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专题十八 圆锥曲线的综合运用-2021届高三《新题速递•数学》9月刊（江苏专用 适用于高考复习）
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这是一份专题十八 圆锥曲线的综合运用-2021届高三《新题速递•数学》9月刊（江苏专用 适用于高考复习），文件包含专题十八圆锥曲线的综合运用原卷版docx、专题十八圆锥曲线的综合运用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共52页， 欢迎下载使用。
专题十八 圆锥曲线的综合运用
一、单选题
1．（2020·涡阳县第九中学期末（文））已知椭圆C与双曲线的焦点相同，且椭圆C上任意一点到两焦点的距离之和为10，则椭圆C的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件求出即可.
【详解】
因为椭圆C上任意一点到两焦点的距离之和为10，所以，即
因为椭圆C与双曲线的焦点相同，，即
所以
故选：C
【点睛】
本题考查的是椭圆和双曲线的基本知识，较简单.
2．（2020·涡阳县第九中学期末（文））在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线的焦点，A、B是抛物线上两个不同的点．若，则线段AB的中点到y轴的距离为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
本题先设，两点，并判断线段AB的中点到y轴的距离为，再求，最后求解.
【详解】
解：设，，则线段AB的中点到y轴的距离为：，
根据抛物线的定义：，
整理得：，
故线段AB的中点到y轴的距离为：，
故选：B.
【点睛】
本题考查抛物线的定义，是基础题.
3．（2020·全国专题练习）已知双曲线的左焦点为，右焦点为，点P为双曲线右支上的一点，且的周长为10，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
依题意求出、，再根据求出，即可得到双曲线方程，从而得解；
【详解】
解：由题知，所以，又，所以，又的周长为10，所以，解得，所以，解得，又，所以，所以双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为.
故选：A
【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.
4．（2020·全国课时练习）设某曲线上一动点M到点与到直线的距离相等，经过点的直线l与该曲线相交于A、B两点，且点P恰为的中点，则（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解析】
【分析】
利用抛物线的定义得到抛物线的方程，结合梯形中位线和抛物线的性质，计算即可.
【详解】
由曲线上一动点M到点与到直线的距离相等，知曲线为抛物线，其方程为，过点的直线l与该曲线相交于A、B两点，且点P恰为的中点，分别过点A、B、P向抛物线的准线作垂线，垂足分别为、、，
连接、，由梯形的中位线知，，，所以.
故选：D.
【点睛】
本题考查了抛物线定义的应用，属于中档题.
5．（2020·全国课时练习）已知两定点，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中，是双曲线的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据双曲线的定义：，对四个选项逐个判断可得答案.
【详解】
对于选项A，因为，所以，故动点P的轨迹是双曲线；对于选项B，因为，所以动点P的轨迹是以和为端点的两条射线；
对于选项.C，因为，所以动点P的轨迹不存在；
对于选项D，因为，所以，可知动点P的轨迹是线段的垂直平分线.
故选：A.
【点睛】
本题考查了双曲线的定义，属于基础题.
6．（2020·全国课时练习）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.
【详解】
根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，
与抛物线方程联立，消元整理得：，
解得，又，
所以，
从而可以求得，故选D.
【点睛】
该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.
7．（2020·全国课时练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，为坐标原点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设点，由可得出关于、的方程组，利用平面平面向量数量积的坐标运算可求得.
【详解】
易知，不妨设.
因为，所以，解得，
所以，，，则，，
因此，.
故选：D.
【点睛】
本题考查抛物线中平面向量数量积的计算，求出点的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
8．（2020·全国课时练习）已知抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作于点A，当（O为坐标原点）时，（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
设l与y轴交于点B，求出，从而找到点坐标，代入抛物线方程利用抛物线定义得到答案.
【详解】
设l与y轴交于点B，在中，，
所以.
设，则，代入，
于是，从而.
故选：.
【点睛】
本题考查了抛物线的定义、标准方程及其性质，直线与抛物线相交问题转化为方程联立.
9．（2020·全国课时练习）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则下列各点中，在抛物线上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出双曲线的焦点，即为抛物线的焦点，根据焦点坐标求出抛物线的方程，逐项验证点的坐标是否满足抛物线的范围即可.
【详解】
因为双曲线的右焦点为，所以抛物线的焦点为，
因此，则抛物线方程为，
当时，，所以点在该抛物线上.
故选：B
【点睛】
本题考查双曲线的焦点、根据焦点求抛物线的方程，属于基础题.
10．（2020·全国课时练习）若点满足，则动点M的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义即可得出选项.
【详解】
依题意，动点M到点的距离等于其到定直线的距离，
且点不在直线上，因此动点M的轨迹是抛物线.
故选：D
【点睛】
本题考查了抛物线的定义，理解定义是关键，属于基础题.
11．（2020·全国课时练习）设抛物线的焦点为，点在抛物线上，则“”是“点到轴的距离为2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义和标准方程，即可判定充分性和必要性都成立，即可得到答案.
【详解】
由题意，抛物线可化为，则，即，
设点的坐标为，
因为，根据抛物线的定义可得，点到其准线的距离为，
解得，即点到轴的距离为2，所以充分性是成立的；
又由若点到轴的距离为2，即，则点到其准线的距离为，
根据抛物线的定义，可得点到抛物线的焦点的距离为3，即，所以必要性是成立的，即“”是“点到轴的距离为2”的充要条件，故选C.
【点睛】
本题主要考查了抛物线的定义与标准方程的应用，以及充要条件的判定，其中解答中熟记抛物线的定义和标准方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
12．（2020·全国课时练习）过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将与椭圆焦点相同的椭圆的方程设为，再将点代入，求得的值，即可得出椭圆标准方程.
【详解】
设所求椭圆方程为，
将点代入，可得，解得（舍去），
故所求椭圆的标准方程为．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了求与已知椭圆方程有相同焦点的椭圆的标准方程，属于基础题.
13．（2020·全国课时练习）已知椭圆的焦距是，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于2，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【解析】
【分析】
根据焦距与椭圆的定义求出求，进而可得结果,
【详解】
因为椭圆的焦距是，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于2，
所以，所以，
因此，
故椭圆方程为或．
故选：B.
【点睛】
本题主要考查椭圆的定义与简单几何性质，考查椭圆标准方程的求解，属于基础题.
14．（2020·全国课时练习）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上异于端点的任意点，O为坐标原点，的中点分别为M，N，若四边形的周长为，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据椭圆定义和三角形中位线定理可得，由求得，再计算焦点三角形的周长.
【详解】
由已知得，而的中点分别为M，N，
所以，，
所以，又由椭圆的定义知，所以，所以．故的周长为．
故选：.
【点睛】
本题考查椭圆的简单几何性质，着重考查椭圆的定义及焦点三角形.
15．（2020·全国课时练习）设定点，动点P满足条件（m为常数，且），则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段
【答案】A
【解析】
【分析】
利用椭圆的定义即可判断.
【详解】
因为，所以，即，
所以点P的轨迹是以为焦点的椭圆．
故选：A
【点睛】
本题考查了椭圆的定义，理解定义是解题的关键，属于基础题.
16．（2020·全国课时练习）设为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可得轴，从而可得，再利用椭圆的定义可得，即求.
【详解】
因为线段的中点在y轴上，
所以轴，，，
所以．
故选：C
【点睛】
本题考查了椭圆的定义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
17．（2020·全国课时练习）已知点M是椭圆上任意一点，两个焦点分别为，若的最大值为8，则a的值为（ ）
A．8 B．4 C． D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
有椭圆的定义知，，
再利用基本不等式可得，即可得a的值.
【详解】
由，所以，
当且仅当时取等号，故，所以．
故选：C
【点睛】
本题考查了椭圆的定义和基本不等式，属于基础题.
18．（2020·全国课时练习）设是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且，若，，则椭圆的焦距等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设椭圆方程为,由已知条件可推出，点C的坐标为，由此能求出，即可求出椭圆焦距.
【详解】
不妨设椭圆方程为，A为长轴的右端点，B为长轴的左端点，如图，
因为，
所以或，
所以，于是，解得，
所以，
所以焦距.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，考查了运算能力，属于中档题.
19．（2020·全国课时练习）与椭圆有相同离心率的椭圆方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由椭圆与已知椭圆的长轴长和短轴长分别相等知两椭圆的离心率相同.
【详解】
椭圆与已知椭圆的长轴长和短轴长分别相等，因此两椭圆的形状､大小完全一样，只是焦点所在坐标轴不同，故两个椭圆的离心率相同，均为.
经检验，其他选项不满足题意.
故选：A
【点睛】
本题考查椭圆的离心率，属于基础题.
20．（2020·全国课时练习）已知焦点在x轴上的椭圆的方程为，随着a的增大该椭圆的形状（ ）
A．越扁 B．越接近于圆 C．先接近于圆后越扁 D．先越扁后接近于圆
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据椭圆成立的条件求出的取值范围，进一步利用函数的单调性求出椭圆的离心率的变化规律，最后确定结果．
【详解】
解：依题意有解得，椭圆的离心率，令，容易判断在上单调递减，则，于是，当a越来越大时，e越来越趋近于0，椭圆越来越接近于圆.
故选：B
【点睛】
本题考查的知识要点：椭圆成立的条件，椭圆中、、的关系及函数的性质的应用．属于中档题．
二、多选题
21．（2020·全国专题练习）已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点，则下列结论中正确的是（ ）
A．E的标准方程为
B．E的离心率等于
C．E与双曲线的渐近线相同
D．直线与E有且仅有一个公共点
【答案】ACD
【解析】
【分析】
设双曲线方程为，代入点，求得的值，得到双曲线的方程，可判定A选项正确；根据离心率的定义，可判定B选项错误；分别求得双曲线的渐近线方程，可判定C选项正确；联立方程组，结合，可判定D选项正确.
【详解】
设双曲线方程为，由已知得，解得，
故双曲线的标准方程为，故A选项正确；
由离心率，故B选项错误；
因为曲线的渐近线方程为，又由双曲线的渐近线方程为，故C选项正确；
联立，整理得，由，
所以直线与E有且仅有一个公共点，故D选项正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中利用待定系数法正确求解双曲线的方程，熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
22．（2020·全国课时练习）已知F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线上一点，则的大小可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由双曲线的方程求得双曲线的渐近线方程，得出渐近线的倾斜角，由此可得选项.
【详解】
因为该双曲线的焦点在x轴上，渐近线方程为，即，因此两条渐近线的倾斜角分别为，
当P在右支上时，的取值范围是，当P在左支上时，的取值范围是，
因此结合选项知的大小不可能为，可能为.
故选：ABD.
【点睛】
本题考查双曲线的简单的几何性质，求双曲线的渐近方程，属于基础题.
23．（2020·全国课时练习）（多选）已知点在抛物线上，抛物线的焦点为F，延长与抛物线相交于另一点B，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．抛物线的焦点坐标为
C．点B的坐标为
D．的面积为8
【答案】ABD
【解析】
【分析】
将代入抛物线方程，求出，进而可得，根据抛物线的标准方程逐一判断即可.
【详解】
将代入抛物线方程可得，
因此抛物线方程为，
所以准线方程为，焦点坐标为，故A，B正确；
易知轴，所以，故C错误；
又因为，所以，故D正确．
故选：ABD
【点睛】
本题考查了抛物线的标准方程，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
24．（2020·全国课时练习）（多选）已知P是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，且，则（ ）
A．的周长为12 B．
C．点P到x轴的距离为 D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由椭圆方程知，所以，根据椭圆的定义以及得特点，即可求出的周长，进而判断选项A是否正确；在利用余弦定理即可求出，再根据三角形面积公式即可求出结果，进而判断选项B是否正确；设点到轴的距离为，根据，由此即可求出，进而判断选项C是否正确；由和数量积公式即可求出结果，进而判断选项D是否正确.
【详解】
由椭圆方程知，所以，所以，
于是的周长为，故A选项错误；
在中，由余弦定理可得
，
所以，解得，
故，故B选项正确；
设点到轴的距离为，则，
所以，故C选项正确；
，故D选项正确．
故选：BCD.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义以及性质，属于中档题.
第II卷（非选择题）
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三、填空题
25．（2020·江苏南通·其他）在平面直角坐标系中，椭圆与为双曲线有公共焦点，.设P是椭圆与双曲线的一个交点，则的面积是_____________.
【答案】.
【解析】
【分析】
由椭圆与双曲线具有相同的焦点得，得出的关系，然后利用椭圆、双曲线的定义得出与的和差关系，用含的式子表示与，在中利用余弦定理求出，继而得到，利用三角形面积公式求解.
【详解】
根据对称性，不妨设P在第一象限.由题设可知.
即，，.
根据椭圆与双曲线的定义得
，
在中，由余弦定理得
.
所以，，.
故答案为：
【点睛】
本题考查椭圆、双曲线的定义在解题中的应用，考查三角形面积的计算问题，属于中档题.
26．（2020·湖北黄州·黄冈中学其他（理））已知双曲线的中心在原点，是一个焦点，过的直线与双曲线交于，两点，且的中点为，则的方程是______.
【答案】
【解析】
【分析】
先利用点F，N的坐标求出直线AB的斜率，再利用点差法得到a2=3b2，结合a2+b2=4求出a，b的值，从而得到双曲线C的方程.
【详解】
由，的坐标得.
设双曲线方程为，则.
设，，
则，，.
由，得，
即，
∴.
于是，，
所以的方程为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了双曲线方程，以及双曲线与直线的位置关系，考查了点差法的应用，属于中档题.
27．（2020·涡阳县第九中学期末（文））设双曲线C的中心在原点，实轴长为4，离心率为，则C的焦点到其渐近线的距离为___________．
【答案】1
【解析】
【分析】
不妨设双曲线的焦点在轴，依题意求出双曲线方程及渐近线方程，再利用点到线的距离公式计算可得；
【详解】
解：不妨设双曲线的焦点在轴，依题意，，所以双曲线方程为，
则其中一条渐近线为，又焦点坐标为，
则焦点到渐近线的距离
故答案为：
【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.
28．（2020·全国课时练习）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．
【答案】2
【解析】
【分析】
利用点差法得到AB的斜率，结合抛物线定义可得结果.
【详解】
详解：设
则
所以
所以
取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为
因为,
，
因为M’为AB中点，
所以MM’平行于x轴
因为M(-1,1)
所以，则即
故答案为2.
【点睛】
本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设，利用点差法得到，取AB中点, 分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的性质得到，进而得到斜率．
29．（2020·全国课时练习）已知点是抛物线的准线与x轴的交点，F为抛物线的焦点，P是抛物线上的动点，则最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
利用已知条件求出p，设出P的坐标，然后求解的表达式，利用基本不等式即可得出结论．
【详解】
解：由题意可知：，设点，P到直线的距离为d，则，
所以，
当且仅当x时，的最小值为，此时，
故答案为：．
【点睛】
本题考查抛物线的简单性质的应用，基本不等式的应用，属于中档题．
30．（2020·全国课时练习）已知双曲线，直线l过其左焦点，交双曲线左支于A，B两点，且为双曲线的右焦点，的周长为20，则m的值为________.
【答案】9
【解析】
【分析】
根据的周长为20可得，根据双曲线的定义可知，，两式相加可得，所以.
【详解】
由题意知.又，所以.
根据双曲线的定义可知，
所以，即，所以.
故答案为：9.
【点睛】
本题考查了双曲线的标准方程，考查了双曲线的定义，属于基础题.
31．（2020·全国课时练习）已知双曲线与方向向量为的直线交于A，B两点，线段的中点为，则该双曲线的渐近线方程是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
设，代入到双曲线的方程中，运用点差法可求得，可得答案.
【详解】
设，则且，
因为线段的中点为，所以，
由题意可得直线的斜率为1，所以，即，
故双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查点差法的运用之得双曲线的渐近线方程，属于中档题.
四、解答题
32．（2020·江苏南通·其他）如图在平面直角坐标系中，已知椭圆，，椭圆的右顶点和上顶点分别为A和B，过A，B分别引椭圆的切线，，切点为C，D.
（1）若，，求直线的方程；
（2）若直线与的斜率之积为，求椭圆的离心率.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设过处的切线方程为，代入，根据解得答案.
（2）设，的方程分别：，，联立方程，根据得到，，计算得到离心率.
【详解】
（1）当，，，.，
设过处的切线方程为，代入，
得.
令，得，，
所以的方程为：.
（2）设，的斜率分别为，，则，
，的方程分别：，.
联立，消去，得.
由，得.
联立，消去，得.
由，得.
故，.
【点睛】
本题考查了椭圆中的切线问题，求椭圆离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
33．（2020·湖北黄州·黄冈中学其他（理））如图，已知椭圆过点，其的左、右顶点分别是，，下、上顶点分别是，，是椭圆上第一象限内的一点，直线，的斜率，满足.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于另一点，求四边形面积的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由可得，再把已知点的坐标代入后列出关于的方程组求解可得椭圆标准方程；
（2）设直线的方程为，求出点，到直线的距离在，再由直线与椭圆相交的弦长公式求得弦长，表示出四边形面积为的函数，由函数性质可得取值范围．
【详解】
（1）设，则
.
又，所以.①
又由椭圆过点得，②
由①②得，，故椭圆方程为.
（2），，设直线的方程为，则点，到直线，的距离分别为，.
又由得，所以.
四边形的面积
.
由得.
故四边形面积的取值范围是.
【点睛】
本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交的面积问题．解题时列出关于的方程组是求方程的关键．直线与椭圆相交问题可设出直线方程为，把面积用表示，然后由函数性质得出取值范围．
34．（2020·江苏镇江·期末）如图，为坐标原点，椭圆的右顶点和上顶点分别为，，，的面积为1．
（1）求的方程；
（2）若，是椭圆上的两点，且，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出后可得的方程.
（2）设直线的方程，设，，用此两点的坐标表示，联立直线的方程和椭圆的方程后消去，利用韦达定理可证为定值.也可以设，求出的方程后再求出后可证为定值.
【详解】
（1）解：由题意知，
由于，解得，，故的方程为．
（2）证明：由(1)得，，直线的斜率为．
（方法一）因为，故可设的方程为．
设，，
联立消去，得，
所以，从而．
直线的斜率，直线的斜率，
所以
．故为定值．
（方法二）设，．
因为，所以的方程为，
联立消去，得，
解得（舍去）或，
所以点的坐标为，
则，即为定值．
【点睛】
求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.
35．（2020·江苏镇江·期末）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且椭圆过点.
（1）求的长轴长；
（2）设直线与交于两点（在的右侧），为原点，求.
【答案】(1)；(2).
【解析】
【详解】
【分析】
试题分析：（1）根据题意，列出，求得的值，即可得到椭圆的长周长；
（2）把直线的方程代入椭圆的方程，利用根与系数的关系得，得的坐标，即可求解故.
试题解析：
（1）由题意得设椭圆的标准方程为，则，
所以，则的长轴长为.
（2）由，得，解得，则，
故.
36．（2020·全国课时练习）已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上.
（1）求双曲线的方程；
（2）若双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上任意一点，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）依题意得到方程组，解得即可；
（2）设，于是，根据平面向量数量积的坐标表示及转化为二次函数，根据二次函数的性质计算可得；
【详解】
解：（1）依题意有又，所以，故双曲线的方程为.
（2）由已知得，设，
于是，
因此，
由于，所以当时，取得最小值，.
【点睛】
本题考查待定系数法求双曲线方程，平面向量的数量积以及二次函数的性质的应用，属于中档题.
37．（2020·全国课时练习）已知直线过椭圆的右焦点，且与椭圆E在第一象限的交点为M，与y轴交于点N，是椭圆E的左焦点，且，求椭圆E的方程．
【答案】．
【解析】
【分析】
求出直线与坐标轴的交点坐标，由直线过椭圆右焦点，求出、的长，利用椭圆定义及可求得，再由可得到答案.
【详解】
直线与x轴，y轴分别交于点，
因此，， ，
因为，
所以，
所以，从而，故椭圆E的方程为．
【点睛】
本题主要考查椭圆的方程及定义，还要熟练的掌握椭圆的几何性质.
38．（2020·全国课时练习）已知椭圆的左､右焦点分别为为坐标原点，A为椭圆上一点，连接，交y轴于点M，若，且，求该椭圆的离心率.
【答案】.
【解析】
【分析】
设，．如图所示，，可得．可得，，．化简解出即可得出．
【详解】
解：设.如图所示，由题意易得，所以，所以，又，所以，所以，故该椭圆的离心率为.
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、方程的解法、相似三角形的判定与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
39．（2020·全国课时练习）已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，，且当时，的面积最大，求椭圆的标准方程.
【答案】.
【解析】
【分析】
由题意知，当△的面积最大时，点与椭圆在轴上的顶点重合，即可得出结论．
【详解】
解：因为当点P为短轴端点时，最大，所以，因此，由题意知，所以，于是，故椭圆的标准方程为.
【点睛】
本题考查椭圆的基本性质，要求熟练掌握基本公式，属于基础题．
五、双空题
40．（2020·全国课时练习）已知F是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，是一定点，则的最大值为______，最小值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
写出椭圆的标准形式，设椭圆的右焦点为，由椭圆的定义可知，，只需要最大或最小即可.
【详解】
椭圆的标准方程为．
如图所示，设椭圆的右焦点为，则且，
所以．
因为（当共线时，等号成立），
，
所以，．
故的最大值为，最小值为．
故答案为：；
【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义与方程，关键在于利用定义转化，属于中档题.
专题十八 圆锥曲线的综合运用
一、单选题
1．（2020·涡阳县第九中学期末（文））已知椭圆C与双曲线的焦点相同，且椭圆C上任意一点到两焦点的距离之和为10，则椭圆C的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件求出即可.
【详解】
因为椭圆C上任意一点到两焦点的距离之和为10，所以，即
因为椭圆C与双曲线的焦点相同，，即
所以
故选：C
【点睛】
本题考查的是椭圆和双曲线的基本知识，较简单.
2．（2020·涡阳县第九中学期末（文））在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线的焦点，A、B是抛物线上两个不同的点．若，则线段AB的中点到y轴的距离为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
本题先设，两点，并判断线段AB的中点到y轴的距离为，再求，最后求解.
【详解】
解：设，，则线段AB的中点到y轴的距离为：，
根据抛物线的定义：，
整理得：，
故线段AB的中点到y轴的距离为：，
故选：B.
【点睛】
本题考查抛物线的定义，是基础题.
3．（2020·全国专题练习）已知双曲线的左焦点为，右焦点为，点P为双曲线右支上的一点，且的周长为10，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
依题意求出、，再根据求出，即可得到双曲线方程，从而得解；
【详解】
解：由题知，所以，又，所以，又的周长为10，所以，解得，所以，解得，又，所以，所以双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为.
故选：A
【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.
4．（2020·全国课时练习）设某曲线上一动点M到点与到直线的距离相等，经过点的直线l与该曲线相交于A、B两点，且点P恰为的中点，则（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解析】
【分析】
利用抛物线的定义得到抛物线的方程，结合梯形中位线和抛物线的性质，计算即可.
【详解】
由曲线上一动点M到点与到直线的距离相等，知曲线为抛物线，其方程为，过点的直线l与该曲线相交于A、B两点，且点P恰为的中点，分别过点A、B、P向抛物线的准线作垂线，垂足分别为、、，
连接、，由梯形的中位线知，，，所以.
故选：D.
【点睛】
本题考查了抛物线定义的应用，属于中档题.
5．（2020·全国课时练习）已知两定点，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中，是双曲线的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据双曲线的定义：，对四个选项逐个判断可得答案.
【详解】
对于选项A，因为，所以，故动点P的轨迹是双曲线；对于选项B，因为，所以动点P的轨迹是以和为端点的两条射线；
对于选项.C，因为，所以动点P的轨迹不存在；
对于选项D，因为，所以，可知动点P的轨迹是线段的垂直平分线.
故选：A.
【点睛】
本题考查了双曲线的定义，属于基础题.
6．（2020·全国课时练习）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.
【详解】
根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，
与抛物线方程联立，消元整理得：，
解得，又，
所以，
从而可以求得，故选D.
【点睛】
该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.
7．（2020·全国课时练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，为坐标原点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设点，由可得出关于、的方程组，利用平面平面向量数量积的坐标运算可求得.
【详解】
易知，不妨设.
因为，所以，解得，
所以，，，则，，
因此，.
故选：D.
【点睛】
本题考查抛物线中平面向量数量积的计算，求出点的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
8．（2020·全国课时练习）已知抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作于点A，当（O为坐标原点）时，（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
设l与y轴交于点B，求出，从而找到点坐标，代入抛物线方程利用抛物线定义得到答案.
【详解】
设l与y轴交于点B，在中，，
所以.
设，则，代入，
于是，从而.
故选：.
【点睛】
本题考查了抛物线的定义、标准方程及其性质，直线与抛物线相交问题转化为方程联立.
9．（2020·全国课时练习）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则下列各点中，在抛物线上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出双曲线的焦点，即为抛物线的焦点，根据焦点坐标求出抛物线的方程，逐项验证点的坐标是否满足抛物线的范围即可.
【详解】
因为双曲线的右焦点为，所以抛物线的焦点为，
因此，则抛物线方程为，
当时，，所以点在该抛物线上.
故选：B
【点睛】
本题考查双曲线的焦点、根据焦点求抛物线的方程，属于基础题.
10．（2020·全国课时练习）若点满足，则动点M的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义即可得出选项.
【详解】
依题意，动点M到点的距离等于其到定直线的距离，
且点不在直线上，因此动点M的轨迹是抛物线.
故选：D
【点睛】
本题考查了抛物线的定义，理解定义是关键，属于基础题.
11．（2020·全国课时练习）设抛物线的焦点为，点在抛物线上，则“”是“点到轴的距离为2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义和标准方程，即可判定充分性和必要性都成立，即可得到答案.
【详解】
由题意，抛物线可化为，则，即，
设点的坐标为，
因为，根据抛物线的定义可得，点到其准线的距离为，
解得，即点到轴的距离为2，所以充分性是成立的；
又由若点到轴的距离为2，即，则点到其准线的距离为，
根据抛物线的定义，可得点到抛物线的焦点的距离为3，即，所以必要性是成立的，即“”是“点到轴的距离为2”的充要条件，故选C.
【点睛】
本题主要考查了抛物线的定义与标准方程的应用，以及充要条件的判定，其中解答中熟记抛物线的定义和标准方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
12．（2020·全国课时练习）过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将与椭圆焦点相同的椭圆的方程设为，再将点代入，求得的值，即可得出椭圆标准方程.
【详解】
设所求椭圆方程为，
将点代入，可得，解得（舍去），
故所求椭圆的标准方程为．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了求与已知椭圆方程有相同焦点的椭圆的标准方程，属于基础题.
13．（2020·全国课时练习）已知椭圆的焦距是，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于2，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【解析】
【分析】
根据焦距与椭圆的定义求出求，进而可得结果,
【详解】
因为椭圆的焦距是，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于2，
所以，所以，
因此，
故椭圆方程为或．
故选：B.
【点睛】
本题主要考查椭圆的定义与简单几何性质，考查椭圆标准方程的求解，属于基础题.
14．（2020·全国课时练习）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上异于端点的任意点，O为坐标原点，的中点分别为M，N，若四边形的周长为，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据椭圆定义和三角形中位线定理可得，由求得，再计算焦点三角形的周长.
【详解】
由已知得，而的中点分别为M，N，
所以，，
所以，又由椭圆的定义知，所以，所以．故的周长为．
故选：.
【点睛】
本题考查椭圆的简单几何性质，着重考查椭圆的定义及焦点三角形.
15．（2020·全国课时练习）设定点，动点P满足条件（m为常数，且），则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段
【答案】A
【解析】
【分析】
利用椭圆的定义即可判断.
【详解】
因为，所以，即，
所以点P的轨迹是以为焦点的椭圆．
故选：A
【点睛】
本题考查了椭圆的定义，理解定义是解题的关键，属于基础题.
16．（2020·全国课时练习）设为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可得轴，从而可得，再利用椭圆的定义可得，即求.
【详解】
因为线段的中点在y轴上，
所以轴，，，
所以．
故选：C
【点睛】
本题考查了椭圆的定义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
17．（2020·全国课时练习）已知点M是椭圆上任意一点，两个焦点分别为，若的最大值为8，则a的值为（ ）
A．8 B．4 C． D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
有椭圆的定义知，，
再利用基本不等式可得，即可得a的值.
【详解】
由，所以，
当且仅当时取等号，故，所以．
故选：C
【点睛】
本题考查了椭圆的定义和基本不等式，属于基础题.
18．（2020·全国课时练习）设是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且，若，，则椭圆的焦距等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设椭圆方程为,由已知条件可推出，点C的坐标为，由此能求出，即可求出椭圆焦距.
【详解】
不妨设椭圆方程为，A为长轴的右端点，B为长轴的左端点，如图，
因为，
所以或，
所以，于是，解得，
所以，
所以焦距.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，考查了运算能力，属于中档题.
19．（2020·全国课时练习）与椭圆有相同离心率的椭圆方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由椭圆与已知椭圆的长轴长和短轴长分别相等知两椭圆的离心率相同.
【详解】
椭圆与已知椭圆的长轴长和短轴长分别相等，因此两椭圆的形状､大小完全一样，只是焦点所在坐标轴不同，故两个椭圆的离心率相同，均为.
经检验，其他选项不满足题意.
故选：A
【点睛】
本题考查椭圆的离心率，属于基础题.
20．（2020·全国课时练习）已知焦点在x轴上的椭圆的方程为，随着a的增大该椭圆的形状（ ）
A．越扁 B．越接近于圆 C．先接近于圆后越扁 D．先越扁后接近于圆
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据椭圆成立的条件求出的取值范围，进一步利用函数的单调性求出椭圆的离心率的变化规律，最后确定结果．
【详解】
解：依题意有解得，椭圆的离心率，令，容易判断在上单调递减，则，于是，当a越来越大时，e越来越趋近于0，椭圆越来越接近于圆.
故选：B
【点睛】
本题考查的知识要点：椭圆成立的条件，椭圆中、、的关系及函数的性质的应用．属于中档题．
二、多选题
21．（2020·全国专题练习）已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点，则下列结论中正确的是（ ）
A．E的标准方程为
B．E的离心率等于
C．E与双曲线的渐近线相同
D．直线与E有且仅有一个公共点
【答案】ACD
【解析】
【分析】
设双曲线方程为，代入点，求得的值，得到双曲线的方程，可判定A选项正确；根据离心率的定义，可判定B选项错误；分别求得双曲线的渐近线方程，可判定C选项正确；联立方程组，结合，可判定D选项正确.
【详解】
设双曲线方程为，由已知得，解得，
故双曲线的标准方程为，故A选项正确；
由离心率，故B选项错误；
因为曲线的渐近线方程为，又由双曲线的渐近线方程为，故C选项正确；
联立，整理得，由，
所以直线与E有且仅有一个公共点，故D选项正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中利用待定系数法正确求解双曲线的方程，熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
22．（2020·全国课时练习）已知F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线上一点，则的大小可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由双曲线的方程求得双曲线的渐近线方程，得出渐近线的倾斜角，由此可得选项.
【详解】
因为该双曲线的焦点在x轴上，渐近线方程为，即，因此两条渐近线的倾斜角分别为，
当P在右支上时，的取值范围是，当P在左支上时，的取值范围是，
因此结合选项知的大小不可能为，可能为.
故选：ABD.
【点睛】
本题考查双曲线的简单的几何性质，求双曲线的渐近方程，属于基础题.
23．（2020·全国课时练习）（多选）已知点在抛物线上，抛物线的焦点为F，延长与抛物线相交于另一点B，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．抛物线的焦点坐标为
C．点B的坐标为
D．的面积为8
【答案】ABD
【解析】
【分析】
将代入抛物线方程，求出，进而可得，根据抛物线的标准方程逐一判断即可.
【详解】
将代入抛物线方程可得，
因此抛物线方程为，
所以准线方程为，焦点坐标为，故A，B正确；
易知轴，所以，故C错误；
又因为，所以，故D正确．
故选：ABD
【点睛】
本题考查了抛物线的标准方程，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
24．（2020·全国课时练习）（多选）已知P是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，且，则（ ）
A．的周长为12 B．
C．点P到x轴的距离为 D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由椭圆方程知，所以，根据椭圆的定义以及得特点，即可求出的周长，进而判断选项A是否正确；在利用余弦定理即可求出，再根据三角形面积公式即可求出结果，进而判断选项B是否正确；设点到轴的距离为，根据，由此即可求出，进而判断选项C是否正确；由和数量积公式即可求出结果，进而判断选项D是否正确.
【详解】
由椭圆方程知，所以，所以，
于是的周长为，故A选项错误；
在中，由余弦定理可得
，
所以，解得，
故，故B选项正确；
设点到轴的距离为，则，
所以，故C选项正确；
，故D选项正确．
故选：BCD.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义以及性质，属于中档题.
第II卷（非选择题）
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三、填空题
25．（2020·江苏南通·其他）在平面直角坐标系中，椭圆与为双曲线有公共焦点，.设P是椭圆与双曲线的一个交点，则的面积是_____________.
【答案】.
【解析】
【分析】
由椭圆与双曲线具有相同的焦点得，得出的关系，然后利用椭圆、双曲线的定义得出与的和差关系，用含的式子表示与，在中利用余弦定理求出，继而得到，利用三角形面积公式求解.
【详解】
根据对称性，不妨设P在第一象限.由题设可知.
即，，.
根据椭圆与双曲线的定义得
，
在中，由余弦定理得
.
所以，，.
故答案为：
【点睛】
本题考查椭圆、双曲线的定义在解题中的应用，考查三角形面积的计算问题，属于中档题.
26．（2020·湖北黄州·黄冈中学其他（理））已知双曲线的中心在原点，是一个焦点，过的直线与双曲线交于，两点，且的中点为，则的方程是______.
【答案】
【解析】
【分析】
先利用点F，N的坐标求出直线AB的斜率，再利用点差法得到a2=3b2，结合a2+b2=4求出a，b的值，从而得到双曲线C的方程.
【详解】
由，的坐标得.
设双曲线方程为，则.
设，，
则，，.
由，得，
即，
∴.
于是，，
所以的方程为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了双曲线方程，以及双曲线与直线的位置关系，考查了点差法的应用，属于中档题.
27．（2020·涡阳县第九中学期末（文））设双曲线C的中心在原点，实轴长为4，离心率为，则C的焦点到其渐近线的距离为___________．
【答案】1
【解析】
【分析】
不妨设双曲线的焦点在轴，依题意求出双曲线方程及渐近线方程，再利用点到线的距离公式计算可得；
【详解】
解：不妨设双曲线的焦点在轴，依题意，，所以双曲线方程为，
则其中一条渐近线为，又焦点坐标为，
则焦点到渐近线的距离
故答案为：
【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.
28．（2020·全国课时练习）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．
【答案】2
【解析】
【分析】
利用点差法得到AB的斜率，结合抛物线定义可得结果.
【详解】
详解：设
则
所以
所以
取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为
因为,
，
因为M’为AB中点，
所以MM’平行于x轴
因为M(-1,1)
所以，则即
故答案为2.
【点睛】
本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设，利用点差法得到，取AB中点, 分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的性质得到，进而得到斜率．
29．（2020·全国课时练习）已知点是抛物线的准线与x轴的交点，F为抛物线的焦点，P是抛物线上的动点，则最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
利用已知条件求出p，设出P的坐标，然后求解的表达式，利用基本不等式即可得出结论．
【详解】
解：由题意可知：，设点，P到直线的距离为d，则，
所以，
当且仅当x时，的最小值为，此时，
故答案为：．
【点睛】
本题考查抛物线的简单性质的应用，基本不等式的应用，属于中档题．
30．（2020·全国课时练习）已知双曲线，直线l过其左焦点，交双曲线左支于A，B两点，且为双曲线的右焦点，的周长为20，则m的值为________.
【答案】9
【解析】
【分析】
根据的周长为20可得，根据双曲线的定义可知，，两式相加可得，所以.
【详解】
由题意知.又，所以.
根据双曲线的定义可知，
所以，即，所以.
故答案为：9.
【点睛】
本题考查了双曲线的标准方程，考查了双曲线的定义，属于基础题.
31．（2020·全国课时练习）已知双曲线与方向向量为的直线交于A，B两点，线段的中点为，则该双曲线的渐近线方程是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
设，代入到双曲线的方程中，运用点差法可求得，可得答案.
【详解】
设，则且，
因为线段的中点为，所以，
由题意可得直线的斜率为1，所以，即，
故双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查点差法的运用之得双曲线的渐近线方程，属于中档题.
四、解答题
32．（2020·江苏南通·其他）如图在平面直角坐标系中，已知椭圆，，椭圆的右顶点和上顶点分别为A和B，过A，B分别引椭圆的切线，，切点为C，D.
（1）若，，求直线的方程；
（2）若直线与的斜率之积为，求椭圆的离心率.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设过处的切线方程为，代入，根据解得答案.
（2）设，的方程分别：，，联立方程，根据得到，，计算得到离心率.
【详解】
（1）当，，，.，
设过处的切线方程为，代入，
得.
令，得，，
所以的方程为：.
（2）设，的斜率分别为，，则，
，的方程分别：，.
联立，消去，得.
由，得.
联立，消去，得.
由，得.
故，.
【点睛】
本题考查了椭圆中的切线问题，求椭圆离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
33．（2020·湖北黄州·黄冈中学其他（理））如图，已知椭圆过点，其的左、右顶点分别是，，下、上顶点分别是，，是椭圆上第一象限内的一点，直线，的斜率，满足.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于另一点，求四边形面积的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由可得，再把已知点的坐标代入后列出关于的方程组求解可得椭圆标准方程；
（2）设直线的方程为，求出点，到直线的距离在，再由直线与椭圆相交的弦长公式求得弦长，表示出四边形面积为的函数，由函数性质可得取值范围．
【详解】
（1）设，则
.
又，所以.①
又由椭圆过点得，②
由①②得，，故椭圆方程为.
（2），，设直线的方程为，则点，到直线，的距离分别为，.
又由得，所以.
四边形的面积
.
由得.
故四边形面积的取值范围是.
【点睛】
本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交的面积问题．解题时列出关于的方程组是求方程的关键．直线与椭圆相交问题可设出直线方程为，把面积用表示，然后由函数性质得出取值范围．
34．（2020·江苏镇江·期末）如图，为坐标原点，椭圆的右顶点和上顶点分别为，，，的面积为1．
（1）求的方程；
（2）若，是椭圆上的两点，且，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出后可得的方程.
（2）设直线的方程，设，，用此两点的坐标表示，联立直线的方程和椭圆的方程后消去，利用韦达定理可证为定值.也可以设，求出的方程后再求出后可证为定值.
【详解】
（1）解：由题意知，
由于，解得，，故的方程为．
（2）证明：由(1)得，，直线的斜率为．
（方法一）因为，故可设的方程为．
设，，
联立消去，得，
所以，从而．
直线的斜率，直线的斜率，
所以
．故为定值．
（方法二）设，．
因为，所以的方程为，
联立消去，得，
解得（舍去）或，
所以点的坐标为，
则，即为定值．
【点睛】
求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.
35．（2020·江苏镇江·期末）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且椭圆过点.
（1）求的长轴长；
（2）设直线与交于两点（在的右侧），为原点，求.
【答案】(1)；(2).
【解析】
【详解】
【分析】
试题分析：（1）根据题意，列出，求得的值，即可得到椭圆的长周长；
（2）把直线的方程代入椭圆的方程，利用根与系数的关系得，得的坐标，即可求解故.
试题解析：
（1）由题意得设椭圆的标准方程为，则，
所以，则的长轴长为.
（2）由，得，解得，则，
故.
36．（2020·全国课时练习）已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上.
（1）求双曲线的方程；
（2）若双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上任意一点，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）依题意得到方程组，解得即可；
（2）设，于是，根据平面向量数量积的坐标表示及转化为二次函数，根据二次函数的性质计算可得；
【详解】
解：（1）依题意有又，所以，故双曲线的方程为.
（2）由已知得，设，
于是，
因此，
由于，所以当时，取得最小值，.
【点睛】
本题考查待定系数法求双曲线方程，平面向量的数量积以及二次函数的性质的应用，属于中档题.
37．（2020·全国课时练习）已知直线过椭圆的右焦点，且与椭圆E在第一象限的交点为M，与y轴交于点N，是椭圆E的左焦点，且，求椭圆E的方程．
【答案】．
【解析】
【分析】
求出直线与坐标轴的交点坐标，由直线过椭圆右焦点，求出、的长，利用椭圆定义及可求得，再由可得到答案.
【详解】
直线与x轴，y轴分别交于点，
因此，， ，
因为，
所以，
所以，从而，故椭圆E的方程为．
【点睛】
本题主要考查椭圆的方程及定义，还要熟练的掌握椭圆的几何性质.
38．（2020·全国课时练习）已知椭圆的左､右焦点分别为为坐标原点，A为椭圆上一点，连接，交y轴于点M，若，且，求该椭圆的离心率.
【答案】.
【解析】
【分析】
设，．如图所示，，可得．可得，，．化简解出即可得出．
【详解】
解：设.如图所示，由题意易得，所以，所以，又，所以，所以，故该椭圆的离心率为.
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、方程的解法、相似三角形的判定与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
39．（2020·全国课时练习）已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，，且当时，的面积最大，求椭圆的标准方程.
【答案】.
【解析】
【分析】
由题意知，当△的面积最大时，点与椭圆在轴上的顶点重合，即可得出结论．
【详解】
解：因为当点P为短轴端点时，最大，所以，因此，由题意知，所以，于是，故椭圆的标准方程为.
【点睛】
本题考查椭圆的基本性质，要求熟练掌握基本公式，属于基础题．
五、双空题
40．（2020·全国课时练习）已知F是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，是一定点，则的最大值为______，最小值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
写出椭圆的标准形式，设椭圆的右焦点为，由椭圆的定义可知，，只需要最大或最小即可.
【详解】
椭圆的标准方程为．
如图所示，设椭圆的右焦点为，则且，
所以．
因为（当共线时，等号成立），
，
所以，．
故的最大值为，最小值为．
故答案为：；
【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义与方程，关键在于利用定义转化，属于中档题.
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