专题四 指数函数与对数函数及函数的应用-2021届高三《新题速递•数学》9月刊（江苏专用 适用于高考复习）

专题四   指数函数与对数函数及函数的应用

一、单选题

1．（2020·湖北黄冈�高一月考）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若函数有六个零点，分别记为，则的取值范围是（    ）.

A． B． C． D．

2．（2020·河南濮阳�高一期末（文））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(  )

A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10–10.1

3．（2020·甘肃省岷县第一中学高二月考（文））函数的零点所在区间为（    ）

A． B． C． D．

4．（2020·甘肃省岷县第一中学高二月考（文））下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的函数是（    ）

A． B．

C． D．

5．（2020·山东高三其他）已知则（    ）

A．4 B． C．6 D．

6．（2020·江苏省海头高级中学高一月考）方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

7．（2020·湖南高新技术产业园区�衡阳市一中高三月考）设函数，若函数有最小值，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．（2020·湖南高新技术产业园区�衡阳市一中高三月考）已知，，则实数a，b，c的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

9．（2019·福建高三学业考试）函数的零点个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

10．（2019·福建高三学业考试）某公司市场营销部员工的个人月收入与月销售量成一次函数关系，其对应关系如图所示.由图示信息可知，月销售量为3百件时员工的月收入是（    ）

A．2100元 B．2400元 C．2700元 D．3000元

11．（2020·山西迎泽�太原五中高三二模（文））已知集合，，则（　　  ）

A． B． C． D．

12．（2020·陕西新城�西安中学高三月考（文））已知函数，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

13．（2020·陕西新城�西安中学高三月考（文））玉溪某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(   )

A．60件 B．80件 C．100件 D．120件

14．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一期中）函数f(x)=的零点所在的一个区间是

A．（-2，-1） B．（-1,0） C．（0,1） D．（1,2）

15．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一期中）方程的实数解的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．0

16．（2020·黑龙江绥化�高二期末（理））已知函数 ，且，则（ ）

A． B． C． D．

17．（2020·黑龙江绥化�高二期末（理））已知函数的定义域为，且，若方程有两个不同实根，则的取值范围为（     ）

A． B． C． D．

18．（2020·北京海淀�人大附中高三其他）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（　　）

（参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30）

A．2020年 B．2021年 C．2022年 D．2023年

19．（2020·江西高二期末（文））已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

20．（2020·全国高三其他（理））已知函数

A． B． C． D．

21．（2020·武威第八中学高二期末（文））某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是

A．新农村建设后，种植收入减少

B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

22．（2020·昆明市官渡区第一中学高一月考）已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（　　）

A． B． C． D．

23．（2021·河西�天津实验中学高三月考）函数的图像大致为（ ）

A．B．C． D．

24．（2021·河西�天津实验中学高三月考）已知函数，若方程在区间内有3个不相等的实根，则实数的取值范围是（    ）

A． B．或

C．或 D．

25．（2020·浙江高三月考）如图为函数的部分图象，则下列判断可能正确的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

26．（2020·浙江高三月考）要将函数变成，下列方法中可行的有（    ）

①将函数图象上点的横坐标压缩一半        ②将函数图象上点的横坐标伸长一倍

③将函数的图象向下平移一个单位            ④将函数的图象向上平移一个单位（    ）

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

27．（2020·广西七星�桂林十八中高三月考（理））若 ，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞c＞b

28．（2020·安徽师范大学附属中学高一期末）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则在第几天两鼠相遇.这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为130尺，则在第几天墙才能被打穿（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

29．（2020·四川高一期末）下列函数在定义域上是增函数的是（　　）

A．y＝ B．y＝logx C．y＝（）x D．y＝x3

30．（2020·湖南天心�长郡中学高三月考）已知集合，.则（    ）

A． B． C． D．

31．（2021·广西钦州一中高三月考（理））已知，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

32．（2020·小店�山西大附中高二月考（文））函数的定义域为，若满足：(1)在内是单调函数；(2)存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“梦想函数”.若函数 是“梦想函数”，则的取值范围是(    )

A． B． C． D．

33．（2020·小店�山西大附中高二月考（文））已知定义在上的奇函数满足：当时，.若不等式对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是(    )

A． B．

C． D．

34．（2020·开封市立洋外国语学校高三月考）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（    ）

A．10名 B．18名 C．24名 D．32名

35．（2020·福建高三其他（理））已知，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

36．（2021·山西应县一中高三开学考试（文））设，则（    ）

A．1 B．4 C．6 D．2

37．（2020·全国高三其他（理））若函数有唯一零点，则实数的值为（    ）

A．0 B．－2 C．2 D．－1

38．（2020·昆明市官渡区第一中学高二开学考试（文））已知函数，函数是偶函数，且，当时，，若函数恰好有个零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

39．（2020·黑山县黑山中学高三其他（理））已知函数，若对于任意的、、，以、、为长度的线段都可以围成三角形，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

40．（2019·四川仁寿一中高三其他（文））且）是增函数，那么函数的图象大致是（    ）

A． B． C． D．

41．（2020·宁夏兴庆�银川九中高三月考（理））函数的单调减区间是（    ）

A． B．和

C． D．和

二、多选题

42．（2020·湖南天心�长郡中学高三月考）已知函数满足：对于定义域中任意，在定义城中总存在，使得成立.下列函数中，满足上述条件的函数是（    ）

A． B． C． D．

43．（2020·山东临沂�高二期末）已知函数，下列结论正确的是（    ）

A．若，则

B．

C．若，则或

D．若方程有两个不同的实数根，则

第II卷（非选择题）

三、填空题

44．（2020·湖北黄冈�高一月考）计算：_______ .

45．（2020·河南濮阳�高一期末（文））已知，则_______________.

46．（2020·浙江柯桥�高三其他）已知函数(且)在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是________.

47．（2020·湖南高新技术产业园区�衡阳市一中高三月考）已知函数的定义域是，则函数的定义域是________.

48．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一期中）函数的图象恒过定点，（其中且），则的坐标为__________.

49．（2021·河西�天津实验中学高三月考）函数若方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________．

50．（2020·安徽高三月考（文））已知函数则_____．

51．（2020·四川省绵阳江油中学高三开学考试（文））若函数有且仅有1个零点，则实数的取值范围为________．

52．（2020·小店�山西大附中高二月考（文））若函数且有最大值，则实数的取值范围是       ．

53．（2020·小店�山西大附中高二月考（文））分别是关于的方程和的根，则________.

54．（2020·小店�山西大附中高二月考（文））已知函数（且）恒过定点，则__________.

55．（2021·山西应县一中高三开学考试（文））已知函数，若，则实数______.

四、解答题

56．（2020·洮南市第一中学高一月考）2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（）满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）

（1）将2020年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；

（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

57．（2020·高邮市第一中学高三月考）已知函数，．

（1）若不等式的解集为，，求不等式的解集；

（2）若对于任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）已知，若方程在有解，求实数的取值范围．

58．（2021·江苏清江浦�淮阴中学高三开学考试）已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点.

（1）证明：函数在区间内必有局部对称点；

（2）若函数在R上有局部对称点，求实数m的取值范围.

59．（2020·陕西新城�西安中学高三月考（文））已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R且e为自然对数的底数)．

（1）判断函数f(x)的奇偶性与单调性；

（2）是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切的x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．

60．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一期中）某企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资额成正比，设比例系数为，其关系如图1；B产品的利润与投资额的算术平方根成正比，设比例系数为，其关系如图2．（注：利润与投资额单位是万元）

（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资额的函数，并求出的值，写出它们的函数关系式；

（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资额，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元．

61．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一期中）已知函数，a常数.

（1）若，求证为奇函数，并指出的单调区间；

（2）若对于，不等式恒成立，求实数m的取值范围.

62．（2020·湖南天心�长郡中学高三月考）节约资源和保护环境是中国的基本国策．某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为．设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为，则第次改良后所排放的废气中的污染物数量，可由函数模型给出，其中是指改良工艺的次数．

（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型；

（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．（参考数据：取

63．（2020·湖南天心�长郡中学高三月考）已知是偶函数.

（1）求实数的值；

（2）解不等式；

（3）记，若对任意的成立，求实数的取值范围.

64．（2020·小店�山西大附中高二月考（文））已知函数.

（1）若是奇函数，且在区间上是增函数，求的值;

（2）若关于的方程在区间内有两个不同的解，求的取值范围，并求的值

65．（2020·小店�山西大附中高二月考（文））求出下列各式的值：

（1）；

（2）.

66．（2021·山西应县一中高三开学考试（文））已知函数的定义域为A．

（1）求集合A．

（2）若函数，且，求函数的最值及对应的x值.

67．（2021·山西应县一中高三开学考试（文））已知函数

（1）若，求的单调区间；

（2）若的最大值为3，求实数a的值；

68．（2020·山东临沂�高二期末）在①，②，③这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答.

已知函数满足______.

（1）求的值；

（2）若函数，证明：.

五、双空题

69．（2020·浙江柯桥�高三其他）16､17世纪之交，苏格兰数学家纳皮尔发现了对数，对数的发明是数学史上的重大事件，伽利略说过：“给我空间､时间及对数，我就可以创造一个宇宙”.直到18世纪，才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系.若，则________，________.

70．（2020·全国高三其他（理））已知函数定义域为，对于任意的有，当时，，则______；时，恒成立，则的取值范围是______.