浙教版九年级下册第二章 直线与圆的位置关系2.2 切线长定理评优课备课作业ppt课件

第2章   直线与圆的位置关系

2.2   切线长定理

一、单选题

1．如图，已知的直径与弦的夹角为，过点的切线与的延长线交于点，，则的半径为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

本题可通过构建直角三角形求解．连接OC，在Rt△POC中，根据圆周角定理，可求得∠POC=2∠A=60°，已知PC的长，即可求出OC的值，也就是半径的长．

【详解】

连接OC，则OC⊥PC，

根据圆周角定理得：∠POC=2∠A=60，

在Rt△OCP中，∠POC=60，PC=5，

因此OC=.

故选A .

【点睛】

本题考查切线的性质，圆周角定理，特殊角的三角函数值.

2．如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点D，E.若△PDE的周长为12，则PA的长为(　 　)

A．12 B．6 C．8 D．4

【答案】B

【解析】

【分析】

由PA，PB分别和⊙O切于A，B两点， DE是⊙O的切线，根据切线长定理，即可得PA=PB，DA=DC，EB=EC，又由△PDE的周长为12，易求得PA+PB=12，则可求得答案．

【详解】

∵PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，

∴PA=PB，

∵DE是O的切线，

∴DA=DC，EB=EC，

∵△PDE的周长为12，

即PD+DE+PE

=PD+DC+EC+PE

=PD+AD+EB+PE

=PA+PB

=2PA

=12，

∴PA=6.

故选B.

【点睛】

本题考查切线长定理.

3．如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝35°，则∠P的度数是(      )

A．50° B．60° C．70° D．80°

【答案】C

【解析】

【分析】

根据切线的性质，结合已知条件可先求出∠BAP；再利用切线长定理、等边对等角可得到∠BAP=∠PBA，在△ABP中，利用三角形内角和定理求出∠P的度数.

【详解】

∵PA是⊙O的切线，

∴∠CAP=90，

∵∠BAC=35，

∴∠BAP=55，

∵PA，PB分别是⊙O的切线，

∴PA=PB，

∴∠BAP=∠PBA=55，

∴∠P=18070.

故选C.

【点睛】

本题考查切线长定理及其推论，圆的切线垂直于过切点的半径.

4．如图，从圆外一点引圆的两条切线，，切点分别为，，如果， ，那么弦AB的长是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

先利用切线长定理得到，再利用可判断为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．

【详解】

解：，PB为的切线，

，

，

为等边三角形，

．

故选C．

【点睛】

本题考查切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．

5．已知⊙O1与⊙O2外切，它们的半径分别为2和3，则圆心距O1O2的长是(　　)

A．O1O2＝1 B．O1O2＝5 C．1＜O1O2＜5 D．O1O2＞5

【答案】B

【解析】

【分析】

根据两圆的位置关系可以得到两圆半径和圆心距之间的数量关系．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R＋r；外切，则d＝R＋r；相交，则R−r＜d＜R＋r；内切，则d＝R−r；内含，则d＜R−r．

【详解】

根据题意，得：O1O2＝R+r＝5．

故选B．

【点睛】

本题考查了由两圆位置关系来判断半径和圆心距之间数量关系的方法．

6．如图，P为⊙外一点，PA、PB分别切⊙于A、B两点，若，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】

根据切线长定理即可得到答案.

【详解】

因为PA和PB与⊙相切，根据切线长定理，所以PA＝PB＝3，故选B.

【点睛】

本题考查切线长定理，解题的关键是熟练掌握切线长定理.

7．如图，切于两点，切于点，交于．若的周长为，则的值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

利用切线长定理得出 ，然后再根据的周长即可求出PA的长．

【详解】

∵切于两点，切于点，交于

∴的周长为

∴

故选：A．

【点睛】

本题主要考查切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．

8．如图， PA，PB，DE分别切⊙O于点A，B，C，过C的切线分别交PA，PB于点E，D，若△PDE的周长为8，OP=5，则⊙O的半径为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．不能确定

【答案】B

【分析】

根据切线长定理得BD＝CD，CE＝AE，PA＝PB，由△PDE的周长为8得到AP=BP=4，连接AO，利用勾股定理即可求出AO，即可求解．

【详解】

连接OA．

∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C点，

∴BD＝CD，CE＝AE，PA＝PB，OA⊥AP．

∴△PDE的周长为2AP＝8

∴AP＝4

在直角三角形OAP中，根据勾股定理，得AO＝=3，

∴⊙O的半径为3．

故选B．

【点睛】

本题考查了切线长定理和勾股定理，是基础知识比较简单．

二、填空题

9．如图，PA、PB是⊙O的切线，若∠APO＝25°，则∠BPA＝_____．

【答案】50°

【分析】

根据切线长定理得到∠BPO＝∠APO，结合图形计算，得到答案．

【详解】

解：∵PA、PB是⊙O的切线，

∴∠BPO＝∠APO＝25°，

∴∠BPA＝50°，

故答案为：50°．

【点睛】

本题考查了切线长定理，熟知切线长定理的性质是解题的关键．

10．如图：△ABC的内切圆O与边BC切于点D，若∠BOC=135°，BD=3，CD=2，则△ABC的面积为=______．

【答案】6.

【解析】

【分析】

首先根据内心的性质得出∠A=90°，再利用勾股定理和切线长定理得出AE的长，进而得出△ABC的面积．

【详解】

∵△ABC的内切圆O与边BC切于点D，∠BOC=135°，

∴∠OBC+∠OCB=45°，∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠BCO，AE=AF，BE=BD，CD=FC，

∴∠ABC+∠ACB=90°，

∴∠A=90°，

∴AB2+AC2=BC2，

∵BD=3，CD=2，

∴（3+AE）2+（AE+2）2=52，

解得：AE=1，

∴AB=4，AC=3，

∴△ABC的面积为：×AC×AB=×4×3=6．

故答案为：6．

【点睛】

考查了三角形内心的性质以及勾股定理和三角形面积求法，根据已知得出∠A=90°是解题关键．

11．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90°，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，AE＝2 cm，AD＝4 cm.则⊙O的直径BE的长是_____cm；△ABC的面积是_____cm2

【答案】6，    24    

【解析】

【分析】

（1）连接OD，由切线的性质得OD⊥AC，，在Rt△ODA中运用勾股定理可以求出半径OD，即可求得直径BE的长；
（2）由切线长定理知，CD=BC，在Rt△ABC中运用勾股定理可以求出BC，则可由直角三角形的面积公式求得△ABC的面积．

【详解】

1）连接OD，

∴OD⊥AC

∴△ODA是直角三角形

设半径为r

∴AO＝r＋2

∴

解之得：r＝3

∴BE＝6

（2）∵∠ABC=90°，

∴CB是⊙O的切线.

∵CB、CD是⊙O的切线，

∴CD=CB.

∵∠ABC=90°，

∴AB2+BC2=AC2，

即(2+6)2+BC2=(BC+4)2，

∴BC=6cm，

∴S△ABC=•AB•BC=×(2+6)×6=24（cm2）.

故答案为  (1). 6，    (2). 24  .

【点睛】

本题考查勾股定理，切线的定义，切线长定理.

12．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连结PO，AB相交于点D，C是⊙O上一点，∠C＝60°. 那么∠APB=____°.

【答案】60

【解析】

【分析】

由PA、PB分别切 O于A、B，由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小.

【详解】

∵PA、PB分别切O于A. B，

∴OA⊥PA，OB⊥PB，

∴∠PAO=∠PBO=90，

∵∠C=60，

∴∠AOB=2∠C=2×60=120，

∴∠APB=360−∠PAO−∠PBO−∠AOB=60.

故答案为：60.

【点睛】

本题考查切线的性质, 圆周角定理.

13．一个钢管放在V形架内，右图是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25cm，∠MPN＝60，则OP＝________.

【答案】50cm

【解析】

【分析】

钢管放在V形架内，则钢管所在的圆与V形架的两边相切，根据切线的性质可知△OMP是直角三角形，且∠OPM=∠OPN=30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边长度等于斜边的一半，求出OP的长．

【详解】

∵圆与V形架的两边相切，

∴△OMP是直角三角形，∠OPN=∠MPN=30，

∴OP=2ON=50cm.

故答案为50 cm.

【点睛】

本题考查切线的性质, 含30度角的直角三角形.

14．如图所示，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=15，则△PCD的周长为___________．

【答案】30

【分析】

根据切线长定理可以得知△PCD的周长等于PA与PB的和，然后根据PA的长度及PA=PB即可得到答案．

【详解】

解：由切线长定理可得：CA=CE，DE=DB，PB=PA=15，

∴△PCD的周长=PC+CD+PD

 =PC+CE+ED+PD

 =PC+CA+BD+PD

 =PA+PB=30,

故答案为30．

【点睛】

本题考查切线的应用，熟练掌握切线长定理是解题关键．

15．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OP，AB，设OP与AB相交于点C，若∠APB=60°，OC=2cm，则PC=_________cm．

【答案】6

【分析】

由切线长定理可知PA=PB，由垂径定理可知OP垂直平分AB，所以OP平分，可得,利用直角三角形30度角的性质可得OA、OP的长，即可.

【详解】

解：PA，PB是⊙O的两条切线

，

由垂径定理可知OP垂直平分AB，

OP平分，

在中，

在中，

故答案为：6

【点睛】

本题主要考查了圆的性质与三角形的性质，涉及的知识点主要有切线长定理、垂径定理、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质，灵活的将圆与三角形相结合是解题的关键.

三、解答题

16．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．

（Ⅰ）求证：OB⊥OC；

（Ⅱ）求CG的长．

【答案】（Ⅰ）证明见解析  （Ⅱ）6.4cm

【分析】

（Ⅰ）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；
（Ⅱ）由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到CG的长.

【详解】

解：（Ⅰ）连接OF；根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG；

∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠BCD＝180°，

∴∠OBE+∠OCF＝90°，

∴∠BOC＝90°，

∴OB⊥OC；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠BOC＝90°．

∵OB＝6cm，OC＝8cm，

∴由勾股定理得到：BC＝＝10cm，

∴ 即

∴OF＝4.8cm．

∴ ＝6.4cm，

∵CF、CG分别与⊙O相切于F、G，

∴CG＝CF＝6.4cm．

  【点睛】

本题综合运用了切线长定理和切线的性质定理．注意：求直角三角形斜边上的高时，可以借助直角三角形的面积进行计算．

17．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90o，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE＝2cm，AD＝4cm．

(1)求⊙O的直径BE的长；

(2)计算△ABC的面积．

【答案】（1）BE＝6；(2) S△ABC＝24..

【解析】

【分析】

（1）连接OD，由切线的性质得OD⊥AC，，在Rt△ODA中运用勾股定理可以求出半径OD，即可求得直径BE的长；

（2）由切线长定理知，CD=BC，在Rt△ABC中运用勾股定理可以求出BC，则可由直角三角形的面积公式求得△ABC的面积．

【详解】

（1）连接OD，

∴OD⊥AC

∴△ODA是直角三角形

设半径为r

∴AO＝r＋2

∴

解之得：r＝3

∴BE＝6

(2)∵∠ABC＝900

∴OB⊥BC

∴BC是⊙O的切线

∵CD切⊙O于D

∴CB＝CD

令CB＝x

∴AC＝x＋4， CB＝x，AB＝8

∵

∴x＝6.

∴S△ABC＝24（cm2）.

故答案为：（1）BE＝6；(2) S△ABC＝24..

【点睛】

本题考查勾股定理，切线的定义，切线长定理.

18．已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AD平行于OC．求证：DC是⊙O的切线.

【答案】证明见解析

【分析】

连接OD，要证明DC是⊙O的切线，只要证明∠ODC=90°即可．根据题意，可证△OCD≌△OCB，即可得∠CDO=∠CBO=90°，由此可证DC是⊙O的切线．

【详解】

证明：连接OD,

∵BC是和⊙O相切于点B的切线

∴∠CBO=90°.

∵AD平行于OC，

∴∠COD=∠ODA，∠COB=∠A；

∵∠ODA=∠A，

∴∠COD=∠COB，OC=OC，OD=OB，

∴△OCD≌△OCB，

∴∠CDO=∠CBO=90°．

∴DC是⊙O的切线．

19．如图，是直角三角形，，以为直径的与边交于点，过作的切线交于，连接，交于．

（1）求证：；

（2）若，，求线段的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】

（1）方法一：连接交于，利用切线长定理可得，，可得，利用圆周角定理证明，从而可得结论；方法二：证明 结合利用三角形的中位线的性质可得结论；

（2）连接，证明，由，利用等角的三角函数值相等，求解从而可得答案．

【详解】

证明（1）方法一：连接交于，

∵且为直径

∴是的切线

又∵DE是的切线

∴，，

∴

∴

∵为直径

∴

∴

方法二：连接，

∵且为直径

∴是的切线

又∵是的切线

∴

∴

∵为直径

∴

∴

∴

∴

∴

∴

又∵

∴

（2）连接，

∵

∴

∵

∴

∴

∵

又∵，

∴

∴

∵

∴

∴

∴．

【点睛】

本题考查的是圆周角定理，圆的切线的判定与性质，平行线的判定，直角三角形的两锐角互余，三角形的中位线的性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．

20．如图，在中，，是线段上一点，以为圆心，为半径作，与相切于点，直线交于点，．

（1）求证：是的角平分线；

（2）若，求的值；

（3）如图，在（2）条件下，连接交于点，的半径为3，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）．

【分析】

（1）连接，利用切线的性质定理与角平分线定理的逆定理可得答案；

（2）连接，证明即可得到答案；

（3）利用求解 再利用切线长定理与勾股定理可得答案．

【详解】

（1）证明：连接，

与相切于点，

，

，，

，

即是的角平分线；

（2）如图2，连接，

是的直径，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

；

（3）由（2）可知：，

设，，

，

，

，

，

解得：或（不合题意，舍去），

，，

，

如图3，连接交于点，

，是的切线，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

【点睛】

本题考查的是圆周角定理，切线的性质定理，切线长定理，同时考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．