还剩17页未读，
继续阅读
2020-2021学年北京市顺义区八年级（上）期末数学试卷（解析版）
展开
这是一份2020-2021学年北京市顺义区八年级（上）期末数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年北京市顺义区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．的平方根是（ ）
A． B． C． D．
2．若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．x≠3 B．x≠﹣2 C．x=﹣2 D．x=3
3．若△ABC有一个外角是锐角，则△ABC一定是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形
4．下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列事件中，随机事件是（ ）
A．在地球上，抛出去的篮球会下落
B．一个标准大气压下，水加热到100℃时会沸腾
C．购买一张福利彩票中奖了
D．掷一枚普通的正方体骰子，向上一面的点数一定大于零
6．以a、b、c为边长的三角形是直角三角形的是（ ）
A．a=3，b=5，c=7 B．a=2，b=2，c=
C．a=，b=，c= D．a=，b=，c=
7．一个不透明的盒子中装有3个白球，5个红球和7个黄球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性是（ ）
A． B． C． D．
8．下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知等腰三角形的底边长为a，底边上的高为h，用直尺和圆规作这个等腰三角形时，甲同学的作法是：先作底边BC=a，再作BC的垂直平分线MN交BC于点D，并在DM上截取DA=h，最后连结AB、AC，则△ABC即为所求作的等腰三角形；乙同学的作法是：先作高AD=h，再过点D作AD的垂线MN，并在MN上截取BC=a，最后连结AB、AC，则△ABC即为所求作的等腰三角形．对于甲乙两同学的作法，下列判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
10．在锐角三角形ABC中，高AD和BE交于点H，且BH=AC，则∠ABC的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．30°或45°
二、填空题（共10道小题，每小题3分，共30分）
11．当x 时，有意义．
12．若式子是分式，则x的取值范围是 ．
13．一个均匀的正六面体的六个面上，有一个面写1，两个面写2，三个面写3，任意投掷一次该六面体，则朝上的一面是3的可能性是 ．
14．如果2是m的立方根，那么m的值是 ．
15．有四张卡片（背面完全相同）分别写有运算符号+，﹣，×，÷，把它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出1张卡片，放在“2□1”的方框里组成一个算式，再计算出结果，则计算结果是2的可能性是 ．
16．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD⊥AB，∠DAC=50°，则∠D的度数为 ．
17．若等边三角形的边长为2，则它的面积是 ．
18．已知m﹣n=3mn，则的值是 ．
19．一列有规律的数：，2，，，，…，则第6个数是 ，第n个数是 （n为正整数）．
20．在数学实践课上，老师给同学们布置了如下任务：为美化校园环境，计划在学校内某处空地，用30平方米的草皮铺设一块等腰三角形绿地，使等腰三角形绿地的一边长为10米，请你给出设计方案．同学们开始思考，交流，一致认为应先通过画图、计算，求出等腰三角形绿地的另两边的长．请你也通过画图、计算，求出这个等腰三角形绿地的另两边的长分别为 ．
三、解答题（共12道小题，共60分）
21．计算：×（）
22．计算： +．
23．解方程：．
24．已知：如图，AB平分∠CAD，∠C=∠D=90°．求证：AC=AD．
25．先化简，再求值：，其中x+2=．
26．已知x=3+，y=3﹣，求x2y+xy2的值．
27．如图，点E在线段AB上，AD⊥AB，BC⊥AB，△DEC是等腰直角三角形，且∠DEC=90°．求证：AB=AD+BC．
28．在彩虹读书活动中，某校决定为八年级学生购买同等数量的《钢铁是怎样炼成的》和《居里夫人自传》，供学生借阅．其中《居里夫人自传》的单价比《钢铁是怎样炼成的》的单价多8元．若学校购买《居里夫人自传》用了1 000元，购买《钢铁是怎样炼成的》用了600元，请问两种书的单价各是多少元？
29．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE∥AC，且DE=AC，若AC=2，AD=4，求四边形ACEB的周长．
30．已知：如图，△ABC中，AB=AC=6，∠A=45°，点D在AC上，点E在BD上，且△ABD、△CDE、△BCE均为等腰三角形．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求BE的长．
31．已知：x2﹣3x+1=0，求的值．
[来源:Zxxk.Com]
32．在等边△ABC的外侧作直线BM，点A关于直线BM的对称点为D，连结AD，CD，设CD交直线BM于点E．
（1）依题意补全图1，若∠ABM=30°，求∠BCE的度数；
（2）如图2，若60°＜∠ABM＜90°，判断直线BM和CD相交所成的锐角的度数是否为定值？若是，求出这个锐角的度数；若不是，请说明理由．
2020-2021学年北京市顺义区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【考点】平方根．
【分析】根据平方根的定义求出即可．
【解答】解：的平方根为=，[来源:学*科*网Z*X*X*K]
故选C．
【点评】本题考查了对平方根定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，注意：a（a≥0）的平方根为±．
2．若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．x≠3 B．x≠﹣2 C．x=﹣2 D．x=3[来源:Z*xx*k.Com]
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】根据分子为0；分母不为0，可得答案．
【解答】解：由分式的值为0，得
x﹣3=0且x+2≠0．
解得x=3，
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
3．若△ABC有一个外角是锐角，则△ABC一定是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形
【考点】三角形的外角性质．
【分析】利用三角形的外角与相邻的内角互补的性质计算．
【解答】解：∵△ABC有一个外角为锐角，
∴与此外角相邻的内角的值为180°减去此外角，
故此角应大于90°，
故△ABC是钝角三角形．
故选A
【点评】此题考查的是三角形内角与外角的关系，即三角形的外角与相邻的内角互补．
4．下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】根据二次根式的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、=3≠﹣3，故本选项错误；
B、==15≠9，故本选项错误；
C、无意义，故本选项错误；
D、=7，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
5．下列事件中，随机事件是（ ）
A．在地球上，抛出去的篮球会下落
B．一个标准大气压下，水加热到100℃时会沸腾
C．购买一张福利彩票中奖了
D．掷一枚普通的正方体骰子，向上一面的点数一定大于零
【考点】随机事件．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
【解答】解：A、在地球上，抛出去的篮球会下落是必然事件，故A错误；
B、一个标准大气压下，水加热到100℃时会沸腾是必然事件，故B错误；
C、购买一张福利彩票中奖了是随机事件，故C正确；
D、掷一枚普通的正方体骰子，向上一面的点数一定大于零是必然事件，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6．以a、b、c为边长的三角形是直角三角形的是（ ）
A．a=3，b=5，c=7 B．a=2，b=2，c=
C．a=，b=，c= D．a=，b=，c=
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】三角形三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．
【解答】解：A、32+52≠72，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
B、22+22=（2）2，能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意．
C、（2）2+（3）2≠（3）2，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
D、（）2+（）2≠（）2，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
故选B．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，关键知道两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．
7．一个不透明的盒子中装有3个白球，5个红球和7个黄球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性是（ ）
A． B． C． D．
【考点】可能性的大小．
【分析】先求出球的总数，再由概率公式即可得出结论．
【解答】解：∵一个不透明的盒子中装有3个白球，5个红球和7个黄球，
∴球的总数=3+5+7=15（个），
∴这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性==．
故选B．
【点评】本题考查的是可能性的大小，熟记随机事件的概率公式是解答此题的关键．
8．下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】分式的基本性质．
【专题】计算题；分式．
【分析】原式各项利用分式的基本性质变形得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、=，错误；
B、为最简分式，错误；
C、==a﹣b，正确；
D、=﹣，错误，
故选C．
【点评】此题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键．
9．已知等腰三角形的底边长为a，底边上的高为h，用直尺和圆规作这个等腰三角形时，甲同学的作法是：先作底边BC=a，再作BC的垂直平分线MN交BC于点D，并在DM上截取DA=h，最后连结AB、AC，则△ABC即为所求作的等腰三角形；乙同学的作法是：先作高AD=h，再过点D作AD的垂线MN，并在MN上截取BC=a，最后连结AB、AC，则△ABC即为所求作的等腰三角形．对于甲乙两同学的作法，下列判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
【考点】作图—复杂作图；等腰三角形的判定．
【专题】作图题．
【分析】根据线段垂直平分线的性质对两同学的作法进行判断．
【解答】解：根据甲同学的作法，AD垂直平分BC，则AB=AC，所以△ABC为直角三角形，而根据乙同学的作法，AD只垂直BC，不平分BC，所以不能判断△ABC为等腰三角形，
所以甲同学作法正确，乙同学作法错误．
故选A．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．
10．在锐角三角形ABC中，高AD和BE交于点H，且BH=AC，则∠ABC的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．30°或45°
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】先根据已知条件利用AAS判定△BDH≌△ADC，得出BD=AD，因为∠ADB=90°，所以得出∠ABC=45°．
【解答】解：∵△ABC为锐角三角形，
∴高AD和BE在三角形内，
∵高AD和BE交于点H，
∴∠ADC=∠BEC=90°．
∵∠EBD+∠BHD=90°，∠AHE+∠HAE=90°，∠BHD=∠AHE，
∴∠EAD=∠EBD，
又∵BH=AC，∠ADC=∠BDH=90°，
在△BDH与△ADC中，
，
∴△BDH≌△ADC（AAS），
∴BD=AD，
∵∠ADB=90°，
∴∠ABC=45°．
故选B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．找准哪两个三角形全等是解决本题的关键．
二、填空题（共10道小题，每小题3分，共30分）
11．当x ≥﹣ 时，有意义．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得3x+2≥0，再解即可．
【解答】解：由题意得：3x+2≥0，
解得：x≥﹣，
故答案为：≥﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
12．若式子是分式，则x的取值范围是 x≠2 ．
【考点】分式有意义的条件．
【分析】根据分式有意义的条件可得：x﹣2≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
13．一个均匀的正六面体的六个面上，有一个面写1，两个面写2，三个面写3，任意投掷一次该六面体，则朝上的一面是3的可能性是 ．
【考点】可能性的大小．
【分析】先找出任意投掷一次该六面体所能出现的情况及出现3的情况，再由概率公式即可得出结论．
【解答】解：∵一个均匀的正六面体的六个面上，有一个面写1，两个面写2，三个面写3，
∴任意投掷一次该六面体可能出现6种情况，其中写有3的面有3种，
∴朝上的一面是3的可能性==．
故答案为：．
【点评】本题考查的是可能性的大小，熟记概率公式是解答此题的关键．
14．如果2是m的立方根，那么m的值是 8 ．
【考点】立方根．
【分析】依据立方根的定义回答即可．
【解答】解：∵23=8，
∴2是8的立方根．
∴m=8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查的是立方根的定义，掌握立方根的定义是解题的关键．
15．有四张卡片（背面完全相同）分别写有运算符号+，﹣，×，÷，把它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出1张卡片，放在“2□1”的方框里组成一个算式，再计算出结果，则计算结果是2的可能性是 ．
【考点】可能性的大小．
【分析】先把符号+，﹣，×，÷放在“2□1”的方框里计算出各数，再由概率公式即可得出结论．
【解答】解：∵2+1=3，2﹣1=1，2×1=2，2÷1=2，
∴计算结果是2的可能性==．
故答案为：．
【点评】本题考查的是可能性的大小，熟记概率公式是解答此题的关键．
16．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD⊥AB，∠DAC=50°，则∠D的度数为 70° ．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据四边形ADBC的内角和为360°，即可解答．
【解答】解：∵∠ABC=60°，BD⊥AB，
∴∠DBC=90°+60°=150°，
∵四边形ADBC的内角和为360°，
∴∠D=360°﹣∠ACB﹣∠DBC﹣∠DAC=360°﹣90°﹣150°﹣50°=70°．
故答案为：70°．
【点评】本题考查了多边形的内角和，解决本题的关键是熟记四边形的内角和为360°．
17．若等边三角形的边长为2，则它的面积是 ．
【考点】等边三角形的性质；勾股定理的应用．
【专题】计算题．
【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD=CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求三角形ABC的面积，即可解题．
【解答】解：等边三角形三线合一，即D为BC的中点，
∴BD=DC=1，
在Rt△ABD中，AB=2，BD=1，
∴AD==，
∴△ABC的面积为BC•AD=×2×=，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，等边三角形面积的计算，本题中根据勾股定理计算AD的值是解题的关键．
18．已知m﹣n=3mn，则的值是 ．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m﹣n=3mn代入进行计算即可．
【解答】解：原式=，
当m﹣n=3mn时，原式===．
故答案为：．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
19．一列有规律的数：，2，，，，…，则第6个数是 2 ，第n个数是 （n为正整数）．
【考点】算术平方根．
【专题】规律型．
【分析】根据题意得出规律第n个数是解答即可．
【解答】解：， =2，， =，，…，则第6个数是=2，第n个数是，
故答案为：2；
【点评】本题主要考查算术平方根的知识点，关键是根据题意得出规律进行解答．
20．在数学实践课上，老师给同学们布置了如下任务：为美化校园环境，计划在学校内某处空地，用30平方米的草皮铺设一块等腰三角形绿地，使等腰三角形绿地的一边长为10米，请你给出设计方案．同学们开始思考，交流，一致认为应先通过画图、计算，求出等腰三角形绿地的另两边的长．请你也通过画图、计算，求出这个等腰三角形绿地的另两边的长分别为 和或10和6 ．
【考点】作图—应用与设计作图．
【分析】当底BC=10时，根据面积求出高AD，再根据勾股定理求出AB即可．当腰AB=10时，求出腰上的高BD，再利用勾股定理求出AD、BC．
【解答】解：①如图1中，当底BC=10 米时，作AD⊥BC垂足为D，
∵•BC•AD=30，
∴AD=6，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=5，
∵AB=AC==．
②如图②当AB=AC=10时，
作BD⊥AC，垂足为D，
∵，
∴BD=6，
∴AD==8，BC==6．
综上所述这个等腰三角形的另外两边分别为和或10和6．
故答案为为和或10和6．
【点评】本题考查等腰三角形性质、三角形面积公式、勾股定理，分类讨论是正确解题的关键．
三、解答题（共12道小题，共60分）
21．计算：×（）
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】首先利用单项式与多项式的乘法，然后进行化简即可．
【解答】解：原式=﹣=6﹣2=4．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一定要把二次根式化为最简二次根式的形式．
22．计算： +．
【考点】分式的加减法．
【专题】计算题．
【分析】异分母分式相加减，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
【解答】解：原式=+（3分）
=（5分）
=．（7分）
【点评】此题考查异分母分式的减法，比较容易．
23．解方程：．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题；分式方程及应用．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：1=2x﹣1+4，
解得：x=﹣1，
经检验x=﹣1是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
24．已知：如图，AB平分∠CAD，∠C=∠D=90°．求证：AC=AD．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】根据角平分线的定义得到∠CAB=∠DAB，推出△ACB≌△ADB，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB平分∠CAD，
∴∠CAB=∠DAB，
在△ACB与△ADB中，
，
∴△ACB≌△ADB，
∴AC=AD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
25．先化简，再求值：，其中x+2=．
【考点】分式的化简求值．
【分析】通分计算括号里面的加法，再算除法，由此顺序化简，进一步代入求得答案即可．
【解答】解：原式=•
=x+1，
∵x+2=，
∴x=﹣2，
则原式=x+1=﹣1．
【点评】此题考查分式的化简求值，掌握分式的化简的步骤与方法是解决问题的关键．
26．已知x=3+，y=3﹣，求x2y+xy2的值．
【考点】二次根式的化简求值．
【分析】首先将原式提取公因式xy，进而分解因式求出答案．
【解答】解：∵x=3+，y=3﹣，
∴x2y+xy2=xy（x+y）
=（3+）（3﹣）（3++3﹣）
=（9﹣4）×6
=30．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确掌握乘法公式是解题关键．
27．如图，点E在线段AB上，AD⊥AB，BC⊥AB，△DEC是等腰直角三角形，且∠DEC=90°．求证：AB=AD+BC．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】证明题．
【分析】由AD⊥AB，BC⊥AB，∠DEC=90°，可推出∠AED=∠BCE，进而证得△ADE≌△BEC，根据全等三角形的性质即可证得结论．
【解答】证明：∵AD⊥AB，BC⊥AB，∠DEC=90°，
∴∠AED=90°﹣∠BEC，∠BCE=90°﹣∠BEC，
∴∠AED=∠BCE，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴DE=CE，
在△ADE和△BEC中，
，
∴△ADE≌△BEC，
∴AE=BC，AD=BE，
∴AB=AD+BC．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
28．在彩虹读书活动中，某校决定为八年级学生购买同等数量的《钢铁是怎样炼成的》和《居里夫人自传》，供学生借阅．其中《居里夫人自传》的单价比《钢铁是怎样炼成的》的单价多8元．若学校购买《居里夫人自传》用了1 000元，购买《钢铁是怎样炼成的》用了600元，请问两种书的单价各是多少元？
【考点】分式方程的应用．
【分析】首先表示出两种书的价格，进而利用购买同等数量的书籍，进而得出等式求出答案．
【解答】解：设《居里夫人自传》的单价为x元，则《钢铁是怎样炼成的》的单价为：（x﹣8）元，根据题意可得：
=，
解得：x=20，
检验：当x=20时，x（x﹣8）≠0，故x=20是原方程的根，
则x﹣8=12．
答：《居里夫人自传》的单价为10元，《钢铁是怎样炼成的》的单价为12元．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，根据题意利用两种书籍数量相等得出等式是解题关键．
29．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE∥AC，且DE=AC，若AC=2，AD=4，求四边形ACEB的周长．
【考点】勾股定理；线段垂直平分线的性质．
【分析】先证明四边形ACED是平行四边形，可得DE=AC=2．由勾股定理和中线的定义可求AB和EB的长，从而求出四边形ACEB的周长．
【解答】解：∵DE∥AC，且DE=AC
∴四边形ACED是平行四边形．
∴DE=AC=2．
在Rt△ACD中，由勾股定理得CD==2．
∵D是BC的中点，
∴BC=2CD=4．
在△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得AB==2．
∵D是BC的中点，DE⊥BC，[来源:学科网]
∴EB=EC=4．
∴四边形ACEB的周长=AC+CE+EB+BA=10+2．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理和中线的定义，注意寻找求AB和EB的长的方法和途径．
30．已知：如图，△ABC中，AB=AC=6，∠A=45°，点D在AC上，点E在BD上，且△ABD、△CDE、△BCE均为等腰三角形．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求BE的长．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】（1）由AB=AC=6，∠A=45°，可求得∠ABC的度数，又由AD=BD，可求得∠ABD的度数，继而求得答案；
（2）由AB=AC=6，∠A=45°，可求得BD的长，然后设DE=EC=x，可得BE=EC=x，即可得方程x+x=3，继而求得答案．
【解答】解：（1）∵AB=AC=6，∠A=45°，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，
∵△ABD是等腰三角形，AD=BD，
∴∠ABD=∠A=45°，
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABD=22.5°；
（2）∵∠A=∠ABD=45°，
∴∠ADB=∠CDE=90°，
∵AB=6，
∴BD=AB•cos45°=3，
设DE=x，则CD=DE=x，
∴EC==x，
∵BE=EC=x，
∴x+x=3，
解得：x=6﹣3，
∴BE=6﹣6．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．注意利用方程思想求解是解此题的关键．
31．已知：x2﹣3x+1=0，求的值．
【考点】二次根式的化简求值．
【分析】先把x2﹣3x+1=0变形，得出x+=3，再结合完全平方公式求出的值．
【解答】解：∵x2﹣3x+1=0，
∴x+=3，
∴（）2=x++2=5，
∴=．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，熟练应用完全平方公式是解题关键．[来源:学§科§网Z§X§X§K]
32．在等边△ABC的外侧作直线BM，点A关于直线BM的对称点为D，连结AD，CD，设CD交直线BM于点E．
（1）依题意补全图1，若∠ABM=30°，求∠BCE的度数；
（2）如图2，若60°＜∠ABM＜90°，判断直线BM和CD相交所成的锐角的度数是否为定值？若是，求出这个锐角的度数；若不是，请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】探究型．
【分析】（1）根据题意可以作出相应的图形，连接BD，由题意可得到四边形ADBC是菱形，根据菱形的对角线平分每一组对角，可以得到∠BCE的度数；
（2）画出相应的图形，根据对称的性质可以得到相等的线段和相等的角，由等边△ABC，可以得到BC=BA，然后根据三角形内角和是180°，可以推出直线BM和CD相交所成的锐角的度数，本题得以解决．
【解答】解：（1）补全的图1如下所示：
连接BD，如上图1所示，
∵由已知可得，BM垂直平分AD，∠ABM=30°，△ABC是等边三角形，
∴△BDA是等边三角形，AD∥BC且AD=BC，DA=DB，
∴四边形ADBC是菱形，
∵∠ACB=60°，
∴∠BCE=30°；
（2）直线BM和CD相交所成的锐角的度数是定值，若下图所示，
连接AE交BC于点F，
由已知可得，BD=BA，BA=BC，ED=EA，
则∠BDA=∠BAD，∠EDA=∠EAD，BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD，∠EDB=∠EAB，
∴∠BCD=∠EAB，
∵∠EFC=∠BFA，∠ABC=60°，
∴∠CEA=∠ABC=60°，
∵∠AEC+∠AEM+∠DEM=180°，∠DEM=∠AEM，
∴∠DEM=60°，
即直线BM和CD相交所成的锐角的度数是定值，这个锐角的度数是60°．
【点评】本题考查了根据轴对称变换作图以及等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形的内角和、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，根据所求问题可以探索出所求问题需要的条件．
2020-2021学年北京市顺义区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．的平方根是（ ）
A． B． C． D．
2．若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．x≠3 B．x≠﹣2 C．x=﹣2 D．x=3
3．若△ABC有一个外角是锐角，则△ABC一定是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形
4．下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列事件中，随机事件是（ ）
A．在地球上，抛出去的篮球会下落
B．一个标准大气压下，水加热到100℃时会沸腾
C．购买一张福利彩票中奖了
D．掷一枚普通的正方体骰子，向上一面的点数一定大于零
6．以a、b、c为边长的三角形是直角三角形的是（ ）
A．a=3，b=5，c=7 B．a=2，b=2，c=
C．a=，b=，c= D．a=，b=，c=
7．一个不透明的盒子中装有3个白球，5个红球和7个黄球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性是（ ）
A． B． C． D．
8．下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知等腰三角形的底边长为a，底边上的高为h，用直尺和圆规作这个等腰三角形时，甲同学的作法是：先作底边BC=a，再作BC的垂直平分线MN交BC于点D，并在DM上截取DA=h，最后连结AB、AC，则△ABC即为所求作的等腰三角形；乙同学的作法是：先作高AD=h，再过点D作AD的垂线MN，并在MN上截取BC=a，最后连结AB、AC，则△ABC即为所求作的等腰三角形．对于甲乙两同学的作法，下列判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
10．在锐角三角形ABC中，高AD和BE交于点H，且BH=AC，则∠ABC的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．30°或45°
二、填空题（共10道小题，每小题3分，共30分）
11．当x 时，有意义．
12．若式子是分式，则x的取值范围是 ．
13．一个均匀的正六面体的六个面上，有一个面写1，两个面写2，三个面写3，任意投掷一次该六面体，则朝上的一面是3的可能性是 ．
14．如果2是m的立方根，那么m的值是 ．
15．有四张卡片（背面完全相同）分别写有运算符号+，﹣，×，÷，把它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出1张卡片，放在“2□1”的方框里组成一个算式，再计算出结果，则计算结果是2的可能性是 ．
16．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD⊥AB，∠DAC=50°，则∠D的度数为 ．
17．若等边三角形的边长为2，则它的面积是 ．
18．已知m﹣n=3mn，则的值是 ．
19．一列有规律的数：，2，，，，…，则第6个数是 ，第n个数是 （n为正整数）．
20．在数学实践课上，老师给同学们布置了如下任务：为美化校园环境，计划在学校内某处空地，用30平方米的草皮铺设一块等腰三角形绿地，使等腰三角形绿地的一边长为10米，请你给出设计方案．同学们开始思考，交流，一致认为应先通过画图、计算，求出等腰三角形绿地的另两边的长．请你也通过画图、计算，求出这个等腰三角形绿地的另两边的长分别为 ．
三、解答题（共12道小题，共60分）
21．计算：×（）
22．计算： +．
23．解方程：．
24．已知：如图，AB平分∠CAD，∠C=∠D=90°．求证：AC=AD．
25．先化简，再求值：，其中x+2=．
26．已知x=3+，y=3﹣，求x2y+xy2的值．
27．如图，点E在线段AB上，AD⊥AB，BC⊥AB，△DEC是等腰直角三角形，且∠DEC=90°．求证：AB=AD+BC．
28．在彩虹读书活动中，某校决定为八年级学生购买同等数量的《钢铁是怎样炼成的》和《居里夫人自传》，供学生借阅．其中《居里夫人自传》的单价比《钢铁是怎样炼成的》的单价多8元．若学校购买《居里夫人自传》用了1 000元，购买《钢铁是怎样炼成的》用了600元，请问两种书的单价各是多少元？
29．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE∥AC，且DE=AC，若AC=2，AD=4，求四边形ACEB的周长．
30．已知：如图，△ABC中，AB=AC=6，∠A=45°，点D在AC上，点E在BD上，且△ABD、△CDE、△BCE均为等腰三角形．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求BE的长．
31．已知：x2﹣3x+1=0，求的值．
[来源:Zxxk.Com]
32．在等边△ABC的外侧作直线BM，点A关于直线BM的对称点为D，连结AD，CD，设CD交直线BM于点E．
（1）依题意补全图1，若∠ABM=30°，求∠BCE的度数；
（2）如图2，若60°＜∠ABM＜90°，判断直线BM和CD相交所成的锐角的度数是否为定值？若是，求出这个锐角的度数；若不是，请说明理由．
2020-2021学年北京市顺义区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【考点】平方根．
【分析】根据平方根的定义求出即可．
【解答】解：的平方根为=，[来源:学*科*网Z*X*X*K]
故选C．
【点评】本题考查了对平方根定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，注意：a（a≥0）的平方根为±．
2．若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．x≠3 B．x≠﹣2 C．x=﹣2 D．x=3[来源:Z*xx*k.Com]
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】根据分子为0；分母不为0，可得答案．
【解答】解：由分式的值为0，得
x﹣3=0且x+2≠0．
解得x=3，
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
3．若△ABC有一个外角是锐角，则△ABC一定是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形
【考点】三角形的外角性质．
【分析】利用三角形的外角与相邻的内角互补的性质计算．
【解答】解：∵△ABC有一个外角为锐角，
∴与此外角相邻的内角的值为180°减去此外角，
故此角应大于90°，
故△ABC是钝角三角形．
故选A
【点评】此题考查的是三角形内角与外角的关系，即三角形的外角与相邻的内角互补．
4．下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】根据二次根式的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、=3≠﹣3，故本选项错误；
B、==15≠9，故本选项错误；
C、无意义，故本选项错误；
D、=7，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
5．下列事件中，随机事件是（ ）
A．在地球上，抛出去的篮球会下落
B．一个标准大气压下，水加热到100℃时会沸腾
C．购买一张福利彩票中奖了
D．掷一枚普通的正方体骰子，向上一面的点数一定大于零
【考点】随机事件．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
【解答】解：A、在地球上，抛出去的篮球会下落是必然事件，故A错误；
B、一个标准大气压下，水加热到100℃时会沸腾是必然事件，故B错误；
C、购买一张福利彩票中奖了是随机事件，故C正确；
D、掷一枚普通的正方体骰子，向上一面的点数一定大于零是必然事件，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6．以a、b、c为边长的三角形是直角三角形的是（ ）
A．a=3，b=5，c=7 B．a=2，b=2，c=
C．a=，b=，c= D．a=，b=，c=
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】三角形三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．
【解答】解：A、32+52≠72，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
B、22+22=（2）2，能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意．
C、（2）2+（3）2≠（3）2，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
D、（）2+（）2≠（）2，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
故选B．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，关键知道两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．
7．一个不透明的盒子中装有3个白球，5个红球和7个黄球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性是（ ）
A． B． C． D．
【考点】可能性的大小．
【分析】先求出球的总数，再由概率公式即可得出结论．
【解答】解：∵一个不透明的盒子中装有3个白球，5个红球和7个黄球，
∴球的总数=3+5+7=15（个），
∴这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性==．
故选B．
【点评】本题考查的是可能性的大小，熟记随机事件的概率公式是解答此题的关键．
8．下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】分式的基本性质．
【专题】计算题；分式．
【分析】原式各项利用分式的基本性质变形得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、=，错误；
B、为最简分式，错误；
C、==a﹣b，正确；
D、=﹣，错误，
故选C．
【点评】此题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键．
9．已知等腰三角形的底边长为a，底边上的高为h，用直尺和圆规作这个等腰三角形时，甲同学的作法是：先作底边BC=a，再作BC的垂直平分线MN交BC于点D，并在DM上截取DA=h，最后连结AB、AC，则△ABC即为所求作的等腰三角形；乙同学的作法是：先作高AD=h，再过点D作AD的垂线MN，并在MN上截取BC=a，最后连结AB、AC，则△ABC即为所求作的等腰三角形．对于甲乙两同学的作法，下列判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
【考点】作图—复杂作图；等腰三角形的判定．
【专题】作图题．
【分析】根据线段垂直平分线的性质对两同学的作法进行判断．
【解答】解：根据甲同学的作法，AD垂直平分BC，则AB=AC，所以△ABC为直角三角形，而根据乙同学的作法，AD只垂直BC，不平分BC，所以不能判断△ABC为等腰三角形，
所以甲同学作法正确，乙同学作法错误．
故选A．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．
10．在锐角三角形ABC中，高AD和BE交于点H，且BH=AC，则∠ABC的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．30°或45°
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】先根据已知条件利用AAS判定△BDH≌△ADC，得出BD=AD，因为∠ADB=90°，所以得出∠ABC=45°．
【解答】解：∵△ABC为锐角三角形，
∴高AD和BE在三角形内，
∵高AD和BE交于点H，
∴∠ADC=∠BEC=90°．
∵∠EBD+∠BHD=90°，∠AHE+∠HAE=90°，∠BHD=∠AHE，
∴∠EAD=∠EBD，
又∵BH=AC，∠ADC=∠BDH=90°，
在△BDH与△ADC中，
，
∴△BDH≌△ADC（AAS），
∴BD=AD，
∵∠ADB=90°，
∴∠ABC=45°．
故选B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．找准哪两个三角形全等是解决本题的关键．
二、填空题（共10道小题，每小题3分，共30分）
11．当x ≥﹣ 时，有意义．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得3x+2≥0，再解即可．
【解答】解：由题意得：3x+2≥0，
解得：x≥﹣，
故答案为：≥﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
12．若式子是分式，则x的取值范围是 x≠2 ．
【考点】分式有意义的条件．
【分析】根据分式有意义的条件可得：x﹣2≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
13．一个均匀的正六面体的六个面上，有一个面写1，两个面写2，三个面写3，任意投掷一次该六面体，则朝上的一面是3的可能性是 ．
【考点】可能性的大小．
【分析】先找出任意投掷一次该六面体所能出现的情况及出现3的情况，再由概率公式即可得出结论．
【解答】解：∵一个均匀的正六面体的六个面上，有一个面写1，两个面写2，三个面写3，
∴任意投掷一次该六面体可能出现6种情况，其中写有3的面有3种，
∴朝上的一面是3的可能性==．
故答案为：．
【点评】本题考查的是可能性的大小，熟记概率公式是解答此题的关键．
14．如果2是m的立方根，那么m的值是 8 ．
【考点】立方根．
【分析】依据立方根的定义回答即可．
【解答】解：∵23=8，
∴2是8的立方根．
∴m=8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查的是立方根的定义，掌握立方根的定义是解题的关键．
15．有四张卡片（背面完全相同）分别写有运算符号+，﹣，×，÷，把它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出1张卡片，放在“2□1”的方框里组成一个算式，再计算出结果，则计算结果是2的可能性是 ．
【考点】可能性的大小．
【分析】先把符号+，﹣，×，÷放在“2□1”的方框里计算出各数，再由概率公式即可得出结论．
【解答】解：∵2+1=3，2﹣1=1，2×1=2，2÷1=2，
∴计算结果是2的可能性==．
故答案为：．
【点评】本题考查的是可能性的大小，熟记概率公式是解答此题的关键．
16．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD⊥AB，∠DAC=50°，则∠D的度数为 70° ．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据四边形ADBC的内角和为360°，即可解答．
【解答】解：∵∠ABC=60°，BD⊥AB，
∴∠DBC=90°+60°=150°，
∵四边形ADBC的内角和为360°，
∴∠D=360°﹣∠ACB﹣∠DBC﹣∠DAC=360°﹣90°﹣150°﹣50°=70°．
故答案为：70°．
【点评】本题考查了多边形的内角和，解决本题的关键是熟记四边形的内角和为360°．
17．若等边三角形的边长为2，则它的面积是 ．
【考点】等边三角形的性质；勾股定理的应用．
【专题】计算题．
【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD=CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求三角形ABC的面积，即可解题．
【解答】解：等边三角形三线合一，即D为BC的中点，
∴BD=DC=1，
在Rt△ABD中，AB=2，BD=1，
∴AD==，
∴△ABC的面积为BC•AD=×2×=，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，等边三角形面积的计算，本题中根据勾股定理计算AD的值是解题的关键．
18．已知m﹣n=3mn，则的值是 ．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m﹣n=3mn代入进行计算即可．
【解答】解：原式=，
当m﹣n=3mn时，原式===．
故答案为：．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
19．一列有规律的数：，2，，，，…，则第6个数是 2 ，第n个数是 （n为正整数）．
【考点】算术平方根．
【专题】规律型．
【分析】根据题意得出规律第n个数是解答即可．
【解答】解：， =2，， =，，…，则第6个数是=2，第n个数是，
故答案为：2；
【点评】本题主要考查算术平方根的知识点，关键是根据题意得出规律进行解答．
20．在数学实践课上，老师给同学们布置了如下任务：为美化校园环境，计划在学校内某处空地，用30平方米的草皮铺设一块等腰三角形绿地，使等腰三角形绿地的一边长为10米，请你给出设计方案．同学们开始思考，交流，一致认为应先通过画图、计算，求出等腰三角形绿地的另两边的长．请你也通过画图、计算，求出这个等腰三角形绿地的另两边的长分别为 和或10和6 ．
【考点】作图—应用与设计作图．
【分析】当底BC=10时，根据面积求出高AD，再根据勾股定理求出AB即可．当腰AB=10时，求出腰上的高BD，再利用勾股定理求出AD、BC．
【解答】解：①如图1中，当底BC=10 米时，作AD⊥BC垂足为D，
∵•BC•AD=30，
∴AD=6，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=5，
∵AB=AC==．
②如图②当AB=AC=10时，
作BD⊥AC，垂足为D，
∵，
∴BD=6，
∴AD==8，BC==6．
综上所述这个等腰三角形的另外两边分别为和或10和6．
故答案为为和或10和6．
【点评】本题考查等腰三角形性质、三角形面积公式、勾股定理，分类讨论是正确解题的关键．
三、解答题（共12道小题，共60分）
21．计算：×（）
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】首先利用单项式与多项式的乘法，然后进行化简即可．
【解答】解：原式=﹣=6﹣2=4．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一定要把二次根式化为最简二次根式的形式．
22．计算： +．
【考点】分式的加减法．
【专题】计算题．
【分析】异分母分式相加减，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
【解答】解：原式=+（3分）
=（5分）
=．（7分）
【点评】此题考查异分母分式的减法，比较容易．
23．解方程：．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题；分式方程及应用．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：1=2x﹣1+4，
解得：x=﹣1，
经检验x=﹣1是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
24．已知：如图，AB平分∠CAD，∠C=∠D=90°．求证：AC=AD．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】根据角平分线的定义得到∠CAB=∠DAB，推出△ACB≌△ADB，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB平分∠CAD，
∴∠CAB=∠DAB，
在△ACB与△ADB中，
，
∴△ACB≌△ADB，
∴AC=AD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
25．先化简，再求值：，其中x+2=．
【考点】分式的化简求值．
【分析】通分计算括号里面的加法，再算除法，由此顺序化简，进一步代入求得答案即可．
【解答】解：原式=•
=x+1，
∵x+2=，
∴x=﹣2，
则原式=x+1=﹣1．
【点评】此题考查分式的化简求值，掌握分式的化简的步骤与方法是解决问题的关键．
26．已知x=3+，y=3﹣，求x2y+xy2的值．
【考点】二次根式的化简求值．
【分析】首先将原式提取公因式xy，进而分解因式求出答案．
【解答】解：∵x=3+，y=3﹣，
∴x2y+xy2=xy（x+y）
=（3+）（3﹣）（3++3﹣）
=（9﹣4）×6
=30．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确掌握乘法公式是解题关键．
27．如图，点E在线段AB上，AD⊥AB，BC⊥AB，△DEC是等腰直角三角形，且∠DEC=90°．求证：AB=AD+BC．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】证明题．
【分析】由AD⊥AB，BC⊥AB，∠DEC=90°，可推出∠AED=∠BCE，进而证得△ADE≌△BEC，根据全等三角形的性质即可证得结论．
【解答】证明：∵AD⊥AB，BC⊥AB，∠DEC=90°，
∴∠AED=90°﹣∠BEC，∠BCE=90°﹣∠BEC，
∴∠AED=∠BCE，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴DE=CE，
在△ADE和△BEC中，
，
∴△ADE≌△BEC，
∴AE=BC，AD=BE，
∴AB=AD+BC．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
28．在彩虹读书活动中，某校决定为八年级学生购买同等数量的《钢铁是怎样炼成的》和《居里夫人自传》，供学生借阅．其中《居里夫人自传》的单价比《钢铁是怎样炼成的》的单价多8元．若学校购买《居里夫人自传》用了1 000元，购买《钢铁是怎样炼成的》用了600元，请问两种书的单价各是多少元？
【考点】分式方程的应用．
【分析】首先表示出两种书的价格，进而利用购买同等数量的书籍，进而得出等式求出答案．
【解答】解：设《居里夫人自传》的单价为x元，则《钢铁是怎样炼成的》的单价为：（x﹣8）元，根据题意可得：
=，
解得：x=20，
检验：当x=20时，x（x﹣8）≠0，故x=20是原方程的根，
则x﹣8=12．
答：《居里夫人自传》的单价为10元，《钢铁是怎样炼成的》的单价为12元．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，根据题意利用两种书籍数量相等得出等式是解题关键．
29．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE∥AC，且DE=AC，若AC=2，AD=4，求四边形ACEB的周长．
【考点】勾股定理；线段垂直平分线的性质．
【分析】先证明四边形ACED是平行四边形，可得DE=AC=2．由勾股定理和中线的定义可求AB和EB的长，从而求出四边形ACEB的周长．
【解答】解：∵DE∥AC，且DE=AC
∴四边形ACED是平行四边形．
∴DE=AC=2．
在Rt△ACD中，由勾股定理得CD==2．
∵D是BC的中点，
∴BC=2CD=4．
在△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得AB==2．
∵D是BC的中点，DE⊥BC，[来源:学科网]
∴EB=EC=4．
∴四边形ACEB的周长=AC+CE+EB+BA=10+2．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理和中线的定义，注意寻找求AB和EB的长的方法和途径．
30．已知：如图，△ABC中，AB=AC=6，∠A=45°，点D在AC上，点E在BD上，且△ABD、△CDE、△BCE均为等腰三角形．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求BE的长．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】（1）由AB=AC=6，∠A=45°，可求得∠ABC的度数，又由AD=BD，可求得∠ABD的度数，继而求得答案；
（2）由AB=AC=6，∠A=45°，可求得BD的长，然后设DE=EC=x，可得BE=EC=x，即可得方程x+x=3，继而求得答案．
【解答】解：（1）∵AB=AC=6，∠A=45°，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，
∵△ABD是等腰三角形，AD=BD，
∴∠ABD=∠A=45°，
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABD=22.5°；
（2）∵∠A=∠ABD=45°，
∴∠ADB=∠CDE=90°，
∵AB=6，
∴BD=AB•cos45°=3，
设DE=x，则CD=DE=x，
∴EC==x，
∵BE=EC=x，
∴x+x=3，
解得：x=6﹣3，
∴BE=6﹣6．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．注意利用方程思想求解是解此题的关键．
31．已知：x2﹣3x+1=0，求的值．
【考点】二次根式的化简求值．
【分析】先把x2﹣3x+1=0变形，得出x+=3，再结合完全平方公式求出的值．
【解答】解：∵x2﹣3x+1=0，
∴x+=3，
∴（）2=x++2=5，
∴=．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，熟练应用完全平方公式是解题关键．[来源:学§科§网Z§X§X§K]
32．在等边△ABC的外侧作直线BM，点A关于直线BM的对称点为D，连结AD，CD，设CD交直线BM于点E．
（1）依题意补全图1，若∠ABM=30°，求∠BCE的度数；
（2）如图2，若60°＜∠ABM＜90°，判断直线BM和CD相交所成的锐角的度数是否为定值？若是，求出这个锐角的度数；若不是，请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】探究型．
【分析】（1）根据题意可以作出相应的图形，连接BD，由题意可得到四边形ADBC是菱形，根据菱形的对角线平分每一组对角，可以得到∠BCE的度数；
（2）画出相应的图形，根据对称的性质可以得到相等的线段和相等的角，由等边△ABC，可以得到BC=BA，然后根据三角形内角和是180°，可以推出直线BM和CD相交所成的锐角的度数，本题得以解决．
【解答】解：（1）补全的图1如下所示：
连接BD，如上图1所示，
∵由已知可得，BM垂直平分AD，∠ABM=30°，△ABC是等边三角形，
∴△BDA是等边三角形，AD∥BC且AD=BC，DA=DB，
∴四边形ADBC是菱形，
∵∠ACB=60°，
∴∠BCE=30°；
（2）直线BM和CD相交所成的锐角的度数是定值，若下图所示，
连接AE交BC于点F，
由已知可得，BD=BA，BA=BC，ED=EA，
则∠BDA=∠BAD，∠EDA=∠EAD，BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD，∠EDB=∠EAB，
∴∠BCD=∠EAB，
∵∠EFC=∠BFA，∠ABC=60°，
∴∠CEA=∠ABC=60°，
∵∠AEC+∠AEM+∠DEM=180°，∠DEM=∠AEM，
∴∠DEM=60°，
即直线BM和CD相交所成的锐角的度数是定值，这个锐角的度数是60°．
【点评】本题考查了根据轴对称变换作图以及等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形的内角和、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，根据所求问题可以探索出所求问题需要的条件．
相关试卷
2021-2022学年北京市顺义区九年级（上）期末数学试卷（学生版+解析版）： 这是一份2021-2022学年北京市顺义区九年级（上）期末数学试卷（学生版+解析版），共24页。
2020-2021学年北京市顺义区八年级（上）期末数学试卷： 这是一份2020-2021学年北京市顺义区八年级（上）期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年北京市顺义区七年级（上）期末数学试卷： 这是一份2020-2021学年北京市顺义区七年级（上）期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
