（2）；（3）存在，
【解析】
【分析】
（1）配方后得最大值，由最大值为0可解得的值；
（2）由对称轴在区间的左侧可得；
（3）分类讨论求函数在上的最大值和最小值，由最大值为3最小值为2求解的值．
【详解】
（1），则最大值，即，解得或．
（2）函数图象的对称轴是，要使在上单调递减，应满足，解得．
（3）①当，即时，在上递减，
若存在实数m，使在上的值域是，则
即，此时m无解．
②当，即时，在上递增，则即解得．
③当，即时，在上先递增，再递减，所以在处取得最大值，则，解得或6，舍去．
综上可得，存在实数，使得在上的值域恰好是．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，考查二次函数的最值，对称轴，单调性等性质，掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
27．（2020·陕西渭滨·高二期末（文））一次函数是R上的增函数，，.
（1）求；
（2）对任意，恒有，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）直接设，代入计算；
（2）求出在的最大值和最小值，由两者之差不大于24可得结论．
【详解】
解：（1）∵一次函数是上的增函数，
∴设，
，
∴，解得， ∴.
（2）对任意，恒有等价于在上的最大值与最小值之差，由（1）知，
的对称轴为且开口向上，
在上单调递增，
，，
,解得，
综上可知，.
【点睛】
本题考查求函数解析式，考查二次函数的性质．在已知函数类型时可用待定系数法求函数解析式，二次函数是高中数学的一个重要函数，它贯穿整个高中数学的始终，必须熟练掌握．
28．（2020·和平·天津市第二南开中学高一期末）已知函数是定义域上的奇函数.
（1）确定的解析式；
（2）用定义证明：在区间上是减函数；
（3）解不等式.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）利用奇函数的定义，经过化简计算可求得实数，进而可得出函数的解析式；
（2）任取、，且，作差，化简变形后判断的符号，即可证得结论；
（3）利用奇函数的性质将所求不等式变形为，再利用函数的定义域和单调性可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围.
【详解】
（1）由于函数是定义域上的奇函数，则，
即，化简得，因此，；
（2）任取、，且，即，
则，
，，，，，，.
，，因此，函数在区间上是减函数；
（3）由（2）可知，函数是定义域为的减函数，且为奇函数，
由得，所以，解得.
因此，不等式的解集为.
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性求参数、利用定义法证明函数的单调性以及函数不等式的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.
29．（2019·甘肃省岷县第一中学期末）已知函数，．
（1）当时，求的最值；
（2）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数；
【答案】（1）最小值是，最大值是35.；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数的性质求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可；
（2）求出函数的对称轴，得到关于的不等式，求出的范围即可．
【详解】
解：（1）当时，，
由于，在上单调递减，在上单调递增，
的最小值是，又，故的最大值是35.
（2）由于函数的图像开口向上，对称轴是，
所以要使在上是单调函数，应有或，即或.
【点睛】
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．
30．（2019·湖北襄阳·高一期末）若函数在时，函数值y的取值区间恰为[]，就称区间为的一个“倒域区间”．定义在上的奇函数，当时，．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）求函数在内的“倒域区间”；
（Ⅲ）若函数在定义域内所有“倒域区间”上的图像作为函数=的图像，是否存在实数，使集合恰含有2个元素．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）
【解析】
试题分析：（1）运用奇偶性得出；（2）得出方程组问题
（3），利用方程思想求解，m应当使方程，在内恰有一个实数根，并且使方程，在内恰有一个实数
试题解析：（Ⅰ）当时，
（Ⅱ）设1≤＜≤2，∵在上递减，
∴整理得
，解得．
∴在内的“倒域区间”为．
（Ⅲ）∵在时，函数值y的取值区间恰为，其中
∴，∴同号．只考虑0＜＜≤2或－2≤＜＜0
当0＜＜≤2时，根据的图像知，最大值为1，，
∴1≤＜≤2，由（Ⅱ）知在内的“倒域区间”为；
当－2≤＜＜0时间，最小值为-1，，
∴，同理知在内的“倒域区间”为．
依题意：抛物线与函数的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．因此，应当使方程，在内恰有一个实数根，并且使方程，在内恰有一个实数
由方程在内恰有一根知；
由方程在内恰有一根知，
综上：＝－2．
考点：1．函数奇偶性的性质；2．分段函数的应用
31．（2020·江西抚州·高一期末）已知函数是定义在区间上的奇函数，且，若对于任意的m，有.
(1)判断函数的单调性（不要求证明）；
(2)解不等式；
(3)若对于任意的，恒成立，求实数t的取值范围.
【答案】(1)函数在区间上是减函数；(2)；(3).
【解析】
【分析】
（1）设，化简得到，结合函数的单调性的定义，即可得到结论；
（2）由(1)知函数在区间上是减函数，根据，列出不等式组，即可求解不等式的解集；
(3)要使得对于任意的，都有恒成立，只需对任意的，恒成立，再结合关于a的一次函数的性质，即可求解.
【详解】
（1）函数在区间上是减函数.
证明：由题意可知，对于任意的m，有，
设，则，即，
当时，，所以函数在上为单调递减函数；
当时，，所以函数在上为单调递减函数，
综上，函数在上为单调递减函数.
（2）由(1)知函数在区间上是减函数，
因为，可得，解得解得，
所以不等式的解集为.
(3)因为函数在区间上是减函数，且，
要使得对于任意的，都有恒成立，
只需对任意的，恒成立.
令，此时y可以看作a的一次函数，且在时，恒成立.
因此只需，解得解得，
所以实数t的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性，奇偶性及其综合应用，同时考查了抽象不等式及恒成立问题的求解，其中解答中合理利用函数的性质去掉函数符号“”，以及合理转化是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
32．（2020·广西柳南·柳铁一中高一期末）已知函数.
（1）若的定义域为，求实数的值；
（2）若的定义域为，求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意定义域为，可知不等式的解集为，根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系即可求解.
（2）的定义域为，可知不等式恒成立，然后讨论二次项系数，借助二次函数的性质即可求解.
【详解】
解：（1）的定义域为，即的解集为，
故，解得；
（2）的定义域为，即恒成立，
当时，，经检验只有满足条件；
当时，，解得，
综上，.
【点睛】
本题主要考查函数的定义域、一元二次不等式的解法、一元二次不等式与二次函数的关系，综合性比较强.
33．（2020·上海闵行中学高一期中）已知函数，.
（1）若函数的图像与轴无交点，求的取值范围；
（2）若方程在区间上存在实根，求的取值范围；
（3）设函数，，当时若对任意的，总存在，使得，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）或.
【解析】
【分析】
（1）函数与轴无交点，即方程没有实数根，即可求得的取值范围；（2）函数的对称轴是，所以函数在上单调递减，则需满足；（3）根据题意可知，函数在上的函数值的取值集合是函数在上的函数值的取值集合的子集，对于函数，可分讨论函数的值域，利用子集关系列不等式求的范围.
【详解】
（1）若函数的图象与轴无关点，则方程的根的判别式，即，解得.
故的取值范围为.
（2）因为函数的图象的对称轴是直线，
所以在上是减函数.
又在上存在零点，所以，即，解得.
故的取值范围为.
（3）若对任意的，总存在，使得，则函数在上的函数值的取值集合是函数在上的函数值的取值集合的子集.
当时，函数图象的对称轴是直线，所以在上的函数值的取值集合为.
①当时，，不符合题意，舍去.
②当时，在上的值域为，只需，解得.
③当时，在上的值域为，只需，解得.
综上，的取值范围为或.
【点睛】
本题考查了二次函数无零点和有零点时求参数取值范围，以及恒成立求参数的取值范围的综合问题，一元二次方程给定区间有零点求参数的取值范围，可根据参变分离的方法转化为求函数值域的方法，或是利用二次函数的图象转化为根的分布问题求解.
四、填空题
34．（2019·浙江丽水·月考）若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为______________.
【答案】
【解析】
【分析】
化简函数，令，得到函数为奇函数，再根据题意，得到，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，函数，
令，可得函数，
所以函数为奇函数，
因为函数的最大值为，最小值为，且，
所以，即，所以.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及函数的最大值和最小值的应用，其中解答中合理化简函数的解析式，熟练应用函数的奇偶性进行转化是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
相关试卷
专题三 函数的概念、图像和性质-2021届高三《新题速递•数学》9月刊（江苏专用 适用于高考复习）： 这是一份专题三 函数的概念、图像和性质-2021届高三《新题速递•数学》9月刊（江苏专用 适用于高考复习），文件包含专题三函数的概念图像和性质原卷版docx、专题三函数的概念图像和性质解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共79页， 欢迎下载使用。
专题七 三角函数的概念、图像和性质-2021届高三《新题速递•数学》9月刊（江苏专用 适用于高考复习）： 这是一份专题七 三角函数的概念、图像和性质-2021届高三《新题速递•数学》9月刊（江苏专用 适用于高考复习），文件包含专题七三角函数的概念原卷版docx、专题七三角函数的概念解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共84页， 欢迎下载使用。
专题七 三角函数的概念、图像和性质-2021届高三《新题速递•数学》10月刊（江苏专用 适用于高考复习）： 这是一份专题七 三角函数的概念、图像和性质-2021届高三《新题速递•数学》10月刊（江苏专用 适用于高考复习），文件包含专题七三角函数的概念原卷版docx、专题七三角函数的概念解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共58页， 欢迎下载使用。
