2020-2021学年高一数学人教A版（2019）寒假提前学（2）

2020-2021学年高一数学人教A版（2019）寒假提前学

（2）平面向量的运算

一、基础知识梳理

1.向量的加法运算

（1）向量加法的定义

定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．

对于零向量与任意向量，规定.

（2）向量加法的法则

[拓展]向量求和的多边形法则

①已知个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这个向量的和，这称为向量求和的多边形法则．即.

②首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一个封闭图形，则它们的和为.

（3）向量加法的运算律

①交换律：.

②结合律：.

（4）向量形式的三角不等式

一般地，有，当且仅当方向相同时等号成立.

2.向量的减法运算

（1）相反向量

定义：与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.

性质：①零向量的相反向量仍是零向量.

②和互为相反向量，于是.

③若互为相反向量，则，，.

（2）向量减法的定义

定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减法.

向量的减法可以转化为向量的加法：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.

3. 向量数乘的定义

规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：，它的长度与方向规定如下：

①；

②当时，的方向与的方向相同；

当时，的方向与的方向相反.

[注意]当或时，.（结果是向量，而非实数0）

4.向量数乘的几何意义

的几何意义就是把向量沿着的方向或反方向扩大或缩小倍.

[注意]（1）是实数，是向量，它们的积仍然是向量.实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如，

均没有意义.

（2）单位向量：对于非零向量，当时，表示方向上的单位向量.

5.向量数乘的运算律

设为任意实数，则有：

①；

②；

③.

特别地，有.

6.向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量.

对于任意向量，以及任意实数，恒有.

7.向量共线（平行）定理

向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.

[注意]（1）定理中不能漏掉.若，则实数可以是任意实数；若，则不存在实数，使

得.

（2）这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数，使，则与共线；若两个非零

向量与不共线，且，则必有.

8.三点共线的判定定理

对于平面内任意三点，若存在实数，使(或或)，则三点共线.

9.向量的夹角

（1）定义：已知两个非零向量，如图，是平面上的任意一点，作，则

叫做向量与的夹角.记作.

（2）①当时，向量同向（如图①）.

②当时，向量垂直，记作（如图②）.

③当时，向量反向（如图③）.

10.平面向量数量积的定义

已知两个非零向量与，它们的夹角为，把数量叫做向量与的数量积（或内积），记作，即.

[注意]（1）零向量与任一向量的数量积等于0，即.

（2）数量积的运算结果是实数，线性运算的运算结果是向量.

（3）当时，，则是锐角或；当时，，则是钝角或；当时，，则.

11.投影向量

（1）定义：如图，设是两个非零向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，这种变换称为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.

（2）设是非零向量，它们的夹角是是与方向相同的单位向量，则①向量在向量上的投影向量

，②向量在向量上的投影向量的模为.

[注意]（1）向量在向量上的投影向量与向量在向量上的投影向量是不同的.

（2）投影向量与投影向量的模是不同的概念.

12.向量数量积的性质

设是非零向量，它们的夹角是是与方向相同的单位向量，则

（1）.

（2）.

（3）当与同向时，；当与反向时，.特别地，或.

（4）由可得，.

（5）

13.向量数量积的运算律

（1）交换律：.

（2）数乘结合律：.

（3）分配律：.

[注意]不一定成立.因为是数量积，是实数，不是向量，所以与向量共线，与向量共线.因此，在一般情况下不成立.

二、巩固练习

1.已知向量满足,则(   )

A.4 B.3 C.2 D.0

2.已知向量满足,且与的夹角为,则(   )

A.2 B.1 C. D.

3.在四棱锥中,底面是正方形,为的中点.若,则(   )

A. B. C. D.

4.如图,在空间四边形中,设分别是的中点,则(   )

A. B. C. D.

5.设非零向量满足，则(   )

A.  B.  C.  D.

6.（多选）有下列说法，其中错误的说法为(   ).

A.若，，则

B.若，则是三角形的垂心

C.两个非零向量，，若，则与共线且反向

D.若，则存在唯一实数使得

7.（多选）在正方体中,下列各式中运算结果为的是()

A.B.C.D.

8.已知向量满足,,且,则______．

9.化简_____________.

10.如图，在四边形中，，点分别是边的中点，延长和交的延长线于不同的两点，则的值为_________．

11.已知,则________。

12.设为两个不共线的向量，若．

（1）若共线，求实数的值；

（2）若是夹角为的单位向量，且，求实数的值.

答案以及解析

1.答案：B

解析：,故选B.

2.答案：B

解析：由,解得或(舍去),故,选B.

3.答案：C

解析：

.故选C.

4.答案：C

解析：因为,所以.故选C.

5.答案：B

解析：由的几何意义知，以向量为邻边的平行四边形为矩形，所以.故选B

6.答案：AD

解析：对于选项A，当时，与不一定共线，故A错误；

对于选项B，由，得，所以，，

同理，，故是三角形的垂心，所以B正确；

对于选项C，两个非零向量，，若，则与共线且反向，故C正确；

对于选项D，当，时，显然有，但此时不存在，故D错误.

故选：AD.

7.答案：ABCD

解析：根据空间向量的加法运算法则及正方体的性质逐一进行判断:

A中:

B中:

C中:

D中:

故选ABCD.

8.答案：9

解析：向量满足,且,
可得,所以,
则.
故答案为：9.

9.答案：

解析：根据空间向量的数乘运算法则可知,原式.

10.答案：0

解析：如图，连，取的中点，连，则分别为的中位线，所以,

所以．

由与共线，

所以，

故

．

答案：0

11.答案：

解析：。

12.答案：（1）由题意：，

 令：

得：，

由得：

（2）由题知：

得：