专题十三 简单几何体的结构特征、表面积与体积-2021届高三《新题速递•数学》9月刊（江苏专用 适用于高考复习）

专题十三   简单几何体的结构特征、表面积与体积

一、多选题

1．（2020·瓦房店市高级中学高一期末）如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题有（    ）

A．没有水的部分始终呈棱柱形

B．水面所在四边形的面积为定值

C．随着容器倾斜度的不同，始终与水面所在平面平行

D．当容器倾斜如图（3）所示时，为定值

二、单选题

2．（2020·河北高一期末）下列几何体中是四棱锥的是（    ）

A． B．

C． D．

3．（2020·渝中·重庆巴蜀中学高一期末）侧棱长为的正四棱锥，如果底面周长是，则这个棱锥的侧面积是（    ）

A． B． C． D．

4．（2020·辽宁大连·高一期末）若圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为（    ）

A． B．1 C． D．2

5．（2020·民勤县第一中学高一期末（理））半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（    ）

A． B． C． D．

6．（2020·四川成都·高一期末）正三棱锥中，若，，点、分别在侧棱、上运动，则的周长的最小值为（    ）

A． B． C．12 D．

7．（2020·四川成都·高一期末）给出下列命题：

①有两个面互相平行且是全等的三角形，其余各面都是四边形，且相邻两四边形的公共边互相平行，由这些面所围成的封闭几何体是三棱柱；

②有一个面是五边形，其余各面都是有公共顶点的三角形，由这些面所围成的封闭几何体一定是五棱锥；

③有两个面是互相平行且相似的矩形（不全等），其余各面都是梯形，由这些面所围成的封闭几何体一定是四棱台.

其中正确的命题是（    ）

A．②③ B．①② C．①③ D．①②③

8．（2020·全国高三其他（文））用一平面去截体积为的球，所得截面的面积为，则球心到截面的距离为（    ）.

A．2 B． C． D．1

9．（2020·全国高三其他（理））已知三棱锥的所有棱长都为2，且球为三棱锥的外接球，点是线段上靠近的四等分点，过点作平面截球得到的截面面积为，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

10．（2020·广东高一期末）如图，一倒立的圆锥和一个底面圆直径为2R的圆柱内装等高H的液体，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，圆柱的轴截面为一矩形，H＝R，圆锥内液体体积为V1，圆柱内液体体积为V2，则（　　）

A．V1＝2V2 B．V1＝V2 C．V2＝2V1 D．V1＝V2

11．（2019·小店·山西大附中高二月考）如图所示，三棱台中，沿面截去三棱锥，则剩余部分是（    ）

A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱台 D．四棱台

12．（2020·全国高三其他（理））斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13…画出来的螺旋曲线，如图1中的实线部分（正方形内的数字为正方形的边长）．自然界中存在许多这样的图案，比如向日葵种子的排列，如图2．若一圆锥底面圆的周长恰好等于图1的螺旋曲线的长度，且轴截面为等边三角形，则该圆锥的高为（ ）

A． B． C． D．

13．（2020·兴仁市凤凰中学高一月考）某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形（如图所示），，则该平面图形的面积为（    ）

A．3 B．4

C． D．

14．（2020·湖北东西湖·华中师大一附中高一月考）已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（    ）

A． a2 B． a2 C． a2 D． a2

15．（2020·大连海湾高级中学高一月考）用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为cm2，则原平面图形的面积为(　　)

A．4 cm2 B． cm2 C．8 cm2 D．cm2

16．（2020·宁夏吴忠中学高一期末）水平放置的，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的，其中，,则绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（    ）

A． B． C． D．

17．（2020·江西新余·高一期末）如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的　　

A． B． C． D．

18．（2020·江苏启东中学高一月考）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为尺，米堆的高为尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知斛米的体积约为立方尺，圆周率约为，估算出堆放的米有多少斛（    ）

A． B． C． D．

19．（2020·黑龙江让胡路·大庆一中高一期末）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是（    ）

A． B． C． D．

20．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学高一期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

21．（2020·贵州高一期末）若一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则正方体与这个球的表面积之比为（    ）

A． B． C． D．

22．（2020·辽宁沈河·沈阳二中高一期末）在四面体中，三角形为等边三角形，边长为，，，，则四面体外接球表面积为（    ）

A． B． C． D．

23．（2020·辽宁沈河·沈阳二中高一期末）《九章算术》问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．问积几何（今译：已知正四棱台体建筑物（方亭）如图，下底边长丈，上底边长丈．高丈．问它的体积是多少立方丈？（    ）

A． B． C． D．

24．（2020·贵州铜仁伟才学校高二期末（文））如图所示，某几何体的三视图相同，均为圆周的，则该几何体的表面积为（    ）

A． B． C． D．

25．（2020·江苏无锡·高二期末）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥为阳马，底面为矩形，平面，，，二面角为60°，则四棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

26．（2020·深州长江中学高一期末）如图，在棱长为的正方体中，为中点，则四面体的体积(    )

A． B． C． D．

27．（2020·全国高三其他）已知六棱锥的七个顶点都在球的表面上．若，底面，且六边形是边长为1的正六边形，则球的体积为（    ）

A． B． C． D．

28．（2020·全国高三其他）鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（    ）

A． B． C． D．

29．（2020·河北高一期末）在三棱锥中，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

30．（2020·兴仁市凤凰中学高一月考）一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

31．（2020·兴仁市凤凰中学高一月考）已知圆锥的高，体积，则该圆锥的侧面积为（    ）

A． B． C． D．

32．（2020·河南洛阳·高一期末（理））已知体积为的三棱锥的顶点， ，都在球的表面上，且，，，则球的表面积是（    ）

A． B． C． D．

33．（2020·山东高三其他）在轴截面为等腰直角三角形的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为（    ）

A． B．2：1 C． D．4：1

34．（2020·山东临沂·高一期末）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为，若“牟合方盖”的体积为18，则正方体的棱长为（    ）

A．18 B．6 C．3 D．2

35．（2020·四川省南充高级中学高三月考（文））甲、乙两个几何体的三视图如图所示（单位相同），记甲、乙两个几何体的体积分别为，，则（  ）

A． B．

C． D．

第II卷（非选择题）

三、填空题

36．（2020·黑龙江让胡路·大庆一中高一期末）如图，正方体的棱长为，动点在对角线上，过点作垂直于的平面，记：这样得到的截面多边形（含三角形）的面积为，设，则当时，函数的值域为________.

37．（2020·渝中·重庆巴蜀中学高一期末）两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是_____.

38．（2021·广西钦州一中高三开学考试（理））已知圆锥的底面半径为，母线长为，若圆锥内某正方体的底面在圆锥的底面上，则该正方体的最大体积为______.

39．（2020·全国高三其他（理））已知正三棱柱中，点，分别是侧面和内的动点，过点在侧面内作平行于的直线分别交，于点，，过点在侧面内作平行于的直线分别交，于点，，，的中点分别为，，则多面体侧面积的最小值为______.

40．（2019·重庆大足·高二期末（理））一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出它的直观图是如图所示的，若，，，则原平面图形的面积是__________．

41．（2020·浙江西湖·学军中学高三其他）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，若球的表面积为，则三棱锥的侧面积的最大值为__________．

42．（2020·兴仁市凤凰中学高一月考）在长方体中，为的中点，则三棱锥的体积与长方体的体积的比值为_____.

43．（2020·兴仁市凤凰中学高一月考）正方体的表面积是36，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是_______.

44．（2020·山东临沂·高一期末）一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为，则该圆锥的表面积为________.

45．（2020·全国高三其他（文））已知四棱锥中，底面是梯形，且，，，，且，，则三棱锥外接球的表面积为________.

46．（2020·海南枫叶国际学校高一期中）在四面体中，，，，则此四面体外接球的表面积是__.

四、解答题

47．（2020·湖北东西湖·华中师大一附中高一月考）已知一个圆锥的底面半径为，母线长为.

（1）求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角;

（2）若圆锥中内接一个高为的圆柱.求圆柱的表面积.

48．（2020·山东济南·高一期末）在①平面，②，③点在平面内的射影为的垂心，这三个条件中任选两个补充在下面的问题中，并解答.三棱锥中，.若________，求三棱锥的体积. 注：如果选择多种条件组合分别解答，按第一种解答计分.

49．（2020·辽宁沈河·沈阳二中高一期末）如图所示的圆锥，顶点为O，底面半径是5cm，用一与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底半径为2.5cm，这个平面与母线OA交于点B，线段AB的长为10cm．（提示：本题的数据有长度单位）

（1）求圆台的体积和圆台的侧面积；

（2）把一根绳从线段AB的中点M开始到点A，沿着侧面卷绕．使它成为最短时候，求这根绳的长度；

（3）在（2）的条件下，这根绳上的点和圆台上底面上的点的距离中，最短的距离是多少？

五、双空题

50．（2020·山东高三其他）已知等边三角形的边长为，，分别为，的中点，将沿折起得到四棱锥.点为四棱锥的外接球球面上任意一点，当四棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的半径为______，点到平面距离的最大值为______.