北师大版 (2019)必修 第二册第一章 三角函数4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义完美版ppt课件

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1.单位圆在直角坐标系中,以原点为圆心,以单位长度为半径的圆,称为单位圆.
2.正弦函数、余弦函数的定义(1)定义:如图,在直角坐标系中,给定单位圆,对于任意角α,使角α的顶点与原点重合,始边与x轴正半轴重合,终边与单位圆交于点P(u,v),那么点P的纵坐标v是角α的正弦函数值,记作v=______;点P的横坐标u是角α的余弦函数值,记作u=______. 
(2)对正弦函数、余弦函数定义的理解①定义中,α是一个任意角,同时它也可以是一个实数(弧度数).②角α的终边与单位圆O交于点P(u,v),实际上给出了两个对应关系,即实数α(弧度)对应于点P的纵坐标v 正弦实数α(弧度)对应于点P的横坐标u 余弦
③三角函数可以看成以实数为自变量,以单位圆上的点的坐标为函数值的函数.角与实数是一对一的.角和实数与三角函数值之间是多对一的,如图所示.
④sinα是一个整体,不是sin与α的乘积,单独的“sin”“cs”是没有意义的.
3.正弦函数、余弦函数定义的拓展任意角的正弦、余弦函数的定义,实际上,我们可以把定义进一步拓展,通过角的终边上任意一点的坐标来定义正弦、余弦函数.设α是一个任意角,α的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与原点的距离是r(r= >0),如图
那么,比值 叫作α的正弦,记作sinα,即sinα= ;比值 叫作α的余弦,记作csα,即csα= .
4.正弦函数、余弦函数的定义域和值域正弦函数y=sin x和余弦函数y=cs x的定义域为全体实数,值域为[-1,1].
【思考】　对于任意角α,sinα,csα都有意义吗? 提示:由三角函数的定义可知,对于任意角α,sinα,csα都有意义.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)若sinα>0,则角α的终边在第一或第二象限.(　　)(2)若sinα=sinβ,则α=β.(　　)提示:(1)×.因为sinα>0,所以角α的终边还有可能在y轴的正半轴上.(2)×.正弦值相等,但两角不一定相等,如sin 60°=sin 120°,但60°≠120°
2.若角α的终边与单位圆相交于点 ,则sin α的值为(　　)A. 　　　B.- 　　　C. 　　　D.- 【解析】选B.利用任意角三角函数的定义可知,点 到原点的距离为1,则sin α= = .
3.(教材二次开发:练习改编)已知P(3,4)是α终边上一点,则sin α等于(　　)A. B. C. D. 【解析】选C.因为r= =5,所以sinα=
类型一　利用正、余弦函数的定义求值(数学抽象、数学运算)【题组训练】1.设角α的终边上有一点P(4,-3),则2sinα+csα的值是(　　)A.- B. C.- 或 D.12.已知P(-2,y)是角α终边上一点,且sinα=- ,则cs α=______. 3.已知角α的终边落在射线y=2x(x≥0)上,求sinα,csα的值.
【解析】1.选A.由三角函数的定义可知sin α= =- ,cs α= = ,所以2sinα+csα=2× + =- .
2.因为r= ,所以sinα= = =- .所以y0.因为r=|OP|= = a(O为坐标原点),所以sinα= = = ,csα= = = .
【解题策略】　求任意角的三角函数值的两种方法方法一:根据定义,寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标,然后利用定义得出该角的正弦、余弦值.方法二:第一步,取点:在角α的终边上任取一点P(x,y)(P与原点O不重合);第二步,计算r:r=|OP|= (r>0);第三步,求值:由sin α= ,cs α= 求值.
类型二　单位圆中的角(直观想象)【典例】在直角坐标系的单位圆中,已知α= π.(1)画出角α;(2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标;(3)求出角α的正弦函数值.
【思路导引】(1)利用终边相同的角找到α的终边;(2)利用直角三角形中的边角关系求交点坐标;(3)利用三角函数定义求正弦函数值.
【解析】(1)因为α= π=2π+ π,所以角α的终边与 π的终边相同.以原点为角的顶点,以x轴非负半轴为角的始边,逆时针旋转 π,与单位圆交于点P,则角α如图所示.
(2)因为α= π,所以点P在第二象限,由(1)知∠AOP= 过点P作PM⊥x轴于点M.则在Rt△OMP中,∠OMP= ,∠MOP= ,OP=1,由直角三角形的边角关系,得OM= ,MP= ,所以得点P的坐标为 .(3)根据正弦函数的定义有sin = .
【解题策略】(1)先将角α表示为α=β+2kπ(-π0)或顺(k0,b>0　B.a>0,b