高中北师大版 (2019)4.3 诱导公式与对称评优课ppt课件

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1.诱导公式(-α,π±α)的推导在直角坐标系中α与-α角的终边关于____对称;α与π+α的终边关于_____对称;α与π-α的终边关于____对称.
2.诱导公式 的推导① -α的终边与α的终边关于直线____对称.②公式sin =cs α,cs =sin α用-α代替α并用前面公式sin =cs α,cs =-sin α
【思考】设α为任意角,则2kπ+α,2kπ-α的终边与α的终边有怎样的对应关系?提示:
3.2kπ±α,-α,π±α(k∈Z)的诱导公式对任意角α,有下列关系式成立:sin(2kπ+α)=sin α,cs(2kπ+α)=cs α.sin(-α)=-sin α,cs(-α)=cs α.sin(2π-α)=-sin α,cs(2π-α)=cs α.sin(π-α)=sin α,cs(π-α)=-cs α.sin(π+α)=-sin α,cs(π+α)=-cs α.
这五组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变,符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致,符号则是将α看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号.
【思考】视α为锐角,则诱导公式中各角所在象限是什么?提示:
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)cs(2π-α)=cs α.(　　)(2)sin(2π-α)=sin α.(　　)(3)诱导公式中的角α只能是锐角.(　　)(4)sin =cs α.(　　)(5)若α为第二象限角,则sin =cs α.(　　)(6)sin =cs .(　　)
提示:(1) √.cs(2π-α)=cs(-α)=cs α.(2) ×.sin(2π-α)=sin(-α)=-sin α.(3) ×.诱导公式中角α不仅可以是锐角,还可以是任意角.(4) ×.因为sin =-sin =-cs α,所以sin =cs α是错误的.(5) √.诱导公式中的角α为任意角,在化简时先限定α为锐角.(6) √.因为 -α+ +α= ,所以成立.
2.cs 300°+sin 450°的值是(　　)　　　　　A.-1+ 　B. C.-1- D. 【解析】选D.原式=cs(360°-60°)+sin(360°+90°)=cs(-60°)+sin 90°=cs 60°+1= .
3.cs 的值是(　　)【解析】选D.
4.(教材二次开发:习题改编)已知sin x= ,则cs =(　　) 【解析】选A.
类型一　知角求值(数学运算)【典例】求下列三角函数值:(1)cs(-1 290°); (2)sin 1 230°;(3)cs
【思路导引】利用诱导公式求解
【解析】(1)cs(-1 290°)=cs 1 290°=cs(210°+3×360°)=cs 210°=cs(180°+30°)=-cs 30°=- .(2)sin 1 230°=sin(150°+3×360°)=sin 150°=sin(180°-30°)=sin 30°= .
【解题策略】 　利用诱导公式,把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤为:可简记为:负化正,大化小,化成锐角再求值.
【跟踪训练】 　求下列三角函数值.
类型二　给值求值问题(数学运算)【题组训练】 1.已知sin ,且α是第四象限角,则cs(α-2π)的值是(　　)2.已知cs ,求cs 的值.3.已知cs ,求
【思路导引】1.直接利用诱导公式求解,注意角α所在的象限.2.利用复合角之间的关系及诱导公式求解.3.要注意到 等角之间的关系,恰当运用诱导公式求值.
【解析】1.选B.因为sin 且sin =cs α,所以cs(α-2π)=cs α= .2.因为
3.方法一:因为
方法二:设 -α=β,则α= -β,所以
【解题策略】1.观察已知角与未知角之间的关系,运用诱导公式将不同名的函数化为同名的函数,将不同的角化为相同的角,是解决问题的关键.2.对于有条件的三角函数求值题,一般求解的基本方法是从角的关系上寻求突破,找到所求角与已知角之间的关系,结合诱导公式,进而把待求式转化到已知式而完成求值.3.当所给的角是复合角时,不易看出已知角与所求角的联系,可将已知角看成一个整体,用这个整体去表示所求角,便可发现它们之间的关系.
【补偿训练】　　　已知sin ,那么cs α=(　　)【解析】选C.
类型三　三角函数式的化简(逻辑推理)角度1　直接用诱导公式化简、求值 【典例】化简求值
【思路导引】(1)利用诱导公式化简;(2)用诱导公式把角化成锐角求解.
　角度2　分类讨论化简 【典例】设k为整数,化简下面的式子: 【思路导引】对k分奇数和偶数进行分类讨论.
【解析】方法一:当k为偶数时,设k=2m(m∈Z),则原式= 当k为奇数时,可设k=2m+1(m∈Z),同理可得,原式=-1.故不论k为奇数还是偶数,原式=-1.
方法二:由(kπ+α)+(kπ-α)=2kπ,[(k-1)π-α]+[(k+1)π+α]=2kπ,得sin(kπ-α)=-sin(kπ+α),cs[(k-1)π-α]=cs[(k+1)π+α]=-cs(kπ+α),sin[(k+1)π+α]=-sin(kπ+α).故原式=
【解题策略】利用诱导公式化简的原则(1)化简三角函数式的过程,实质上是“统一角”“统一函数名”的过程,所以在三角函数式的化简过程中应学会“看角、看函数名”的分析方法.(2)化简三角函数式时,若遇到kπ±α的形式时,需分k为奇数和k为偶数两种情况进行讨论,然后再正确运用诱导公式进行化简.常见的一些关于参数k的结论有①sin(kπ+α)=(-1)ksin α(k∈Z).②cs(kπ+α)=(-1)kcs α(k∈Z).
③sin(kπ-α)=(-1）k+1sin α(k∈Z).④cs(kπ-α)=(-1)kcs α(k∈Z).
【题组训练】1.化简求值. 【解析】原式=
2.化简cs(nπ+x)+cs(nπ-x)(n∈Z).【解析】当n为奇数时,设n=2k+1(k∈Z),原式=cs [(2k+1)π+x]+cs [(2k+1)π-x]=cs(π+x)+cs(π-x)=-cs x-cs x=-2cs x;当n为偶数时,设n=2k(k∈Z),原式=cs(2kπ+x)+cs(2kπ-x)=cs x+cs(-x)=2cs x,故原式=
1.当α∈R时下列各式恒成立的是(　　)　　　　　　A.sin =-cs αB.sin(π-α)=-sin αC.cs (210°+α)=cs (30°+α)D.cs (-α-β)=cs (α+β)【解析】选D.由诱导公式知D正确.
2.sin 210°=(　　) 【解析】选D.sin 210°=sin(180°+30°)=-sin 30°=- .
3.在△ABC中,已知sin ,则cs 的值为(　　) 【解析】选C.因为A+B+C=π,所以 所以
4.已知cs ,则cs =______. 【解析】 答案:
5.(教材二次开发:练习改编)化简: 【解析】原式=
六　诱导公式与对称　诱导公式与旋转【基础通关一水平一】(15分钟　30分)1.sin(-390°)的值为(　　)　　　　　　　 【解析】选D.sin(-390°)=sin (-360°-30°)=sin (-30°)=-sin 30°=- .
2.已知角α的终边上有一点P(1,3),则的值为(　　) 【解析】选A.因为角α的终边上有一点P(1,3),在第一象限,所以由三角函数的定义知sin α= ,cs α= .因为
3.已知sin 10°=k,则cs 620°的值等于(　　)A.k　B.-kC.±k　D.不能确定【解析】选B.cs 620°=cs (360°+260°)=cs 260°=cs (180°+80°)=-cs 80°=-sin 10°=-k.
4.sin (-1 200°)·cs 1 290°+cs (-1 020°)·sin (-1 050°)=______. 【解析】原式=-sin 1 200°·cs 1 290°-cs 1 020°·sin 1 050°=-sin (-60°+7×180°)·cs (30°+7×180°)-cs (-60°+3×360°)·sin (-30°+3×360°)=sin (-60°)(-cs 30°)-cs (-60°)sin (-30°)=- ×(- )- ×(- )=1.答案:1
5.已知cs (75°+α)= ,求cs (105°-α)+sin (15°-α)的值.【解析】因为(105°-α)+(75°+α)=180°,(15°-α)+(α+75°)=90°,所以cs (105°-α)=cs [180°-(75°+α)]=-cs (75°+α)=- ,sin (15°-α)=sin [90°-(α+75°)]=cs (75°+α)= .所以cs (105°-α)+sin (15°-α)=- + =0.
【能力进阶一水平二】　 (30分钟　60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.已知函数f(x)=cs ,则下列等式成立的是(　　)A.f(2π-x)=f(x)　B.f(2π+x)=f(x)C.f(-x)=-f(x)　D.f(-x)=f(x)
【解析】选D.因为f(x)=cs ,所以f(-x)=cs(- )=cs ,所以C不对;又f(2π-x)=cs =cs (π- )=-cs =-f(x).所以A不对.因为f(2π+x)=cs =cs (π+ )=-cs ≠f(x),B不对.
2.若sin(π+α)+cs ( +α)=-m,则cs ( -α)+2sin (6π-α)的值为(　　)
【解析】选B.因为sin (π+α)+cs ( +α)=-m,所以-sin α-sin α=-2sin α=-m,所以sin α= .所以cs ( -α)+2sin (6π-α)=-sin α-2sin α=-3sin α=- m.
3.若角A,B,C是△ABC的三个内角,则下列等式中一定成立的是(　　)A.cs (A+B)=cs CB.sin (A+B)=-sin CC.cs ( +C)=sin BD.sin
【解析】选D.因为A+B+C=π,所以A+B=π-C,所以cs (A+B)=-cs C,sin (A+B)=sin C.所以A,B都不正确;sin B=sin(π-A-C)=sin(A+C)=cs ,所以C选项无法证明成立.B+C=π-A,所以sin =sin ( )=cs ,因此D是正确的.
4.已知sin ( -α)= ,那么cs ( -α)=(　　) 【解析】选D.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.如果α+β=180°,那么下列等式中不成立的是(　　)A.cs α=cs βB.cs α=-cs βC.sin α=-sin βD.sin α=cs β【解析】选ACD.由α+β=180°得α=180°-β,两边同时取正弦函数得sin α=sin(180°-β)=sin β,两边同时取余弦函数得cs α=cs(180°-β)=-cs β.
【光速解题】令α=60,β=120求解.
6.已知n∈Z,则下列三角函数中,与sin 数值相同的是(　　)A.sin 　　　B.cs C.sin D.cs 【解题指南】对n进行分类讨论,然后利用诱导公式求解.
【解析】选BC.A中n为偶数时sin =-sin ;B中cs =cs =sin ;C中sin =sin ;D中cs =-cs =-sin .
三、填空题(每小题5分,共10分)7.sin =______. 【解析】sin =-sin =-sin =-sin =sin 答案:
8.若函数f(x)=asin(πx+α)+bcs(πx+β),其中a,b,α,β都是非零实数,且满足f(2 015)=2,则f(2 016)=________. 【解析】因为f(2 015)=asin(2 015π+α)+bcs(2 015π+β)=2,所以f(2 016)=asin(2 016π+α)+b·cs(2 016π+β)=asin[π+(2 015π+α)]+bcs [π+(2 015π+β)]=-[asin(2 015π+α)+bcs(2 015π+β)]=-2.答案:-2
四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知f(α)=(1)化简f(α);(2)若α为第四象限角且sin 求f(α)的值;(3)若α=- π,求f(α).
【解析】(1)f(α)= (2)因为sin =sin =cs α= ,所以f(α)=-cs α=- .(3)
10.化简求值:
(2)①当n为奇数时,原式= =-sin ②当n为偶数时,原式=-sin ·cs