高中第一章 三角函数6 函数y=Asin(wx+φ)性质与图象本节综合与测试优质ppt课件

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1.函数y=sin(ωx+φ)的性质(1)定义域:R.(2)值域:[-1,1].(3)周期:最小正周期T= .
(4)当ωx+φ=2kπ+ ,k∈Z时,y最大值为1;当ωx+φ=2kπ- ,k∈Z时,y最小值为-1.其他性质:函数y=sin(ωx+φ)周期的倒数 = 为函数y=sin(ωx+φ)的频率.函数 y=sin(ωx+φ)中通常称φ为初相,ωx+φ为相位.思考:如何画函数y=sin(ωx+φ)在一个周期上的图象?提示:令相位分别等于正弦函数五点法作图中的五点(0,0), ,(π,0), ,(2π,0)的横坐标,求出x值作为横坐标,纵坐标不变,五点法作图.
2.常数ω,φ对函数y=sin(ωx+φ)图象的影响(1)ω(ω>0)对函数图象的影响y=sin x y=sin ωx.(2)φ对函数图象的影响y=sin x y=sin(x+φ)
思考：由一般的函数f(x)的图象怎样得到函数f(x+a)的图象?提示:将函数f(x)的图象当a>0时,向左平移a个单位;当a<0时,向右平移-a个单位.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)函数y=sin 的周期是π. (　　)(2)将函数y=sin x图象上点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的2倍,得到函数y=sin 2x的图象. (　　)(3)将函数y=2sin 中,初相是 . (　　)
提示:(1)×.周期为2π.(2)×.得到函数y=sin x的图象.(3)×.初相为- .
2.函数y=sin +1的最小正周期为(　　)A. 　 B.π　　 C.2π　　 　　D.4π【解析】选B. T= =π.
3.(教材二次开发:例题改编)将函数y=sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)得____的图象. 【解析】依题意知将y=sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的 后可得y=sin6x的图象.答案:y=sin 6x
类型一　函数y=sin(ωx+φ)的图象变换(直观想象、数学运算)【典例】1.将函数y=sin 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移 个单位得到的图象对应的解析式是(　　)A.y=sin x B.y=sin C.y=sin 2x D.y=sin 2.(2020·白银高一检测)把函数y=sin 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,所得图象正好关于原点对称,则φ的最小值为________. 
【思路导引】1.逐一代入变换条件,求解析式.2.先表示出平移后的解析式,再利用图象关于原点对称求最小值.
【解析】1.选B.将函数y=sin 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),可得y=sin 的图象;再向右平移 个单位,得到的图象对应的解析式为y=sin =sin .2.将函数的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,可得y=sin 的图象,再根据所得图象关于原点对称,可得 +φ=kπ,k∈Z,当φ取最小值时,得 +φ=2π,φ= .答案:
【解题策略】(1)变换的要点:①ω(ω>0):纵坐标不变,横坐标变为原来的 倍;②φ:左右平移的单位是 .(2)变换的方向:进行图象变换时还要注意变换的顺序,分清是由哪一个函数变换到另一个函数.
【跟踪训练】1.(2020·汕头高一检测)为了得到函数y=sin 的图象,只要把y=sin x的图象上所有的点(　　)A.向左平移 个单位长度B.向右平移 个单位长度C.向左平移 个单位长度D.向右平移 个单位长度
【解析】选C.y=sin =sin ,所以得到函数y=sin 的图象,只要把y=sin x的图象上所有的点向左平移 个单位.
2.(2020·岳阳高一检测)将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移1个单位长度后得到g(x)的图象,则g(x)=(　　)A.sin(2x-1)B.sin(2x+1)C.sin(2x-2)D.sin(2x+2)【解析】选C.将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移1个单位长度后得到g(x)=sin =sin(2x-2)的图象,所以g(x)=sin(2x-2).
类型二　函数y=sin(ωx+φ) 中φ的求法 (直观想象、数学运算) 【典例】已知函数f(x)=sin +1(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为 .(1)求f 的值;(2)将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的单调递减区间.
【思路导引】(1)由函数为偶函数确定φ- 的值进而得到φ的值,再根据相邻对称轴间的距离得出周期,从而求得ω的值便可获得函数解析式,最后求得f 的值;(2)先根据图象变换规则求出g(x)的解析式,再求单调区间.
【解析】(1)因为f(x)为偶函数,所以φ- =kπ+ (k∈Z)即φ=kπ+ (k∈Z),又0<φ<π,所以φ= ,故f(x)=sin +1=cs ωx+1,因为函数f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 ,所以T= =2× ,解得ω=2.因此f(x)=cs2x+1,故f =cs +1= +1.
(2)将f(x)的图象向右平移 个单位长度后,得到函数f 的图象,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到f 的图象,所以g(x)=f =cs +1,由2kπ≤ ≤2kπ+π(k∈Z),解得4kπ+ ≤x≤4kπ+ (k∈Z),故函数g(x)的单调递减区间是 (k∈Z).
【解题策略】确定y=sin(ωx+φ)中参数φ的方法(1)把图象上的一个已知点的坐标代入来求;(2)寻找“五点作图法”中的某一个点来求,具体如下:利用“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时,令ωx+φ=0;利用“第二点”(即图象的“峰点”)时,令ωx+φ= ;利用“第三点”时,令ωx+φ=π;利用“第四点”(即图象的“谷点”)时,令ωx+φ= π;利用“第五点”时,令ωx+φ=2π.注意:要观察题目所给图象是否适合用“五点作图法”.
【变式探究】本例(2)中,若改为“将f(x)的图象向右平移φ 个单位长度,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数h(x)的图象,使h(x)的一个对称轴为x=- ”,求φ的值.【解析】依题意有h(x)=f =cs +1,因为其图象的对称轴为x=- ,所以 · -2φ=kπ,解得φ=- - (k∈Z),又因为0<φ< ,所以取k=-1得φ= .
类型三　 函数y=sin(ωx+φ)的性质与图象的应用(直观想象、数学运算)【典例】设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x= .(1)求此函数的解析式;(2)求函数y=f(x)的单调增区间.【思路导引】(1)利用相位2x+φ等于kπ+ ,k∈Z求φ. (2)利用相位 2x+φ在正弦函数y=sin x单调增区间内求单调增区间.
【解析】(1)因为x= 是函数y=f(x)的图象的对称轴,所以sin(2× +φ)=±1,所以 +φ=kπ+ (k∈Z),因为-π<φ<0,所以φ=- .因此y=sin .(2)由(1)知y=sin .由题意得2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z),即kπ+ ≤x≤kπ+ π(k∈Z),所以函数y=sin 的单调递增区间为 (k∈Z).
【解题策略】函数y=sin(ωx+φ)单调性问题的解题策略求y=sin(ωx+φ)的单调区间时,首先把x的系数ω化为正值,然后利用整体代换,把ωx+φ代入相应不等式中,求出相应的自变量x的范围.
【跟踪训练】函数y=sin(ωx+φ) 在x∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值,且当x=π时最大值为1,当x=6π时,最小值为-1.(1)求此函数的解析式.(2)求此函数的单调递增区间.
【解析】(1)由题意得 T=5π,所以T=10π,所以ω= ,则y=sin .因为点(π,1)在此函数图象上,则sin =1,又因为0≤φ≤ ,有φ= = ,所以y=sin .
(2)当- +2kπ≤ x+ ≤ +2kπ,k∈Z,即-4π+10kπ≤x≤π+10kπ,k∈Z时,函数y=sin 单调递增.所以此函数的单调递增区间为[-4π+10kπ,π+10kπ](k∈Z).
1.函数y=sin(-2x),x∈[0,2π]的简图是(　　)
【解析】选D.y=sin(-2x),x∈[0,2π],可得函数的最小正周期为π,函数y的图象为两个周期,故A,B均错;由x∈ 可得2x∈ ,y=sin(-2x)<0.
2.已知函数f(x)=sin(2x+ ),将其图象向右平移φ(φ>0)个单位后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)为偶函数,则φ的最小值为(　　)A. B. C. D. 【解析】选B.由题意得g(x)=sin =sin ,因为g(x)为偶函数,所以函数g(x)的图象关于x=0对称,所以当x=0时,函数g(x)取得最大值或最小值,所以sin =±1,所以-2φ+ =kπ+ ,k∈Z,解得φ=- - ,k∈Z,因为φ>0,所以当k=-1时φmin= .
3.已知函数y=sin ,则该函数的最小正周期、初相分别是____,______. 【解析】由函数y=sin 的解析式知,最小正周期为T= =10π,初相为 .答案:10π　
4.(教材二次开发:练习改编)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)在一个周期内,当x= 时有最大值1,当x= 时有最小值-1,则ω=________. 【解析】由题意知T=2× =π,所以ω= =2.答案:2
九　探究ω对y=sinωx的图象的影响　探究φ对y=sin(x+φ)的图象的影响【基础通关—水平一】(15分钟　30分) 1.将函数y=sin 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移 个单位长度,则所得函数图象对应的解析式为(　　)A.y=sin 　 B.y=sin C.y=sin x　　　 D.y=sin
【解析】选D.函数y=sin 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,得y=sin 的图象,再将此图象向左移 个单位长度,得y=sin =sin 的图象.
2.若x1= ,x2= 是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的最值点,则ω=(　　)A.2　　 B. 　　C.1　 　D. 【解析】选A.由题意及函数y=sin ωx的图象与性质可知, T= - ,所以T=π,所以 =π,所以ω=2.
3.函数f(x)=sin ,x∈[-π,0]的单调递增区间是(　　)A. 　B. C. D. 【解析】选D.令2kπ- ≤x- ≤2kπ+ ,k∈Z,解得2kπ- ≤x≤2kπ+ ,k∈Z,又-π≤x≤0所以- ≤x≤0.
4.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ≤π)的图象如图所示,则φ=_______.
【解析】由题意得 =2π- π,所以T= π,ω= .又由x= π时y=-1得-1=sin ,- < π+φ≤ π,所以 π+φ= π,所以φ= π.答案: π
5.已知ω>0,函数f(x)=sin 在 上单调递减,则ω的取值范围是________.  【解析】结合y=sin ωx的图象可知y=sin ωx在 上单调递减,而y=sin =sin ,可知y=sin ωx的图象向左平移 个单位之后可得y=sin 的图象,故y=sin 在 上单调递减,应有 ⊆ ,解得 ≤ω≤ .答案:
6.已知函数f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2倍,再把所得的图象沿x轴向左平移 个单位长度,这样得到的图象与y= sin x的图象相同,求f(x)的解析式.【解析】(反过来想)y= sin x的图象 y= sin 的图象 y= sin 的图象,即所求解析式为y= sin .
【能力进阶—水平二】 (30分钟　60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.若将函数y=sin(3x+φ)的图象向右平移 个单位后得到的图象关于点 对称,则|φ|的最小值是(　　)A. B. C. D.
【解析】选A.将函数y=sin(3x+φ)的图象向右平移 个单位后得到的函数为y=sin =sin ,由3x+ =kπ(k∈Z),得x= (k∈Z).令 = (k∈Z).所以φ=kπ- (k∈Z),|φ|的最小值为 .
2.将函数f(x)=sin 的图象分别向左、向右平移φ(φ>0)个单位长度后,所得的图象都关于y轴对称,则φ的最小值分别为(　　)A. 　 B. C. 　　 D.
【解析】选A.函数f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度得到函数g(x)=sin 的图象,向右平移φ(φ>0)个单位长度得函数h(x)=sin 的图象,于是2φ+ = +kπ,k∈Z,-2φ+ = +kπ,k∈Z,于是φ的最小值分别为 .
3.函数y=sin ωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50个最小值,则ω的最小值是(　　)A.98π　 B.98.5πC.99.5π　　D.100π【解析】选C.由题意得 ×T≤1即 × ≤1,所以ω≥99.5π.
4.已知曲线C1:y=sin x,C2:y=sin ,则下面结论中正确的是(　　)A.把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标伸长到原米的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度,得到曲线C2
【解析】选B.因为已知曲线C1:y=sin x,C2:y=sin ,故把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,可得y=sin 2x的图象;再把得到的曲线向左平移 个单位长度,得到曲线C2.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.关于x的函数f(x)=sin(x+φ)的以下说法,不正确的是(　　)A.对任意的φ,f(x)都是非奇非偶函数B.存在φ,使f(x)是偶函数C.存在φ,使f(x)是奇函数D.对任意的φ,f(x)都不是偶函数
【解析】选AD.当φ=0时,f(x)=sin x,是奇函数;当φ= 时,f(x)=cs x,是偶函数.
6.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,为了与g(x)=-cs ωx的图象重合,可以将f(x)的图象(　　) A.向右平移 个单位 B.向右平移 个单位C.向左平移 个单位 D.向左平移 个单位
【解析】选BC.由题图所示可知T=4 =π,所以ω= =2,f(x)=sin ,g(x)=-cs 2x=-sin =sin =sin (k∈Z),可验证得k=0时,B正确,k=1时,C正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知函数y=sin(2x+φ) 的图象关于直线x= 对称,则φ的值为________. 【解析】由题意得f =sin =±1,所以 +φ=kπ+ ,k∈Z,所以φ=kπ- ,k∈Z.因为φ∈ ,所以φ=- .答案:-
8.函数y=sin 的图象可由函数y=sin x的图象作两次变换得到,第一次变换是针对函数y=sin x的图象而言的,第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的.现给出下列四个变换:①图象上所有点向右平移 个单位;②图象上所有点向右平移 个单位;③图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变);④图象上所有点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变).请按顺序写出两次变换的代表序号:________.(只需填写一组)
【解析】y=sin x图象上所有点向右平移 个单位,得y=sin ,再将图象上所有点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变),得y=sin .故选②④.或y=sin x图象上所有点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变),得y=sin2x,再将图象上所有点向右平移 个单位得y=sin 2 =sin ,故选④①.答案:④①或②④
四、解答题(每小题10分,共20分)9.设函数f(x)=sin ,x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)求函数f(x)在区间 上的最小值和最大值,并求出取最值时x的值.
【解析】(1)最小正周期T= =π,由2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z),得kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z),所以函数f(x)的单调递增区间是 (k∈Z).(2)令t=2x- ,则由 ≤x≤ 可得0≤t≤ ,所以当t= 即x= 时,ymin=- ,所以当t= 即x= 时,ymax=1.
10.已知定义在区间 上的函数f(x)的图象关于直线x=- 对称,当x∈ 时,函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)的图象如图所示. (1)求f(x)在 上的解析式.(2)求方程f(x)= 的解.
【解析】(1)由图知T=4 =2π,则ω= =1,在x∈ 时将 代入f(x)得,f（ ）=sin =1,因为0≤φ≤π,所以φ= ,所以在x∈ 时,f(x)=sin .当-π≤x<- 时,- <-x- ≤ ,f =sin ,因为y=f(x)关于x=- 对称,所以f(x)=f =sin =-sin x.综上f(x)=
(2)由f(x)= 在区间 内可得x1= ,x2=- .因为y=f(x)关于x=- 对称,有x3=- ,x4=- .则f(x)= 的解为- ,- , ,-
【创新迁移】1.若函数y=sin 的周期不大于1,则正整数k的最小值为__________.  【解析】因为T= ,且|T|≤1,即 ≤1,且k为正整数,所以k≥6π,因此kmin=19.答案:19
2.将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,- ≤φ< )图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移 个单位长度得到y=sin x的图象.(1)求函数f(x)的解析式.(2)当x∈[0,3π]时,方程f(x)=m有唯一实数根,求m的取值范围.
【解析】(1)将y=sin x的图象向左平移 个单位长度可得y=sin 的图象,保持纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,可得y=sin 的图象,故f(x)=sin .(2)令2kπ+ ≤ x+ ≤2kπ+ (k∈Z),则4kπ+ ≤x≤4kπ+ (k∈Z),又x∈[0,3π],所以x∈ ,f(x)单调递增,x∈ ,f(x)单调递减,x∈ ,f(x)单调递增,所以f(x)max=1,f(x)min=-1,当x=0时,y= ,当x=3π时,y=- .故使方程f(x)=m有唯一实数根的m的取值范围为m∈ ∪{-1,1}.