2021届高考理科数学模拟预热卷（全国Ⅰ卷）

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 2021届高考理科数学模拟预热卷（全国Ⅰ卷）【满分：150分】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在(   )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知，设集合，且，则(   )A. B.1 C.2 D.3.在中,内角的对边分别为。若,则角的大小为(   )。A.或 B. C.或 D.4.已知为双曲线的左、右焦点,点在上,,则等于(   )A. B. C. D.5.根据下表中的数据可以得到线性回归直线方程,则实数应满足(   )3562.534A. B. C. D.6.已知函数是偶函数,当时,,则曲线在处的切线方程为(   )A. B. C. D.7.的展开式中的系数为(   )A. 5 B. 10 C. 15 D. 208.若，，则(   )A. B. C. D.9.若将函数的图像向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为(     )A.   B.
C.   D. 10.已知四棱锥的体积是,底面是正方形,是等边三角形,平面平面,则四棱锥的外接球的体积为(   )A. B. C. D.11.设双曲线的两条渐近线与圆相交于四点，若四边形的面积为12，则双曲线的离心率是(   )A. B. C.或 D．12.函数的图象大致为(   )A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知,且,则的最小值为_____________.14.已知向量.若,则_________________.15.已知分别是双曲线的左、右焦点，P是抛物线与双曲线的一个交点.若，则抛物线的准线方程为_________.16.的内角的对边分别为。若,则的面积为_________________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. （12分）在等比数列中，，前n项和为是和的等差中项.（1）求的通项公式；（2）设，求的最大值.18. （12分）如图，在三棱柱中，为棱上的动点.（I）若D为的中点，求证：平面；（Ⅱ）若平面平面，且，是否存在点D，使二面角的平面角的余弦值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.19. （12分）某市工会组织了一次工人综合技能比赛,一共有1 000名工人参加,他们的成绩都分布在内,数据经过汇总整理得到如下的频率分布直方图,规定成绩在76分及76分以上的为优秀.求图中的值；估计这次比赛成绩的平均数(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)；某工厂车间有25名工人参加这次比赛,他们的成绩分布和整体的成绩分布情况完全一致,若从该车间参赛的且成绩为优秀的工人中任选两人,求这两人成绩均低于92分的概率.20. （12分）已知椭圆C的短轴的两个端点分别为，焦距为.（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知直线与椭圆C有两个不同的交点，设D为直线上一点，且直线的斜率的积为.证明：点D在x轴上.21. （12分）已知函数的导函数的两个零点为和0.(1)求的单调区间;(2)若的极小值为,求在区间上的最大值.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4 – 4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为,的极坐标为.写出曲线的直角坐标方程及的直角坐标；设直线与曲线相交于两点,求的值.23. [选修4 – 5：不等式选讲]（10分）已知,函数,其中.(1)求使得等式成立的x的取值范围；(2)(i)求的最小值.(ii)求在区间上的最大值.


                答案以及解析一、选择题1.答案：D解析：因为，所以在复平面内对应的点为，在第四象限.故选D.2.答案：D解析：因为,且，所以,所以.故选D.3.答案：B解析：,。,,由正弦定理得。4.答案：C解析：将双曲线C化为标准方程，则，，.由双曲线定义，知 .又，，，，.故选C.5.答案：A解析：依题意，，故，解得.6.答案：A解析：当时,,则,所以曲线在处的切线方程为.7.答案：C解析：因为，的通项为，所以的展开式中的系数为的展开式中的系数为.所以的展开式中的系数为.故选C.8.答案：D解析：得或.，，，故选D. 9.答案：B解析：由题意,将函数的图象向左平移个单位得,则平移后函数的对称轴为,即,故选B.10.答案：A解析：由已知可得,则,设球心为到平面的距离为,球的半径为,则由,得,解得,所以,,选A.11.答案：A解析：本题考查双曲线的几何性质.由对称性可知四边形是矩形，设点A在第一象限，由，得，则，即，则或3.又因为，所以，则该双曲线的离心率，故选A.12.答案：C解析：由，解得，故函数的定义域为.因为函数为奇函数，为偶函数，所以函数为奇函数，故排除A,D；当时，，故排除B.选C.二、填空题13.答案：17解析：，且，则当且仅当即且，此时.故答案为：17.14.答案：解析：由题意可得,因为,所以,即.15.答案：解析：将双曲线方程化为标准方程得，则为抛物线的焦点，抛物线的准线方程为，联立解得(舍去)，即点P的横坐标为.由解得，，解得，抛物线的准线方程为.16.答案：解析：因为,所以由余弦定理,得,解得,所以。所以的面积.三、解答题17.答案：（1）由题意得，即，设等比数列的公比为q，则有，解得，.（2），设，当或4时，取到最小值，，的最大值为64.18.答案：解：（I）证明：连接交于点O，连接.四边形是平行四边形，为的中点.在中，分别为的中点，为的中位线，即.又平面，平面，平面.（Ⅱ）存在.理由如下：连接.，为菱形，即.又平面平面，平面平面，平面.过点C作的平行线，即两两垂直.如图，以C为坐标原点，以的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.，故，.假设存在点D，使二面角的平面角的余弦值为，设，，易得平面的一个法向量为.设平面的法向量为，，可取.由，解得或.点D在棱上，，即.19.答案：(1)由题意得,解得.(2)由(1)可得,各分组的频率分别为0.2,0.28,0.32,0.08,0.08,0.04.平均数的估计值为.(3)由题意可知,该工厂车间参赛的25人中,成绩在76分及76分以上的三个分组的频率分别为,所以成绩优秀的有5人,其中成绩低于92分的有4人,分别记为,另一人记为.从5人中任选两人,所有的情况有,共10种情况.设“这两人成绩均低于92分”为事件,则事件包含的情况有6种.所以.20.答案：解：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为，由题知，所以，故椭圆C的方程为.（Ⅱ）证明：设点，则，所以直线的斜率.因为直线的斜率的积为，所以直线的斜率.直线的方程为，直线的方程为，联立，得点D的纵坐标为，因为点M在椭圆C上，所以，则.所以点D在x轴上.21.答案：(1).令,因为,所以的零点就是的零点,且与符号相同.又因为,所以当时,,即,当或时,,即,所以的单调递增区间是,单调递减区间是.(2)由(1)知,是的极小值点,所以有解得,所以.由(1)可知当时,取得极大值,为,故在区间上的最大值取和中的最大者.因为,所以函数在区间上的最大值是.22.答案：(1)曲线的极坐标方程为,将代入可得直角坐标方程为.的直角坐标为.(2)联立方程与,可得.则,所以.23.答案：(1)由于,故当时,,当时,,所以,使得等式成立的x的取值范围为.(2)(i)设函数,,则,,所以,由的定义知,即.(ii)当时,,当时,.所以.