专题十七 圆锥曲线的方程-2021届高三《新题速递•数学》10月刊（江苏专用 适用于高考复习）

专题十七   圆锥曲线的方程

一、单选题

1．（2020·安徽省太和中学期末（文））已知抛物线：，直线过点，且与抛物线交于，两点，若线段的中点恰好为点，则直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

2．（2020·沭阳县修远中学月考）已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（）

A． B． C． D．

3．（2019·黑龙江哈师大青冈实验中学月考（文））过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为(　　)

A．2 B．2

C．2 D．2

4．（2020·永寿县中学开学考试（文））已知抛物线的焦点为，，直线交抛物线于，两点，且为的中点，则p的值为（ ）

A．3 B．2或4 C．4 D．2

5．（2019·湖南雨花·期末（文））已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（     ）

A． B． C． D．

6．（2020·陕西西安·三模（理））已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为（  ）

A． B． C． D．

7．（2020·陕西西安·高三月考（理））已知圆与抛物线交于两点，与抛物线的准线交于两点，若四边形是矩形，则等于 (  )

A． B． C． D．

8．（2020·云南高二期末（文））已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）

A． B． C． D．

9．（2020·定远县私立启明民族中学三模（文））已知实轴长为2的双曲线C：的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），点B为双曲线C虚轴上的一个端点，则△BF1F2的重心到双曲线C的渐近线的距离为（　　）

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

二、填空题

10．（2020·四川武侯·成都七中高三开学考试（理））已知椭圆与双曲线共焦点，F1、F2分别为左、右焦点，曲线与在第一象限交点为，且离心率之积为1.若，则该双曲线的离心率为____________.

11．（2020·赣州市赣县第三中学月考（理））如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是________

12．（2020·寿县第一中学其他（文））已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：椭圆，点为在第一象限中的任意一点，过作的切线， 分别与轴和轴的正半轴交于两点，则面积的最小值为_______.

三、解答题

13．（2020·四川武侯·成都七中高三开学考试（文））如图，设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.

14．（2020·江苏省镇江中学开学考试）已知抛物线的内接等边三角形的面积为（其中为坐标原点）．

（1）试求抛物线的方程；

（2）已知点两点在抛物线上，是以点为直角顶点的直角三角形．

①求证：直线恒过定点；

②过点作直线的垂线交于点，试求点的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲线．

15．（2020·浙江高三开学考试）如图，已知椭圆，且满足，抛物线，点是椭圆与抛物线的交点，过点的直线交椭圆于点，交轴于点.

（1）若点，求椭圆及抛物线的方程；

（2）若椭圆的离心率为，点的纵坐标记为，若存在直线，使为线段的中点，求的最大值.

16．（2020·赣榆智贤中学月考）已知椭圆的离心率为，椭圆与轴交于 两点，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）设点是椭圆上的一个动点，且直线与直线分别交于 两点．是否存在点使得以 为直径的圆经过点？若存在，求出点的横坐标；若不存在，说明理由.

17．（2020·赣榆智贤中学月考）已知点F是拋物线C:y2=2px(p>0)的焦点,点M(x0,1)在C上,且|MF|=.

(1)求p的值;

(2)若直线l经过点Q(3,-1)且与C交于A,B(异于M)两点,证明:直线AM与直线BM的斜率之积为常数.

18．（2020·河北邯郸·高三月考）已知点为抛物线的焦点，横坐标为1的点在抛物线上，且以为圆心，为半径的圆与的准线相切.

（1）求抛物线的方程；

（2）设不经过原点的直线与抛物线交于、两点，设直线、的倾斜角分别为和，证明：当时，直线恒过定点.

19．（2020·安徽省太和中学期末（理））顺次连接椭圆的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形．

（1）求椭圆的方程；

（2），是椭圆上的两个不同点，若直线，的斜率之积为（以为坐标原点），线段上有一点满足，连接并延长交椭圆于点，求椭圆的值.

20．（2020·利辛县阚疃金石中学月考）已知双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为，过点．

求双曲线C的标准方程；

是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．

21．（2020·广西钦州一中月考（文））已知椭圆．

（1）求椭圆的离心率；

（2）设为原点，若点在直线上，点在椭圆上，且，求线段长度的最小值．

22．（2020·汨罗市第二中学开学考试）已知点是椭圆的右焦点，点，分别是轴，轴上的动点，且满足.若点满足（为坐标原点）．

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）设过点任作一直线与点的轨迹交于，两点，直线，与直线分别交于点，，试判断以线段为直径的圆是否经过点？请说明理由．

23．（2020·安徽滁州·期末（理））已知椭圆：的离心率为，焦距为．

（1）求的方程；

（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点（点，均在第一象限），为坐标原点，证明：直线，，的斜率依次成等比数列．

24．（2020·广东高二月考（理））如图所示,A,B分别是椭圆C:=1(a>b>0)的左右顶点,F为其右焦点,2是|AF|与|FB|的等差中项,是|AF|与|FB|的等比中项.点P是椭圆C上异于A,B的任一动点,过点A作直线l⊥x轴.以线段AF为直径的圆交直线AP于点A,M,连接FM交直线l于点Q.

(1)求椭圆C的方程;

(2)试问在x轴上是否存在一个定点N,使得直线PQ必过该定点N?若存在,求出点N的坐标,若不存在,说明理由.

25．（2020·山东其他）椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）点为椭圆上一动点，连接、，设的角平分线交椭圆的长轴于点，求实数的取值范围.

26．（2020·河北新华·石家庄二中高二月考）已知点是圆上的动点，定点，线段的垂直平分线交于点.

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）过点作两条斜率之积为的直线，，，分别与轨迹交于，和，，记得到的四边形的面积为，求的最大值.

27．（2020·陕西西安·高三月考（理））在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，直线和椭圆交于，两点，当直线过椭圆的焦点，且与轴垂直时，.

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在与轴不垂直的直线，使弦的垂直平分线过椭圆的右焦点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

28．（2019·伊美区第二中学期中（理））已知椭圆的离心率为，点在上

（1）求的方程

（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.

29．（2020·云南高二期末（文））已知椭圆C：的离心率为，点P（1，）在椭圆C上，直线l过椭圆的右焦点与椭圆相交于A，B两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）在x轴上是否存在定点M，使得为定值？若存在，求定点M的坐标；若不在，请说明理由．

30．（2020·福建厦门双十中学高三月考（文））如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：，椭圆C2：，C2与C1的长轴长之比为∶1，离心率相同．

（1）求椭圆C2的标准方程；

（2）设点为椭圆C2上一点．

 ① 射线与椭圆C1依次交于点，求证：为定值；

 ② 过点作两条斜率分别为的直线，且直线与椭圆C1均有且只有一个公共点，求证：为定值．

31．（2020·贵州高二期末（文））己知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为，直线交椭圆于不同的两点

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点，当的面积为时，求实数的值．

32．（2020·扬州市江都区大桥高级中学高三月考）已知点O为坐标原点，椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点I，J分别是椭圆C的右顶点、上顶点，△IOJ的边IJ上的中线长为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点H（－2，0）的直线交椭圆C于A，B两点，若AF1⊥BF1，求直线AB的方程．

33．（2019·江西期末（理））已知椭圆C：过点，其左右焦点分别为，，三角形的面积为．

Ⅰ求椭圆C的方程；

Ⅱ已知A，B是椭圆C上的两个动点且不与坐标原点O共线，若的角平分线总垂直于x轴，求证：直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形．

34．（2020·安庆市第七中学其他（文））设椭圆的离心率为，圆与轴正半轴交于点，圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．

35．（2020·安徽定远·期中（文））如图，椭圆W：的焦距与椭圆Ω：+y2＝1的短轴长相等，且W与Ω的长轴长相等，这两个椭圆的在第一象限的交点为A，直线l经过Ω在y轴正半轴上的顶点B且与直线OA（O为坐标原点）垂直，l与Ω的另一个交点为C，l与W交于M，N两点．

（1）求W的标准方程：

（2）求．

36．（2020·安徽郎溪·其他（文））已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．

（1）求椭圆的方程；

（2）设点为椭圆上位于第一象限内一动点，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．