7年级寒假班同步课程（培优版）共12讲

这是一份7年级寒假班同步课程（培优版）共12讲，共76页。教案主要包含了【有理数章节知识结构框图】，绝对值的意义，去绝对值符号的几种常用方法，平行公理，平行线的判定与性质等内容，欢迎下载使用。

第一篇：专题复习 随堂笔记
第一讲 去绝对值符号的几种方法
学习目标

1、了解绝对值的意义；
2、通过数轴使学生理解绝对值的概念及表示方法；会根据数与
数轴所给的信息来判断数与数之间的和或差的值的正负性；
3、 会运用分类讨论思想、整体思想解决绝对值问题；
知识链接



一、【有理数章节知识结构框图】




二、绝对值的意义：
(1)几何意义：一般地，数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记作||。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。
也可以写成：
说明：①||≥0即||是一个非负数；
②||概念中蕴含分类讨论思想。
无论是从绝对值的几何定义，还是绝对值的代数定义，都揭示了绝对值的一个重要性质——非负性，也就是说任何一个有理数的绝对值都是非负数。
三、去绝对值符号的几种常用方法
解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。
1.利用定义法去掉绝对值符号
根据实数含绝对值的意义，即||=。
2.利用数形结合去掉绝对值符号
解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值的几何意义画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解。数形结合法较为形象、直观，可以使复杂问题简单化，此解法适用于或(为正常数)类型不等式。对(或<)，当||≠||时一般不用。
3.利用零点分段法去掉绝对值符号
所谓零点分段法，是指：若数，，……，分别使含有，，……，的代数式中相应绝对值为零，称，，……，为相应绝对值的零点，零点，，……，将数轴分为+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。





典型例题

知识点一：绝对值的化简



题型一：根据题设条件
解题技巧： 只要知道绝对值扩合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路．
例1 设化简的结果是 。



练习一 已知 ，化简 的结果是 。



例2 方程 的解的个数有 个。



练习二 方程的解有 个。







题型二：借助数轴
解题技巧：把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清：
1．零点的左边都是负数，右边都是正数．
2．右边点表示的数总大于左边点表示的数．
3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了．

例3 已知、、在数轴上位置如图：则代数式
的值等于 。



练习三 实数、在数轴上的位置如图所示，化简。




例4 已知：，，且， 那么
的值（ ）。
A．是正数　　 B．是负数　　 C．是零　 D．不能确定符号

练习四 如果，，求 的值。



题型三：采用零点分段讨论法
解题技巧：虽然绝对值内的数的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是：
1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）．
2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定．
3．在各区段内分别考察问题．
4．将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案．
例5 阅读下列材料并解决有关问题：
我们知道，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得（称分别为与的零点值）。在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
（1）当时，原式=;
（2）当时，原式=；
（3）当时，原式=。
综上讨论，原式=
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1） 分别求出和的零点值；
（2） 化简代数式



练习五 化简






知识点二：绝对值的性质



题型一：绝对值的非负性
例6 已知与互为相反数，试求下式的值．






练习六 已知，
求的值.



第二讲 代数式的化简求值问题
学习目标

1、能熟练的化简代数式；
2、会用“整体代入”的方法求代数式的值；
3、实际应用代数式解决问题；
4、会用代数式解决规律探索问题。
知识链接

1．“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。
2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。
注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化
3． 求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。
典型例题

知识一：整式的化简求值

例1 若多项式的值与无关，求的值.





练习一 试说明多项式(2-4+1)-2(3+-)的值与的值无关，并求的值。





例2 时，代数式的值为8，求当=2时，代数式的值。





练习二 已知当 时，代数式的值是，求时，代数式的值。






例3 当代数式的值为7时,求代数式的值.




练习三 已知，则的值。








例4 已知，求的值.







练习四 已知，求的值。










知识点二：实际应用

例5 和两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？






练习五 王力是某大学经济系本科生，在人才市场上同时有三家商务公司愿意录用他，合同期为2年，三家公司工资如下：甲公司：年薪3万元，一年后，每年加薪2000元．乙公司：半年薪1万元，半年后按每半年20%递增．丙公司：月薪2000元，一年后每月加薪100元．王力应选择哪家公司？





知识点三：规律探索问题









1
7
2
8
3
9
4
10
5
11
6
12
例6 如图，平面内有公共端点的六条射线，从射线开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．
（1）“17”在射线 上，
“2008”在射线___________ 上．
（2）若为正整数，则射线上数字的排列规律可以用含的代数式表示为_________________．


练习六 将正奇数按下表排成4列:
第一列 第二列 第三列 第四列
第一行 1 3 5 7
第二行 15 13 11 9
第三行 17 19 21 23
第四行 31 29 27 25

根据上面规律，2007应在：（ ）
A．125行,3列 B. 125行,2列
C. 251行,2列 D. 251行,4列







第三讲 与一元一次方程有关的问题
学习目标

1、理解一元一次方程，方程的解等概念。
2、培养学生根据题意找出相等关系，根据相等关系列出方程的能力。
3、会解方程与代数相联系的题，以及定义新运算。
知识链接

一元一次方程是我们认识的第一种方程，使我们学会用代数解法解决一些用算术解法不容易解决的问题。一元一次方程是初中代数的重要内容，它既是对前面所学知识——有理数部分的巩固和深化，又为以后的一元二次方程、不等式、函数等内容打下坚实的基础。
典型例题

知识点一：一元一次方程的解和解法

例1 若关于的一元一次方程=1的解是=-1，则的值是（ ）
A． B．1 C．- D．0



练习一 若关于的一元一次方程的解是=-3，则的值是（ ）
A．3 B．1 C．-2 D．


例2 若方程3-5=4和方程的解相同，则的值为多少？





练习二 如果方程的解与方程的解相同，求的值 ．







例3 （方程与代数式联系）、、、为实数，现规定一种新的运算 .
（1）则的值为 。



练习三 规定 ，（1）求的值；
（2）已知，求的值。





知识二：实际问题


例4 一个袋中有若干个红色和蓝色小球，如果从袋中取出一个红球，那么袋中剩下小球的是红色的。把这个小球放回去，另取出2个蓝色的球。那么剩下球的为红色球。袋中原来有多少个小球?










练习四 某音乐厅五月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会,入场券分为团体票和零售票,其中团体票占总票数的,若提前购票,则给予不同程度的优惠.在五月份内,团体票每张12元,共售出团体票的,零售票每张16元,共售出零售票的一半,如果在六月份内,团体票按16元出售,并计划在六月份内售出全部余票,那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？









第四讲 解含绝对值和字母系数的方程
学习目标

1、理解含字母系数的方程，并能根据字母取值不同求出方程的解；
2、会解含有绝对值符号的方程；
3、培养学生对分类讨论及整体思想的解题能力。
知识链接

含字母系数方程的解法：
思考：是什么方程？
在一元一次方程的标准形式、最简形式中都要求≠0，所以不是一元一次方程
我们把它称为含字母系数的方程。
知识点一：含有字母系数的方程的解法
典型例题




例1 解方程




练习一 解方程






例2 问当、满足什么条件时，方程：
（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解。







练习二 如果关于的方程有唯一的一个解，求与必须满足的条件。




例3 解方程







练习三 解方程






知识点二：还有绝对值的方程解法



例4 解下列方程





练习四 解方程：










例5 解方程：







练习五 解方程：








例6 解下列方程







练习六 解方程：
















第五讲 图形的认识
学习目标

1、立体图形与平面图形的认识。
2、面展开图和三视图的理解。
3、角、余角、补角、角平分线的认识与应用。
知识链接

1．认识立体图形和平面图形
我们常见的立体图形有长方体、正方体、球、圆柱、圆锥，此外，棱柱，棱锥也是常见的几何体。我们常见的平面图形有正方形、长方形、三角形、圆
2、立体图形和平面图形关系
立体图形问题常转化为平面图形来研究，常会采用下面的作法。
（1）画出立体图形的三视图
立体图形的的三视图是指正视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）得到的三个平面图形。
（2）立体图形的平面展开图
常见立体图形的平面展开图有圆柱、圆锥、三棱柱、三棱锥、正方体（共十一种）
①正方体的侧面展开图（共十一种）
第一类，“1—4—1”型，共六种。




第二类，“2—3—1”型，共三种。


第三类，“2—2—2”型，只有一种。



第四类，“3—3”型，只有一种。


典型例题

知识点一：立体图形和平面图形的关系

例1 图中有一个正方体的纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆，现用一把剪刀沿着它的棱剪成一个平面图形，则展开图应当是( )．


练习一 下图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（ ）
A．
B．
C．
D．



例2 我们从不同的方向观察同——物体时，可能看到不同的图形．如图，图①是由若干个小正方体所搭成的几何体，图②是从图①的上面看这个几何体所看到的图形，那么从图①的左面看这个几何体所看到的图形是( )．




练习二 美术课上，老师要求同学们将如图所示的白纸只沿虚线剪开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是（　　）





知识点二：图形的初步

例3 按下面的方法折纸，然后回答问题：
（1）∠2是多少度的角？为什么？
（2）∠1与∠3有何关系？
（3）∠1与∠AEC，∠3与∠BEF分别有何关系？










练习三 同学们，你玩过折纸游戏吗？折纸游戏里还蕴藏着不少数学知识呢!请准备一张长方形纸片，按照小亮的方法折纸，折叠后A′B与E′B在同一直线上，如图所示，求两折痕BC与BD的夹角∠CBD的度数。



A
B
C
P
例4 如图，在三角形中，∠=600，分别是∠和∠的平分线，则求∠的度数。












练习四 如图，在等腰三角形中，∠=600，BP是∠的平分线，∠是∠的3倍，则求∠的度数。











第二篇：相交线与平行线
第六讲 相交直线所成的角
学习目标

1、认识两直线相交所成的四个角存在的关系；
2、通过角与角之间的关系计算角度的大小；
3、垂线的性质与应用。
知识链接

（一）邻补角与对顶角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：

1
2
图形
顶点
边的关系
大小关系

对顶角


∠1与∠2
有公共顶点
∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线
对顶角相等
即∠1=∠2

邻补角
4
3


∠3与∠4
有公共顶点
∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线
邻补角互补
即
∠3+∠4=180°
注意点：
（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角。
（2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角。
（3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。
（4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。

（二）垂线
A
B
C
D
O
（1）定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
符号语言记作：如图所示：
⊥，垂足为

（2）垂线性质：①同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。

（三）垂线的画法：
（1）过直线上一点画已知直线的垂线；
（2）过直线外一点画已知直线的垂线。
注意：
①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；
②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。

（四）到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
如图，PO⊥，同到直线的距离是的长。是垂线段。是点到直线所有线段中最短的一条。
现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用
P
A
B
O






（五）如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念
（1）垂线与垂线段
区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。
联系：具有垂直于已知直线的共同特征。(垂直的性质)
（2）两点间距离与点到直线的距离
区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。
联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。
（3） 线段与距离 距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。


典型例题

知识点一：邻补角和对顶角

例1 直线和相交于点，则图中邻补角有（ ）。
A：1对 B：2对
C：3对 D：4对

练习一 如图：所示，直线和相交于点，是一条射线．

（1）写出∠的邻补角： ;
（2）写出∠的邻补角： ；
（3）写出∠的邻补角： ；
（4）写出∠的邻补角： ;
(5) 写出∠的邻补角： .


例2 如图所示，∠1与∠2是对顶角的是（ ）



练习二 如图，直线、、相交于点，求
（1）∠的对顶角是 ；
（2）∠的对顶角是 ；
(3)∠的对顶角是 ；
(4)∠的对顶角是 ；
(5)∠的对顶角是 。



例3 如图，∠3＝2∠1，求∠1，∠2，∠3，∠4的度数。






练习三 如图，3∠1＝2∠2，求∠1，∠2，∠3，∠4的度数。








例4 如图，直线、、相交于点，且∠=90°，，则_______，__________。






练习四 如图，直线、相交于点，∠ =90°,∠=30°, ∠=90°, 则求∠的度数。







知识二：垂线

例5 如图所示，⊥，是一条射线，若∠=120°，求∠度数






练习五 如图所示，直线⊥于点，直线经过点，若∠1=26°，求∠2的度数。



知识点三：垂线的画法

例6 画直线，再画直线外一点，然后画直线，使垂直.







练习六 如图所示，直线，相交于点，是CD上一点．
（1）过点画的垂线，垂足为．
（2）过点画的垂线，与相交于点．





知识点四：点到直线的距离

例7 假设你在游泳池中的点游泳，是泳池的岸，如果此时你的腿抽筋了，你会选择那条路线游向岸边？为什么？




练习七 如图所示，⊥，⊥于，=5，=12，=13，则点到的距离是________，点到的距离是_______，点到的距离是_______，>的依据是_________．





知识点五：概念区别

例8 在下列语句中，正确的是（ ）．
A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线。
B．在同一平面内，过直线上一点的直线只有一条。
C．在同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条。
D．在同一平面内，垂线段就是点到直线的距离。

练习八 下列说法中错误的个数是（ ）
（1）连接两点的线段的长度叫做两点间的距离。
（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（3）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线距离。
（4）直线外一点与直线上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是3，则点到直线的距离是3。
（5）互相垂直的两条线段一定相交。
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

第七讲 三线八角
学习目标

1、理解三线八角的意义；
2、理清同位角，内错角，同旁内角的联系与区别；
3、能正确找出互为同位角、内错角、同旁内角的角。
知识链接

（一）、三线八角



1
2
3
4
5
6
7
8
两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。如图，直线被直线所截，
①、∠1与∠5在截线的同侧，同在被截直线的上方，叫做同位角（位置相同）
②、∠5与∠3在截线的两旁（交错），在被截直线之间（内），叫做内错角（位置在内且交错）
③、∠5与∠4在截线的同侧，在被截直线之间（内），叫做同旁内角。
④、三线八角也可以成模型中看出。同位角是“F”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型。
（二）、同位角，内错角，同旁内角的联系与区别
（1）联系：
①、成对出现且顶点不同
②、都为两直线被第三条直线所截成的角
③、每对角中的角都有一条边在截线上。
（2）区别
①、弄清“被截直线”和“截线”
②、同位角，同旁内角在截线同侧。
③、内错角在截线两侧。
知识点一：三线八角
典型例题



例1 如图，能与构成同位角的有（ ）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个

练习一 看图，按要求填空（只填图中标出的角）。
（1）∠2的同位角是：
（2）∠4的同位角是：



例2 如图，图中的内错角的对数是（ ）
A. 5对 B. 6对
B. C. 7对 D. 8对


练习二 找出图中的内错角。



例3 如图，图中同旁内角的对数是（ ）
A. 2对 B. 3对
C. 4对 D. 5对



练习三 如图，能与构成同旁内角的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
知识点二：同位角、内错角、同旁内角的区别与联系

例4 根据下图，回答下面的问题。
1、是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的_________角。
2、是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的__________角。
3、是两条直线 与 被第三条直线 所截构成 角。



练习四 在例4的图中，完成下题：
1、是两条直线____与_____被第三条直线_____所截构成的_______角。
2、是两条直线 与 被第三条直线______所截构成的________角。
3、是两条直线 与 被第三条直线______所截构成的________角。
小结：正确识别这三类角应注意的问题．（1）识别这三类角首先要抓住“三条线”，即：哪两条直线被哪一条直线所截．(2)抓住“截线”，截线的同侧有哪些角、从中找同位角和同旁内角，（3）在截线的两侧找内错角．
第八讲 平行线的判定（一）
学习目标

1、掌握平行线的定义及表示方法；
2、掌握平行线的判定方法；
3、掌握两直线平行的推理过程。
知识链接

（一）、平行线的定义及表示方法
在同一平面内，两条不相交的直线就是平行线，如图，与平行可记做“∥”或“∥”
A B
C D

(二)、平行公理
1、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
注意：“有且只有”包含两层意思，①表示存在性 ②表示唯一性。
2、 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，也就是说，如图，如果∥，∥，那么∥

（三）、平行线的判定方法
1、同位角相等，两直线平行。
2、内错角相等，两直线平行。





典型例题

知识点一：平行线的定义及表示方法

例1 判断正误
（1） 在同一平面内，两条直线不相交就平行。（ ）
（2） 过一点只有一条直线与已知直线平行。（ ）
（3） 说两条线段或射线平行是指他们所在的直线平行。（ ）
(4) 两条不相交的直线是平行线。（ ）

练习一 下列说法中错误的个数是（ ）
（1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。
（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种.
（4）不相交的两条直线叫做平行线。
（5）有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角。
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

知识点二：平行公理和平行的判定方法

例2 能否由平行线的画法找到判断两直线平行的条件？

如图，把直尺的一边作为第三条直线，在画平行线的过程中，始终保持什么角相等？ 由此你能猜想两条直线平行的依据吗？
平行线判定方法1：
简称：
你能用符号语言表述平行线判定公理吗？
∵ （ ）
∴ （ ）


练习二 如图③ ∵∠1=∠2，
∴____∥_______（ ）。
∵∠2=∠3，
∴_____∥______（ ）。
两条直线被第三条直线所截形成“三线八角”，同时得到同位角、内错角和同旁内角，由同位角相等可以判定两直线平行，那么，能否利用内错角来判定两直线平行呢？





例3 如图：回答下列问题
(1) ∠3=∠4时, 与是什么关系?
(2) ∠3与∠4是什么位置关系的角?
(3)当∠3=∠4时, 与平行么？通过以上你能总结出什么结论？
平行线判定方法2：
简称：



练习三 完成推理，写出依据
1、如图④ ∵∠1=∠2，
∴_____∥_____（ ）。
∵∠3=∠4，
∴______∥______（ ）。
2、如图⑤ ∠，那么图形中的平行线有____________________________。



⑤

3、如图：∠1=，∠2=，∠3=，试说明直线与，与的位置关系。





















第九讲 平行线的判定（二）
学习目标

1、 掌握平线的判定方法，并能够灵活运用；
2、 通过对平行线判定的基本证明方法，提高解题的思维能力以
及判断能力。
知识链接

平行线的判定方法
方法一：如果∥，∥，那么∥c ，即平行于同一条直线的两条直线平行。
方法二：如图1，若1=2，则∥，即同位角相等，两直线平行。
方法三：如图1，若3=4，则∥，即内错角相等，两直线平行。
方法四：如图1，若2+4=，则∥，即同旁内角互补，两直线平行。
方法五：如图2，若，，则∥，即在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。










典型例题

例1 如图∵∠5+∠4=180°
∴____∥____（ ）。




练习一 如图①，已知∠1=70°，要使∥，则须具备另一个条件（　　）
A、∠2=70° B、∠2=100°
C 、∠2=110° D、∠3=110°



例2 如图⑥ ∵⊥，⊥（已知）
∴∥ ( )
又∵ ∠1+∠2 =（已知）
∴∥ ( )
∴∥ ( )






练习二 如图，、被所截，点在上，如果平分∠交于，并且∠2=∠50°，∠C=80°，那么与平行吗？请说明理由．
解：
∵平分∠（已知），
∴∠1=∠　 = （　 　）。
∴∠1+∠2=100°,
∴ + =180°
∴∥（ 　）．



例3 如图，已知点在上，且平分∠，平分∠，∠＝90°，证明：∥。








练习三 如图，直线分别交、于点，∠的平分线与∠的平分线相交于点．∠=90°，
求证：∥.






第十讲 平行线的性质
学习目标

1、掌握平行线的性质，并能够灵活运用。
2、通过对平行线判定和性质的基本证明方法，提高解题的思维
能力以及判断能力。
知识链接

(一)平行线的性质
如图，将下列空白补充完整（填1种就可以）
性质1（性质公理）
几何语言表述为：
∵∥
∴ ∠ =∠ .
由性质1，结合对顶角的性质，们可以得到：

性质2（性质定理）
几何语言表述为：
∵∥
∴ ∠ =∠ .

由性质1，结合邻补角的性质，我们可以得到：

E
D
C
B
A
性质3（性质定理）
几何语言表述为：∵∥
∴ ∠ +∠ = .
典型例题

例1 如右图所示，平分∠，∥，图中相等的角共有（ ）
A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对
练习一
1、 根据右图将下列几何语言补充完整
(1)∵∥ (已知)
∴∠+∠=180°( )
(2)∵∥ (已知)
∴∠4=∠ ( )



2、如图，∥,∠1=45°,∠=∠,求∠、∠、∠的度数.




例2 如图，已知∠1=∠2，∥，试说明∥。







练习二 如图，直线、相交于点，∥AB．若∠=100°，求∠的度数。




例3 已知：如图，∥，∠1=∠2，求证：∠=∠．





练习三 如图: ∥，∥，则∠+∠的度数为________。






例4 如图4，直线分别与直线相交，与∠3互余，∠3的余角与∠2互补，，则 。





练习四 如图，已知：，，求的度数。








A
B
C
D
M
N
例5 已知：如图 ，，那么这三个角有怎样的数量关系呢?







练习五 已知:如图, ∥.求证: ∠+∠+∠=360°.
E
D
C
A
B



























第十一讲 平移
学习目标

1、通过观察，设计图案等活动，理解什么是图形的平移，并理解平移的性质；
2、能按照要求作出简单的平面图形的平移后的图形；
3、通过具体实例认识图形的平移变换，通过现实生活中的各种丰富
的实例，让学生体会图形的平移现象，让学生通过各种图形的平移
，体验感受图形平移的方向和移动的距离，探索它的基本性质。

知识链接






平移
1、定义: 在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.
2、平移的性质和特征:
a:平移不改变图形的形状和大小
b:平移不改变直线的方向
C.一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等.
3、由平行的定义可知平移的条件：
（1）图形平移的方向要确定.
（2）图形平移的距离.
注意：（1）平移前后的图形与原来的图形的形状和大小完全相同。（2）平移前后的两个图形中的对应的线段相等，对应的角相等。（3）由平移的性质得等量关系时，一定要注意元素的对应，只有对应准确，才能“相同”或“相等”。
（2）














4.平移作图

必备知识点

知识点一：平移的相关概念

例1下面生活中的物理的运动情况可以看成平移的是（ ）
摆动的钟摆；随风摆动的旗帜；摆动的大绳；汽车雨刷在玻璃上的运动；从楼顶自由下落的球（球不转动）
A. B. C. D.

练习一 在以下生活现象中,不是平移现象的是（ ）
A.站在运动着的电梯上的人 B.左右推动的推拉窗扇
C.小李荡秋千运动 D.躺在火车上睡觉的旅客
知识点二：平移的性质

例2 如图（1），三角形ABC经过平移之后得到三角形DEF。
图（1）

（1） 点A的对应点是 ，点B的对应点是
（2） 线段AB与线段 的长度相等；线段BC=4，
线段EF= .
（3） ∠A的对应角是 ， 的对应角是∠F.

练习二 如图（2）所示，△平移到△的位置，则点的对应点是 ，点的对应点是 ，点的对应点是 。线段的对应线段是 ，线段的对应线段是 ，线段的对应线段是_______。∠的对应角是________，∠的对应角是________，∠的对应角是________。△的平移方向是 ，平移距离是 。



图（2）

知识点三：平移作图

例3 如图（3），经过平移，四边形ABCD的顶点A平移到点E，作出平移后的图形。

图（3）


练习三 将图中的小船向左平移四格.




















































































































































































































































必考题型

题型一：平移变换的识别




例1 下列各组图形中，可以经过平移变换由一个图形得到另一个图形的是（ ）


变式训练
1、下列四幅图案中，能通过平移如图（4）所示的图案得到的是（ ）

图（4）


题型二：平移的性质的应用




例2 如图（5），已知在三角形ABC中，BC=4cm，把三角形ABC沿BC方向平移2cm得到三角形DEF，问：
（1） 图中与∠A相等的角有多少个？
（2） 图中的平行线共有多少对？请分别写出来。
BE:BC:BF是多少？ 图（5）
变式训练
2、如图（6），已知DE是由线段AB平移得到的，且AB=DC=4cm，EC=3cm,则三角形DCE的周长为（ ）
图（6）
A、9cm B、10cm C、11cm D、 12cm

3、如图（7）、将直角三角形ABC沿BC方向平移得到三角形DEF，若AB=8cm，BE=4cm，DH=3cm，则图中阴影部分的面积为 （ ）
图




题型三：平移作图问题



例3 如图（8），每个小正方形边长都为1cm，（1）把三角形ABC先向右平移5格，再向上平移4格得到三角形;
（2） 求三角形ABC的面积。
图（8）

变式训练
4、 如图（9），将图中的“小船”平移，使点A平移到点的位置，画出平移后的“小船”。
图（9）





5、如图（10），在四边形ABCD中，AD//BC,AD=BC,∠AEC=90O,试画出将三角形ABE平移后的图形，其平移方向为射线AD的方向，平移距离为线段AD的长。
图（10）








题型四：利用平移解决实际问题




例4 如图（11），一块边长是20cm的百色正方形手帕上面横竖各有两道宽度都是2cm的彩色条纹，你能计算出手帕上百色部分的面积吗？

图（11）





变式训练
6、庭院里有一块长为am,宽为bm的草地,现计划在AD,BC之间修一条宽为1m的小路,图(1)(2)(4)分别给出了三种修路方案
(1)请你由图(3)中设计一种不同的修路方案，
(2)比较四种修路方案中草地剩余面积的大小，并说明理由。










第十二讲 相交线与平行线总复习
知识点一：相交线

（1） 意义--两条直线相交得到的四个角中：有一个公共顶点，
两边互为反向延长线的两个角互为对顶角；有一条公共边，另一边互
为反向延长线的两个角互为邻补角。
（2）主要考点--对顶角、邻补角的概念以及性质
①互为对顶角的两个角相等 ②邻补角互补


例1 直线AB、CD、EF相交于同一点O，∠BOC=∠AOC，
∠DOF=∠AOD，那么∠FOC= 度．









练习一 直线AD、BC交于O点，∠AOB=∠AOC，那么∠COD=
度

 
 
 
 
 
知识点二：垂线和垂线段
 
（1）意义--垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角
是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条
直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的
线段叫做垂线段。
（2）主要考点--垂线，垂线段的性质
①在同一平面内，对一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

例2 MN⊥AB，垂足为M点，MN交CD于N，过M点作MG⊥CD，垂足为G，EF过点N，且EF∥AB，交MG于H点，其中线段GM的长度是________到________的距离，线段MN的长度是______到_____的距离，又是_______的距离，点N到直线MG的距离是______。









练习二 如图，要从村庄P修一条公路，使人们自村庄P出发到公
路的距离最短，试画出该小路，并说明理由。




知识点三：三线八角

（1）意义--两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成
了同位角、内错角与同旁内角。
（2）主要考点--同位角、内错角、同旁内角的概念
例3 如图，能与∠1构成同旁内角的角有（ ）个
 A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个

练习三 如图所示，下列说法正确的是（ ）

A.∠1和∠5是同位角 B.∠3和∠5是同旁内角
C.∠2和∠4是同位角 D.∠3和∠4是内错角
知识点四：平行线、平行公理

（1）意义--在同一平面内，不想交的两条直线叫平行线。
（2）主要考点--平行线的概念，平行公理及推论
①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
②如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。

例4 下列说法中正确的个数是（ ）
 （1）在同一平面内，a、b、c是直线，a∥b，b∥c，则a∥c 
（2）在同一平面内，a、b、c是直线，a⊥b，b⊥c，则a⊥c 
（3）在同一平面内，a、b、c是直线，a∥b，a⊥c，则b⊥c 
（4）在同一平面内，a、b、c是直线，a⊥b，b⊥c，则a∥c
A．1  B．2  C．3  D．4

练习四 下列说法不正确的是（ ）
 A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
 B．同一平面内两条不相交的直线是平行线
 C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直
 D．平行于同一直线的两直线平行
知识点五、平行线的判定与性质
（1） 意义--
判定：两直线被第三条直线所截，如果：
①同位角相等，那么这两条直线平行
②同内错相等，那么这两条直线平行
③同同旁内角互补，那么这两条直线平行
性质：①两直线平行，同位角相等
②两直线平行，内错角相等
③两直线平行，同旁内角互补
（2）主要考点--平行线的判定方法和平行线的性质
例5 如图，已知AB∥CD，∠B=∠D，求BC∥DE.







练习五 MF⊥NF于F，MF交AB于点E，NF交CD于点G，
∠1=140°，∠2=50°，试判断AB和CD的位置关系，并说明理由。