2020-2021学年高一数学人教A版(2019)必修第一册必做100题 专题四 指数函数与对数函数

2020-2021学年高一数学人教A版(2019)必修第一册必做100题

专题四 指数函数与对数函数

1.下列各式中成立的是（   ）

A.     B.

C.    D.

2.函数①；②；③；④的图象如图所示，分别是下列四个数：中的一个，则的值分别是(   )

A.     B.

C.     D.

3.已知，则用可表示为（   ）

A.   B.   C.   D.

4.函数的单调递增区间为(   )

A.  B.  C.  D.

5.若函数在定义域上是偶函数， 且在上单调递减， ，则函数的零点(   )

A.只有一个  B.只有两个  C.至少有两个  D.无法判断

6.已知且，则函数的值域为（ ）

A.     B.  

C.     D.

7.已知，则的值等于(   )

A. B. C. D.

8.已知函数(其中)的图象如图所示，则函数的图象是(   )

A. B. C. D.

9.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中与最接近的是(   )(参考数据：)

A. B. C. D.

10.已知奇函数在R上是增函数，.若，则的大小关系为(   )

A. B. C. D.

11.若一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到之后停止喝酒，血液中的酒精含量以每小时的速度减少，为了保障交通安全，某地规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过，那么这个人至少经过多少小时才能开车(精确到1小时)(   ).

A.3 B.4 C.5 D.6

12.已知函数.若存在2个零点，则a的取值范围是(   )

A. B. C. D.

13.若且，则函数的图象恒过定点_________.

14.已知函数在上单调递增，则实数m的取值范围是_________.

15.若定义在上的函数在上存在零点， 则实数a的取值范围为___________.

16.某工厂8年来某种产品总产量与时间 (单位：年)的函数关系如图所示，以下四种说法：

① 前三年中产量增长速度越来越快；
② 前三年中产量增长速度越来越慢；
③ 第三年后，这种产品停止生产；
④ 第三年后，年产量保持不变.
其中说法正确的是__________.

17.已知定义在R上的偶函数和奇函数满足且在上恒成立，则实数m的取值范围为 .

18.已知是对数函数，且的最大值为-2，其中.

(1)求函数的解析式；

(2)若对于任意的实数，都有恒成立，求实数m的取值范围.

19.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300 天内，西红柿市场售价P(单位：元/ kg)与上市时间t(单位：天)的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本Q(单位：元/ kg)与上市时t(单位：天)的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系.

(1)写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式，图2表示的种植成本与时间的函数关系式；

(2)若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大?

20.已知函数定义在上且满足下列两个条件：

①对任意都有；

②当时，有.

(1)证明函数在上是奇函数.

(2)判断并证明的单调性.

(3)若，试求函数的零点.

答案以及解析

1.答案：D

解析：，故A错误，，故B错误，显然C错误，，故D正确.

2.答案：C

解析：直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为，而，故选C.

3.答案：D

解析：.

4.答案：B

解析：由已知，得，解得或.因为在上单调递增，在上单调递减，而在上是增函数，所以的单调递增区间为，故选B.

5.答案：B

解析：

因为在上单调递减， ，所以在上有且仅有一个零点2.又是偶函数，所以在上有且仅有一个零点-2.故函数只有两个零点-2 和2.

6.答案：C

解析：设则，其中，，即，又且，即函数 的值域为，故选 C.

7.答案：D

解析：由，得，因此，

故.

又，且，

所以.于是.

8.答案：C

解析：由函数的图象可知，，则为增函数，当时，，且过定点.

9.答案：D

解析：设，取对数，，所以，即与最接近的是，故选D.

10.答案：C

解析：根据题意：依题意.

因为在R上是增函数，可设，则.

从而，即.

所以在上亦为增函数.又，

且，而，

所以，所以.故选C.

11.答案：C

解析：设x小时后，血液中的酒精含量不超过，则有，即，令，均有.当时，，则可得至少5小时后可以开车，故答案为C.

12.答案：C

解析：因为存在2个零点，

即与的图象有两个交点，示意图如图，

要使得与的图象有两个交点，则有，即.

13.答案：

解析：令，得，∴，∴函数的图象恒过定点.

14.答案：

解析：∵在上单调递增，∴在上单调递减，并且在上恒成立，∴，解得，即实数m的取值范围是.

15.答案：

解析：

由题意可知，又，

所以或，

所以实数a的取值范围为.

16.答案：②③

解析：由的图象联想到幂函数，反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢.由的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产.

17.答案：

解析：由，①

可知，即，②

由①②，解得.

在上恒成立，

即在上恒成立.

又函数在上单调递减，所以，

所以，即实数m的取值范围为.

18.答案：(1)设，

则.

令，

所以当时，u取得最小值4.

因为的最大值为-2，

所以，且，解得，

所以函数的解析式为.

(2)由于对于任意的实数，都有恒成立，

所以对于恒成立.

设，则.

因为在上是减函数，

所以，

所以，即实数m的取值范围为.

19.答案：(1) 由图1可得市场售价与时间的函数关系式为

由图2可得种植成本与时间的函数关系式为.

(2) 设上市时间为t时的纯收益为，

则由题意，得，

，

当时，整理得

当时，取得最大值100；

当时，整理，得，

当时，取得最大值87.5.

综上，当，即从2月1日开始的第50天上市的西红柿的纯收益最大.

20.答案：(1)令，则，则.

又令，则，即，

所以函数在上是奇函数.

(2)设，

则.

因为，由条件知，而，

，所以函数在上单调递增.

(3)由，则，

，等价于，

则.

因为函数在上单调递增，所以，

即，则，由，得，

故的零点为.