初中数学2.3 三角形的内切圆一等奖备课作业ppt课件

第2章   直线与圆的位置关系

2.3   三角形的内切圆

一、单选题

1．如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

作DC关于AB的对称点D′C′，以BC中的O为圆心作半圆O，连D′O分别交AB及半圆O于P、G．将PD＋PG转化为D′G找到最小值．

【详解】

取点D关于直线AB的对称点D′．以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆．

连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG．连CG并延长交AB于点E．

由以上作图可知，BG⊥EC于G．

PD＋PG＝PD′＋PG＝D′G

由两点之间线段最短可知，此时PD＋PG最小．

∵D′C′＝8，OC′＝12

∴D′O＝

∴D′G＝

∴PD＋PG的最小值为

故选B．

【点睛】

本题考查与圆有关的线段和的最小值问题，通常思想是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短．

2．如图，在中，是直径，点是上一点，点是弧的中点，于点，过点的切线交的延长线于点，连接，分别交，于点．连接，关于下列结论：① ；②；③点是的外心，其中正确结论是（    ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

【答案】C

【分析】

由于与不一定相等，根据圆周角定理可知①错误；连接OD，利用切线的性质，可得出∠GPD＝∠GDP，利用等角对等边可得出GP＝GD，可知②正确；先由垂径定理得到A为的中点，再由C为的中点，得到，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP＝∠ACP，利用等角对等边可得出AP＝CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，由等角的余角相等可得出∠PCQ＝∠PQC，得出CP＝PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，可知③正确；

【详解】

∵在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，

∴＝≠，

∴∠BAD≠∠ABC，故①错误；

连接OD，

则OD⊥GD，∠OAD＝∠ODA，

∵∠ODA＋∠GDP＝90，∠EPA＋∠EAP＝∠EAP＋∠GPD＝90，

∴∠GPD＝∠GDP；

∴GP＝GD，故②正确；

∵弦CF⊥AB于点E，

∴A为的中点，即，

又∵C为的中点，

∴，

∴，

∴∠CAP＝∠ACP，

∴AP＝CP．

∵AB为圆O的直径，

∴∠ACQ＝90，

∴∠PCQ＝∠PQC，

∴PC＝PQ，

∴AP＝PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，

∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确；

故选C．

【点睛】

此题是圆的综合题，其中涉及到切线的性质，圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，平行线的判定，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．

3．如图，把剪成三部分，边，，放在同一直线上，点都落在直线上，直线.在中，若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

首先利用平行线间的距离处处相等，得到点O是△ABC的内心，点O为三个内角平分线的交点，从而容易得到∠BOC=90°+∠BAC，通过计算即可得到答案．

【详解】

解：如图，过点O分别作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵直线MN∥l，
∴OD=OE=OF，
∴点O是△ABC的内心，点O为三个内角平分线的交点，
∴∠BOC=180-（180-∠BAC）=90°+∠BAC=130°，
∴∠BAC=80°.

故选C.

【点睛】

本题考查了平行线的性质及三角形内心的性质及判定，利用平行线间的距离处处相等判定点O是△ABC的内心是解题的关键．

4．一个等腰直角三角形的内切圆与外接圆的半径之比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

设等腰直角三角形的直角边是1，则其斜边是．根据直角三角形的内切圆半径是两条直角边的和与斜边的差的一半，得其内切圆半径是；其外接圆半径是斜边的一半，得其外接圆半径是．所以它们的比为=．

【详解】

解：设等腰直角三角形的直角边是1，则其斜边是；
∵内切圆半径是，
外接圆半径是，
∴所以它们的比为=．

故选：D．

【点睛】

本题考查三角形的内切圆与外接圆的知识，解题的关键是熟记直角三角形外接圆的半径和内切圆的半径公式：直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半；直角三角形外接圆的半径是斜边的一半．

5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？“其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，求直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径”则该圆的直径为（    ）

A．6步 B．5步 C．4步 D．3步

【答案】A

【分析】

根据勾股定理求出直角三角形的斜边，可确定出内切圆半径，即可求得直径．

【详解】

解：根据勾股定理得：斜边为=17，
则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r==3（步），即直径为6步，
故选：A．

【点睛】

本题考查三角形的内切圆与内心，掌握Rt△ABC中，三边长为a，b，c（斜边），其内切圆半径r=是解题的关键．

6．下列关于三角形的内心说法正确的是（    ）

A．内心是三角形三条角平分线的交点

B．内心是三角形三边中垂线的交点

C．内心到三角形三个顶点的距离相等

D．钝角三角形的内心在三角形外

【答案】A

【分析】

根据三角形内心定义即可得到答案.

【详解】

∵内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，

∴A正确，B、C、D均错误，

故选：A.

【点睛】

此题考查三角形的内心，熟记定义是解题的关键.

7．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的度数为（    ）

A．128° B．126° C．122° D．120°

【答案】C

【分析】

根据圆周角定理推论可求∠CAD=32°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB，再根据三角形内角和定理可求∠BEC的度数．

【详解】

在⊙O中，

∵∠CBD=32°，
∵∠CAD=32°，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAC=64°，
∴∠EBC+∠ECB=（180°-64°）÷2=58°，
∴∠BEC=180°-58°=122°．
故选：C．

【点睛】

考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理推论，三角形内角和定理，关键是得到∠EBC+∠ECB的度数．

8．如图，的直径与弦的延长线交于点，若，，则＝(　　　)

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据示意图结合已知条件可得出，因此，，即可得出，计算即可得出答案．

【详解】

解：∵

∴

∴

∴

∴

∴

故选：A．

【点睛】

本题考查的知识点是圆的综合题目，根据示意图得出是解此题的关键．

二、填空题

9．阅读下面材料：

在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：

已知：求作：的内切圆．

小明的作法如下：如图2，

作，的平分线BE和CF，两线相交于点O；

过点O作，垂足为点D； 

点O为圆心，OD长为半径作所以，即为所求作的圆．

请回答：该尺规作图的依据是______．

【答案】到角两边距离相等的点在角平分线上；两点确定一条直线；角平分上的点到角两边的距离相等；圆的定义；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

【分析】

根据三角形的内切圆，三角形的内心的定义，角平分线的性质即可解答.

【详解】

解：该尺规作图的依据是到角两边距离相等的点在角平分线上；两点确定一条直线；角平分上的点到角两边的距离相等；圆的定义；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；

故答案为到角两边距离相等的点在角平分线上；两点确定一条直线；角平分上的点到角两边的距离相等；圆的定义；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

【点睛】

此题主要考查了复杂作图，三角形的内切圆与内心，关键是掌握角平分线的性质．

10．边长分别为3、4、5的三角形的内切圆半径与外接圆半径之比为________.

【答案】1:2.5

【解析】

设三角形为△ABC，
∵32+42=52，
∴△ABC为直角三角形，
∴外接圆的直径为5，
∴外接圆的半径为2.5，
设内切圆的半径为r，
∵S△ABC=（AB+BC+CA）•r，

即×3×4=×（3+4+5）r，解得r=1，
∴该三角形内切圆半径与外接圆半径之比为1：2.5，
故答案是：1：2.5．

11．已知等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，则△ABC的内切圆半径为                cm．

【答案】r=

【解析】

试题分析：如图，设△ABC的内切圆半径为r，由勾股定理得AD=12，再由切线长定理得AE=8，根据勾股定理求得r即可．

试题解析：如图，

∵AB=AC=13cm，BC=10cm，

∴BD=5cm，

∴AD=12cm，

根据切线长定理，AE=AB-BE=AB-BD=13-5=8，

设△ABC的内切圆半径为r，

∴AO=12-r，

∴（12-r）2-r2=64，

解得r=．

考点：1．三角形的内切圆与内心；2．等腰三角形的性质．

12．如图，已知点是的内心，若，则__________．

【答案】60

【分析】

先利用，可求出∠OBC＋∠OCB，再利用三角形的内心即为三个内角角平分线的交点，可求出∠ABC＋∠ACB，然后就可求出∠A.

【详解】

∵

∴∠OBC＋∠OCB=180°－∠BOC

                 =60°

又∵点是的内心

∴BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB

∴∠ABC＋∠ACB=2（∠OBC＋∠OCB）

                =120°

∴∠A=180°－（∠ABC＋∠ACB）

     =60°

故答案为：60

【点睛】

此题考查的是三角形内心的定义和三角形内角和定理.

13．如图，在中，弦，点在上移动，连结，过点作交于点，则的最大值为__________．

【答案】2

【分析】

连接OD，根据勾股定理求出CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，根据垂径定理计算即可；

【详解】

如图，连接OD，

∵CD⊥OC，

∴∠DCO=，

∴，

当OC的值最小时，CD的值最大，OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，

∴CD=CB=AB=2，即CD的最大值为2；

故答案为：2.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理，垂径定理，掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键.

14．在中，，若为的外心，则______度；若为的内心，则______度.

【答案】140    125   

【分析】

若为的外心，根据圆周角定理，即可求解；
若为的内心，根据内心是角平分线的交点，再结合三角形的内角和定理即可求解．

【详解】

解：如图一，点O是三角形的外心．
根据圆周角定理，得
∠BOC=2∠A=140°；

如图二，点O是三角形的内心．
∴BO、CO平分∠ABC、∠ACB，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠A）
=90°+∠A
=125°．
故答案为140，125．

【点睛】

本题考查三角形外心和内心的定义，熟练掌握圆周角定理，熟记内心为三角形三个内角平分线的交点是解题的关键．

三、解答题

15．如图，点是外接圆的圆心，点是内切圆的圆心，已知，求和的度数．

【答案】，

【分析】

如图，在上取点，连接 由圆的内接四边形的性质求解 再利用圆周角定理求解 为的内心，可得分别平分结合三角形的内角和定理可得，再利用内角和定理可得的大小．

【详解】

解：如图，在上取点，连接

四边形为的内接四边形，

为的内心，

分别平分

【点睛】

本题考查的是圆的内接四边形的性质，圆周角定理的应用，三角形内心的含义，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．

16．如图所示,AB为☉O的直径,CD是☉O的弦,AB,CD的延长线交于点E,已知AB=2DE,∠AEC=20°.求∠AOC的度数.

【答案】∠AOC=60°.

【分析】

连接OD，如图，由AB＝2DE，AB＝2OD得到OD＝DE，根据等腰三角形的性质得∠DOE＝∠E＝20°，再利用三角形外角性质得到∠CDO＝40°，加上∠C＝∠ODC＝40°，然后再利用三角形外角性质即可计算出∠AOC．

【详解】

解:连接OD.

∵AB=2DE,AB=2OD,∴OD=DE,

∴∠DOE=∠E=20°,∴∠CDO=∠DOE+∠E=40°,

∵OC=OD,∴∠C=∠ODC=40°,

∴∠AOC=∠C+∠E=60°.

【点睛】

本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．

17．如图，是的直径，点D是上一点，于点C.

（1）如图①，连接，若点C是的中点，求的大小；

（2）如图②，过点D作的切线，交的延长线于点E，交于点F，且.若的半径为2，求的长.

【答案】（1）30°；（2）

【分析】

（1）连接AD，根据已知条件可得出AD=OD=OA，因此，是等边三角形，得出，继而得出；

（2）连接，可得四边形OFDE为平行四边形，有，DE为圆的切线，，因此，为等腰直角三角形，可求出OE的值，进一步求出CE的长．

【详解】

解：（I）如图，连接，

∵点C是的中点，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴为等边三角形，

∴，

∴，

∵，

∴．

（2）如图，连接，

∵为的切线，

∴，

∵，

∴四边形为平行四边形，

∴，

∴为等腰直角三角形，

∴，

∵，

∴．

【点睛】

本题是一道关于圆的综合题目，涉及到的知识点有圆的切线的性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理等，属于容易题，失分原因：（1）不能根据判断出是等边三角形；（2）不能正确的作出辅助线证明四边形是平行四边形；未能掌握等腰直角三角形的性质．

18．如图：在三角形ABC中，AB=5，AC=7，BC=8，求其内切圆的半径．

【答案】

【分析】

作，根据勾股定理求解，再结合内切圆的性质，利用等面积转换的方法求解即可．

【详解】

如图，作，设，则，

由勾股定理可知：，

则，解得，则，

故，

由三角形的内切圆性质，可得：

．

【点睛】

本题考查了勾股定理计算以及三角形的内切圆性质，能够灵活利用三角形的面积转换是解决问题的关键．

19．在同一平面直角坐标系中有6个点：

A（1，1），B（−3，−1），C（−3，1），D（−2，−2），E（−2，−3），F（0，−4）．

（1）画出△ABC的外接圆P，则点D与P的位置关系___；

（2）△ABC的外接圆的半径=___，△ABC的内切圆的半径=___．

（3）若将直线EF沿y轴向上平移，当它经过点D时，设此时的直线为，则直线与⊙P的位置关系____

【答案】（1）见解析，在圆上；（2）△ABC的外接圆的半径：，△ABC的内切圆的半径：；（3）直线与圆相交

【分析】

（1）分别找出AC与BC的垂直平分线，交于点P，即为圆心，求出AP的长即为圆的半径，画出圆P，如图所示，求出D到圆心P的距离，与半径比较即可做出判断；

（2）求出三角形ABC的外接圆半径，内切圆半径即可；

（3）根据图形及直线与圆的位置关系即可判断．

【详解】

（1）画出△ABC的外接圆P，如图所示，

∵，

∴点D与P的位置关系是点在圆上；

故答案为：在圆上；

（2）△ABC的外接圆的半径，△ABC的内切圆的半径为；

故答案为：；；

（3）画图之后由网格图得，直线与圆相交

故答案为：相交．

【点睛】

此题属于圆的综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，两点间的距离公式，点与圆的位置关系，以及直线与圆的位置关系，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．

20．如图，在中，，，是其内部一点，平分，连接，在上取一点，使，连接．

（1）求证：≌；

（2）若，连接，求的度数；

（3）若是的内心，过作于，求的取值范围．

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）．

【分析】

（1）由SAS证明三角形全等；

（2）根据全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，解得，再由等腰三角形等边对等角的性质解题即可；

（3）过作于，于，由于三角形内心是三角形三个内角平分线的交点，可知，再由ASA证明≌，最后有全等三角形对应边相等的性质，解得，同理解得，，根据三角形三边关系解出答案即可．

【详解】

解：（1）证明：∵，，，

∴≌．

（2）∵≌，

∴，，

∴，

∵，

∴．

（3）过作于，于，

∵是的内心，

∴，

∵，，

∴≌，

∴．

同理可得，，

∵，

∴，

∴，

∵，∴，

∴

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内心的性质、等腰三角形的性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．