专题十六 直线与圆-2021届高三《新题速递•数学》10月刊（江苏专用 适用于高考复习）

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专题十六 直线与圆
一、单选题
1．（2020·全国高二课时练习）直线与轴交于点，直线与轴交于点，线段的中点为，则点的坐标满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求M,N坐标，再得P点坐标，最后代入选项验证.
【详解】
由题意得，因此,满足，选B.
【点睛】
本题考查中点坐标公式以及动点轨迹，考查基本分析求解能力，属基础题.
2．（2017·广东茂名·期中（理））若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】

3．（2019·四川阆中中学高二月考（文））若直线将圆平分，且不通过第四象限，则直线斜率的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由直线将圆平分得直线过圆心，再由直线不经过第四象限，即可求解直线的斜率的取值范围，得到答案.
【详解】
由圆的方程，可知圆心坐标为，
因为直线将圆平分，所以直线过圆心，又由直线不经过第四象限，
所以直线的斜率的最小值为，斜率的最大值为，
所以直线的斜率的取值范围是，故选B.
【点睛】
本题主要考查了直线的斜率的取值范围的求法，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中认真审题，得到直线必过圆的圆心，再根据斜率公式求解是解答的关键，同时属于圆的性质的合理运用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
4．（2020·山东任城·济宁一中月考）过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则实数的值为（ ）
A．0 B． C．0或 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
当时，直线，即直线，此时过点且与直线垂直的直线为，而是与圆相切，满足题意，所以成立，
当时，过点且与直线垂直的直线斜率为，可设该直线方程为，即，再根据直线与圆相切，即圆心到直线距离为1可得，，解得.故本题正确答案为C.
点晴：本题考查的是直线 与直线，直线与圆的位置关系.当考虑直线与直线位置关系时要分斜率存在和不存在即和两种情况讨论，两直线垂直则斜率互为负倒数;当考虑直线和圆相切时，一方面要分斜率存在和不存在两种情况，另一方面要充分利用圆心到直线距离为半径，列出等式求解即可.
5．（2019·山西迎泽·太原五中高二月考（理））我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就，现作出圆的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
分析：由题意求解题中所给的直线方程，对比选项，利用排除法即可求得最终结果.
详解：如图所示可知，
所以直线AB，BC，CD的方程分别为：

整理为一般式即：

分别对应题中的ABD选项.
本题选择C选项.

点睛：本题主要考查直线方程的求解，圆的方程等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．（2020·广东宝安第一外国语学校期中）设有直线，当k变动时，所有直线都经过定点（ ）
A．（0，0） B．（0，1） C．（3，1） D．（2，1）
【答案】C
【解析】
【分析】
将原直线方程变形为点斜式方程，即可知所有直线都经过定点．
【详解】
原直线方程变形为，根据点斜式方程可知，所有直线都经过定点．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查直线系过定点问题的解法，属于基础题．
7．（2020·湖南岳阳楼·岳阳一中高一月考）已知点A(1，－2)、B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是 (　 　)
A．－2 B．－7 C．3 D．1
【答案】C
【解析】
由已知条件可知线段的中点，在直线上，
把中点坐标代入直线方程，解得，故选C.
8．（2020·江苏省口岸中学期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出点A关于直线的对称点，点到圆心的距离减去半径即为最短.
【详解】
解：设点A关于直线的对称点，
的中点为，
故解得，
要使从点A到军营总路程最短，
即为点到军营最短的距离，
“将军饮马”的最短总路程为，
故选A.
【点睛】
本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题.
9．（2020·全国课时练习）过点且与原点距离最大的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
结合图形可知，所求直线为过点且与原点和点连线垂直的直线，其斜率为,根据斜率和所过的点得到直线方程.
【详解】

结合图形可知，所求直线为过点且与原点和点连线垂直的直线，其斜率为，直线方程为，即.
故答案为A.
【点睛】
这个题目考查了直线方程的求法，涉及数形结合思想的应用，属于基础题.
10．（2020·江苏海安高级中学高一期中）两条平行直线和之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
本题首先可根据两直线平行求出，得出直线方程为，然后根据两平行直线间的距离公式即可得出结果.
【详解】
因为直线和平行，
所以，解得，
则直线方程为，即，
故直线与之间的距离，
故选：C.
【点睛】
本题考查根据两直线平行求参数以及两平行直线间的距离公式，若两平行直线方程为、，则两平行直线间的距离公式为，考查计算能力，体现了基础性，是简单题.
11．（2020·河北省隆化存瑞中学期末）过点(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为(　　)
A．2x＋y－1＝0 B．x－2y＋7＝0
C．x－2y－5＝0 D．2x＋y－5＝0
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平行直线系方程的知识，设所求直线方程是：x－2y＋c＝0，直线又过点（-1，3），将点坐标代入方程求出c，即可得到所求直线方程.
【详解】
设直线方程式是：x－2y＋c＝0
因为直线过点(－1,3)
所以-1-6+c=0，解得c=7
故所求直线方程是：x－2y＋7＝0
故选B
【点睛】
本题考察平行直线的求法，当直线方程式是一般式时，可以利用两直线平行的条件： 设出直线方程求解.注：已知直线，求与其平行或垂直的直线时，记住以下结论，可避免讨论：
(1)与 平行的直线可设为：；
(2)与垂直的直线方程可设为：

第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明

二、解答题
12．（2020·黑龙江双鸭山一中月考（文））已知直线恒过定点.
（Ⅰ）若直线经过点且与直线垂直，求直线的方程；
（Ⅱ）若直线经过点且坐标原点到直线的距离等于3，求直线的方程.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求出定点的坐标，设要求直线的方程为，将点的坐标代入方程可求得的值，即可写出直线的方程
（Ⅱ）分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，根据点到直线的距离公式即可得到答案
【详解】
直线可化为，
由可得，所以点A的坐标为.
（Ⅰ）设直线的方程为，
将点A代入方程可得，所以直线的方程为,
（Ⅱ）①当直线斜率不存在时，因为直线过点A，所以直线方程为，
符合原点到直线的距离等于3.
②当直线斜率不存在时，设直线方程为，即
因为原点到直线的距离为3，所以，解得
所以直线的方程为
综上所以直线的方程为或.
【点睛】
本题主要考查了直线的垂直关系的应用及直线方程的求法，点到直线的距离公式，主要分斜率存在和不存在两种情况讨论，属于基础题．
13．（2020·青海平安一中高二期中（文））已知的三个顶点，，，求：
（1）边上的高所在直线的方程；
（2）的垂直平分线所在直线的方程；
（3）边的中线的方程.
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
试题分析：（1）由斜率公式易知kAC，由垂直关系可得直线BD的斜率kBD，代入点斜式易得；（2）同理可得kEF，再由中点坐标公式可得线段BC的中点，同样可得方程；
（3）由中点坐标公式可得AB中点，由两点可求斜率，进而可得方程．
试题解析：
（1）由斜率公式易知kAC=-2，∴直线BD的斜率.
又BD直线过点B（-4，0），代入点斜式易得
直线BD的方程为：x-2y+4=0．
（2）∵，∴．又线段BC的中点为，
∴EF所在直线的方程为y-2=-（x+）．
整理得所求的直线方程为：6x+8y-1=0．
（3）∵AB的中点为M（0，-3），kCM=-7
∴直线CM的方程为y-（-3）=-7（x-0）．
即7x+y+3=0，又因为中线的为线段，
故所求的直线方程为：7x+y+3=0（-1≤x≤0）
14．（2020·新疆昌吉·）已知圆与轴相切于点（0，3），圆心在经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线上．
（1）求圆的方程；
（2）圆与圆：相交于M、N两点，求两圆的公共弦MN的长．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出过点（2,1）与点（﹣2,﹣3）的直线的方程，又由条件得到圆心在直线y=3上，解方程组可得圆心的坐标，进而得到圆的半径，于是可得圆的方程；（2）将圆的方程化为一般式，与圆的方程作差后可得两圆公共弦所在直线的方程，然后求出圆心到公共弦的距离，进而可得公共弦的长．
【详解】
（1）经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线方程为，
即y=x﹣1．
由题意可得，圆心在直线y=3上，
由，解得圆心坐标为（4，3），
故圆C1的半径为4．
则圆C1的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2=16；
（2）∵圆C1的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2=16，
即x2+y2﹣8x﹣6y+9=0，
圆C2：x2+y2﹣2x+2y﹣9=0，
两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为3x+4y﹣9=0．
圆C1的圆心到直线3x+4y﹣9=0的距离d=．
∴两圆的公共弦MN的长为．
【点睛】
（1）求圆的方程时注意平面几何知识的运用，如以下结论：①圆心在过切点且与
切线垂直的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
（2）当两圆相交时，将两个圆的方程相减后消去二次项，可得两圆公共弦所在直线的方程，利用此结论求解可提高解题的效率．
15．（2020·浙江诸暨中学高一期中）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线，设圆C的半径为1，圆心在直线上．

(Ⅰ)若圆C与直线相交于M，N两点，且，求圆心C的横坐标的值；
(Ⅱ)若圆心C也在直线上，过点A作圆C的切线，求切线的方程．
【答案】(Ⅰ) 或2;(Ⅱ) 切线为：或.
【解析】
分析：（Ⅰ）设圆心，由题意结合点到直线距离公式得到关于实数a的方程，解方程可得或2.
（Ⅱ）由题意可得圆心为C(3，2)，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径可得直线的斜率或．则所求切线为：或．
详解：（Ⅰ）设圆心，
圆心C到直线的距离 ，
得：或2.
（Ⅱ）联立：，得圆心为：C(3，2)．
设切线为：，
,得：或．
故所求切线为：或．
点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
16．（2019·会泽县第一中学校开学考试（理））已知圆与直线相切
（1）若直线与圆交于两点，求
（2）已知，设为圆上任意一点，证明：为定值
【答案】（1）4；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用直线与圆相切，结合点到直线距离公式求出半径，从而得到圆的方程；根据直线被圆截得弦长的求解方法可求得结果；（2）设，则，利用两点间距离公式表示出，化简可得结果.
【详解】
（1）由题意知，圆心到直线的距离：
圆与直线相切 圆方程为：
圆心到直线的距离：
，
（2）证明：设，则

即为定值
【点睛】
本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到直线与圆位置关系的应用、直线被圆截得弦长的求解、两点间距离公式的应用、定值问题的求解.解决定值问题的关键是能够用变量表示出所求量，通过化简、消元整理出结果.
17．（2019·太原市第六十六中学校高二期中）已知圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x+m=0．
（1）若圆C1与圆C2外切，求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，若直线x+2y+n=0与圆C2的相交弦长为2，求实数n的值．
【答案】（1）5；（2）n=﹣3或n=﹣3．
【解析】
【分析】
（1）求得两圆的圆心坐标和半径，根据两圆相外切，列出方程，即可求解；
（2）由（1）得圆的方程为，圆心，半径为,在结合点到直线的距离公式和圆的弦长公式，列出方程，即可求解.
【详解】
（1）由题意，圆的圆心坐标为，半径为，
圆的圆心坐标为，半径为，
因为圆与相外切，所以，即，解得.
（2）由（1）得，圆的方程为，可得圆心，半径为,
由题意可得圆心到直线的距离，
又由圆的弦长公式，可得，即，
解得，或.
【点睛】
本题主要考查了圆与圆的位置关系，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记圆与圆的位置关系，以及合理利用直线与圆的弦长公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
18．（2019·南昌·江西师大附中高二月考（理））一般地，对于直线及直线外一点，我们有点到直线的距离公式为：”
（1）证明上述点到直线的距离公式
（2）设直线，试用上述公式求坐标原点到直线距离的最大值及取最大值时的值.
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】
（1）设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R（x1，y0）；作y轴的平行线，交l于点S（x0，y2），分别求出. 、由三角形面积公式可知：d•=•即可得出．
（2）利用（1）中点到直线的距离公式，将题意转化为函数的单调性求最值.
【详解】
解：(1)证明：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R（x1，y0）；作y轴的平行线，交l于点S（x0，y2），
由得．
∴=|x0﹣x1|=，
=|y0﹣y2|=，
=|Ax0+By0+C|
由三角形面积公式可知：d•=•
∴
可证明，当A=0时仍适用．
(2)由直线，由（1）中点到直线距离公式可得原点到直线距离为：
，令，则，
所以，
当时，
当时，
若，则 若，
综上可知：，且当，即时，可取最大值．
【点睛】
本题考查了利用三角形面积公式得出点到直线的距离公式的证明方法，和利用点到直线的距离公式转化为函数的单调性求最值的问题.
19．（2016·上海市控江中学高二期末）已知圆，直线与圆交于，两点，点为坐标原点，求的面积.
【答案】
【解析】
【分析】
先求圆心到直线的距离，再求直线与圆所交弦长AB，即可求三角形OAB的面积
【详解】
设原点到直线的距离，
由于圆的圆心也为原点（0，0），r=2,
所以：弦，则三角形OAB的面积：
故答案为：
【点睛】
考查弦长公式及三角形面积公式的应用，属于基础题.
20．（2019·江苏省如东高级中学高一期中）已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且.
（1）求直线和的交点坐标；
（2）已知直线经过与的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的2倍，求的方程.
【答案】（1）交点为；（2）的方程为或
【解析】
【分析】
（1）根据两直线垂直的关系，以及直线在轴上的截距，可得方程，联立方程，可得结果.
（2）利用（1）的结论，采用分类讨论的方法，可假设直线的截距式，利用（1）的结论，可得结果.
【详解】
（1）由直线的方程为且
可得直线的斜率为：2，
又在轴上的截距为，即过点
所以直线方程：
即，
联立方程，得：
，
故交点为
（2）依据题意可知：
直线在轴上截距是在轴上的截距的2倍，
且直线经过与的交点
当直线原点时，方程为：
当直线不过原点时，设方程为
则，故方程为：，
即
综上所述：
的方程为或
【点睛】
本题主要考查直线方程的求法，灵活假设直线方程，理清题意，细心计算，属中档题.
21．（2015·徐汇·上海中学高二期中）定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比.
（1）设圆求过（2,0）的直线关于圆的距离比的直线方程；
（2）若圆与轴相切于点（0,3）且直线=关于圆的距离比，求此圆的的方程；
（3）是否存在点，使过的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆的距离比始终相等？若存在，求出相应的点点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）或 ；（3）存在.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）由题意可知斜率不存在时不满足题意，所以设过的直线方程为，求得已知圆的圆心和半径，由新定义，可得方程，求得，即可得到所求直线方程；（2）设圆的方程为，由题意可得，解方程可得，，，进而得到所求圆的方程；（3）假设存在点，设过的两直线为和，求得两圆的圆心和半径，由新定义可得方程，化简整理可得或，再由恒成立思想可得，的方程，解方程可得的坐标．
试题解析：（1）设过的直线方程为
∵圆的圆心为，半径为
∴根据题意可得
∴，即所求直线为;
（2）设圆的方程为
根据题意可得
∴解方程可得或，则有圆的方程为或
（3）假设存在点，设过的两直线为和
又∵的圆心为，半径为，的圆心为，半径为
∴根据题意可得，即或
∴或,
∴或，则存在这样的点和，使得使过的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆的距离比始终相等.
点睛：本题考查新定义的理解和运用，考查直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，考查恒成立问题的解法，属于中档题．
22．（2020·黑龙江鹤岗一中高二月考（理））在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点和，所在直线的方程为.
（1） 求对角线所在直线的方程；
（2） 求所在直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据坐标求得和中点；根据菱形特点可知对角线互相垂直且平分，可得直线斜率和在直线上，利用点斜式写出直线方程；（2）由直线和的方程解得点坐标，从而求得；由平行关系可知，利用点斜式写出直线方程.
【详解】
（1）由和得：，中点
四边形为菱形 ，且为中点，
对角线所在直线方程为：，即：
（2）由，解得：

直线的方程为：，即：
【点睛】
本题考查直线方程的求解问题，关键是能够通过菱形的特点得到所求直线斜率与已知斜率之间的关系，从而运用直线点斜式方程求得结果.
23．（2020·南京航空航天大学附属高级中学开学考试）在中，边所在的直线方程为，其中顶点的纵坐标为1，顶点的坐标为.
（1）求边上的高所在的直线方程；
（2）若的中点分别为，，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由题易知边上的高过,斜率为3，可得结果.
（1）求得点A的坐标可得点E的坐标，易知直线EF和直线AB的斜率一样，可得方程.
【详解】
（1）边上的高过,因为边上的高所在的直线与所在的直线互相垂直，故其斜率为3,方程为:
(2) 由题点坐标为,的中点
是的一条中位线,所以,，
其斜率为：，所以的斜率为
所以直线的方程为：化简可得：.
【点睛】
本题考查了直线方程的求法，主要考查直线的点斜式方程，以及化简为一般式，属于基础题.

三、双空题
24．（2019·浙江下城·杭州高级中学高二期中）已知直线与相交于点，若，则__________，此时点的坐标为__________．
【答案】1
【解析】
∵直线与相交于点，且，∴a×1+1×（a﹣2）=0，即a=1，联立方程，易得，，∴，故答案为1，．

四、填空题
25．（2019·浙江拱墅·杭州四中期中）已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数________．
【答案】
【解析】
试题分析：由于为等边三角形，故弦长，根据直线与圆相交，所得弦长公式为，可建立方程，，，即，解得.
考点：直线与圆的位置关系，解三角形．
【思路点晴】本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆相交所得弦长公式，考查等边三角形几何性质.由于为等边三角形，故弦长，我们利用弦长公式就可以建立一个方程出来，这个方程包括点到直线距离公式.在求解完整之后，要验证圆心到直线的距离是否小于半径.

26．（2020·江苏泗洪·高一月考）已知直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
直线过定点，曲线表示圆心为原点，半径为2的圆的上半部分．画出图形，结合图形可得所求的范围．
【详解】
由题意得，直线过定点，曲线表示圆心为原点，半径为2的圆的上半部分（包括与轴的交点），画出图形如下图所示．

当直线，即直线与圆相切时，
则有，解得，．
结合图形可得当直线与圆有两个不同的交点时，则有，
∴实数的取值范围是．
故答案为．
【点睛】
解决曲线交点个数、方程根的个数等关于“个数”的问题时，一般要结合图形（或函数的图象）求解，即利用数形结合的方法求解，考查数形结合思想的运用和转化能力，属于中档题．
27．（2019·四川南充·高三二模（文））设点是函数的图象上的任意一点，点，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】

由函数,得(x−1)2+y2=4,(y⩽0)，
对应的曲线为圆心在C(1,0)，半径为2的圆的下部分，
∵点Q(2a,a−3)，
∴x=2a，y=a−3，消去a得x−2y−6=0，
即Q(2a,a−3)在直线x−2y−6=0上，
过圆心C作直线的垂线，垂足为A，
则，
故答案为.
28．（2019·越秀·广东实验中学高二开学考试）圆心为两直线和的交点，且与直线相切的圆的标准方程是____________.
【答案】
【解析】
联立方程组解之得
∵圆与直线相切
∴圆的半径
故答案为
点睛：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径．属于基础题．
29．（2020·全国高二课时练习）已知圆：与圆关于直线：对称，且圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为，则实数的值为__________．
【答案】2或6.
【解析】
分析：由两圆对称可得到圆的圆心坐标，然后根据圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为两圆的圆心距减去两半径可得实数的值．
详解：设圆的圆心为，
∵圆和圆关于直线对称，
∴，解得，
∴圆的圆心为．
∴．
∵圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为为，
∴，
解得或．
点睛：解答本题的关键是得到圆N的圆心坐标，然后根据几何图形间的关系求解．解答直线和圆、圆和圆的位置关系问题时，可充分考虑几何图形的性质，将问题转化为两点间的距离或点到直线的距离求解．
30．（2020·全国高二课时练习）若过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围为____________．
【答案】
【解析】
试题分析：圆心为，半径，由于过点可作两条切线，所以在圆外，即，解得.
考点：直线与圆的位置关系.