专题四 指数函数与对数函数及函数的应用-2021届高三《新题速递•数学》10月刊（江苏专用 适用于高考复习）

专题四   指数函数与对数函数及函数的应用

一、单选题

1．（2020·沙坪坝·重庆八中高三月考）已知，，，，其中、为正数且，，则（    ）

A．对任意的和，都有

B．存在和，使得

C．，，，中大于1的数有奇数个

D．存在和，使得

2．（2020·湖南高二期末）已知偶函数满足，且当时，，若关于的不等式在上有且只有12个整数解，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

3．（2020·内蒙古扎鲁特旗·扎鲁特一中期末（文））设函数，则满足的x的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

4．（2019·江门市第二中学期中）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是

A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）

5．（2020·全国高三课时练习（理））设函数，则f(x)（    ）

A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减

C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减

6．（2020·全国高三其他（文））已知函数则（    ）

A．对任意实数，方程无解

B．存在实数，方程有2个根

C．存在实数，方程有3个根

D．对任意实数，方程有1个根

7．（2020·湖南开福·长沙一中高三月考（理））已知函数为一次函数，若，有，当时，函数的最大值与最小值之和是（    ）

A．10 B．8 C．7 D．6

8．（2020·浙江高三月考）在直角坐标系中，函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

9．（2019·黄梅国际育才高级中学月考）已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为(    )

A． B． C． D．

10．（2020·巩义市教育科研培训中心高三其他（理））设、、依次表示函数，，的零点，则、、的大小关系为（    ）．

A． B． C． D．

11．（2020·云南红河·高三其他（文））设，若对任意，都有，则实数的值为（    ）．

A． B． C． D．

12．（2020·肥东县综合高中高三三模（理））函数，图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中，则的最小值是　　

A．6 B．7 C．8 D．9

13．（2020·山西平城·大同一中高三其他（理））若函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若函数（）在区间恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C．（3,5］ D．（1,5]

14．（2020·河南高三月考（理））已知函数的图像上存在关于直线对称的不同两点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

15．（2020·山东省泰安第二中学月考）已知函数的定义域为R，且对任意x∈R，都有及成立，当且时，都有成立，下列四个结论中正确的是（    ）

A． B．函数在区间上为增函数

C．直线是函数的一条对称轴 D．方程在区间上有4个不同的实根

16．（2020·全国课时练习）已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．函数的图象与x轴有两个交点

C．函数的最小值为

D．函数的最大值为4

E.函数的图象关于直线对称

17．（2020·全国课时练习）已知函数，下面说法正确的有（    ）

A．的图像关于原点对称

B．的图像关于轴对称

C．的值域为

D．，且，恒成立

18．（2020·浙江高一单元测试）已知函数，，，则下列四个结论中正确的是（    ）．

A．的图象可由的图象平移得到

B．函数的图象关于直线对称

C．函数的图象关于点对称

D．不等式的解集是

19．（2020·东营市第一中学高二期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数“为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是　　

A．是偶函数 B．是奇函数

C．在上是增函数 D．的值域是

第II卷（非选择题）

三、解答题

20．（2020·湖北荆州·高一期末）已知函数.

（1）求函数的定义域;

（2）求函数的零点;

（3）若函数的最小值为,求的值．

21．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学开学考试（理））已知定义域为的函数，是奇函数.

（1）求，的值；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

22．（2020·江苏淮阴中学期末）设函数，其中．

（1）若，且为R上偶函数，求实数m的值；

（2）若，且在R上有最小值，求实数m的取值范围；

（3），，解关于x的不等式．

23．（2020·江苏盐城·高一期末）设函数

（1）若函数y＝f（x）的图象关于原点对称，求函数的零点；

（2）若函数在的最大值为－2，求实数a的值.

24．（2019·浙江高一期中）已知实数，定义域为的函数是偶函数，其中为自然对数的底数．

（Ⅰ）求实数值；

（Ⅱ）判断该函数在上的单调性并用定义证明；

（Ⅲ）是否存在实数，使得对任意的，不等式恒成立．若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

25．（2019·六盘水市第二中学高一期中（理））函数对任意的实数m，n，有，当时，有．

（1）求证：．

（2）求证：在上为增函数．

（3）若，解不等式．

26．（2020·安徽宣城·高一期末）某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年.

（1）求森林面积的年增长率；

（2）到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？

（3）为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林多少年？

（参考数据：，）

27．（2020·浙江高一单元测试）已知定义域为的函数是奇函数．

（1）求，的值；

（2）用定义证明在上为减函数；

（3）若对于任意，不等式恒成立，求的范围．

28．（2020·浙江高一课时练习）已知函数f(x)=x2−x＋k，且log2f(a)=2，f(log2a)=k，a＞0，且a≠1.

（1）求a，k的值；

（2）当x为何值时，f(logax)有最小值？求出该最小值．

29．（2018·浙江下城·杭州高级中学高一期中）已知函数.

（Ⅰ）求函数的定义域和值域；

（Ⅱ）设函数，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.

30．（2020·全国高一专题练习）已知函数是定义在R上的偶函数,当时,
(1)画出函数的图象;
(2)根据图象写出的单调区间,并写出函数的值域.

31．（2018·北京大兴·高一期末）已知函数，.

（1）若在区间上单调递增，求m的取值范围；

（2）求在区间上的最小值；

（3）讨论在区间上的零点个数.

32．（2018·北京大兴·高一期末）已知函数，，设.

（1）求的定义域；

（2）判断的奇偶性，并说明理由；

（3）若，求x的范围.

四、填空题

33．（2020·湖北宜昌·其他（文））已知函数，则函数的所有零点所构成的集合为________.

34．（2020·浙江高一单元测试）已知，则________．

35．（2020·广西来宾·高三月考（文））已知函数，则函数的零点个数为_________．

36．（2020·北京海淀·人大附中高三月考）已知函数若，是互不相同的正数，且，则的取值范围是_____．

37．（2016·上海虹口·上外附中高一期末）通过研究函数在内的零点个数，进一步研究得函数（，且为奇数）在内零点有__________个

38．（2016·湖南怀化·高一期末）如图，矩形的三个顶点分别在函数，，的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点的纵坐标为2，则点的坐标为______.

五、双空题

39．（2020·浙江高一单元测试）某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本（单位：元/（））与上市时间（单位：天）的数据如下表：

根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系：，，，．利用你选取的函数，计算西红柿种植成本最低时的上市天数是________；最低种植成本是________元/（）．

40．（2020·浙江台州·高三期末）已知定义在上的奇函数，当时满足：则______；方程的解的个数为______.