2021届高考数学模拟预热卷（新高考）（三）

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 2021届高考数学模拟预热卷（新高考）（三）【满分：150分】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则(    )A. B. C. D.2.已知复数,则等于（   ）A.1 B. C.2 D.3.现将爱国福，和谐福，友善福，富强福，敬业福排成一排，爱国福与敬业福相邻，则不同排法有______种(   ).A．72               B．24               C．36                 D．484.如图,为测量一座古塔的高度,工作人员从与塔底同一水平面的点测得塔顶的仰角为,然后从出发朝古塔方向走了30米后到达处,并测得此时的仰角为,则此古塔的高度为(   )A.米 B.米 C.米 D.米5.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是(    )A．这五年，出口总额之和比进口总额之和大B．这五年，2015年出口额最少C．这五年，2019年进口增速最快D．这五年，出口增速前四年逐年下降6.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：)(   )A.2018年   B.2019年    C.2020年    D.2021年7.在中, 为边上任意一点, 为的中点, ,则的值为(   )A.  B.  C.  D. 18.在下列区间中,函数的零点所在的区间为(      )A.  B.  C.  D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知抛物线的焦点到准线的距离为2,过点的直线与抛物线交于两点,为线段的中点,为坐标原点,则下列结论正确的是(   )A.的准线方程为 B.线段的长度最小为4C.的坐标可能为 D.恒成立10.下图是函数,则(   )A. B.   C.   D.11.已知函数是R上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，，给出下列结论，其中正确的是(   )A. B.点是函数的图象的一个对称中心C.函数在上单调递增D.函数在上有3个零点12.某市有四个景点,一位游客来该市游览,已知该游客游览的概率为,游览的概率都是,且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量表示该游客游览的景点个数,则(   )A.该游客至多游览一个景点的概率为 B.C.  D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知为椭圆的右焦点,为坐标原点,为线段的垂直平分线与椭圆的一个交点,若,则椭圆的离心率为___________________.14.将数列与的公共项从小到大排列得到数列,则的前项和为________________.15.已知四棱锥的顶点都在球O的球面上，底面是边长为2的正方形，且面，若四棱锥的体积为，则该球的体积为_____________.16.若三棱柱的体积为12，点为棱上一点，则四棱锥的体积为____________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （10分）在四边形中,,是上的点且满足与相似,,,. (1)求的长度；(2)求三角形面积的最大值.18. （12分）已知各项均为正数的等差数列和等比数列满足，且，(1)求数列，的通项公式.(2)若，求.19. （12分）某音乐院校举行“校园之星”评选活动，评委由本校全体学生组成，对A,B两位选手，随机调查了20个学生的评分，得到下面的茎叶图：（1）通过茎叶图比较A,B两位选手所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（2）校方将会根据评分记过对参赛选手进行三向分流：记事件C:“A获得的分流等级高于B”，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C发生的概率.20. （12分）如图,平面.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值;(3)若二面角的余弦值为,求线段的长.21. （12分）已知函数,其中是自然对数的底数,实数是常数.（1）设,求函数的图象在点处的切线方程;（2）讨论函数的单调性.22. （12分）已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为，.（1）求椭圆的方程；（2）是上异于的两点，若直线与直线的斜率之积为，证明:两点的横坐标之和为常数.


      答案以及解析一、单项选择题1.答案：B解析：集合,,则.故选：B2.答案：B解析：∵复数∴故选B3.答案：D解析：先排爱国福与敬业福，共有 (种)不同排法，再将爱国福与敬业福看做一个整体与和谐福，友善福，富强福排序，共有 (种)不同排法，故由分步乘法计数原理可得，共有 (种)不同排法4.答案：D解析：设古塔高度为米,在中, ,,米.由正弦定理得,所以.因为,所以米.5.答案：D解析：对A项，由统计图可得，2015年出口额和进口额基本相等，而2016年到2019年出口额都大于进口额，则A正确；对B项，由统计图可得，2015年出口额最少，则B正确；对C项，由统计图可得，2019年进口增速都超过其余年份，则C正确；对D项，由统计图可得，2015年到2016年出口增速是上升的，则D错误；故选：D6.答案：B解析：设x年后研发资金超过200万元，则，即，解得，故选B.7.答案：A解析：因为为边上任意一点,故将中的化为得变形得,则,可得详解:因为为的中点, ,所以,即因为为边上任意一点,所以,所以故选A8.答案：C解析： 显然 为定义在上且图象连续的函数,
如图,作出与的图象,
由图像知函数的零点一定落在区间内,
又,,故选C。二、多项选择题9.答案：BCD解析：由焦点到准线的距离为2,得抛物线的焦点为,准线方程为,A项错误.设,直线的方程为.联立消去可得,消去可得,所以.,故B项正确.当时,可得,所以C项正确.又,所以,所以D项正确.故选BCD.10.答案：BC解析：本题主要考查三角函数.由题图可知,,所以,所以.当时,由函数图象过点,且,得,所以,同理,当时,,所以.故本题正确答案为BC.11.答案：AB解析：在中，令，得又因为函数是上的奇函数，所以，A正确，故是一个周期为4的奇函数，因为是函数的图象的一个对称中心，所以也是函数的图象的一个对称中心，B正确作出函数的部分图像如图所示易得，函数在上不具有单调性，C错误D、根据上图可知，函数在上有7个零点，D错误12.答案：ABD解析：的所有可能取值为0,1,2,3,4.则,,所以该游客至多游览一个景点的概率为,故A正确.,故B正确.,故C错误.又,所以,故D正确.故选ABD.三、填空题13.答案：解析：由题意知,则可设.将代入椭圆的方程,得,即.设为线段的垂直平分线与轴的交点,则为直角三角形.由于,所以不妨设,则.由勾股定理可得,即,得.又,所以,解得或(舍去),故,所以椭圆的离心率.14.答案：解析：数列表示首项为1,公差为2的等差数列,各项均为正奇数,而数列表示首项为1,公差为3的等差数列,各项分别为交替出现的正奇数与正偶数,它们的公共项为数列中的奇数项,所以是首项为1,公差为6的等差数列,其前项和.15.答案： 解析：设此球半径为，因底面是边长为2的正方形,且面,若四棱锥的体积为，则，∴，可以把四棱锥补成一个以为底、为侧棱的长方体，则这个长方体的外接球就是四棱锥的外接球，球心就是的中点，∴,∴，则该球的体积为.故答案为：.16.答案：8解析：.四、解答题17.答案：(1) ,在三角形中,,即,  所以,；  (2)因为,所以, 在三角形中,,所以, 所以,所以,  所以,所以三角形面积的最大值为.    18.答案：(1)因为为等差数列，且，所以可设公差为d，则，所以，.因为，所以，解得或.又等差数列各项均为正数，所以不合题意，舍去所以因为为等比数列，且，所以可设公比为，则.因为，所以，解得，满足各项均为正数，所以.(2)由(1)知，所以.所以.19.答案：（1）通过茎叶图可以看出，A选手所得分数的平均值高于B选手所得分数的平均值；A选手所得分数比较集中，B选手所得分数比较分散.（2）记表示事件：“A选手直接晋级”， 表示事件：“A选手复赛待选”；表示事件：“B选手复赛待选”， 表示事件：“B选手淘汰出局”．则与独立，与独立，与互斥，．由所给数据得，，，发生的频率分别为，故，.20.答案：(1)依题意,可以建立以为原点,分别以的方向为轴,轴,轴正方向的空间直角坐标系(如图),可得.设,则.依题意,是平面的法向量,又,可得,又直线平面,所以平面.(2)依题意,.设为平面的法向量,则即不妨令,可得.因此有.所以,直线与平面所成角的正弦值为.(3)设为平面的法向量,则即不妨令,可得.由题意,有,解得.经检验,符合题意.所以,线段的长为.21.答案：（1）∵,∴,∴.∴当时,函数的图象在点处的切线方程为（2）∵,∴.当时, ,故在上单调递增;当时,由,得,∴当    时, ,当时, ,∴在上单调递减,在上单调递增.综上,当时, 在上单调递增;当时, 在上单调递减,在上单调递增22.答案：（1）因为椭圆经过点,所以;又因为, 所以;又,解, 所以椭圆的方程为.（2）设三点坐标分别为,,，设直线斜率分别为，则直线方程为，由方程组消去，得，由根与系数关系可得故，同理可得 又，故，则，从而.即两点的横坐标之和为常数.