2020-2021学年高一数学人教A版（2019）寒假提前学（3）

这是一份2020-2021学年高一数学人教A版（2019）寒假提前学（3），共7页。试卷主要包含了基础知识梳理，巩固练习等内容，欢迎下载使用。
 2020-2021学年高一数学人教A版（2019）寒假提前学（3）平面向量基本定理及坐标表示一、基础知识梳理1.平面向量基本定理如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使.[注意]（1）如果对于一个基底，有，则.（2）如果对于一个基底，有，则.2.基底若不共线，则把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.[注意]（1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以构成一个基底；（2）与任意向量是共线的，因此不能作为基底中的向量.3.基本定理中实数值的正负判断为基底，平面内的任一向量.4.平面向量基本定理的意义由平面向量基本定理可知，若不共线，则由的所有线性组合构成的集合就是平面内的全体向量，其中叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.这个定理体现了转化化归的数学思想方法，在用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底转化，使问题得以解决.5.平面向量的正交分解及坐标表示（1）平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.（2）平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系中，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，，取作为基底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得，我们把有序数对叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，叫做向量的坐标表示.（3）向量的坐标与点的坐标的关系如图，在平面直角坐标系中，以原点为起点作，设，则向量的坐标就是终点的坐标；反过来，终点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，任一平面向量都可由一有序实数对唯一表示.6.平面向量的坐标运算设向量，则有下表：运算文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标向量坐标公式一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知，则7.平面向量共线的坐标表示（1）设，其中共线的充要条件是存在实数，使.（2）如果用坐标表示，向量共线的充要条件是.8.平面向量数量积的坐标表示设向量，则.这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.9.向量模的坐标表示（1）若向量，则.（2）若点，向量，则.由此可知，向量的模的坐标运算的实质是平面直角坐标系中两点间的距离的运算.10.向量夹角的坐标表示设都是非零向量，，是与的夹角，则.11.向量垂直的坐标表示设向量，则.[拓展]已知向量，设与共线的单位向量为，则，其中正、负号分别表示与同向和反向二、巩固练习1.已知向量满足,且,则向量在向量方向上的投影为(   )A.3 B.2 C. D.2.已知向量,则可能是(   )。A. B. C. D.3.已知,则向量在方向的投影是(   )。A. B. C. D.4.设向量,则下列结论中正确的是(   )。A. B. C.与垂直 D.5.已知向量，若，则的值为(   )A．0     B．4      C．       D．6.（多选）已知平面,则下列结论正确是(   )A. B. C. D.与的夹角为7.（多选）如果都是非零向量，下列判断正确的有(   )A.若，，则；B.若，则；C.若，则；D.若，则．8.（多选）已知,若,则下列说法正确的是(  )A. B. C. D.9.已知向量，．若向量，则________． 10.已知向量,且,则向量和的夹角是____________,_______________.11.设，向量，且，则|____________.12.已知是同一平面内的三个向量,其中.(1)若,且,求的坐标；(2)若,且与垂直,求与的夹角。
  答案以及解析1.答案：D解析：由,得,.向量在向量方向上的投影为.故选D.2.答案：D解析：因为,所以可能是。3.答案：C解析：根据题意,向量,则,而,则在方向上的投影为；故选：C。4.答案：C解析：A项,,故,故A项错误； B项,,故B项错误；C项,,,故与垂直,故C项正确； D项,因为,所以两向量不平行,故D项错误。故本题正确答案为C。5.答案：C解析：故选：C 6.答案：AD解析：根据向量的坐标运算易知A选项正确;因为,,所以B选项错误因为,所以C错误因为,所以与的夹角为,D选项正确.7.答案：ACD解析：选项A，由向量平行的传递性可知，正确；选项B，当时，不成立，错误；选项C，因为，则，所以，正确；选项D，因为，则是共线向量，则，正确.故选：ACD.8.答案：ABD解析：因为,所以,,因为,所以,则,A正确;,B正确;,C错误,由于,D正确,所以选ABD.9.答案：解析：∵向量，∴，∵，∴，∴.故答案为：.10.答案：;6解析：设向量的夹角为,因为,且,所以,解得.又,所以,所以.11.答案：解析：∵，∴，解得.则.故答案为：. 12.答案：(1)设,因为,所以。①又,所以。②由①②联立,解得或。(2)由,得,由，解得,所以,所以与的夹角。