数学答案

这是一份数学答案，共10页。试卷主要包含了－eq \f，－eq \f，{2,3,4}，∴9m≤54，即m≤6.等内容，欢迎下载使用。
1．C
【解析】¬p是“所有三角形不是等腰三角形”．
2．B
【解析】A＝{x|0＜x＜7，x∈N*}＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{1,2,3,6}，所以B中共有4个元素．
3．D
【解析】“a＞b”推不出“a2＞b2”，例如，2＞－3，但4＜9；“a2＞b2”也推不出“a＞b”，例如，9＞4，但－3＜2.
4．A
【解析】①方程－2x2＋x－4＝0无实根；②2是素数，但不是奇数；③正确．
5．C
【解析】运用集合的知识，易知只有C中由eq \f(1,3)＜x＜eq \f(3,4)可以推出0＜x＜1，其余均不可．
6．B
【解析】集合A表示的是直线x＋2y－4＝0上的所有点的集合，集合B表示直线x＝0上所有点的集合，所以A∩B表示两条直线的交点构成的集合，而直线x＋2y－4＝0与直线x＝0的交点为(0,2)，所以A∩B＝{(0,2)}．
7．C
【解析】由题意得∁UA＝{x|1＜x＜3}，借助于数轴可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＋1＞1，,k＜3))∴0＜k＜3.
8．－eq \f(1,2)，－eq \f(1,2)
【解析】方程的解为1，代入得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＋1＝0，,Δ＝1－4ab＝0，))所以a＝b＝－eq \f(1,2).
9．假
【解析】“∃x∈{x|x＞0}，使eq \r(x)＜x”为真命题，则其否定为假命题．
10．{2,3,4}
【解析】由(∁UA)∩B＝{2}，得2∈B且2∉A，由(∁UB)∩A＝{4}，得4∈A且4∉B，分别代入得42＋4p＋12＝0,22－5×2＋q＝0，所以p＝－7，q＝6，所以A＝{3,4}，B＝{2,3}，所以A∪B＝{2,3,4}．
11．解 (1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1＜x＜6}＝{x|1＜x≤8}．
因为∁UA＝{x|x＜2，或x＞8}，所以(∁UA)∩B＝{x|1＜x＜2}．
(2)因为A∩C≠∅，作图可知a在8左边即可．所以a＜8.
12．解 (1)命题的否定：有些末位数是0的整数，不可以被5整除；假命题．
否命题：末位数不是0的整数，不可以被5整除；假命题．
(2)命题的否定：有些负数的平方不是正数；假命题．
否命题：非负数的平方不是正数；假命题．
(3)命题的否定：有些梯形的对角线不相等；真命题．
否命题：如果一个四边形不是梯形，则它的对角线不相等；假命题．
13．解 A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}．
因为A∪B＝A，所以B⊆A，
所以B可能为∅，{1}，{2}，{1,2}，
因为Δ＝(－a)2－4(a－1)＝(a－2)2≥0，所以B≠∅，
又因为x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)]，
所以B中一定有1，所以a－1＝1或a－1＝2，即a＝2或a＝3.
经验证a＝2，a＝3均满足题意，
又因为A∩C＝C，所以C⊆A.所以C可能为∅，{1}，{2}，{1,2}．
当C＝∅时，方程x2－mx＋2＝0无解，
所以Δ＝m2－8＜0，所以－2eq \r(2)＜m＜2eq \r(2).
当C＝{1}时，m无解；当C＝{2}时，m也无解；
当C＝{1,2}时，m＝3.
综上所述，a＝2或a＝3，－2eq \r(2)＜m＜2eq \r(2)或m＝3.
第2章章测基础答案
1．A
【解析】A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，∴A∪B＝{x|－1＜x＜3}．
2．C
【解析】因为a＝1＞b＝－1, a2＝b2，所以A错；因为|a|＝1＞b＝－1, a2＝b2，所以B错；若a＞|b|，则a2＞|b|2＝b2，所以C对；因为a＝－1，b＝1, a≠|b|, a2＝b2，所以D错．
3．A
【解析】由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0(a＞0)的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝eq \f(5,2).
4．C
【解析】由eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)＜0可得b＜a＜0，从而|a|＜|b|，①②均不正确；a＋b＜0，ab＞0，则a＋b＜ab成立，③正确；a3＞b3，④正确.
5．C
【解析】∵2a＋b＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))·(2a＋b)＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋\f(2a,b)＋\f(2b,a)))≥6×(5＋4)＝54(当且仅当a＝b时，取等号)．∴9m≤54，即m≤6.
6．8(x＋19)＞2 200 eq \f(8x,x－12)＞9
由题意知，汽车原来每天行驶x km,8天内它的行程超过2 200 km，则8(x＋19)＞2 200.若每天行驶的路程比原来少12 km, 则原来行驶8天的路程就要用9天多， 即eq \f(8x,x－12)＞9.
7．k≥4或k≤2
【解析】x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.
8．2eq \r(2)
【解析】∵eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \r(ab)，∴a＞0，b＞0，∴eq \r(ab)＝eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)≥2eq \r(\f(1,a)×\f(2,b))＝2eq \r(\f(2,ab))，∴ab≥2eq \r(2)，(当且仅当b＝2a时取等号)，所以ab的最小值为2eq \r(2).
9．解 ∵x＞3，∴x－3＞0.
∴eq \f(2x2,x－3)＝eq \f(2x－32＋12x－3＋18,x－3)＝2(x－3)＋eq \f(18,x－3)＋12≥2eq \r(2x－3·\f(18,x－3))＋12＝24.
当且仅当2(x－3)＝eq \f(18,x－3)，即x＝6时，等号成立．
10．证明 ∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴a＋b≥2eq \r(ab)＞0，b＋c≥2eq \r(bc)＞0，c＋a≥2eq \r(ca)＞0.
∴2(a＋b＋c)≥2(eq \r(ab)＋eq \r(bc)＋eq \r(ca))，
即a＋b＋c≥eq \r(ab)＋eq \r(bc)＋eq \r(ca).
由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．
∴a＋b＋c＞eq \r(ab)＋eq \r(bc)＋eq \r(ca).
11．证明 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴a＋b≥2eq \r(ab)＞0，b＋c≥2eq \r(bc)＞0，c＋a≥2eq \r(ac)＞0，
∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc＞0.
∴eq \f(abc,a＋bb＋cc＋a)≤eq \f(1,8)，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,a＋b)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,b＋c)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,c＋a)))≤eq \f(1,8).
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
12．解 (1)设每件定价为t元，依题意，有[8－(t－25)×0.2]t≥25×8，
整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40.
因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
(2)依题意，当x＞25时，
不等式ax≥25×8＋50＋eq \f(1,6)(x2－600)＋eq \f(1,5)x有解，
等价于x＞25时，a≥eq \f(150,x)＋eq \f(1,6)x＋eq \f(1,5)有解．
∵eq \f(150,x)＋eq \f(1,6)x≥2eq \r(\f(150,x)·\f(1,6)x)＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，
∴a≥10.2.
因此当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的定价为每件30元．
第3章章测基础答案
一、单选题：1.D 2．B 3．C 4．A 5．D 6．A 7．C 8．B
填空题：本题共2小题，每小题10分，共20分。
9． 10．
解答题：本题共2小题，每小题20分，共40分。
11．【解析】（1）的图象如下图所示：
由函数图象可知，的单调递增区间为，单调递减区间为.（开区间也算正确）
（2）令，解得或，
结合的图象可知的解集为．
12．【解析】（1）因为，，
令，，则，解得，
令，，则，解得，
所以，；
在上单调递增
（2）证明：任取，，且，则.
由得：，即.
在上单调递增；
（3）令，，则，
因为，所以，
又因为函数在上单调递增，
所以解得，
所以不等式的解集为.
第4章章测基础答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A 2．B 3．D 4．B 5．C 6．C 7．B 8．A
二、填空题：本题共2小题，每小题10分，共20分。
9． 10．
三、解答题：本题共2小题，每小题20分，共40分。
11．【解析】（1）
；
（2）
12．【解析】（1）由已知得：，解得：，
因为在R上递减，，
所以；
（2），
所以，
故的值域是
第5章章测基础答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A 2．B 3．C 4．B 5．A 6．C 7．D 8．B
填空题：本题共2小题，每小题10分，共20分。
9． 10．
解答题：本题共2小题，每小题20分，共40分。
11．【解析】（1）
的振幅为，周期为；
（2），即，
解得，
所以不等式的解集为.
12；
联立方程解得或（舍）.
又，;
（3）,
,
,,
令，则，
又，在上单调递增，
，
.
综合测试基础答案
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个备选项只有一
项符合要求）
1．A 2．C 3．C 4．D 5．B 6．C 7．D
8．D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9.（1）（3） 10．3 11． 12.
三、解答题：本题共3小题，第13题10分，第14~15题各15分，共40分。
13．【解析】（1）互为反函数的两个函数图像关于直线对称（2）恒成立问题常用手段是分离参数
（1）
故，由于它的图像与的图像关于直线对称，故，又恒成立，故恒成立，
故
（2）由得
令，则，当时取得最小值，
不等式的恒成立问题，可分离参数按如下规则转化：
①若在上恒成立，则；
②若在上恒成立，则
14．（1）

故周期为，令故对称中心为
（2）
故不等式的解集为
15．【解析】（1）利用题中的新定义，代入验证即可求解
（2）根据题意，得出在R上为奇函数，且一个周期为6，进而，计算的零点即可
（1）由题意，且
，则不具有性质P.
又因为，且
则，即具有性质P.
（2）若函数具有性质P，则满足 且，则令故，故所以一个周期为6，
是定义在R上奇函数，则，，，而由，可得，所以，所以，所以，则函数在(﹣10，10)至少有7个零点，即为0，3，-3，6，-6，9，-9，
20-21学年寒假数学必修2
第6章6.1 平面向量的概念（新教材A版）【参考答案】
【自主预习】
[新知初探]
1．(1)大小方向(2) ②起点方向长度
③eq \(AB,\s\up6(→))④长度|eq \(AB,\s\up6(→))|
2．(1)长度|eq \(AB,\s\up6(→))| (2) 0 (3)1个单位长度
3．(1)相同相反共线向量 平行0∥a (2)相等相同
【自我检测】
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× (7)×
答案：D 答案：C
答案：eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))
【探究互动】
探究点一 向量的相关概念
【例1】【解析】 eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD中，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|，eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(DC,\s\up6(→))平行且方向相同，故eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，故②正确；a＝b，则|a|＝|b|，且a与b的方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c的方向相同，则a与c长度相等且方向相同，故a＝c，故③正确．
【答案】 ②③
【跟踪训练】
1．解析：选D.不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小．故D正确．
2．解析：选C.向量eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(CD,\s\up6(→))包含eq \(AB,\s\up6(→))所在的直线与eq \(CD,\s\up6(→))所在的直线平行和重合两种情况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；C显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错．
探究点二 向量的表示
【例2】【解】 (1)由于点A在点O北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|eq \(OA,\s\up6(→))|＝4eq \r(2)，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出向量eq \(OA,\s\up6(→))，如图所示．
(2)由于点B在点A正东方向上，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量eq \(AB,\s\up6(→))，如图所示．
(3)由于点C在点B北偏东30°方向上，且|eq \(BC,\s\up6(→))|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3eq \r(3)≈5.2，于是点C的位置可以确定，画出向量eq \(BC,\s\up6(→))，如图所示．
【跟踪训练】解：(1)由题意，作出向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(DA,\s\up6(→))，如图所示．
(2)依题意知，三角形ABC为正三角形，所以AC＝2 000 km.又因为∠ACD＝45°，CD＝1 000eq \r(2)，所以△ACD为等腰直角三角形，即AD＝1 000eq \r(2) km，∠CAD＝45°，所以D地在A地的东南方向，距A地1 000eq \r(2) km.
探究点三 共线向量与相等向量
【例3】【解】 (1)与a的长度相等、方向相反的向量有eq \(OD,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(FE,\s\up6(→)).
(2)与a共线的向量有eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))，eq \(FE,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(DO,\s\up6(→))，eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→)).
【互动探究】
1．解：与a相等的向量有eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(DO,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))；与b相等的向量有eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(EO,\s\up6(→))，eq \(FA,\s\up6(→))；与c相等的向量有eq \(FO,\s\up6(→))，eq \(ED,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→)).
2．解：与eq \(AD,\s\up6(→))共线的向量有eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))，eq \(FE,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(DO,\s\up6(→))，eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(OA,\s\up6(→)).
【跟踪训练】
1．解析：选B.根据共线向量的定义，可知eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))这三个向量一定为共线向量，故选B.
2．解：(1)因为四边形ABCD和BCED都是平行四边形，所以BC∥AD∥DE，BC＝AD＝DE，所以eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DE,\s\up6(→)).故与eq \(BC,\s\up6(→))相等的向量为eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(DE,\s\up6(→)).
(2)与eq \(BC,\s\up6(→))共线的向量共有7个，分别是eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(DE,\s\up6(→))，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(ED,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(EA,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→)).
【达标反馈】
1.解析：选C.图中与eq \(AE,\s\up6(→))平行的向量为eq \(BE,\s\up6(→))，eq \(FD,\s\up6(→))，eq \(FC,\s\up6(→))共3个．
2．解析：选B.两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，a，b可能反向；②③正确；④两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等．
3．解：画出图形，如图所示．
(1)易知BC∥AD，BC＝AD，所以与eq \(BC,\s\up6(→))相等的向量为eq \(AD,\s\up6(→)).
(2)由O是正方形ABCD对角线的交点知OB＝OD＝OA＝OC，
所以与eq \(OB,\s\up6(→))长度相等的向量为eq \(BO,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(CO,\s\up6(→))，eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))，eq \(DO,\s\up6(→)).
(3)与eq \(DA,\s\up6(→))共线的向量为eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→)).
第6章6.2.1 向量的加法运算
[新知初探]
1．两个向量和
eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))eq \(AC,\s\up6(→)) 0eq \a\vs4\al(＋)aa
2．方向相同． 3．b＋aa＋(b＋c)
【自我检测】
答案：(1)√ (2)× (3)× 答案：D
答案：B
答案：eq \r(2)
【探究互动】
探究点一 平面向量的加法及其几何意义
【例1】【解】法一：可先作a＋c，再作(a＋c)＋b，即a＋b＋c.
如图，首先在平面内任取一点O，作向量eq \(OA,\s\up6(→))＝a，接着作向量eq \(AB,\s\up6(→))＝c，
则得向量eq \(OB,\s\up6(→))＝a＋c，然后作向量eq \(BC,\s\up6(→))＝b，
则向量eq \(OC,\s\up6(→))＝a＋b＋c为所求．
法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．
如图，(1)在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b；
(2)作平行四边形AOBC，则eq \(OC,\s\up6(→))＝a＋b；
(3)再作向量eq \(OD,\s\up6(→))＝c；
(4)作平行四边形CODE，则eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋c＝a＋b＋c.eq \(OE,\s\up6(→))即为所求．
【跟踪训练】
解：(1)作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，则eq \(OB,\s\up6(→))＝a＋b，如图(1)．
(2)作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，则eq \(OB,\s\up6(→))＝a＋b，如图(2)．
(3)作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，则eq \(OB,\s\up6(→))＝a＋b，如图(3)．
探究点二 平面向量的加法运算
【例2】【解】(1)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→)).
(2)eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))
＝(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝0.
(3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))
＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))
＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))＝0.
【跟踪训练】
1．解析：选B.由向量的加法运算律知①正确；因为eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝0，故②不正确；eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))成立，故③正确．
2. 解：(1)eq \(DG,\s\up6(→))＋eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(GC,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(GC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(GE,\s\up6(→)).
(2)eq \(EG,\s\up6(→))＋eq \(CG,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(EB,\s\up6(→))＝eq \(EG,\s\up6(→))＋eq \(GD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝0.
探究点三 向量加法的实际应用
【例3】【解】 如图，设此人游泳的速度为eq \(OB,\s\up6(→))，水流的速度为eq \(OA,\s\up6(→))，
以eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))为邻边作▱OACB，则此人的实际速度为eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→)).
由勾股定理知|eq \(OC,\s\up6(→))|＝8，且在Rt△ACO中，∠COA＝60°，
故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时．
【跟踪训练】
解：设eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，
从B地按南偏东55°的方向飞行800 km，
则飞机飞行的路程指的是|eq \(AB,\s\up6(→))|＋|eq \(BC,\s\up6(→))|；
两次飞行的位移的和指的是eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→)).
依题意有|eq \(AB,\s\up6(→))|＋|eq \(BC,\s\up6(→))|＝800＋800＝1 600(km)，
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(\a\vs4\al(|\(AB,\s\up6(→))|2＋|\(BC,\s\up6(→))|2))＝eq \r(8002＋8002)＝800eq \r(2)(km)，
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°，
从而飞机飞行的路程是1 600 km，
两次飞行的位移和的大小为800 eq \r(2) km，方向为北偏东80°.
【达标反馈】
1．解析：选B.eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(PQ,\s\up6(→))＋eq \(PS,\s\up6(→))＋eq \(SP,\s\up6(→))＝eq \(OQ,\s\up6(→))＋0＝eq \(OQ,\s\up6(→)).
2．解析：选D.由eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))得eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，即AD＝BC，且AD∥BC，所以四边形ABCD的一组对边平行且相等，故为平行四边形．
3．解析：|a＋b|≤|a|＋|b|，所以|a＋b|的最大值为13.
答案：13
4. 解：(1)延长AC，在延长线上截取CF＝AO，则向量eq \(AF,\s\up6(→))为所求．
(2)在AB上取点G，使AG＝eq \f(1,3)AB，则向量eq \(BG,\s\up6(→))为所求．
第6章6.2.2 向量的减法运算【参考答案】
【自主预习】
[新知初探]
1．(1)相等相反－a零向量
(2)①a0 ②－b－a0 2．(1) a＋(－b)
【自我检测】
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√
答案：C
答案：C
答案：eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))
【探究互动】
探究点一 向量的减法运算
【例1】
【解】(1)法一：原式＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→)))＋(eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→)))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→)).
法二：原式＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋(eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→)))＋eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(MO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋0＝eq \(AB,\s\up6(→)).
(2)法一：原式＝eq \(DB,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→)).
法二：原式＝eq \(AB,\s\up6(→))－(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→)).
【跟踪训练】
1．解析：选A.因为eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，所以①正确，排除C，D；因为eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，所以④正确，排除B.故选A.
2．解：(1)eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(ON,\s\up6(→))＋eq \(MP,\s\up6(→))－eq \(NA,\s\up6(→))＝eq \(NM,\s\up6(→))＋eq \(MP,\s\up6(→))－eq \(NA,\s\up6(→))＝eq \(NP,\s\up6(→))－eq \(NA,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→)).
(2)(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(BM,\s\up6(→)))＋(eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(MC,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋(eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋0＝eq \(AD,\s\up6(→)).
探究点二 向量的减法及其几何意义
【例2】
【解】法一：如图①，在平面内任取一点O，
作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，连接BC，则eq \(CB,\s\up6(→))＝b－c.
过点A作AD綊BC，连接OD，则eq \(AD,\s\up6(→))＝b－c，
所以eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝a＋b－c.
法二：如图②，在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，
连接OB，则eq \(OB,\s\up6(→))＝a＋b，再作eq \(OC,\s\up6(→))＝c，连接CB，则eq \(CB,\s\up6(→))＝a＋b－c.
法三：如图③，在平面内任取一点O，
作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，连接OB，则eq \(OB,\s\up6(→))＝a＋b，
再作eq \(CB,\s\up6(→))＝c，连接OC，则eq \(OC,\s\up6(→))＝a＋b－c.
【跟踪训练】
解：在平面内任取一点O，作向量eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则向量eq \(BA,\s\up6(→))＝a－b，
再作向量eq \(BC,\s\up6(→))＝c，则向量eq \(CA,\s\up6(→))＝a－b－c.
探究点三 用已知向量表示其他向量
【例3】
【解】因为四边形ACDE是平行四边形，
所以eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))＝c，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝b－a，
故eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝b－a＋c.
【跟踪训练】
1．解析：因为eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))，所以eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，所以eq \(OD,\s\up6(→))＝a－b＋c.
答案：a－b＋c
2．证明：如图，
a＋c＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))，
eq \(OB,\s\up6(→))＋b＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))，
所以a＋c＝eq \(OB,\s\up6(→))＋b，即a－b＋c＝eq \(OB,\s\up6(→)).
【达标反馈】
1．解析：选C.在△ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→)).
2．解析：原式＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝0＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→)).
答案：eq \(AD,\s\up6(→))
3．解析：因为eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))，所以|eq \(CB,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|.
又eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(|\(AB,\s\up6(→))|－|\(AC,\s\up6(→))|))≤|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|≤|eq \(AB,\s\up6(→))|＋|eq \(AC,\s\up6(→))|，3≤|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|≤17，
所以3≤|eq \(CB,\s\up6(→))|≤17.
答案：[3，17]
4．解：因为eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)).
又|eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))|，所以|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|，
所以以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，
所以该平行四边形为矩形，所以AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形．
第6章6.2.3 向量的数乘运算【参考答案】
【评价自测】
1．答案 (1)× (2)× (3)×2．答案 (1)C (2)C (3)D (4)共线
【题型探究】
题型一 向量的数乘运算
例1 [解] (1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
(2)原式＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋\f(3,2)b))－a－eq \f(3,4)b＝a＋eq \f(3,4)b－a－eq \f(3,4)b＝0.
(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
[跟踪训练1]
解 (1)原式＝eq \f(1,3)a－b－a＋eq \f(2,3)b＋2b－a
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－1－1))a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1＋\f(2,3)＋2))b
＝－eq \f(5,3)a＋eq \f(5,3)b＝－eq \f(5,3)(3i＋2j)＋eq \f(5,3)(2i－j)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－5＋\f(10,3)))i＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(10,3)－\f(5,3)))j＝－eq \f(5,3)i－5j.
(2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－2y＝a， ①,－4x＋3y＝b， ②))
①×3＋②×2，得x＝3a＋2b，再代入①，得y＝4a＋3b.
题型二 向量的线性运算的应用
例2 [解析] (1)因为eq \(AB,\s\up16(→))∥eq \(CD,\s\up16(→))，|eq \(AB,\s\up16(→))|＝2|eq \(CD,\s\up16(→))|，所以eq \(AB,\s\up16(→))＝2eq \(DC,\s\up16(→))，eq \(DC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up16(→)).
eq \(AC,\s\up16(→))＝eq \(AD,\s\up16(→))＋eq \(DC,\s\up16(→))＝e2＋eq \f(1,2)e1.
(2)eq \(MN,\s\up16(→))＝eq \(MD,\s\up16(→))＋eq \(DA,\s\up16(→))＋eq \(AN,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up16(→))－eq \(AD,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up16(→))＝－eq \f(1,4)e1－e2＋eq \f(1,2)e1＝eq \f(1,4)e1－e2.
[答案] (1)e2＋eq \f(1,2)e1 (2)eq \f(1,4)e1－e2
[互动探究]
解 因为eq \(MN,\s\up16(→))＝eq \(MD,\s\up16(→))＋eq \(DA,\s\up16(→))＋eq \(AN,\s\up16(→))，eq \(MN,\s\up16(→))＝eq \(MC,\s\up16(→))＋eq \(CB,\s\up16(→))＋eq \(BN,\s\up16(→))，
所以2eq \(MN,\s\up16(→))＝(eq \(MD,\s\up16(→))＋eq \(MC,\s\up16(→)))＋eq \(DA,\s\up16(→))＋eq \(CB,\s\up16(→))＋(eq \(AN,\s\up16(→))＋eq \(BN,\s\up16(→)))．
又因为M，N分别是DC，AB的中点，
所以eq \(MD,\s\up16(→))＋eq \(MC,\s\up16(→))＝0，eq \(AN,\s\up16(→))＋eq \(BN,\s\up16(→))＝0，所以2eq \(MN,\s\up16(→))＝eq \(DA,\s\up16(→))＋eq \(CB,\s\up16(→))，
所以eq \(MN,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(－eq \(AD,\s\up16(→))－eq \(BC,\s\up16(→)))＝－eq \f(1,2)e2－eq \f(1,2)e1.
[跟踪训练2]
解 解法一：设eq \(BC,\s\up16(→))＝x，则eq \(BK,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)x，
eq \(AB,\s\up16(→))＝eq \(AK,\s\up16(→))＋eq \(KB,\s\up16(→))＝e1－eq \f(1,2)x，eq \(DL,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)e1－eq \f(1,4)x.
又eq \(AD,\s\up16(→))＝x，由eq \(AD,\s\up16(→))＋eq \(DL,\s\up16(→))＝eq \(AL,\s\up16(→))，得x＋eq \f(1,2)e1－eq \f(1,4)x＝e2.
解方程得x＝eq \f(4,3)e2－eq \f(2,3)e1，即eq \(BC,\s\up16(→))＝eq \f(4,3)e2－eq \f(2,3)e1.
由eq \(CD,\s\up16(→))＝－eq \(AB,\s\up16(→))，eq \(AB,\s\up16(→))＝e1－eq \f(1,2)x，得eq \(CD,\s\up16(→))＝－eq \f(4,3)e1＋eq \f(2,3)e2.
解法二：设eq \(BC,\s\up16(→))＝x，eq \(CD,\s\up16(→))＝y，则eq \(BK,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)x，eq \(DL,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2)y.
由eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BK,\s\up16(→))＝eq \(AK,\s\up16(→))，eq \(AD,\s\up16(→))＋eq \(DL,\s\up16(→))＝eq \(AL,\s\up16(→))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－y＋\f(1,2)x＝e1， ①,x－\f(1,2)y＝e2. ②))
－2×②＋①，得eq \f(1,2)x－2x＝e1－2e2，x＝eq \f(2,3)(2e2－e1)．
同理得y＝eq \f(2,3)(－2e1＋e2)，即eq \(BC,\s\up16(→))＝eq \f(4,3)e2－eq \f(2,3)e1，eq \(CD,\s\up16(→))＝－eq \f(4,3)e1＋eq \f(2,3)e2.
解法三：如图所示，延长BC与AL的延长线交于点E，则△DLA≌△CLE.
从而eq \(AE,\s\up16(→))＝2eq \(AL,\s\up16(→))，eq \(CE,\s\up16(→))＝eq \(AD,\s\up16(→))，eq \(KE,\s\up16(→))＝eq \f(3,2)eq \(BC,\s\up16(→))，
由eq \(KE,\s\up16(→))＝eq \(AE,\s\up16(→))－eq \(AK,\s\up16(→))，得eq \f(3,2)eq \(BC,\s\up16(→))＝2e2－e1，
即eq \(BC,\s\up16(→))＝eq \f(2,3)(2e2－e1)＝eq \f(4,3)e2－eq \f(2,3)e1.
同理可得eq \(CD,\s\up16(→))＝eq \f(2,3)(－2e1＋e2)＝－eq \f(4,3)e1＋eq \f(2,3)e2.
题型三 共线向量定理的应用
例3 [解] (1)证明：∵eq \(AB,\s\up16(→))＝e1＋e2，
eq \(BD,\s\up16(→))＝eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \(CD,\s\up16(→))＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5eq \(AB,\s\up16(→)).
∴eq \(AB,\s\up16(→))，eq \(BD,\s\up16(→))共线，且有公共点B，∴A，B，D三点共线．
(2)∵ke1＋e2和e1＋ke2共线，
∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，即(k－λ)e1＝(λk－1)e2.
∵e1与e2不共线，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))解得k＝±1.
[变式探究]
解 ∵ke1＋2e2和2e1＋ke2共线，
∴存在实数λ使ke1＋2e2＝λ(2e1＋ke2)，
即(k－2λ)e1＝(λk－2)e2，
∵e1，e2不共线，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k－2λ＝0，,λk＝2，))解得k＝±2.
[跟踪训练3]
解 (1)证明：∵eq \(CB,\s\up16(→))＝e1＋3e2，eq \(CD,\s\up16(→))＝2e1－e2，
∴eq \(BD,\s\up16(→))＝eq \(CD,\s\up16(→))－eq \(CB,\s\up16(→))＝e1－4e2.
又eq \(AB,\s\up16(→))＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，
∴eq \(AB,\s\up16(→))＝2eq \(BD,\s\up16(→))，∴eq \(AB,\s\up16(→))∥eq \(BD,\s\up16(→)).
∵AB与BD有公共点B，∴A，B，D三点共线．
(2)由于A，B，P三点共线，所以向量eq \(AB,\s\up16(→))，eq \(AP,\s\up16(→))在同一直线上，
由向量共线定理可知，必定存在实数λ使eq \(AP,\s\up16(→))＝λeq \(AB,\s\up16(→))，
即eq \(OP,\s\up16(→))－eq \(OA,\s\up16(→))＝λ(eq \(OB,\s\up16(→))－eq \(OA,\s\up16(→)))，所以eq \(OP,\s\up16(→))＝(1－λ)eq \(OA,\s\up16(→))＋λeq \(OB,\s\up16(→))，
故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.
【随堂达标】
1．答案 B
解析 ①②显然正确．③中当m＝0时，对于任意两向量a，b，ma＝mb都成立，但不一定有a＝b，故③错误．④中当a＝0时，不成立．故选B.
2．答案 A
解析 ①中b＝－a，则a，b共线；②中b＝－2a，则a，b共线；③中a＝4b，则a，b共线．故选A.
3．答案 eq \f(1,2) eq \f(1,2)
解析 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－1＝0，,x－y＝0，))解得x＝y＝eq \f(1,2).
4. 答案 eq \f(1,4)(b－a)
解析 ∵eq \(AN,\s\up16(→))＝3eq \(NC,\s\up16(→))，M为BC的中点，则
eq \(MN,\s\up16(→))＝eq \(MC,\s\up16(→))＋eq \(CN,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up16(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up16(→))－eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(AD,\s\up16(→)))＝eq \f(1,4)eq \(AD,\s\up16(→))－eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up16(→))＝eq \f(1,4)(b－a)．
5．证明 ∵F，G分别是AB，AC的中点，∴eq \(FG,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up16(→)).
同理，eq \(EH,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up16(→))，∴eq \(FG,\s\up16(→))＝eq \(EH,\s\up16(→)).
∴四边形EFGH为平行四边形．
6.2.4 向量的数量积【参考答案】
1．(2)同向 ②垂直 ③反向
2． |a||b|csθ|a||b|csθ0 4．(2) a·b＝0 (3) |a||b|－|a||b||a|2 (4)|≤
5．(1) b·a． (2)λ(a·b)a·(λb (3) a·c＋b·c
【自我检测】
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
解析：选B.m·n＝|m|·|n|cs 45°＝4×6×eq \f(\r(2),2)＝12eq \r(2).
解析：选B.设a与b的夹角为θ.
因为(3a)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)b))＝－36，所以3×eq \f(1,5)a·b＝－36，
又|a|＝10，|b|＝12，所以3×eq \f(1,5)×10×12cs θ＝－36，所以cs θ＝－eq \f(1,2).
又因为θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0°，180°))，所以θ＝120°.
4．解析：因为a－b与a＋2b互相垂直，
所以(a－b)·(a＋2b)＝0，即a2＋a·b－2b2＝0.
又因为|a|＝eq \r(2)，|b|＝1，所以a·b＝2b2－a2＝2×12－(eq \r(2))2＝0，
即a·b＝0.答案：0
【探究互动】
探究点一 平面向量的数量积运算
【例】【解】 (1)(a＋2b)·(a＋3b)＝a·a＋5a·b＋6b·b
＝|a|2＋5a·b＋6|b|2＝|a|2＋5|a||b|cs 60°＋6|b|2
＝62＋5×6×4×cs 60°＋6×42＝192.
(2)①因为eq \(AD,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→))，且方向相同，所以eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))的夹角是0°，
所以eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝|eq \(AD,\s\up6(→))||eq \(BC,\s\up6(→))|·cs 0°＝3×3×1＝9.
②因为eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AD,\s\up6(→))的夹角为60°，所以eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(DA,\s\up6(→))的夹角为120°，
所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(DA,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(DA,\s\up6(→))|·cs 120°＝4×3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－6.
【互动探究】
[变问法] 解：因为eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，
所以eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))
＝eq \(AD,\s\up6(→))2－eq \(AB,\s\up6(→))2＝9－16＝－7.
【跟踪训练】
1．解析：选B.a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选B.
2．解析：eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))·eq \(BA,\s\up6(→))＝(eq \(BA,\s\up6(→)))2＋eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝a2＋a2 cs 60°＝eq \f(3,2)a2.
答案：eq \f(3,2)a2
探究点二 向量模的有关计算
【例2】【解析】 (1)|a＋2b|＝eq \r(（a＋2b）2)＝eq \r(a2＋4a·b＋4b2)
＝eq \r(|a|2＋4|a||b|cs 60°＋4|b|2)
＝ eq \r(4＋4×2×1×\f(1,2)＋4)＝2eq \r(3).
(2)由题意得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|·cs 60°＝eq \f(3,4)，即1＋|b|2－|b|＝eq \f(3,4)，解得|b|＝eq \f(1,2).
【答案】 (1)B (2)B
【跟踪训练】
1．解析：由已知得a·b＝|a||b|csθ＝4×2×cs 120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.
因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12，
所以|a＋b|＝2eq \r(3).
因为|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304，
所以|3a－4b|＝4eq \r(19).
答案：2eq \r(3) 4eq \r(19)
2．解析：法一：由|a－b|＝1得a2－2a·b＋b2＝1，
所以|a|2－2a·b＋|b|2＝1，
所以2a·b＝1，所以|a＋b|＝eq \r(a2＋2a·b＋b2)＝eq \r(1＋1＋1)＝eq \r(3).
法二：如图，因为|a|＝|b|＝|a－b|＝1，
所以△AOB是正三角形，∠AOB＝60°，
所以|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝2－2a·b＝1，所以a·b＝eq \f(1,2)，
所以|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×eq \f(1,2)＋1＝3，所以|a＋b|＝eq \r(3). 答案：eq \r(3)
探究点三 向量的夹角与垂直 命题角度一：求两向量的夹角
【例3】【解析】 (1)设a与b的夹角为θ，
(a＋2b)·(a－3b)＝a·a－3a·b＋2b·a－6b·b＝|a|2－a·b－6|b|2
＝|a|2－|a||b|cs θ－6|b|2＝62－6×4×cs θ－6×42＝－72，
所以24cs θ＝36＋72－96＝12，所以cs θ＝eq \f(1,2).
又因为θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，π))，所以θ＝eq \f(π,3).
(2)设a与b的夹角为θ，由(a－b)⊥b，得(a－b)·b＝0，
所以a·b＝b2，所以cs θ＝eq \f(b2,|a||b|).
又因为|a|＝2|b|，所以cs θ＝eq \f(|b|2,2|b|2)＝eq \f(1,2).
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq \f(π,3).【答案】 (1)eq \f(π,3) (2)eq \f(π,3)
命题角度二：证明两向量垂直
【例4】【证明】因为|a＋tb|＝eq \r(（a＋tb）2)＝eq \r(a2＋t2b2＋2ta·b)＝eq \r(|b|2t2＋2a·bt＋|a|2)，
所以当t＝－eq \f(2a·b,2|b|2)＝－eq \f(a·b,|b|2)时，|a＋tb|有最小值．
此时b·(a＋tb)＝b·a＋tb2＝a·b＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a·b,|b|2)))·|b|2＝a·b－a·b＝0.所以b⊥(a＋tb)．
命题角度三：利用夹角和垂直求参数
【例5】【解析】 (1)因为3a＋2b与ka－b互相垂直，
所以(3a＋2b)·(ka－b)＝0，所以3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0.
因为a⊥b，所以a·b＝0，
又|a|＝2，|b|＝3，所以12k－18＝0，k＝eq \f(3,2).
(2)由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，
而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，
则49＝9＋λ2＋6λcs eq \f(π,3)，即λ2＋3λ－40＝0，
解得λ＝－8或λ＝5.
【答案】 (1)B (2)－8或5 【跟踪训练】解析：由题意可得e1·e2＝eq \f(1,2)，|a|2＝(e1＋λe2)2＝1＋2λ×eq \f(1,2)＋λ2＝eq \f(3,4)，化简得λ2＋λ＋eq \f(1,4)＝0，解得λ＝－eq \f(1,2). 答案：－eq \f(1,2)
【达标反馈】
1．解析：选C.由题意，知a·b＝|a||b|cs θ＝4cs θ＝2，所以cs θ＝eq \f(1,2).又0≤θ≤π，所以θ＝eq \f(π,3).
2．解析：选B.因为c·d＝0，所以(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，
所以2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，所以2k＝12，所以k＝6.
3．解析：设a与b的夹角θ，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－12,3×5)＝－eq \f(4,5)，
所以a在b上的投影向量为|a|cs θ·e＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))e＝－eq \f(12,5)e.
答案：－eq \f(12,5)e
4．解：设向量a与b的夹角为θ.
(1)当a，b同向，即θ＝0°时，a·b＝eq \r(2)；当a，b反向，即θ＝180°时，a·b＝－eq \r(2).
(2)|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3＋eq \r(2)，|a＋b|＝eq \r(3＋\r(2)).
(3)由(a－b)·a＝0，得a2＝a·b，cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(\r(2),2)，又θ∈[0，180°]，故θ＝45°.