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专题十一 等差数列与等比数列-2021届高三《新题速递•数学》10月刊（江苏专用 适用于高考复习）
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这是一份专题十一 等差数列与等比数列-2021届高三《新题速递•数学》10月刊（江苏专用 适用于高考复习），文件包含专题十一等差数列与等比数列原卷版docx、专题十一等差数列与等比数列解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共70页， 欢迎下载使用。
专题十一 等差数列与等比数列
一、多选题
1．（2020·广东月考）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】AD
【解析】
【分析】
利用等比数列，得数列为等差数列，用等差数列的性质得出和的大小关系
【详解】
解：因为等比数列的公比为，由得，所以数列为等差数列，公差为，
由于，，则且，得，，
由 ，得，，
若，则，而，则，则，，此时 不成立，所以，所以，所以A正确；
由，，得，又因为，所以数列为递减数列，从第10项开始小于零，故前9项和最大，即可的最大值为，所以D正确，
因为，所以，所以B不正确，
因为，，所以数列各项均为正数，所以没有最大值，所以C不正确，
故选：AD
【点睛】
此题考查等差数列与等比数列的性质和前项和公式的应用，属于中档题
2．（2020·江苏启东中学开学考试）在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．数列是公差为2的等差数列
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由，，，，公比为整数，解得，，可得，，进而判断出结论.
【详解】
∵，且公比为整数，
∴，，
∴，或（舍去）故A正确，
，∴，故C正确；
∴，故数列是等比数列，故B正确；
而，故数列是公差为lg2的等差数列，故D错误．
故选：ABC.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式和前项和公式以及综合运用，属于中档题．
3．（2020·全国高三其他）设首项为1的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等比数列
B．数列的通项公式为
C．数列为等比数列
D．数列的前项和为
【答案】AD
【解析】
【分析】
由已知可得，结合等比数列的定义可判断A；可得，结合和的关系可求出的通项公式，即可判断B；由可判断C；
由分组求和法结合等比数列和等差数列的前项和公式即可判断D.
【详解】
因为，所以．
又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确；
所以，则．
当时，，但，故B错误；
由可得，即，故C错；
因为，所以
所以数列的前项和为，故D正确．
故选:AD．
【点睛】
本题考查等比数列的定义，考查了数列通项公式的求解，考查了等差数列、等比数列的前项和，考查了分组求和．
4．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）已知等差数列的首项为1，公差，前n项和为，则下列结论成立的有( )
A．数列的前10项和为100
B．若成等比数列，则
C．若，则n的最小值为6
D．若，则的最小值为
【答案】AB
【解析】
【分析】
由已知可得:,,,则数列为等差数列通过公式即可求得前10项和;通过等比中项可验证B选项;因为 ,通过裂项求和可求得;由等差的性质可知利用基本不等式可验证选项D错误.
【详解】
由已知可得:,,
,则数列为等差数列,则前10项和为.所以A正确;
成等比数列,则,即,解得故B正确;
因为所以,解得,故的最小值为7,故选项C错误;等差的性质可知,所以,当且仅当时,即时取等号,因为,所以不成立,故选项D错误.
故选:AB.
【点睛】
本题考查等差数列的性质,考查裂项求和,等比中项,和基本不等式求最值,难度一般.
5．（2020·山东潍坊·高三零模）将n2个数排成n行n列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中m＞0）.已知a11＝2，a13＝a61+1，记这n2个数的和为S.下列结论正确的有（ ）
A．m＝3 B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据第一列成等差，第一行成等比可求出，列式即可求出，从而求出通项，
再按照分组求和法，每一行求和可得S，由此可以判断各选项的真假．
【详解】
∵a11＝2，a13＝a61+1，∴2m2＝2+5m+1，解得m＝3或m（舍去），
∴aij＝ai1•3j﹣1＝[2+（i﹣1）×m]•3j﹣1＝（3i﹣1）•3j﹣1，
∴a67＝17×36，
∴S＝(a11+a12+a13+……+a1n)+(a21+a22+a23+……+a2n)+……+(an1＋an2＋an3＋……＋ann)
（3n﹣1）•
n（3n+1）（3n﹣1）
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查等差数列，等比数列的通项公式的求法，分组求和法，等差数列，等比数列前项和公式的应用，属于中档题．
6．（2019·皇姑·辽宁实验中学高二期中）已知数列为等差数列，，且，，是一个等比数列中的相邻三项，记，则的前项和可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
设等差数列的公差为,根据,,是一个等比数列中的相邻三项求得或1,再分情况求解的前项和即可.
【详解】
设等差数列的公差为,又,且,,是一个等比数列中的相邻三项
,即,化简得：,所以或1,
故或,所以或,设的前项和为,
①当时,；
②当时,
（1）,
（2）,
（1）（2）得：,
所以,
故选：BD
【点睛】
本题主要考查了等差等比数列的综合运用与数列求和的问题,需要根据题意求得等差数列的公差与首项的关系,再分情况进行求和.属于中等题型.
7．（2020·山东潍坊·高三期末）已知等比数列{an}的公比，等差数列{bn}的首项b1＝12，若a9＞b9且a10＞b10，则以下结论正确的有（ ）
A．a9•a10＜0 B．a9＞a10 C．b10＞0 D．b9＞b10
【答案】AD
【解析】
【分析】
设等差数列的公差为d，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A正确，B与C不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D正确．
【详解】
数列{an}是公比q为的等比数列，{bn}是首项为12，公差设为d的等差数列，
则，，
∴a9•a100，故A正确；
∵a1正负不确定，故B错误；
∵a10正负不确定，∴由a10＞b10，不能求得b10的符号，故C错误；
由a9＞b9且a10＞b10，则a1（）8＞12+8d，a1（）9＞12+9d，
由于异号，因此或
故 或，且b1＝12
可得等差数列{bn}一定是递减数列，即d＜0，
即有a9＞b9＞b10，故D正确．
故选：AD
【点睛】
本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了等比数列的通项公式、求和公式和等差数列的单调性，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
8．（2020·山东淄博·高二期末）在递增的等比数列中，是数列的前项和，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．数列是公差为的等差数列
【答案】BC
【解析】
【分析】
先设等比数列的公比为，根据题中条件求出，再由等比数列的通项公式，与求和公式，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
设等比数列的公比为，
因为，所以，解得：或，
因为递增，所以，因此，故A错；
所以，
因此，，
所以，，所以数列是等比数列；故BC正确
又，因此数列是公差为的等差数列，故D错；
故选：BC.
【点睛】
本题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟记通项公式与求和公式即可，属于常考题型.
9．（2019·山东罗庄·高二期中）已知各项均为正项的等比数列,，,其前和为,下列说明正确的是（ ）
A．数列为等差数列
B．若,则
C．
D．记,则数列有最大值.
【答案】ABD
【解析】
【分析】
结合题意可直接判断数列是递减数列，A项结合对数性质即可判断；B项表示出通项再化简，根据对应关系求解；C项进行基本运算再判断；D项先表示出，再结合函数性质判断
【详解】
由题可知，，；
对A，，，，A对；
对B，，又，则；B对；
对C，，
，，
明显，C错误；
对D，，由于数列，，故数列为单调递减数列，总存在从某一项开始使得，故有最大值，故D正确；
故选：ABD
【点睛】
本题考查等比数列的基本性质，前项和公式的应用，正向等比递减数列的判断，属于中档题
10．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（ ）
A．若数列的前项和，，为常数）则数列为等差数列
B．若数列的前项和，则数列为等差数列
C．数列是等差数列，为前项和，则，，，仍为等差数列
D．数列是等比数列，为前项和，则，，，仍为等比数列；
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据题意，结合等差、等比数列的性质依次分析选项，综合即可得的答案.
【详解】
根据题意，依次分析选项：
对于，若数列的前项和，
若，由等差数列的性质可得数列为等差数列，
若，则数列从第二项起为等差数列，故不正确；
对于，若数列的前项和，
可得，，，
则，，成等比数列，则数列不为等差数列，故不正确；
对于，数列是等差数列，为前项和，则，，，，即为，，，，
即为为常数，仍为等差数列，
故正确；
对于，数列是等比数列，为前项和，则，，，不一定为等比数列，
比如公比，为偶数，，，，，均为0，不为等比数列.故不正确.
故选：.
【点睛】
本题考查等差、等比数列性质的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
11．已知数列{an}为等差数列，首项为1，公差为2，数列{bn}为等比数列，首项为1，公比为2，设，Tn为数列{cn}的前n项和，则当Tn＜2019时，n的取值可以是下面选项中的（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】AB
【解析】
【分析】
由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列{cn}的通项公式，利用数列的分组求和法可得数列{cn}的前n项和Tn，验证得答案．
【详解】
由题意，an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，，
2•2n﹣1﹣1＝2n﹣1，则数列{cn}为递增数列，
其前n项和Tn＝（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n﹣1）
＝（21+22+…+2n）﹣n2n+1﹣2﹣n．
当n＝9时，Tn＝1013＜2019；
当n＝10时，Tn＝2036＞2019．
∴n的取值可以是8，9．
故选：AB
【点睛】
本题考查了分组求和，考查了等差等比数列的通项公式、求和公式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
二、单选题
12．（2017·马山县教师进修学校（马山县金伦中学）期末（文））已知数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意得， ，则 ，即 ，故选A.
13．（2020·宁夏吴忠中学期末（文））在公差不为零的等差数列中，，，依次成等比数列，前7项和为35，则数列的通项等于（ ）
A．n B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等差数列以及等比数列的性质求出首项和公差，从而求出通项公式.
【详解】
由题意得，等差数列中，，，依次成等比数列，
故，
则，
故，①
又数列7项和为35，
则，②，
联立①②解得：，，
故，
故选：B.
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的性质，公式，重点考查计算能力，属于基础题型.
14．（2020·汨罗市第二中学开学考试）对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则（ ）
A．2022 B．1011 C．2020 D．1010
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，根据，得到，进而求得，作差即可求解.
【详解】
由，
得， ①
， ②
①-②得，即，，
所以.故选B.
【点睛】
本题主要考查了数列的新定义的应用，以及数列知识的综合应用，其中解答中根据新定义，化简得，进而得 ，新作差化简、运算是解答的关键，同时此类问题需要认真审题，合理利用新定义是解答此类问题的基础，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
15．（2020·安徽宣城·高一期末（文））在正项等比数列中，若依次成等差数列，则的公比为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由等差中项的性质可得，又为等比数列，所以，化简整理可求出q的值．
【详解】
由题意知，又为正项等比数列，所以，且，所以，
所以或（舍），故选A
【点睛】
本题考查等差数列与等比数列的综合应用，熟练掌握等差中项的性质，及等比数列的通项公式是解题的关键，属基础题．
16．（2020·阜阳市第二中学期末）已知等差数列的公差为2，若成等比数列，是的前项和，则等于（ ）
A． B． C．10 D．0
【答案】D
【解析】
【分析】
由a1，a3，a4成等比数列，可得=a1a4，再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
【详解】
∵a1，a3，a4成等比数列，∴=a1a4，
∴=a1•（a1+3×2），
化为2a1=-16，
解得a1=-8．
∴则S9=-8×9+ ×2=0，
故选D．
【点睛】
本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．（2020·昆明市官渡区第一中学开学考试（文））已知等比数列中，若，且成等差数列，则（ ）
A．2 B．2或32 C．2或-32 D．-1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等差数列与等比数列的通项公式及性质，列出方程可得q的值，可得的值.
【详解】
解：设等比数列的公比为q（），
成等差数列，
，，
，解得：，
，，
故选B.
【点睛】
本题主要考查等差数列和等比数列的定义及性质，熟悉其性质是解题的关键.
18．（2020·湖南月考）我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家），设表示数列的前项之和，则使不等式成立的最大正整数的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据题意求得的通项公式,再求得即可值需利用裂项相消的求和方法,再求解不等式即可.
【详解】
,,
而
,,即,即,
故选A
【点睛】
本题主要考查了等比数列的求和以及裂项相消的方法与数列中的不等式等内容,属于中等题型.
19．（2020·河北运河·沧州市一中月考）已知为等差数列，为等比数列，其公比且，若，，则（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】A
【解析】
【分析】
由基本不等式可得，由等号取不到可得答案.
【详解】
由题意可得四个正数满足，，
由等差数列和等比数列的性质可得，，
由基本不等式可得，
又公比，故，上式取不到等号，
，即.
故选：A.
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的性质，涉及基本不等式的应用，属基础题.
20．（2020·上海浦东新·月考）已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等差数列列式求得公比，再代入所求式,解得结果.
【详解】
因为，，成等差数列，所以
设公比为
从而
故选：B
【点睛】
本题考查等比数列与等差数列综合，考查基本分析求解能力，属基础题.
21．（2020·四川利州·期中）已知，，，成等差数列，，，，，成等比数列，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【解析】
依题意可知,所以.
22．（2020·武汉市钢城第四中学月考）已知等差数列的公差为，且、、成等比数列，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答.
【详解】
由成等比数列得，即，
已知，解得.
故选：C.
【点睛】
本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算.
23．（2020·合肥市第六中学期末）等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的公比等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
依题意有，从而得出，由此即可求出公比.
【详解】
因为，，成等差数列，所以，
，
，.
故选：C.
【点睛】
本题考查等比数列基本量的计算，考查等差中项，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
24．（2020·武汉市第三中学月考）已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
易得，于是根据已知条件求等比数列的公比即可.
【详解】
设公比为.由，，成等差数列，可得，
所以，则，解(舍去)或.
所以.故选A.
【点睛】
本题考查等比数列、等差数列的基本问题.在等比数列和等差数列中，首项和公比(公差)是最基本的两个量，一般需要设出并求解.
25．（2020·安徽宣城·期中）已知数列是1为首项，2为公差的等差数列，是1为首项，2为公比的等比数列，设，，，则当时，的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．24
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意计算，，，解不等式得到答案.
【详解】
∵是以1为首项，2为公差的等差数列，∴,
∵是以1为首项，2为公比的等比数列，∴,
∴
，
∵，∴，解得，
则当时，的最大值是9.
故选：A.
【点睛】
本题考查了等差数列，等比数列，分组求和法，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.
26．（2020·黑龙江尖山·双鸭山一中期末（文））已知等比数列中，若成等差数列，则公比（ ）
A． B．或 C．3 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
用等比数列的通项公式和等差中项公式求解.
【详解】
因为成等差数列，
所以，即，
化简得，解得或.
故选B.
【点睛】
本题考查等比数列与等差数列的综合运用.
27．（2020·上海杨浦·复旦附中期末）设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：因为是等差数列，则，又由于为递减数列，所以，故选C.
考点：1.等差数列的概念；2.递减数列.
28．（2020·安徽期末（文））已知数列的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且，，，，则（ ）
A．16 B．19 C．20 D．23
【答案】C
【解析】
【分析】
设正项数列的奇数项依次成公差为的等差数列，偶数项依次成公比为的等比数列，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求和．
【详解】
设正项数列的奇数项依次成公差为的等差数列，偶数项依次成公比为的等比数列， 由题，，，，
所以可得， 解得，
故.
故选：C．
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查方程思想和运算能力，属于常考题．
29．（2020·山西运城·月考）已知是公差为2的等差数列，为的前项和．若，，成等比数列，则（ ）
A． B．42 C．49 D．7
【答案】B
【解析】
【分析】
由，，成等比数列，可得，再利用等差数列的通项公式化简可得，再利用等差数列前项和公式即可得.
【详解】
因为，，成等比数列，
所以，
又是公差为2的等差数列，
所以
即，
即 ，可得： ，
所以 ，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了等比中项的性质，等差数列的通项公式和前项和公式，属于基础题.
30．（2020·荆门市龙泉中学其他（理））已知正项等比数列的首项，前项和为，且，，成等差数列，则（ ）
A．8 B． C．16 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由，，成等差数列可得，即，然后解出，最后计算即可.
【详解】
设等比数列的公比为，因为，，成等差数列，
所以，所以，
所以，即，解得或，
因为，所以，所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查的是等差等比数列的基本运算，考查了学生的计算能力，属于常考题.
31．（2020·广东期末）已知等差数列的前n项和为，且，数列为等比数列，且，则（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
由等差数列的性质及前n项和公式可得，再由等比数列的性质可得，即可得解.
【详解】
因为数列为等差数列，
所以，所以，
所以，
又数列为等比数列，所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
32．（2020·全国专题练习）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前55项和为( )
A．4072 B．2026 C．4096 D．2048
【答案】A
【解析】
【分析】
利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．
【详解】
解：由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，
则杨辉三角形的前n项和为Sn2n﹣1，
若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，
则Tn，
可得当n＝10，所有项的个数和为55，
则杨辉三角形的前12项的和为S12＝212﹣1，
则此数列前55项的和为S12﹣23＝4072，
故选A．
【点睛】
本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
33．（2020·贵州六盘水·高三其他（理））等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】
因为等差数列中，，所以，有， 所以当时前项和取最小值.故选C.
34．（2020·武威第六中学高三其他（理））已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列.令，则数列的前50项和（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据，，成等比数列结合公差为2，求得，得到，再利用裂项相消法求解.
【详解】
因为，，，
由题意得，
解得，
所以，
则，
则.
故选：D
【点睛】
本题主要考查等差数列的基本运算以及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
第II卷（非选择题）
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三、解答题
35．（2020·永寿县中学开学考试（文））已知是各项均为正数的等比数列，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)本题首先可以根据数列是等比数列将转化为，转化为，再然后将其带入中，并根据数列是各项均为正数以及即可通过运算得出结果；
(2)本题可以通过数列的通项公式以及对数的相关性质计算出数列的通项公式，再通过数列的通项公式得知数列是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果．
【详解】
(1)因为数列是各项均为正数的等比数列，，，
所以令数列的公比为，，，
所以，解得(舍去)或，
所以数列是首项为、公比为的等比数列，．
(2)因为，所以，，，
所以数列是首项为、公差为的等差数列，．
【点睛】
本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题．
36．（2020·柴河林业局第一中学月考）已知等差数列满足，，又数列中，且（）.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列，的前n项和分别是，，且.求数列的前n项和.
（3）若（，且）对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；；（2）（）；（3）或.
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的公差为d，则由题意得，求出，从而可得数列的通项，由可得，从而可得数列是以为首项，公比为3的等比数列，进而可求出其通项；
（2）由（1）可求得，然后利用错位相减法求和即可；
（3）由，可得当时，取最小值，，从而转化为，解不等式可得答案
【详解】
（1）设等差数列的公差为d，则有，解得.
∴（），
∵，∴（）.
∴数列是以为首项，公比为3的等比数列
∴（）.
（2）由（1）可得，.
∴.∴
∴，……①
……②
①－②得，
∴（）
（3）.
∴（）
∴当时，取最小值，，
∴，
即，当时，恒成立：
当时，由.解得，∴.
即实数m的取值范围是或.
【点睛】
此题考查等差数列和等比数列的基本量计算，考查错位相减法求和，考查数列的单调性的应用，考查计算能力，属于中档题
37．（2020·江苏扬中市第二高级中学开学考试）已知数列满足，.
（1）若.
①设，求证：数列是等比数列；
②若数列的前项和满足，求实数的最小值；
（2）若数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，且，，求数列的通项公式.
【答案】（1）①见解析②的最小值为6.（2），.
【解析】
【分析】
（1）①由已知可得，又，再利用等比数列的定义即可；②利用累计法可得是以6为首项，为公比的等比数列，再用公式法求得即可；
（2）设奇数项所成等差数列的公差为，偶数项所成等差数列的公差为，对n分n为奇数和偶数进行讨论，结合，可得，进一步得到数列的通项公式.
【详解】
（1）①因为，且，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
②由①知，，
所以
，
则，所以是以6为首项，为公比的等比数列，
所以.
当时，有最大值6，所以实数的最小值为6.
（2）设奇数项所成等差数列的公差为，偶数项所成等差数列的公差为
①当为奇数时， ，，
则，即，
所以，故.
②当为偶数时，，，
则，即，
所以，故.
综上可得，.
又，所以.
所以当为奇数时，；
当为偶数时，.
故数列的通项公式为，.
【点睛】
本题考查等差、等比数列的综合应用，涉及到构造法证明数列是等比数列、累加法求数列的通项、等比数列的求和公式、分类讨论求等差数列的通项，考查学生的数学运算求解能力，是一道有一定难度的题.
38．（2020·江苏苏州·其他）对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为数列.
（1）若的前项和，试判断是否是数列，并说明理由；
（2）设数列是首项为、公差为的等差数列，若该数列是数列，求的取值范围；
（3）设无穷数列是首项为、公比为的等比数列，有穷数列，是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为，，求是数列时与所满足的条件，并证明命题“若且，则不是数列”.
【答案】（1）是，理由见解析；（2）；（3）当是数列时，与满足的条件为或，证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)由数列定义知，仅需验证当时，恒成立即可；
(2)写出，的表达式，则对满足的任意都成立，则将此问题转化为不等式恒成立的问题，然后据此去求解的范围；
(3)根据数列是数列，可以得到，所以需要分，和，去讨论，和(2)相似，还是去求解使得的取值范围，仍然是将其转化为不等式的恒成立问题，然后在不同的情况下求出对应的的取值范围即可.在证明命题“若且，则不是数列”时，考虑使用反证法：先排除掉数列的项都在数列中、数列的项都在数列中的情况.若数列至少有一项不在数列中，且数列至少有以一项不在数列中,先去掉其公共项得到数列，，设数列的最大项为，且数列的最大项比数列的最大项大，然后根据数列是数列的性质,得到,从而推出矛盾，进而所求证得证.
【详解】
(1)∵，
∴，
当时，，
故，
那么当时，，符合题意，
故数列是数列；
(2)由题意知，该数列的前项和为，，
由数列是数列，可知，故公差，
对满足的任意都成立，则，解得，
故的取值范围为；
(3)①若是数列，则，
若，则，又由对一切正整数都成立，可知，即对一切正整数都成立，
由，，故，可得；
若，则，又由对一切正整数都成立，可知，即对一切正整数都成立，
又当时，当时不成立，
故有或，解得，
∴当是数列时，与满足的条件为或；
②假设是数列，则由①可知，，，且中每一项均为正数，
若中的每一项都在中，则由这两数列是不同数列，可知；
若中的每一项都在中，同理可得；
若中至少有一项不在中且中至少有一项不在中，
设，是将，中的公共项去掉之和剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为，，
不妨设，中最大的项在中，设为，
则，故，故总有与矛盾，故假设错误，原命题正确.
【点睛】
本题考查不等关系、不等式的恒成立及数列的综合知识，属于创新题，同时也是难题.
39．（2020·安徽宣城·期末（文））已知等差数列满足，，数列的前项和为满足.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）若，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据题设条件，列出方程组求得的值，即可得到得出数列的通项公式，再利用数列的递推关系，得到数列是首项为1，公比为2的等比数列，即可求出数列的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，利用乘公比错位相减法，即可求解．
【详解】
（Ⅰ）设等差数列的公差为，
因为，，可得，解得，
所以，
对于数列，当时，，解得.
当时，，，
两式相减，得，即，
所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得.
令，
当时，.
当时，，
则.
两式相减，得
，
得，而时也符合该式，所以，
故题中不等式可化为.（*），
当时，不等式（*）可化为，解得；
当时，不等式（*）可化为，此时；
当时，不等式（*）可化为，因为数列是递增数列，所以，
综上，实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.
40．（2020·广东濠江·金山中学月考）已知等差数列和等比数列的各项均为整数，它们的前项和分别为，且，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求；
（3）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在，1.
【解析】
【分析】
（1）利用基本量法直接计算即可；
（2）利用错位相减法计算；
（3），令可得，，讨论即可.
【详解】
（1）设数列的公差为，数列的公比为，
因为，
所以，即，解得，或（舍去）.
所以.
（2），
，
所以，
所以.
（3）由（1）可得，，
所以.
因为是数列或中的一项，所以，
所以，因为，
所以，又，则或.
当时，有，即，令.
则.
当时，；当时，，
即.
由，知无整数解.
当时,有，即存在使得是数列中的第2项，
故存在正整数，使得是数列中的项.
【点睛】
本题考查数列的综合应用，涉及到等差、等比数列的通项，错位相减法求数列的前n项和，数列中的存在性问题，是一道较为综合的题.
41．（2019·绥德中学月考）已知数列的前n项和为，且，递增的等比数列满足：．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
【答案】（1），，（2）．
【解析】
试题分析：（1）当时，；，故
由已知求出且，故．
（2）由（1）得
两式相减得
试题解析：（1）当时，
，所以
，方程的两根，
，所以解得
（2），则
将两式相减得：
所以.
考点：已知数列前n项和为求数列通向公式错位相减法求数列前n项和．
42．（2020·合肥市第六中学期末）已知数列满足，.
（Ⅰ）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足.
①求证：；
②求证:.
【答案】（Ⅰ）证明见解析，；（Ⅱ）①证明见解析；②证明见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题设条件，化简得，再结合等差数列的定义，即可求解；
（Ⅱ）①由，得到，两式相减，即可求解；②由①化简得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】
（Ⅰ）由题意，数列满足，可得，
所以，
又由，公差，
所以数列是首项为-4，公差为-1的等差数列，
所以，即.
（Ⅱ）①因为，
所以，
两式相减，得：，
所以，
②由①可得
.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的定义及通项公式，以及数列的求和的综合应用，其中解答中准确化简数列的递推关系式，合理利用等差数列的定义，以及利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
43．（2020·上海市实验学校期末）对于任意，若数列满足，则称这个数列为“K数列”.
（1）已知数列：，，是“K数列”，求实数的取值范围；
（2）设等差数列的前项和为，当首项与公差满足什么条件时，数列是“K数列”？
（3）设数列的前项和为，，且，. 设，是否存在实数，使得数列为“K数列”. 若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)或；(2) 且；(3) .
【解析】
【分析】
【详解】
（1）由题意可得.
（2），
数列是“K数列”；
∴对恒成立
∴且
（3）∵
∴
∴
∵也成立
∴
∴
∴数列是公比为的等比数列
∵
∴
∴
由题意得：，即.
当为偶数时，恒成立，；
当为奇数时，恒成立，.
综上，.
44．（2020·襄阳市第一中学月考）在公差不为0等差数列中，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1），（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知得，，解方程组可求出，从而可求出通项公式；
（2）由（1）可得，然后利用分组求和求解即可
【详解】
解：（1）设等差数列的公差为，
因为，所以，得，
因为，，成等比数列，所以，
所以，
将代入上式化简得，，
因为，所以，得，
所以，
（2）由（1）得，
所以，
【点睛】
此题考查等差数列的基本量计算，考查分组求和法，考查计算能力，属于基础题
45．（2020·江苏高三其他）对数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an＝an+1﹣an（n∈N*），规定{△2an}为{an}的二阶差分数列，其中△2an＝△an+1﹣△an（n∈N*）.
（1）数列{an}的通项公式（n∈N*），试判断{△an}，{△2an}是否为等差数列，请说明理由？
（2）数列{bn}是公比为q的正项等比数列，且q≥2，对于任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得△2bn＝bm，求q所有可能的取值构成的集合；
（3）各项均为正数的数列{cn}的前n项和为Sn，且△2cn＝0，对满足m+n＝2k，m≠n的任意正整数m、n、k，都有cm≠cn，且不等式Sm+Sn＞tSk恒成立，求实数t的最大值.
【答案】（1）是，是；理由见解析；（2），；（3）2.
【解析】
【分析】
（1）推导出，从而△△，由此得到△是首项为3，公差为2的等差数列，由△△△，得到△是首项为2，公差为0的等差数列．
（2）推导出，，，根据，，，进行分类讨论，能求出所有可能的取值构成的集合．
（3）推导出，从而是等差数列，设的公差为，则，由等差数列前项和公式可得，从而，推导出，则当时，不等式都成立；当时，令，，，，则，，进而得到，由此推导出的最大值为2
【详解】
（1），，
△△，
△，△是首项为3，公差为2的等差数列，
△△△，
△是首项为2，公差为0的等差数列．
（2）数列是公比为的正项等比数列，，
△△△，
且对任意的，都存在，使得，
，，，
．若，则，解得（舍，或，
即当时，对任意的，都有△．
．若，则，解得（舍，或，
即当时，对任意的，都有△．
．若，则，
对任意的，不存在，使得△．
综上所述，所有可能的取值构成的集合为，．
（3）△，△△△，
，是等差数列，
设的公差为，则，
，，
，当时，，
与数列的各项均为正数矛盾，故，
由等差数列前项和公式可得，
，
，
，，
，
则当时，不等式都成立，
另一方面，当时，令，，，，
则，
，
则，
，
，，当时，，
即，
综上，的最大值为2．
【点睛】
本题考查等差数列的判断，考查实数的取值范围、实数的最大值求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
四、填空题
46．（2020·昆明市官渡区第一中学期末（文））已知数列的前项和为（），且满足，若对恒成立，则首项的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
因为，所以，
两式作差得，所以，
两式再作差得，可得数列的偶数项是以4为公差的等差数列，从起奇数项也是以4为公差的等差数列.
若对恒成立，当且仅当.
又，，
所以，解得：.
即首项的取值范围是.
47．（2020·滨海县八滩中学二模）已知等比数列的前n和为，若成等差数列，且，，则的值为_______________．
【答案】107
【解析】
【分析】
根据等比数列和等差数列的通项公式，根据题意列方程可得，从而求出或，再根据，确定，进而求出，代入记得：.
【详解】
由题意可设等比数列的公比为，首项为，
由成等差数列可得：
，代入可得：
，解得：或，
又因为，易知，
又因为，
，
所以，
，
故答案为：107.
【点睛】
本题考查了等差中项和等比数列的通项公式，考查了和的关系，同时考查了计算能力，属于中档题.
48．（2020·四川利州·期中）已知公比为整数的等比数列的前项和为，且，，若，则数列的前项和为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据条件先计算出，，然后得到，再利用裂项求和法得到答案.
【详解】
公比为整数的等比数列的前项和为
，
解得或（舍去）
，
前100项和为
故答案为
【点睛】
本题考查了数列的通项公式，前n项和，综合性强，意在考查学生对于数列的方法的灵活运用.
49．（2020·邵东县第十中学其他（理））已知各项均不相等的数列为等差数列，且，，恰为等比数列的前三项.若，则__________.
【答案】94.
【解析】
【分析】
根据等差数列等比数列公式计算，，代入等式计算得到答案.
【详解】
，，恰为等比数列的前三项，故，，解得.
，故，，
，即，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了等差数列，等比数列综合应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
专题十一 等差数列与等比数列
一、多选题
1．（2020·广东月考）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】AD
【解析】
【分析】
利用等比数列，得数列为等差数列，用等差数列的性质得出和的大小关系
【详解】
解：因为等比数列的公比为，由得，所以数列为等差数列，公差为，
由于，，则且，得，，
由 ，得，，
若，则，而，则，则，，此时 不成立，所以，所以，所以A正确；
由，，得，又因为，所以数列为递减数列，从第10项开始小于零，故前9项和最大，即可的最大值为，所以D正确，
因为，所以，所以B不正确，
因为，，所以数列各项均为正数，所以没有最大值，所以C不正确，
故选：AD
【点睛】
此题考查等差数列与等比数列的性质和前项和公式的应用，属于中档题
2．（2020·江苏启东中学开学考试）在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．数列是公差为2的等差数列
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由，，，，公比为整数，解得，，可得，，进而判断出结论.
【详解】
∵，且公比为整数，
∴，，
∴，或（舍去）故A正确，
，∴，故C正确；
∴，故数列是等比数列，故B正确；
而，故数列是公差为lg2的等差数列，故D错误．
故选：ABC.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式和前项和公式以及综合运用，属于中档题．
3．（2020·全国高三其他）设首项为1的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等比数列
B．数列的通项公式为
C．数列为等比数列
D．数列的前项和为
【答案】AD
【解析】
【分析】
由已知可得，结合等比数列的定义可判断A；可得，结合和的关系可求出的通项公式，即可判断B；由可判断C；
由分组求和法结合等比数列和等差数列的前项和公式即可判断D.
【详解】
因为，所以．
又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确；
所以，则．
当时，，但，故B错误；
由可得，即，故C错；
因为，所以
所以数列的前项和为，故D正确．
故选:AD．
【点睛】
本题考查等比数列的定义，考查了数列通项公式的求解，考查了等差数列、等比数列的前项和，考查了分组求和．
4．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）已知等差数列的首项为1，公差，前n项和为，则下列结论成立的有( )
A．数列的前10项和为100
B．若成等比数列，则
C．若，则n的最小值为6
D．若，则的最小值为
【答案】AB
【解析】
【分析】
由已知可得:,,,则数列为等差数列通过公式即可求得前10项和;通过等比中项可验证B选项;因为 ,通过裂项求和可求得;由等差的性质可知利用基本不等式可验证选项D错误.
【详解】
由已知可得:,,
,则数列为等差数列,则前10项和为.所以A正确;
成等比数列,则,即,解得故B正确;
因为所以,解得,故的最小值为7,故选项C错误;等差的性质可知,所以,当且仅当时,即时取等号,因为,所以不成立,故选项D错误.
故选:AB.
【点睛】
本题考查等差数列的性质,考查裂项求和,等比中项,和基本不等式求最值,难度一般.
5．（2020·山东潍坊·高三零模）将n2个数排成n行n列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中m＞0）.已知a11＝2，a13＝a61+1，记这n2个数的和为S.下列结论正确的有（ ）
A．m＝3 B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据第一列成等差，第一行成等比可求出，列式即可求出，从而求出通项，
再按照分组求和法，每一行求和可得S，由此可以判断各选项的真假．
【详解】
∵a11＝2，a13＝a61+1，∴2m2＝2+5m+1，解得m＝3或m（舍去），
∴aij＝ai1•3j﹣1＝[2+（i﹣1）×m]•3j﹣1＝（3i﹣1）•3j﹣1，
∴a67＝17×36，
∴S＝(a11+a12+a13+……+a1n)+(a21+a22+a23+……+a2n)+……+(an1＋an2＋an3＋……＋ann)
（3n﹣1）•
n（3n+1）（3n﹣1）
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查等差数列，等比数列的通项公式的求法，分组求和法，等差数列，等比数列前项和公式的应用，属于中档题．
6．（2019·皇姑·辽宁实验中学高二期中）已知数列为等差数列，，且，，是一个等比数列中的相邻三项，记，则的前项和可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
设等差数列的公差为,根据,,是一个等比数列中的相邻三项求得或1,再分情况求解的前项和即可.
【详解】
设等差数列的公差为,又,且,,是一个等比数列中的相邻三项
,即,化简得：,所以或1,
故或,所以或,设的前项和为,
①当时,；
②当时,
（1）,
（2）,
（1）（2）得：,
所以,
故选：BD
【点睛】
本题主要考查了等差等比数列的综合运用与数列求和的问题,需要根据题意求得等差数列的公差与首项的关系,再分情况进行求和.属于中等题型.
7．（2020·山东潍坊·高三期末）已知等比数列{an}的公比，等差数列{bn}的首项b1＝12，若a9＞b9且a10＞b10，则以下结论正确的有（ ）
A．a9•a10＜0 B．a9＞a10 C．b10＞0 D．b9＞b10
【答案】AD
【解析】
【分析】
设等差数列的公差为d，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A正确，B与C不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D正确．
【详解】
数列{an}是公比q为的等比数列，{bn}是首项为12，公差设为d的等差数列，
则，，
∴a9•a100，故A正确；
∵a1正负不确定，故B错误；
∵a10正负不确定，∴由a10＞b10，不能求得b10的符号，故C错误；
由a9＞b9且a10＞b10，则a1（）8＞12+8d，a1（）9＞12+9d，
由于异号，因此或
故 或，且b1＝12
可得等差数列{bn}一定是递减数列，即d＜0，
即有a9＞b9＞b10，故D正确．
故选：AD
【点睛】
本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了等比数列的通项公式、求和公式和等差数列的单调性，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
8．（2020·山东淄博·高二期末）在递增的等比数列中，是数列的前项和，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．数列是公差为的等差数列
【答案】BC
【解析】
【分析】
先设等比数列的公比为，根据题中条件求出，再由等比数列的通项公式，与求和公式，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
设等比数列的公比为，
因为，所以，解得：或，
因为递增，所以，因此，故A错；
所以，
因此，，
所以，，所以数列是等比数列；故BC正确
又，因此数列是公差为的等差数列，故D错；
故选：BC.
【点睛】
本题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟记通项公式与求和公式即可，属于常考题型.
9．（2019·山东罗庄·高二期中）已知各项均为正项的等比数列,，,其前和为,下列说明正确的是（ ）
A．数列为等差数列
B．若,则
C．
D．记,则数列有最大值.
【答案】ABD
【解析】
【分析】
结合题意可直接判断数列是递减数列，A项结合对数性质即可判断；B项表示出通项再化简，根据对应关系求解；C项进行基本运算再判断；D项先表示出，再结合函数性质判断
【详解】
由题可知，，；
对A，，，，A对；
对B，，又，则；B对；
对C，，
，，
明显，C错误；
对D，，由于数列，，故数列为单调递减数列，总存在从某一项开始使得，故有最大值，故D正确；
故选：ABD
【点睛】
本题考查等比数列的基本性质，前项和公式的应用，正向等比递减数列的判断，属于中档题
10．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（ ）
A．若数列的前项和，，为常数）则数列为等差数列
B．若数列的前项和，则数列为等差数列
C．数列是等差数列，为前项和，则，，，仍为等差数列
D．数列是等比数列，为前项和，则，，，仍为等比数列；
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据题意，结合等差、等比数列的性质依次分析选项，综合即可得的答案.
【详解】
根据题意，依次分析选项：
对于，若数列的前项和，
若，由等差数列的性质可得数列为等差数列，
若，则数列从第二项起为等差数列，故不正确；
对于，若数列的前项和，
可得，，，
则，，成等比数列，则数列不为等差数列，故不正确；
对于，数列是等差数列，为前项和，则，，，，即为，，，，
即为为常数，仍为等差数列，
故正确；
对于，数列是等比数列，为前项和，则，，，不一定为等比数列，
比如公比，为偶数，，，，，均为0，不为等比数列.故不正确.
故选：.
【点睛】
本题考查等差、等比数列性质的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
11．已知数列{an}为等差数列，首项为1，公差为2，数列{bn}为等比数列，首项为1，公比为2，设，Tn为数列{cn}的前n项和，则当Tn＜2019时，n的取值可以是下面选项中的（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】AB
【解析】
【分析】
由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列{cn}的通项公式，利用数列的分组求和法可得数列{cn}的前n项和Tn，验证得答案．
【详解】
由题意，an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，，
2•2n﹣1﹣1＝2n﹣1，则数列{cn}为递增数列，
其前n项和Tn＝（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n﹣1）
＝（21+22+…+2n）﹣n2n+1﹣2﹣n．
当n＝9时，Tn＝1013＜2019；
当n＝10时，Tn＝2036＞2019．
∴n的取值可以是8，9．
故选：AB
【点睛】
本题考查了分组求和，考查了等差等比数列的通项公式、求和公式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
二、单选题
12．（2017·马山县教师进修学校（马山县金伦中学）期末（文））已知数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意得， ，则 ，即 ，故选A.
13．（2020·宁夏吴忠中学期末（文））在公差不为零的等差数列中，，，依次成等比数列，前7项和为35，则数列的通项等于（ ）
A．n B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等差数列以及等比数列的性质求出首项和公差，从而求出通项公式.
【详解】
由题意得，等差数列中，，，依次成等比数列，
故，
则，
故，①
又数列7项和为35，
则，②，
联立①②解得：，，
故，
故选：B.
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的性质，公式，重点考查计算能力，属于基础题型.
14．（2020·汨罗市第二中学开学考试）对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则（ ）
A．2022 B．1011 C．2020 D．1010
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，根据，得到，进而求得，作差即可求解.
【详解】
由，
得， ①
， ②
①-②得，即，，
所以.故选B.
【点睛】
本题主要考查了数列的新定义的应用，以及数列知识的综合应用，其中解答中根据新定义，化简得，进而得 ，新作差化简、运算是解答的关键，同时此类问题需要认真审题，合理利用新定义是解答此类问题的基础，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
15．（2020·安徽宣城·高一期末（文））在正项等比数列中，若依次成等差数列，则的公比为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由等差中项的性质可得，又为等比数列，所以，化简整理可求出q的值．
【详解】
由题意知，又为正项等比数列，所以，且，所以，
所以或（舍），故选A
【点睛】
本题考查等差数列与等比数列的综合应用，熟练掌握等差中项的性质，及等比数列的通项公式是解题的关键，属基础题．
16．（2020·阜阳市第二中学期末）已知等差数列的公差为2，若成等比数列，是的前项和，则等于（ ）
A． B． C．10 D．0
【答案】D
【解析】
【分析】
由a1，a3，a4成等比数列，可得=a1a4，再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
【详解】
∵a1，a3，a4成等比数列，∴=a1a4，
∴=a1•（a1+3×2），
化为2a1=-16，
解得a1=-8．
∴则S9=-8×9+ ×2=0，
故选D．
【点睛】
本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．（2020·昆明市官渡区第一中学开学考试（文））已知等比数列中，若，且成等差数列，则（ ）
A．2 B．2或32 C．2或-32 D．-1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等差数列与等比数列的通项公式及性质，列出方程可得q的值，可得的值.
【详解】
解：设等比数列的公比为q（），
成等差数列，
，，
，解得：，
，，
故选B.
【点睛】
本题主要考查等差数列和等比数列的定义及性质，熟悉其性质是解题的关键.
18．（2020·湖南月考）我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家），设表示数列的前项之和，则使不等式成立的最大正整数的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据题意求得的通项公式,再求得即可值需利用裂项相消的求和方法,再求解不等式即可.
【详解】
,,
而
,,即,即,
故选A
【点睛】
本题主要考查了等比数列的求和以及裂项相消的方法与数列中的不等式等内容,属于中等题型.
19．（2020·河北运河·沧州市一中月考）已知为等差数列，为等比数列，其公比且，若，，则（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】A
【解析】
【分析】
由基本不等式可得，由等号取不到可得答案.
【详解】
由题意可得四个正数满足，，
由等差数列和等比数列的性质可得，，
由基本不等式可得，
又公比，故，上式取不到等号，
，即.
故选：A.
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的性质，涉及基本不等式的应用，属基础题.
20．（2020·上海浦东新·月考）已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等差数列列式求得公比，再代入所求式,解得结果.
【详解】
因为，，成等差数列，所以
设公比为
从而
故选：B
【点睛】
本题考查等比数列与等差数列综合，考查基本分析求解能力，属基础题.
21．（2020·四川利州·期中）已知，，，成等差数列，，，，，成等比数列，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【解析】
依题意可知,所以.
22．（2020·武汉市钢城第四中学月考）已知等差数列的公差为，且、、成等比数列，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答.
【详解】
由成等比数列得，即，
已知，解得.
故选：C.
【点睛】
本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算.
23．（2020·合肥市第六中学期末）等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的公比等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
依题意有，从而得出，由此即可求出公比.
【详解】
因为，，成等差数列，所以，
，
，.
故选：C.
【点睛】
本题考查等比数列基本量的计算，考查等差中项，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
24．（2020·武汉市第三中学月考）已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
易得，于是根据已知条件求等比数列的公比即可.
【详解】
设公比为.由，，成等差数列，可得，
所以，则，解(舍去)或.
所以.故选A.
【点睛】
本题考查等比数列、等差数列的基本问题.在等比数列和等差数列中，首项和公比(公差)是最基本的两个量，一般需要设出并求解.
25．（2020·安徽宣城·期中）已知数列是1为首项，2为公差的等差数列，是1为首项，2为公比的等比数列，设，，，则当时，的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．24
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意计算，，，解不等式得到答案.
【详解】
∵是以1为首项，2为公差的等差数列，∴,
∵是以1为首项，2为公比的等比数列，∴,
∴
，
∵，∴，解得，
则当时，的最大值是9.
故选：A.
【点睛】
本题考查了等差数列，等比数列，分组求和法，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.
26．（2020·黑龙江尖山·双鸭山一中期末（文））已知等比数列中，若成等差数列，则公比（ ）
A． B．或 C．3 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
用等比数列的通项公式和等差中项公式求解.
【详解】
因为成等差数列，
所以，即，
化简得，解得或.
故选B.
【点睛】
本题考查等比数列与等差数列的综合运用.
27．（2020·上海杨浦·复旦附中期末）设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：因为是等差数列，则，又由于为递减数列，所以，故选C.
考点：1.等差数列的概念；2.递减数列.
28．（2020·安徽期末（文））已知数列的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且，，，，则（ ）
A．16 B．19 C．20 D．23
【答案】C
【解析】
【分析】
设正项数列的奇数项依次成公差为的等差数列，偶数项依次成公比为的等比数列，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求和．
【详解】
设正项数列的奇数项依次成公差为的等差数列，偶数项依次成公比为的等比数列， 由题，，，，
所以可得， 解得，
故.
故选：C．
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查方程思想和运算能力，属于常考题．
29．（2020·山西运城·月考）已知是公差为2的等差数列，为的前项和．若，，成等比数列，则（ ）
A． B．42 C．49 D．7
【答案】B
【解析】
【分析】
由，，成等比数列，可得，再利用等差数列的通项公式化简可得，再利用等差数列前项和公式即可得.
【详解】
因为，，成等比数列，
所以，
又是公差为2的等差数列，
所以
即，
即 ，可得： ，
所以 ，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了等比中项的性质，等差数列的通项公式和前项和公式，属于基础题.
30．（2020·荆门市龙泉中学其他（理））已知正项等比数列的首项，前项和为，且，，成等差数列，则（ ）
A．8 B． C．16 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由，，成等差数列可得，即，然后解出，最后计算即可.
【详解】
设等比数列的公比为，因为，，成等差数列，
所以，所以，
所以，即，解得或，
因为，所以，所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查的是等差等比数列的基本运算，考查了学生的计算能力，属于常考题.
31．（2020·广东期末）已知等差数列的前n项和为，且，数列为等比数列，且，则（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
由等差数列的性质及前n项和公式可得，再由等比数列的性质可得，即可得解.
【详解】
因为数列为等差数列，
所以，所以，
所以，
又数列为等比数列，所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
32．（2020·全国专题练习）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前55项和为( )
A．4072 B．2026 C．4096 D．2048
【答案】A
【解析】
【分析】
利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．
【详解】
解：由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，
则杨辉三角形的前n项和为Sn2n﹣1，
若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，
则Tn，
可得当n＝10，所有项的个数和为55，
则杨辉三角形的前12项的和为S12＝212﹣1，
则此数列前55项的和为S12﹣23＝4072，
故选A．
【点睛】
本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
33．（2020·贵州六盘水·高三其他（理））等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】
因为等差数列中，，所以，有， 所以当时前项和取最小值.故选C.
34．（2020·武威第六中学高三其他（理））已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列.令，则数列的前50项和（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据，，成等比数列结合公差为2，求得，得到，再利用裂项相消法求解.
【详解】
因为，，，
由题意得，
解得，
所以，
则，
则.
故选：D
【点睛】
本题主要考查等差数列的基本运算以及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
第II卷（非选择题）
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三、解答题
35．（2020·永寿县中学开学考试（文））已知是各项均为正数的等比数列，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)本题首先可以根据数列是等比数列将转化为，转化为，再然后将其带入中，并根据数列是各项均为正数以及即可通过运算得出结果；
(2)本题可以通过数列的通项公式以及对数的相关性质计算出数列的通项公式，再通过数列的通项公式得知数列是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果．
【详解】
(1)因为数列是各项均为正数的等比数列，，，
所以令数列的公比为，，，
所以，解得(舍去)或，
所以数列是首项为、公比为的等比数列，．
(2)因为，所以，，，
所以数列是首项为、公差为的等差数列，．
【点睛】
本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题．
36．（2020·柴河林业局第一中学月考）已知等差数列满足，，又数列中，且（）.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列，的前n项和分别是，，且.求数列的前n项和.
（3）若（，且）对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；；（2）（）；（3）或.
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的公差为d，则由题意得，求出，从而可得数列的通项，由可得，从而可得数列是以为首项，公比为3的等比数列，进而可求出其通项；
（2）由（1）可求得，然后利用错位相减法求和即可；
（3）由，可得当时，取最小值，，从而转化为，解不等式可得答案
【详解】
（1）设等差数列的公差为d，则有，解得.
∴（），
∵，∴（）.
∴数列是以为首项，公比为3的等比数列
∴（）.
（2）由（1）可得，.
∴.∴
∴，……①
……②
①－②得，
∴（）
（3）.
∴（）
∴当时，取最小值，，
∴，
即，当时，恒成立：
当时，由.解得，∴.
即实数m的取值范围是或.
【点睛】
此题考查等差数列和等比数列的基本量计算，考查错位相减法求和，考查数列的单调性的应用，考查计算能力，属于中档题
37．（2020·江苏扬中市第二高级中学开学考试）已知数列满足，.
（1）若.
①设，求证：数列是等比数列；
②若数列的前项和满足，求实数的最小值；
（2）若数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，且，，求数列的通项公式.
【答案】（1）①见解析②的最小值为6.（2），.
【解析】
【分析】
（1）①由已知可得，又，再利用等比数列的定义即可；②利用累计法可得是以6为首项，为公比的等比数列，再用公式法求得即可；
（2）设奇数项所成等差数列的公差为，偶数项所成等差数列的公差为，对n分n为奇数和偶数进行讨论，结合，可得，进一步得到数列的通项公式.
【详解】
（1）①因为，且，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
②由①知，，
所以
，
则，所以是以6为首项，为公比的等比数列，
所以.
当时，有最大值6，所以实数的最小值为6.
（2）设奇数项所成等差数列的公差为，偶数项所成等差数列的公差为
①当为奇数时， ，，
则，即，
所以，故.
②当为偶数时，，，
则，即，
所以，故.
综上可得，.
又，所以.
所以当为奇数时，；
当为偶数时，.
故数列的通项公式为，.
【点睛】
本题考查等差、等比数列的综合应用，涉及到构造法证明数列是等比数列、累加法求数列的通项、等比数列的求和公式、分类讨论求等差数列的通项，考查学生的数学运算求解能力，是一道有一定难度的题.
38．（2020·江苏苏州·其他）对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为数列.
（1）若的前项和，试判断是否是数列，并说明理由；
（2）设数列是首项为、公差为的等差数列，若该数列是数列，求的取值范围；
（3）设无穷数列是首项为、公比为的等比数列，有穷数列，是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为，，求是数列时与所满足的条件，并证明命题“若且，则不是数列”.
【答案】（1）是，理由见解析；（2）；（3）当是数列时，与满足的条件为或，证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)由数列定义知，仅需验证当时，恒成立即可；
(2)写出，的表达式，则对满足的任意都成立，则将此问题转化为不等式恒成立的问题，然后据此去求解的范围；
(3)根据数列是数列，可以得到，所以需要分，和，去讨论，和(2)相似，还是去求解使得的取值范围，仍然是将其转化为不等式的恒成立问题，然后在不同的情况下求出对应的的取值范围即可.在证明命题“若且，则不是数列”时，考虑使用反证法：先排除掉数列的项都在数列中、数列的项都在数列中的情况.若数列至少有一项不在数列中，且数列至少有以一项不在数列中,先去掉其公共项得到数列，，设数列的最大项为，且数列的最大项比数列的最大项大，然后根据数列是数列的性质,得到,从而推出矛盾，进而所求证得证.
【详解】
(1)∵，
∴，
当时，，
故，
那么当时，，符合题意，
故数列是数列；
(2)由题意知，该数列的前项和为，，
由数列是数列，可知，故公差，
对满足的任意都成立，则，解得，
故的取值范围为；
(3)①若是数列，则，
若，则，又由对一切正整数都成立，可知，即对一切正整数都成立，
由，，故，可得；
若，则，又由对一切正整数都成立，可知，即对一切正整数都成立，
又当时，当时不成立，
故有或，解得，
∴当是数列时，与满足的条件为或；
②假设是数列，则由①可知，，，且中每一项均为正数，
若中的每一项都在中，则由这两数列是不同数列，可知；
若中的每一项都在中，同理可得；
若中至少有一项不在中且中至少有一项不在中，
设，是将，中的公共项去掉之和剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为，，
不妨设，中最大的项在中，设为，
则，故，故总有与矛盾，故假设错误，原命题正确.
【点睛】
本题考查不等关系、不等式的恒成立及数列的综合知识，属于创新题，同时也是难题.
39．（2020·安徽宣城·期末（文））已知等差数列满足，，数列的前项和为满足.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）若，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据题设条件，列出方程组求得的值，即可得到得出数列的通项公式，再利用数列的递推关系，得到数列是首项为1，公比为2的等比数列，即可求出数列的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，利用乘公比错位相减法，即可求解．
【详解】
（Ⅰ）设等差数列的公差为，
因为，，可得，解得，
所以，
对于数列，当时，，解得.
当时，，，
两式相减，得，即，
所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得.
令，
当时，.
当时，，
则.
两式相减，得
，
得，而时也符合该式，所以，
故题中不等式可化为.（*），
当时，不等式（*）可化为，解得；
当时，不等式（*）可化为，此时；
当时，不等式（*）可化为，因为数列是递增数列，所以，
综上，实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.
40．（2020·广东濠江·金山中学月考）已知等差数列和等比数列的各项均为整数，它们的前项和分别为，且，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求；
（3）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在，1.
【解析】
【分析】
（1）利用基本量法直接计算即可；
（2）利用错位相减法计算；
（3），令可得，，讨论即可.
【详解】
（1）设数列的公差为，数列的公比为，
因为，
所以，即，解得，或（舍去）.
所以.
（2），
，
所以，
所以.
（3）由（1）可得，，
所以.
因为是数列或中的一项，所以，
所以，因为，
所以，又，则或.
当时，有，即，令.
则.
当时，；当时，，
即.
由，知无整数解.
当时,有，即存在使得是数列中的第2项，
故存在正整数，使得是数列中的项.
【点睛】
本题考查数列的综合应用，涉及到等差、等比数列的通项，错位相减法求数列的前n项和，数列中的存在性问题，是一道较为综合的题.
41．（2019·绥德中学月考）已知数列的前n项和为，且，递增的等比数列满足：．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
【答案】（1），，（2）．
【解析】
试题分析：（1）当时，；，故
由已知求出且，故．
（2）由（1）得
两式相减得
试题解析：（1）当时，
，所以
，方程的两根，
，所以解得
（2），则
将两式相减得：
所以.
考点：已知数列前n项和为求数列通向公式错位相减法求数列前n项和．
42．（2020·合肥市第六中学期末）已知数列满足，.
（Ⅰ）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足.
①求证：；
②求证:.
【答案】（Ⅰ）证明见解析，；（Ⅱ）①证明见解析；②证明见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题设条件，化简得，再结合等差数列的定义，即可求解；
（Ⅱ）①由，得到，两式相减，即可求解；②由①化简得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】
（Ⅰ）由题意，数列满足，可得，
所以，
又由，公差，
所以数列是首项为-4，公差为-1的等差数列，
所以，即.
（Ⅱ）①因为，
所以，
两式相减，得：，
所以，
②由①可得
.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的定义及通项公式，以及数列的求和的综合应用，其中解答中准确化简数列的递推关系式，合理利用等差数列的定义，以及利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
43．（2020·上海市实验学校期末）对于任意，若数列满足，则称这个数列为“K数列”.
（1）已知数列：，，是“K数列”，求实数的取值范围；
（2）设等差数列的前项和为，当首项与公差满足什么条件时，数列是“K数列”？
（3）设数列的前项和为，，且，. 设，是否存在实数，使得数列为“K数列”. 若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)或；(2) 且；(3) .
【解析】
【分析】
【详解】
（1）由题意可得.
（2），
数列是“K数列”；
∴对恒成立
∴且
（3）∵
∴
∴
∵也成立
∴
∴
∴数列是公比为的等比数列
∵
∴
∴
由题意得：，即.
当为偶数时，恒成立，；
当为奇数时，恒成立，.
综上，.
44．（2020·襄阳市第一中学月考）在公差不为0等差数列中，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1），（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知得，，解方程组可求出，从而可求出通项公式；
（2）由（1）可得，然后利用分组求和求解即可
【详解】
解：（1）设等差数列的公差为，
因为，所以，得，
因为，，成等比数列，所以，
所以，
将代入上式化简得，，
因为，所以，得，
所以，
（2）由（1）得，
所以，
【点睛】
此题考查等差数列的基本量计算，考查分组求和法，考查计算能力，属于基础题
45．（2020·江苏高三其他）对数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an＝an+1﹣an（n∈N*），规定{△2an}为{an}的二阶差分数列，其中△2an＝△an+1﹣△an（n∈N*）.
（1）数列{an}的通项公式（n∈N*），试判断{△an}，{△2an}是否为等差数列，请说明理由？
（2）数列{bn}是公比为q的正项等比数列，且q≥2，对于任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得△2bn＝bm，求q所有可能的取值构成的集合；
（3）各项均为正数的数列{cn}的前n项和为Sn，且△2cn＝0，对满足m+n＝2k，m≠n的任意正整数m、n、k，都有cm≠cn，且不等式Sm+Sn＞tSk恒成立，求实数t的最大值.
【答案】（1）是，是；理由见解析；（2），；（3）2.
【解析】
【分析】
（1）推导出，从而△△，由此得到△是首项为3，公差为2的等差数列，由△△△，得到△是首项为2，公差为0的等差数列．
（2）推导出，，，根据，，，进行分类讨论，能求出所有可能的取值构成的集合．
（3）推导出，从而是等差数列，设的公差为，则，由等差数列前项和公式可得，从而，推导出，则当时，不等式都成立；当时，令，，，，则，，进而得到，由此推导出的最大值为2
【详解】
（1），，
△△，
△，△是首项为3，公差为2的等差数列，
△△△，
△是首项为2，公差为0的等差数列．
（2）数列是公比为的正项等比数列，，
△△△，
且对任意的，都存在，使得，
，，，
．若，则，解得（舍，或，
即当时，对任意的，都有△．
．若，则，解得（舍，或，
即当时，对任意的，都有△．
．若，则，
对任意的，不存在，使得△．
综上所述，所有可能的取值构成的集合为，．
（3）△，△△△，
，是等差数列，
设的公差为，则，
，，
，当时，，
与数列的各项均为正数矛盾，故，
由等差数列前项和公式可得，
，
，
，，
，
则当时，不等式都成立，
另一方面，当时，令，，，，
则，
，
则，
，
，，当时，，
即，
综上，的最大值为2．
【点睛】
本题考查等差数列的判断，考查实数的取值范围、实数的最大值求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
四、填空题
46．（2020·昆明市官渡区第一中学期末（文））已知数列的前项和为（），且满足，若对恒成立，则首项的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
因为，所以，
两式作差得，所以，
两式再作差得，可得数列的偶数项是以4为公差的等差数列，从起奇数项也是以4为公差的等差数列.
若对恒成立，当且仅当.
又，，
所以，解得：.
即首项的取值范围是.
47．（2020·滨海县八滩中学二模）已知等比数列的前n和为，若成等差数列，且，，则的值为_______________．
【答案】107
【解析】
【分析】
根据等比数列和等差数列的通项公式，根据题意列方程可得，从而求出或，再根据，确定，进而求出，代入记得：.
【详解】
由题意可设等比数列的公比为，首项为，
由成等差数列可得：
，代入可得：
，解得：或，
又因为，易知，
又因为，
，
所以，
，
故答案为：107.
【点睛】
本题考查了等差中项和等比数列的通项公式，考查了和的关系，同时考查了计算能力，属于中档题.
48．（2020·四川利州·期中）已知公比为整数的等比数列的前项和为，且，，若，则数列的前项和为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据条件先计算出，，然后得到，再利用裂项求和法得到答案.
【详解】
公比为整数的等比数列的前项和为
，
解得或（舍去）
，
前100项和为
故答案为
【点睛】
本题考查了数列的通项公式，前n项和，综合性强，意在考查学生对于数列的方法的灵活运用.
49．（2020·邵东县第十中学其他（理））已知各项均不相等的数列为等差数列，且，，恰为等比数列的前三项.若，则__________.
【答案】94.
【解析】
【分析】
根据等差数列等比数列公式计算，，代入等式计算得到答案.
【详解】
，，恰为等比数列的前三项，故，，解得.
，故，，
，即，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了等差数列，等比数列综合应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
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