专题六 导数的综合问题-2021届高三《新题速递•数学》9月刊（江苏专用 适用于高考复习）

这是一份专题六 导数的综合问题-2021届高三《新题速递•数学》9月刊（江苏专用 适用于高考复习），文件包含专题六导数的综合问题原卷版docx、专题六导数的综合问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共108页， 欢迎下载使用。

专题六 导数的综合问题
一、多选题
1．（2020·辽宁葫芦岛�高二期末）已知函数，若直线与交于三个不同的点（其中），则的可能值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义求出曲线在时切线的斜率，然后根据题意分别求出的取值范围，进而选出正确答案.
【详解】
在时，，，设切点的坐标为：，，
因此有，所以切线方程为：，当该切线过原点时，
，所以切点的坐标为：，
因为直线与交于三个不同的点，
所以有，
当切线与直线相交时，解方程组：，
因此有，于是有，
所以，显然选项BC符合，
故选：BC
【点睛】
本题考查好已知两曲线交点的个数求参数的到值范围，考查了导数的几何意义，考查了数学运算能力.
2．（2020·全国高三其他）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．函数有2个零点
C．的解集为
D．，，都有
【答案】CD
【解析】
【分析】
当时，结合函数奇偶性可求出解析式；结合奇偶性和零点的含义可判断函数零点的个数；令，分，两种情况进行讨论，即可求出解集；结合导数求出函数的最大值和最小值，即可判断D.
【详解】
当时，，由奇函数定义可知，，故A错误；
对于B，当时，，可知是函数的一个零点．当时，
令，解得，即是函数的一个零点．
由奇函数的性质可知，是函数的一个零点，因此函数有3个零点，
故B错误；
对于C，当时，令，解得，当时，
令，解得，综上可知，
的解集为，故C正确；
对于D，，，都有．当时，
，当时，是增函数，当时，是减函数，
且时，，根据奇函数图象的性质可知，时，
，，可知，故D正确，
故选:CD．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性，考查了函数零点个数的求解，考查了及利用导数研究不等式，属于中档题．
3．（2020·重庆北碚�西南大学附中高二期末）下列命题中正确的有（ ）
A．函数的单调递增区间是
B．若函数的定义域为，则函数的定义城为
C．函数有且仅有个不同的零点
D．若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】
利用函数的性质及利用导数即可判断每个选项的正误.
【详解】
解：令，解得或.即函数在上单调递减，在上单调递增，而是增函数，
所以函数的单调递增区间是，故A错误；
令，解得，所以函数的定义城为，故B正确；
，则.
当时，，即函数在上单调递增，
当时，，即函数在上单调递减，
当时，，即函数在上单调递增，
所以在处，取得极大值为，在处，取得极小值为，
故函数有且仅有个不同的零点，故C错误；
令，，，
所以函数为奇函数，在上，，
则，
所以函数在上单调递增，
因为，是连续函数且为奇函数，
所以在上是增函数，
因为，所以，即，故D正确.
故选：BD.
【点睛】
本题考查函数的单调性，定义域的求法，函数零点的判断，以及导数的应用，考查分析问题能力，属于中档题.
4．（2020·重庆北碚�西南大学附中高二期末）已知函数，当实数取确定的某个值时，方程的根的个数可以是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．4个
【答案】ABC
【解析】
【分析】
令，画出，结合的解的情况可得正确的选项.
【详解】
，
故当时，，故在上为增函数；
当时，，故在上为减函数，
而且当时，恒成立，故的图象如图所示：

考虑方程的解的情况.
，
当时，，此时方程有两个不等的正根，
因为，故，，
由图象可知方程的解的个数为2，方程的解的个数为0，
故方程的根的个数是2.
当时，，此时方程有两个相等的正根，
由图象可知方程的解的个数为1，
故方程的根的个数是1.
当时，，此时方程无解，
故方程的根的个数是0.
当时，，此时方程有两个相等的负根，
由图象可知方程的解的个数为1，
故方程的根的个数是1.
当时，，此时方程有两个不等的负根，
由图象可知方程的解的个数为1，方程的解的个数为1，
故方程的根的个数是2.
故选：ABC．
【点睛】
本题考查复合方程的解，此类问题，一般用换元法来考虑，其中不含的参数的函数的图象应利用导数来刻画，本题属于难题．
5．（2020·山东高三其他）对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极大值
B．有两个不同的零点
C．
D．若在恒成立，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】
对选项A，求出函数的单调区间，再求出极大值即可判断A正确，对选项B，利用函数的单调性和最值即可判断B错误，对选项C，首先利用函数的单调性即可得到，再构造函数，利用的单调性即可得到，最后即可判断C正确，对选项D，转化为在在恒成立，构造函数，求出最大值即可判断D正确.
【详解】
对选项A，，.
令，.
，，为增函数，
，，为减函数.
所以处取得极大值，故A正确.
对选项B，当时，，当时，，
当时，，又因为，
所以只有一个零点，故B错误.
对选项C，因为在区间单调递减，且，
所以.
，.
设，.
令，.
所以时，，为减函数.
又因为，所以，.
即，所以，故C正确.
对选项D，在在恒成立.
设，，令，.
当，，为增函数，
当，，为减函数.
所以，即，故D正确.
故答案为：ACD
【点睛】
本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，极值和最值，同时考查了利用导数研究函数的零点问题，属于中档题.

二、单选题
6．（2020·四川内江�高二期末（理））如图所示为的图象，则函数的单调递减区间是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据导数与单调性关系确定．
【详解】
由导函数图象，知或时，，∴的减区间是，．
故选：C．
【点睛】
本题考查导函数与单调性的关系，一般由确定增区间，由确定减区间．
7．（2020·四川内江�高二期末（理））已知，，若函数的图象与函数的图象有两个交点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用导数，在同一坐标系中作出函数的图象，研究两函数相切时，设切点为，利用导数的几何意义，求得切点，再根据函数的图象与函数的图象有两个交点，则求解.
【详解】
因为，
所以
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
因为

当时，当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
在同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：

当两函数相切时，设切点为,
则解得，
要使函数的图象与函数的图象有两个交点，
则 ，所以，
当时，，显然不成立，
故选：C
【点睛】
本题主要考查导数与函数的图象，导数的几何意义，函数零点个数问题，还考查了转化化归思想和数形结合思想，属于较难题.
8．（2020·四川内江�高二期末（理））函数在上的（ ）
A．最小值为0，最大值为 B．最小值为0，最大值为
C．最小值为1，最大值为 D．最小值为1，最大值为
【答案】D
【解析】
【分析】
由在恒成立，可知 在上单调递增，从而可求最值.
【详解】
解：令，解得，由，得，
则随 的变化如下表，






0






则 在上单调递增，由得最小值为，最大值为.
故选:D.
【点睛】
本题考查了运用导数求函数的最值.求函数的最值时，常用的方法有函数图像法、结合单调性、导数法、基本不等式.
9．（2020·河南禹州市高级中学高三月考（文））已知函数，则方程实根的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
由得到或，再根据的图象来判断当或时对应的有几个，即为实根个数
【详解】
由可得或，当时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，函数在处取得极小值，极小值为，绘制函数的图象如图所示，观察可得，方程的实根个数为3，故选B

【点睛】
本题考查函数与方程中，导数在研究函数中的应用，图像法处理零点个数问题，找到变量关系，灵活利用图象，是解题关键
10．（2020·浙江永康�高三其他）在方程的任意组解中，都有不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】B
【解析】
【分析】
两边取对数，，即，构造函数，求导利用单调性判断范围，从而求解.
【详解】
两边取对数，，即，
构造函数，，
当时，单调递增，当时，单调递减，所以，有极大值，即为，如图

要使，需，
所以，，
由恒成立，
又，所以，得到，
即,所以的最大值为7
故选：
【点睛】
本题考查了构造函数，利用导数判断函数的单调性.
11．（2020·四川德阳�高三其他（理））若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
本题先求导函数，根据已知条件建立不等式，接着参变分离，构造新函数，求最大值即可解题.
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ 函数在区间上单调递增，
∴恒成立，
∴ 恒成立，
令，即
∴，
故选：A.
【点睛】
本题考查利用导函数研究原函数的单调性的应用，参变分离三角函数求最值，恒成立问题，是基础题.
12．（2020·四川德阳�高三其他（理））已知函数有两个极值点，，若不等式恒成立，那么的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求导数，有两个不等实根，换元后转化为一元二次方程有两个不等正根，得的取值范围,利用根与系数的关系可以得到先转化为关于的不等式恒成立，最后转化为关于的函数求最值.
【详解】
，
由于函数有两个极值点，，
则
令则在定义域有两个不等实根,
即，，
解得：.





,
设，
，在区间，单调递增，
所以，所以.
故选：D
【点睛】
本题考查函数极值点的定义以及不等式恒成立问题，考查转化与化归思想，函数有零点极值点，转化方程根的分布问题，不等式恒成立问题转化为求函数的最值.
13．（2020·四川南充�高二期末（理））已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
构造函数，由已知条件可判断出在R上单调递减，所求不等式可整理得，即，由单调性即可得到结果.
【详解】
构造函数，则，
因为，所有，可得在R上单调递减，
又，则，
不等式即得，即，
因为在R上单调递减，故得，
故选：A
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是解题的关键，考查运算能力，属于中档题.
14．（2020·全国高三其他）已知，，，则，，的大小关系是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
若对数式的底相同，直接利用对数函数的性质判断即可，若底不同，则根据结构构造函数，利用函数的单调性判断大小．
【详解】
对于的大小：，，明显；
对于的大小：构造函数，则，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
即
对于的大小：，，，
故选B．
【点睛】
将两两变成结构相同的对数形式，然后利用对数函数的性质判断，对于结构类似的，可以通过构造函数来来比较大小，此题是一道中等难度的题目．
15．（2020·重庆北碚�西南大学附中高二期末）已知是定义在上的函数的导函数，且满足对任意的都成立，则下列选项中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
令，结合已知条件可知为上的增函数，故可根据得到正确的选项.
【详解】
令，则，故为上的增函数，
所以即，
故选：D.
【点睛】
本题考查函数的单调性，注意根据导数满足的关系合理构建新函数，本题属于基础题.
16．（2020·四川省南充高级中学高三月考（文））已知函数，，若存在，使得恒成立，则实数b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求导函数，确定函数的单调性，进而可得函数的最大值，故可求实数的取值范围．
【详解】
，，
，
，
存在，，使得，

，
设，
，
，
当时，解的，
当时，即时，函数单调递增，
当时，即时，函数单调递减，
当时，函数取最大值，最大值为（2）
，
故选．
【点睛】
本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查函数的最值，属于中档题．
17．（2020·兴仁市凤凰中学高二月考（理））函数的导数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：因为，由可得，选A.
考点：导数的运算.
18．（2020·兴仁市凤凰中学高二月考（理））已知函数（，是自然对数的底数）在处取得极小值，则的极大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出原函数的导函数，由解得，可得函数解析式，再由和分别求得原函数的单调区间，从而求出函数的极大值即可.
【详解】
由题意知，，令，解得：，
所以，函数，此时，
由，即，解得：或；
由，即，解得：；
所以，函数的单调递增区间为，；单调递减区间为；
所以，是函数的极大值点，此时极大值.
故选：A.
【点睛】
本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，属于基础题.
19．（2020·全国高三其他（文））已知函数的导函数无零点，且对任意，都有，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，可知函数在上是单调函数，可确定为常数，设，可写出，结合题意，求得，从而得到，进而求得，得到结果.
【详解】
根据题意，函数在上是单调函数，
且对任意，都有成立，则有为常数，
设，则，则，
解得或（舍），
所以，所以，
故选：C.
【点睛】
该题考查的是有关函数单调性的综合应用，属于简单题目.
20．（2017·福建高二期末（文））函数f（x）=ax3﹣x在（﹣∞，+∞）内是减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≤0 B．a＜1 C．a＜2 D．a＜
【答案】A
【解析】
函数 在 内是减函数，故 恒成立，
故有 ，解得
故选A．
21．（2020·河南瀍河�洛阳一高高二月考（文））设，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：令，则，所以函数为增函数，所以，所以，即，所以；又因为，所以，故应选.
考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用.
22．（2021·江西景德镇一中高三月考（文））已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
画出函数的图象,①当直线与曲线相切于点时,,推出直线与函数的图象恰有3个交点时的范围;②当直线与曲线相切时,设切点为,通过,求出,或,,然后判断求解的范围.
【详解】
函数的图象如图所示, 
 
①当直线与曲线相切于点时, , 
故当或时,直线与函数的图象恰有一个交点, 
当时,直线与函数的图象恰有两个交点, 
②当直线与曲线相切时,
设切点为,则, 
,解得,或,，
当时,直线与函数的图象恰有一个交点, 
当或时,直线与函数的图象恰有两个交点, 
当时,直线与函数的图象恰有三个交点, 
综上的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题考查分段函数图像的画法，以及利用函数图象研究函数的零点问题，属于中档题.
23．（2020·临猗县临晋中学高二期末（理））已知函数，若是的导函数，则函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求导数，再利用二次求导研究导函数零点以及对应区间导函数符号，即可判断选择.
【详解】

因此当时，；当时，；当时，；
故选：A
【点睛】
本题考查利用导数研究函数单调性以及零点，考查基本分析判断能力，属中档题.

第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明

三、解答题
24．（2020·辽宁葫芦岛�高二期末）已知函数.
（1）当时，求曲线在点（0，1）处的切线方程；
（2）求函数的单调区间.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）化简函数的解析式，求出函数的导数，求出切线的斜率，然后求解切线方程．
（2）求出导函数，通过的范围，判断函数的导数的符号，判断函数的单调性即可．
【详解】
（1）当时，，
因为，
所以，
所以曲线函数在点处的切线方程为：．
（2）定义域为．
因为，，
①当时，恒成立．
所以函数在上单调递增．
②当时，令，则或．
所以当时，或；
当时，，
所以函数在和，上单调递增，在，上单调递减．
综上可知，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在和，上单调递增，在，上单调递减．
【点睛】
本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，函数的单调性的判断，考查分类讨论思想的应用，是中档题．
25．（2020·辽宁葫芦岛�高二期末）设函数，其中实数.
（1）当时，求的极大值；
（2）若函数在上有零点，求的取值范围；
（3）设函数，证明：当时，对于都有.
【答案】（1）-1；（2）；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）当时，，求导判断的单调性，即可求得的极大值；
（2）求导判断的单调性，可得的最大值，分别讨论小于零，等于零，大于零三种情况下零点存在情况，即可得答案.
（3）根据题意可得等价于，根据m的范围，结合题意，只需证即可，构造函数，利用导数求得的单调性及最值，即可得证.
【详解】
（1）当时，，
所以，
当时，，则为增函数，
当时，，则为减函数，
所以的极大值为；
（2）
当时，，则为增函数，
时，，则为减函数，
所以的最大值为，
当时，即时，函数无零点，在也无零点；
当时，即时，函数有唯一的零点，且，所以满足题意；
当时，即时，因为，
所以，解得，
综上的取值范围为.
（3）当时，，
所以等价于，
整理得：，
因为，所以，
要证成立，只需证即可，
设，则，
设，则，
所以在上单调递增，
因为，，
所以在上有唯一零点，且，
因为，所以，即，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
所以当时，有最小值，
所以，
即成立，即成立，
综上可知，当时，对于都有.
【点睛】
本题考查利用导数求解函数的单调性和极值最值、函数的零点，证明不等式等问题，考查分析理解，求值计算的能力，综合性较强，属较难题.
26．（2020·四川内江�高二期末（理））已知函数.
（1）求的单调区间和极值；
（2）若直线是函数图象的一条切线，求的值.
【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）求得函数的导数，分别解不等式、可得出函数的单调递增区间和单调递减区间，并由此可求得该函数的极大值和极小值；
（2）令，可求得切点的横坐标，进而可求得切点的坐标，再将切点坐标代入切线方程可求得实数的值.
【详解】
（1），定义域为，.
令，解得或；令，解得.
所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，
函数的极大值为，极小值为；
（2）令，解得或，，，
所以，切点坐标为或，则有或，解得或.
【点睛】
本题考查利用导数求解函数的单调区间与极值，同时也考查了利用函数的切线方程求参数，考查计算能力，属于基础题.
27．（2020·四川内江�高二期末（理））已知函数，.
（1）求的单调区间；
（2）若是函数的导函数，且在定义域内恒成立，求整数a的最小值.
【答案】（1）减区间是，增区间；（2）2．
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间；
（2）由分离参数法问题转化为在上恒成立，求出的最大值即可，利用导数确定的单调性，得最大值．
【详解】
（1）由已知，当时，，当时，，
∴的减区间是，增区间；
（2）函数的定义域是，定义域是，
不等式为，
∴不等式在上恒成立，
∴在上恒成立，
设，则，时，，，
又在上是增函数，，，
∴存在，使得，时，，时，，，即在上递增，在上递减，
，，
，∴，
∵，∴，∴整数的最小值为2．
【点睛】
本题考查用导数求函数的单调区间，用导数研究不等式恒成立问题，解题关键在于问题的转化，解题方法是：用分离参数法转化为在上恒成立，然后再用导数求出的最大值即可．
28．（2020·河南禹州市高级中学高三月考（文））已知函数．
（1）若，求函数的极值和单调区间；
（2）若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）取得极小值为，的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）.
【解析】
【分析】
（1）求函数的导数，令导数等于零，解方程，再求出函数的导数和驻点，然后列表讨论，求函数的单调区间和极值；
（2）若在区间上存在一点，使得成立，其充要条件是在区间上的最小值小于即可．利用导数研究函数在区间上的最小值，先求出导函数，然后讨论研究函数在上的单调性，将的极值点与区间的端点比较，确定其最小的极值点．
【详解】
解：的定义域为，
因为，
（1）当时，，令，得，
又的定义域为，
，随的变化情况如下表:


1



0


单调递减
极小值
单调递增

所以时，取得极小值为．
的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）因为，且．
令，得，
若在区间上存在一点，使得成立，
其充要条件是在区间上的最小值小于0即可．
当，即时，对成立，
所以，在区间上单调递减，
故在区间上的最小值为，
由，得，即．
当，即时，
若，则对成立，
所以在区间上单调递减，
所以，在区间上的最小值为
，
显然，在区间上的最小值小于不成立．
若，即时，则有









单调递减
极小值
单调递增

所以在区间上的最小值为．
由，
得，解得，即．
综上，由可知符合题意．
【点睛】
本题考查利用导函数来研究函数的极值以及在闭区间上的最值问题．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值，体现了转化的思想和分类讨论的思想，同时考查学生的分析问题解决问题及计算能力；较难．
29．（2020·四川德阳�高三其他（理））已知函数，．
（1）求函数的极值；
（2）当时，证明：．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）对函数进行求导，分为和两种情形讨论单调性即可得极值；
（2）令，根据导数判断函数的单调性证明即可.
【详解】
（1）∵，，∴，
当时，恒成立，函数单调递减，函数无极值；
当时，
时，，函数单调递减；
时，，函数单调递增；
故函数的极小值为，无极大值.
（2）证明：令，
，
故 ，
令的根为，即 ，
两边求对数得：，即 ，
∴当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
∴，
∴，即原不等式成立.
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性与极值的关系，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，属于中档题.
30．（2020·四川德阳�高三其他（文））巳知函数，．
（1）求函数的极值；
（2）当时，证明：．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求得函数的导函数，利用导数分析函数在定义域上的单调性，由此可求得函数的极值；
（2）当时，由化简变形得出，构造函数，利用导数证明出恒成立，由此可证明出所证不等式成立.
【详解】
（1）函数的定义域为，且.
①当时，对任意的，恒成立，
此时，函数在定义域上单调递减，无极值；
②当时，，令可得.
当时，，此时函数在区间上单调递减；
当时，，此时函数在区间上单调递增.
函数在处取得极小值，且极小值为；
（2）当时，，，
则，即证，即证，
构造函数，其中，则.
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
所以，，即恒成立，
因此，.
【点睛】
本题考查利用导数求解含参函数的极值，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查计算能力与推理能力，属于难题.
31．（2020·四川南充�高二期末（理））已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）当时，在上，是减函数,当时，在上，是减函数,在上，是增函数；（2）
【解析】
【分析】
求出函数的定义域，函数的导数，通过a的范围讨论，判断函数的单调性即可．（2）
对任意x＞0，都有f（x）＞0成立，转化为在（0，+∞）上f（x）min＞0，利用函数的导数求解函数的最值即可．
【详解】
（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）
又
当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数
当a＞0时，由f′（x）=0得：或（舍）
所以：在上，f′（x）＜0，f（x）是减函数
在上，f′（x）＞0，f（x）是增函数
（2）对任意x＞0，都有f（x）＞0成立，即：在（0，+∞）上f（x）min＞0
由（1）知：当a≤0时，在（0，+∞）上f（x）是减函数，
又f（1）=2a﹣2＜0，不合题意
当a＞0时，当时，f（x）取得极小值也是最小值，
所以：
令（a＞0）
所以：
在（0，+∞）上，u′（a）＞0，u（a）是增函数又u（1）=0
所以：要使得f（x）min≥0，即u（a）≥0，即a≥1，
故：a的取值范围为[1，+∞）
【点睛】
本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
32．（2020·全国高三其他）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）求导对分类讨论的正负得出的单调性；
（2）变形，利用导数对的值进行分类讨论，得出函数的单调性，由单调性即可得出实数的取值范围．
【详解】
（1）由题知，的定义域为，
∴．
（对函数求导后，由于恒大于0，故对进行正负分类讨论，从而判断函数的单调性）
当时，在上恒成立，故在上是增函数；
当时，令得
在上有，在上有
∴在上是减函数，在上是增函数
（2）当时，，即（*）．
令
则．
①若，由（1）知，当时，在上是增函数
故有
即，得，故有．
（由（1）可判断，此不等式为常见不等式，熟记更利于解题）

（当且仅当，即，且时取等号）
（根据及基本不等式可知需对和的大小分类讨论）
∴函数在区间上单调递增，∴，∴（*）式成立．
②若，令
则，当且仅当时等号成立．
∴函数在区间上单调递增．
∵

∴，使得
则当时，，即．
∴函数在区间上单调递减
（构造函数，对其求导并根据零点存在性定理判断的单调性）
∴，即（*）式不恒成立．
综上所述，实数的取值范围是．
【点睛】
本题主要考查了利用导数分类讨论求函数的单调性以及利用导数研究不等式的恒成立问题，属于中档题.
33．（2020·全国高三其他）已知函数，．
（1）设，若在定义域内有唯一极值点，求的取值范围；
（2）若，证明：当时，．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
(1) 令，分离参数，构造函数，通过研究函数的单调性得的取值范围.
(2) 将不等式转化，构造函数，，通过求导，判断单调性，容易证明最大值小于1，从而得证.
【详解】
（1）解：由题知，，则，
由题知，在上有唯一零点（且在此零点附近两侧的符号相反）．
由得，令，则．
当时，；当时，．
且，当时，，当时，，
由题意且结合的图象可知，或．
当时，无极值点，不符合题意．
所以的取值范围为．

（2）证明：要证当时，，即证当时，．
因为，所以，
只需证当时，．即证，
构造函数，．，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．则，
故，原不等式得证．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了已知极值求参数的取值范围，考查了利用导数画函数图象的草图．
34．（2020·全国高三其他）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若曲线在点处的切线斜率为，证明:.
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求导函数，分当和，求解和的x的范围，得到的单调性；
（2）先证明，再构造函数证明，从而可证明结论.
【详解】
（1）.
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，则或，
令，则.
所以在和上单调递增，
在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，
在上单调递减.
（2）由，解得，所以.
令，，则.
令，得；令，得.
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以恒成立，即.
设，令，
则. 当时，恒成立，所以，
所以，即；当时，；
当时，恒成立，所以，所以，
即.
综上，，即.
【点睛】
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查不等式的证明方法，是一道中档题．
35．（2020·重庆北碚�西南大学附中高二期末）已知关于函数.
若函数在点处的切线为轴时，求函数的单调区间与极值；
当时，若函数有两个不同的零点，求的取值范围.
【答案】函数在上单调递减，在上单调递增；极小值，无极大值；.
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义得出切线斜率，再结合切线为轴建立两个等式求出参数，，再利用导数符号与函数单调性的关系求出函数的单调区间，进而求出极值；
先用换元法令，问题转化为函数有两个大于零的零点，在讨论函数的单调性，结合零点存在定理即可判断函数的零点个数，进而求出的取值范围.
【详解】
解：函数，，
若函数在点处的切线为轴，
则切，即，，①
切线方程为切，，即，
.②
由①②解得，，
，，
，，
令，.
当时，，则函数在上单调递减，
当时，，则函数在上单调递增.
函数有极小值为极小值，无极大值.
若时，则，
令，则，，
函数有两个不同的零点等价于函数有两个大于零的零点，
又因为，，
令，，
时，即时，恒成立，
恒成立，此时在上单调递增，至多有一个零点，不符合题意.
时，即或时，存在两个零点，，设，
当时，由韦达定理，可知，，与矛盾，不符合题意；
当时，对称轴为，，作出如下图：

可知，在上仅有一解，且，
在上小于零，在上大于零，
在上单调递减，在上单调递增，
趋近于时，就趋近于，趋近于时，就趋近于，
要有两个大于零的零点，则，
，其中满足，
由得代入，
则，化简得，
令，，
在上单调递减，又因为，
所以要使，则，
，即.
若时，，显然上式成立，
若，则，解得，.
所以由不等式，解得，
综上所述，函数有两个不同的零点，则.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间与极值，考查利用函数零点的个数求参数的取值范围，考查分类讨论思想，属于难题.
36．（2020·重庆北碚�西南大学附中高二期末）已知函数.
（1）当时，求证：在上单调递增；
（2）若，试讨论的单调性.
【答案】（1）证明见解析；（2）时， 的增区间是和，减区间是；
时，的增区间是，无减区间；时，的增区间是和，减区间是．
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，证明在上，恒成立即可；
（2）求出，分类讨论的正负，确定其单调性．
【详解】
（1）由已知，，
令，则，当时，，在上单调递增，，
所以时，，单调递增．
（2）由题意，定义域是，
，
因为，
时，，或时，，时，，
的增区间是和，减区间是；
时，在上恒成立，的增区间是，无减区间；
时，，或时，，时，，
的增区间是和，减区间是．
【点睛】
本题考查用导数确定函数的单调性，在定义域内，函数导数存在时，确定函数的增区间，确定函数的减区间．但要注意这个不是必要条件，在上，，只要的解是孤立的，不连续的，则在上单调递增．
37．（2020·重庆北碚�西南大学附中高二期末）已知函数.
（1）时，求在[﹣2，0]上的最大值；
（2）若在[0，3]上单调递增，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【解析】
【分析】
(1)时，利用换元法结合对勾函数和反比例函数的单调性，得出函数在区间上的最大值；
(2)对函数求导，要使在[0，3]上单调递增，则在[0，3]上恒成立，构造二次函数，列出不等式解出的取值范围．
【详解】
(1)时，，令，
则
函数在上单调递增，在上单调递减
，，
在[﹣2，0]上的最大值为
(2)函数,
要使在[0，3]上单调递增，则在[0，3]上恒成立，
即在[0，3]上恒成立，
在[0，3]上恒成立，

故的取值范围
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想及换元思想，属中档题．
38．（2020·山东高三其他）已知函数，，为的导数，且.证明：
在内有唯一零点；
.
（参考数据：，，，，.）
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意，得，分别求得在区间和上的单调性，利用零点的存在定理，即可求解；
（2）由（1）得，求得函数的单调性，得到的最大值为，再由得，得到，利用作差比较，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数，则
所以，
当时，可得，即在内没有零点，
当时，，
因为，所以，所以在上单调递减，
又，且，
所以在内有唯一零点.
（2）由（1）得，当时，，所以，即单调递增；
当时，，所以，即单调递减，
即的最大值为，
由得，所以，
因此，
因为，所以
从而，即，
所以，故.
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
39．（2020·河北石家庄�高二期末）已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若，是方程的两个不同的实数根，求证：．
【答案】（Ⅰ）单调递减区间是，单调递增区间是；（Ⅱ）证明见解析．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先求函数导数，再求导数在定义区间上零点，根据导函数正负，确定单调区间；
（Ⅱ）先根据零点得，再代入化简不等式为，构造函数，其中，最后根据导数确定函数单调性，根据单调性证不等式.
【详解】
（1）依题意，，
故当时，，当时， ，
∴单调递减区间是，单调递增区间是 ；
（2）因为，是方程的两个不同的实数根，
∴，两式相减得，解得 ，
要证：，即证：，即证：，
即证，
不妨设，令，只需证，
设，
∴，
令，∴，
∴在上单调递减，
∴，∴，∴在为减函数，
∴．即在恒成立，
∴原不等式成立，即．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，以及不等式的恒成立问题，属于综合题.
40．（2020·四川省南充高级中学高三月考（文））已知函数．
（1）设是函数的极值点，求的值，并求的单调区间；
（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1) 在和上单调递增，在上单调递减. (2)
【解析】
【分析】
（1）由题意，求得函数的导数，根据是函数的极值点，求得，利用导数符号，即可求解函数的单调区间；
所以在和上单调递增，在上单调递减.
（2）由函数的导数，当时，得到在上单调递增，又由，即可证明，当时，先减后增，不符合题意，即可得到答案．
【详解】
（1）由题意，函数，
则，
因为是函数的极值点，所以，故，
即，令，解得或.
令，解得,
所以在和上单调递增，在上单调递减.
（2）由，
当时，，则在上单调递增，
又，所以恒成立；
当时，易知在上单调递增，
故存在，使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，则，这与恒成立矛盾.
综上，.
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的不等关系式，求解参数的取值范围；有时也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
41．（2020·全国高三其他（文））已知函数（，且）
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在区间内有两个极值点，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案不唯一，详见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）求得的定义域和导函数，对分成和两种情况进行分类讨论，由此求得的单调区间.
（2）求得的导函数，构造函数，依题意可知在区间上有两个零点，且零点两侧函数值符号相反，利用导数研究的零点，由此求得的取值范围.
【详解】
（1）的定义域为，，
当时，在区间和上，递减，在区间上，递增.
当时， 在区间和上，递增，在区间上，递减.
（2），
.
当时，.
构造函数，依题意可知在区间上有两个零点，且零点两侧函数值符号相反.
，
当时，，在区间上递增，至多有一个零点，不符合题意.
当时，令 ，解得.
（i）若即，则在区间上递减，至多有一个零点，不符合题意.
（ii）若即，则在区间上递增，至多有一个零点，不符合题意.
（iii）若，即，则在区间上递增，在区间上递减.
当时，；当时，；
.
要使在区间上有两个零点，且零点两侧函数值符号相反，则需
，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的极值点，属于中档题.
42．（2020·河南瀍河�洛阳一高高二月考（文））已知函数.
（1）若函数在定义域上单调递减，求实数的取值范围；
（2）设函数有两个极值点，，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意得在上恒成立，即在上恒成立，再求函数的最大值即可得答案；
（2）根据题意得，不妨设，令，则问题转化为证明在上恒成立，再转化为在上恒成立，进一步令，只需求在的最小值大于零即可证毕.
【详解】
解：（1）函数的定义域为，
∵ 函数在定义域上单调递减，
∴ 在上恒成立，
∴ 在上恒成立，即：在上恒成立，
令，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
∴ 当时，函数有极大值，也是最大值，
∴ ，
故实数的取值范围为：
（2）证明：∵ 函数有两个极值点，，
∴ 根据（1）得：，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ 不妨设，令，
则，设
故问题转化为证明在上恒成立，
∴ 只需证在上恒成立，
令，，
∴ 在上单调递增，由于，
∴ ，即函数在上单调递增，
∴ ，即在上恒成立
∴ 成立.
【点睛】
本题考查已知函数的单调区间求参数范围，利用导数证明不等式恒成立问题，考查分析问题与解决问题的能力，是难题.
43．（2020·江苏清江浦�淮阴中学高三三模）定义可导函数在x处的弹性函数为，其中为的导函数．在区间D上，若函数的弹性函数值大于1，则称在区间D上具有弹性，相应的区间D也称作的弹性区间．
（1）若，求的弹性函数及弹性函数的零点；
（2）对于函数（其中e为自然对数的底数）
（ⅰ）当时，求的弹性区间D；
（ⅱ）若在（i）中的区间D上恒成立，求实数t的取值范围．
【答案】（1），； （2）（ⅰ），（ⅱ）.
【解析】
【分析】
（1）由，可得，根据题设条件，即可求得的弹性函数及弹性零点；
（2）（ⅰ）函数，可得函数的定义域为，函数是弹性函数，得出不等式组，进而求得函数的弹性区间；
（ⅱ）由在上恒成立，可得在上恒成立，设，利用导数求得函数的单调性与最值，进而求得的取值范围.
【详解】
（1）由，可得，
则，
令，解得，
所以弹性函数的零点为.
（2）（ⅰ）当时，函数，可得函数的定义域为，
因为，
函数是弹性函数，
此不等式等价于下面两个不等式组：
（Ⅰ） 或（Ⅱ），
因为①对应的函数就是，
由，所以在定义域上单调递增，
又由，所以①的解为；
由可得，
且在上恒为正，
则在上单调递增，所以，故②在上恒成立，
于是不等式组（Ⅰ）的解为，
同①的解法，求得③的解为；
因为时，④，所以不成立，
所以不等式（Ⅱ）无实数解，
综上，函数的弹性区间.
（ⅱ）由在上恒成立，可得在上恒成立，
设，则，
而，
由（ⅰ）可知，在上恒为正，
所以，函数在上单调递增，所以，
所以，即实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了函数的弹性函数及弹性函数的零点的求法，利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，试题综合性强，属于难题．
44．（2021·江西景德镇一中高三月考（文））已知函数，，且直线和函数的图像相切.
（1）求实数的值；
（2）设，若不等式对任意恒成立（，为的导函数），求的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）本题首先可设切点的坐标为，然后求出函数的导函数并写出切线方程为，再然后根据和为同一条直线得出、，最后令，根据函数的单调性及最值即可得出结果；
（2）本题首先可根据得出以及，然后将转化为，再然后设，最后通过求出函数的最小值即可得出结果.
【详解】
（1）设切点的坐标为，由得，
则切线方程为，即，
因为和为同一条直线，所以，，
令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
故，当且仅当时等号成立，，.
（2）因为，所以，，
即，
因为，所以，，
令，则，，
令，因为，所以，在上单调递增，
因为，，所以在上存在唯一零点，
设此零点为，且，
当时，；当时，，
故，
因为，所以，，
因为，，所以的最大值为.
【点睛】
本题考查导数的几何意义以及通过导数解决不等式恒成立问题，考查通过导数求函数的单调性以及最值，曲线在某一点处的导数即曲线在这一点处的切线斜率，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.
45．（2020·贵州省思南中学高二期末（理））已知函数，.
（1）若在上的最大值为，求实数的值；
（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）.（2）
【解析】
试题分析：(1) 求出函数的导函数，解出函数的单调区间，通过研究函数的极值和边界值得到函数的最大值，求出实数的值；
(2)把 整理，分离出参数a,得到，把右边构造一个函数 ，求出的最小值，问题可解.
试题解析：
（1）由，得 ，
令，得或.
函数，在上的变化情况如下表：

，，.
即最大值为，.
（2）由，得.
，，且等号不能同时取得，，即.
恒成立，即.
令，，则.
当时，，，，从而.
在区间上为增函数，，.
46．（2021·广西钦州一中高三开学考试（理））已知函数.
（1）若，讨论的单调性；
（2）若，且存在两个极值点，证明：.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由，求导，再分和两种情况讨论求解.
（2）根据存在两个极值点和，则的两个极值点满足，有，不妨设，则，化简，将，转化为，令，用导数证明即可.
【详解】
（1）的定义域为，.
(i)若，则，所以在单调递增.
(ii)若，当时，；当时，.
所以在单调递减，在单调递增.
（2）因为存在两个极值点，.，
所以的两个极值点满足，
所以，不妨设，则
则
，
要证，只需证.
设，则，
知在单调递减，又
当时，.故，
即.
【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性，导数与不等式证明，还考查分类讨论思想和转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.
47．（2020·昆明市官渡区第一中学高二期中（理））已知函数.
⑴求函数的单调区间；
⑵如果对于任意的，总成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：⑴求出函数的导数令其大于零得增区间，令其小于零得减函数；⑵令，要使总成立，只需时，对讨论,利用导数求的最小值.
试题解析：(1) 由于，所以
.
当，即时，；
当，即时，.
所以的单调递增区间为，
单调递减区间为.
(2) 令，要使总成立，只需时.
对求导得，
令，则，()
所以在上为增函数，所以.
对分类讨论：
① 当时，恒成立，所以在上为增函数，所以，即恒成立；
② 当时，在上有实根，因为在上为增函数，所以当时，，所以，不符合题意；
③ 当时，恒成立，所以在上为减函数，则，不符合题意.
综合①②③可得，所求的实数的取值范围是.
考点：利用导数求函数单调区间、利用导数求函数最值、构造函数.
48．（2020·山东高三其他）已知实数，函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若是函数的极值点，曲线在点，处的切线分别为，且在轴上的截距分别为．若，求的取值范围．
【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）．
【解析】
【分析】
（1）求导后得；分别在和两种情况下，根据的符号可确定的单调性；
（2）由极值点定义可构造方程求得，得到和；根据导数的几何意义可求得在处的切线方程，进而求得；由可求得的关系，同时确定的取值范围；将化为，令，，利用导数可求得的单调性，进而求得的值域即为的范围.
【详解】
（1）.
，，.
①当，即时，，在上单调递减；
②当，即时，
当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增.
综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）是的极值点，，即，
解得：或（舍），此时，.
方程为：，
令，得：；同理可得：.
，，整理得：，，
又，则，解得：，
.
令，则，
设，，
在上单调递增，又，，，
即的取值范围为.
【点睛】
本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、极值点的定义、导数的几何意义、利用导数求解参数的取值范围等问题；关键是能够通过构造函数的方式将所求式子的范围转化为函数值域的求解问题.
49．（2020·湖南高新技术产业园区�衡阳市一中高三月考）已知函数，.
（1）当时，不等式成立，求整数m的最大值.
（2）证明：当时，.
（参考数据：，）
【答案】（1）整数m的最大值为3；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）先推出当时， 使得，可得，，即整数m的最大值为3；
（2）要证，即证，令，两次求导，可证明 ，从而可得结论.
【详解】
（1）当时，，
令，则.
因此在上为增函数，又，，
∴使得，即，
当时，，为减函数；
当时，，为增函数；
∴，
所以整数m的最大值为3.
（2）要证，即证，
令，则.
令，则，
设，，
在单调递增，又，∴，
∴在上为增函数，又，∴，
∴在上为增函数，又，∴，即，
∴在上为增函数，∴，故.
【点睛】
本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
50．（2021·江苏清江浦�淮阴中学高三开学考试）设函数，其中.
（1）证明：恰有两个零点；
（2）设为的极值点，为的零点，且，证明.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）首先求出函数的导函数，令，由，可知：可得存在唯一解．可得是函数的唯一极值点．令，可得时，．．．可得函数在，上存在唯一零点．又函数在上有唯一零点1．即可证明结论．
（2）由题意可得：，，即，，可得，由，可得．又，可得，取对数即可证明．
【详解】
证明：（1）因为，定义域为
所以；
令，由，可知在内单调递减，
又，且，
故在内有唯一解，
从而在内有唯一解，不妨设为，.
则，当时，，
所以在内单调递增；
当时，，
所以函数在内单调递减，因此是的唯一极值点.
令，则当时，，故在内单调递减，
从而当时，，所以，
从而，
又因为，所以在内有唯一零点，
又在内有唯一零点1，从而，在内恰有两个零点
（2）由题意，，即，
从而，即，
因为当时，，又，故.
两边取对数，得
于是，整理得.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
51．（2021·江苏清江浦�淮阴中学高三开学考试）
已知函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的，都有≤，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）当时，的单调递增区间是和：单调递减区间是，当时，的单调递减区间是和：单调递减区间是．
（Ⅱ） [，0]．
【解析】
【分析】
【详解】
，令，当时，的情况如下：














+

0



0

+









0





所以，的单调递增区间是和：单调递减区间是，当时，与的情况如下：
















0

+

0







0









所以，的单调递减区间是和：单调递减区间是．
（Ⅱ）当时，因为，所以不会有当时，由（Ⅰ）知在上的最大值是所以等价于， 解得故当时，的取值范围是[，0]．

52．（2020·武威第八中学高二期末（理））已知函数f(x)＝x2＋lnx.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求证：当x>1时， x2＋lnx 【答案】 (1) f(x)的单调增区间为(0，＋∞) (2)略
【解析】
【分析】
（1）对函数求导，根据定义域，即可判断其单调性，从而知单调区间．
（2）证明当x>1时，，只需证当x>1时，，
可设，只需证明时，，因此，利用导数研究的单调性，得出，结论得证．
【详解】
(1)依题意知函数的定义域为{x|x>0}，
∵f′(x)＝x＋，故f′(x)>0，∴f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．
(2)设g(x)＝x3－x2－lnx，∴g′(x)＝2x2－x－，
∵当x>1时，g′(x)＝>0，
∴g(x)在(1，＋∞)上为增函数，∴g(x)>g(1)＝>0，
∴当x>1时， x2＋lnx 【点睛】
（1）求函数的单调区间，首先要考虑函数的定义域，然后求导，导函数大于0，可求单调递增区间，导函数小于0，可求单调递减区间．对于单调函数只需说明导函数大于0（小于0）即可．
（2）证明不等式一般是证明与函数有关的不等式在某个范围内成立，解题时可转化为求函数最值（或值）的问题处理．
53．（2020·山西迎泽�太原五中高三二模（文））已知函数（a为常数）
（1）当时，判断函数的单调性；
（2）函数有两个极值点，，若不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）函数在上单调递增；（2）.
【解析】
【分析】
（1）当时,,求导可得,即可判断单调性；
（2）求导可得,由题,则,方程的两个不等的正实根,可得,,且,则,即将不等式转化为恒成立,设,由其单调性可得,进而求解即可
【详解】
解：（1）当时,,则,
因为函数定义域为,所以函数在上单调递增
（2）因为,则,
因为函数有两个极值点,,所以,方程的两个不等的正实根,
所以,,
且,解得,
因为
,
所以,
则不等式恒成立等价不等式恒成立,
令,则
因为,所以,所以函数在上单调递增,
所以,
所以,则
【点睛】
本题考查利用导函数判断函数的单调性,考查函数的极值点的应用,考查利用导函数处理恒成立问题

四、填空题
54．（2020·四川内江�高二期末（理））函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出，利用在恒成立可求实数a的取值范围.
【详解】
，因为在区间上是增函数，
故在恒成立即在恒成立，
故在恒成立，故.
故答案为：.
【点睛】
一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．
55．（2020·全国高三课时练习（理））若函数，对任意的，恒成立，则的取值范围是 ．
【答案】（﹣2，）
【解析】
f′(x)＝3x2＋1>0，∴f(x)在R上为增函数．又f(x)为奇函数，由f(mx－2)＋f(x)<0知，f(mx－2) 令g(m)＝mx＋x－2，由m∈[－2,2]知g(m)<0恒成立，可得，∴－2 56．（2020·江苏清江浦�淮阴中学高三三模）已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是_____．
【答案】；
【解析】
【分析】
根据函数，，将对任意的，总存在，使得成立，转化为对任意的，总存在，成立，令，用导数求得其最小值，然后由存在，成立，转化为存在，成立求解.
【详解】
因为函数，，
所以对任意的，总存在，使得成立，即为对任意的，总存在，成立，
即为对任意的，总存在，成立，
令，，
当时，，当时，，
所以点时，函数取得最小值，
所以存在，成立，
即存在，成立，
令，易知 在 上递减，
所以 ，
所以 ，解得 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性与最值以及双变量问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
57．（2020·全国高三其他）设函数，，则曲线在点处的切线斜率为________
【答案】
【解析】
【分析】
根据可得，然后根据曲线在某点处的导数的几何意义，可得结果.
【详解】
由题可知：
由，所以
所以
则
故答案为：
【点睛】
本题考查曲线在某点处导数的几何意义，识记概念，属基础题.
58．（2020·临猗县临晋中学高二期末（理））设函数是偶函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
构造函数，讨论单调性和奇偶性，结合特殊值即可求解.
【详解】
设函数，是偶函数，，
所以函数是奇函数，且，
当时，，
即当时，单调递减，，
所以当时，，，
当时，，，
是偶函数，所以当时，，当时，，
所以使得成立的的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
此题考查利用导函数讨论函数的单调性解决不等式相关问题，关键在于准确构造函数，需要在平常的学习中多做积累，常见的函数构造方法.

五、双空题
59．（2020·重庆北碚�西南大学附中高二期末）已知函数，则过原点且与“曲线在轴右侧的图象”相切的直线方程为________，若有两个不同的根，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
设过原点的直线与该段图象相切于点，则可求，从而得到所求的切线的方程，对于第二空的问题，可在平面直角坐标系中画出的图象，结合第一空的结果动态考查动直线的位置后可得所求的参数的取值范围.
【详解】
曲线在轴右侧的图象对应的函数解析式为，则
设过原点的直线与该段图象相切于点，则，
故，故切线方程为即.
考虑函数的图象在的切线，
因为，故所求切线的斜率为1，
故的图象在的切线方程为.
在平面直角坐标系中画出的图象及、的图象（如图所示）：

若有两个不同的根，故直线与函数的图象有两个不同的交点，
由图象可知：或.
故答案为：，.
【点睛】
本题考查导数的几何意义、函数与方程，注意切线问题的核心是切点的横坐标，另外方程的解可转化为不同函数图象的交点来讨论，其中相切的情形可利用导数来计算，本题属于中档题.