2020-2021学年湖北省恩施州利川市八年级（上）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年湖北省恩施州利川市八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将该选择项目的字母代表填涂在答题卷的相应位置上）

1．（3分）计算（﹣x2）3的结果是（　　）

A．﹣x6 B．x6 C．﹣x5 D．﹣x8

2．（3分）四边形的内角和为（　　）

A．180° B．360° C．540° D．720°

3．（3分）用科学记数法表示数0.000301正确的是（　　）

A．3×10﹣4 B．30.1×10﹣8 C．3.01×10﹣4 D．3.01×10﹣5

4．（3分）下列图案中，不是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

5．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．﹣a×（﹣a）2=a3 B．a×（﹣a）3=a4 C．a6÷（2a）2=a3 D．a6÷（2a）2=a4

6．（3分）若等腰三角形的底角是顶角的2倍，则这个等腰三角形的底角的度数是（　　）

A．36° B．72° C．36°或72° D．无法确定的

7．（3分）若分式有意义，则a满足的条件是（　　）

A．a≠1的实数 B．a为任意实数

C．a≠1或﹣1的实数 D．a=﹣1

8．（3分）下列各式中的最简分式是（　　）

A． B． C． D．

9．（3分）分解因式x4﹣1的结果是（　　）

A．（x+1）（x﹣1） B．（x2+1）（x2﹣1） C．（x2+1）（x+1）（x﹣1） D．（x+1）2（x﹣1）2

10．（3分）如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的高，∠BDE=∠CDF=30°，在下列结论中：①△ABD≌△ACD；②2DE=2DF=AD；③△ADE≌△ADF；④4BE=4CF=AB．正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

11．（3分）如图，将两块相同的三角板（含30°角）按图中所示位置摆放，若BE交CF于D，AC交BE于M，AB交CF于N，则下列结论中错误的是（　　）

A．∠EAC=∠FAB B．∠EAF=∠EDF C．△ACN≌△ABM D．AM=AN

12．（3分）A、B两地相距48km，一艘轮船从A地顺流航行至B地，比从B地逆流航行至A地少用2h，已知水流速度为5km/h，求该轮船在静水中的航行速度是多少km/h？若设该轮船在静水中的速度为xkm/h，则可列方程（　　）

A．﹣=2 B．﹣﹣=2

C．﹣=2 D． +=2

二、填空题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分。不要求写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷的相应位置上）

13．（3分）分解因式：2a3+8a2b+8ab2=　   　．

14．（3分）若分式的值为零，则m，n满足的条件是　   　．

15．（3分）一个等腰三角形的边长分别是4cm和7cm，则它的周长是　   　．

16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，E是斜边AB的中点，点P为AC边上一动点，若Rt△ABC的直角边AC=4，则PB+PE的最小值等于　   　．[来源:Z+xx+k.Com]

三、简答题（本大题共有8个小题，共72分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤）

17．（8分）计算（a﹣3b）（a+3b）﹣（﹣a﹣2b）（a﹣2b）

18．（8分）解方程：﹣1=

19．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=

20．（8分）计算（）2•﹣÷

21．（8分）如图，AB∥CD，E是BC的中点，DE平分∠ADC，DE的延长线交AB于点F，求证：AE平分∠DAF

22．（10分）等腰三角形两腰上的中线相等吗？试证明你的结论

23．（10分）从甲地到乙地有120千米，一辆小车与一辆卡车同时从甲地出发，沿相同路线开往乙地，已知小车的速度是卡车的1.5倍，结果小车比卡车提前30分钟到达乙地．求小车和卡车的行驶速度各是多少？

24．（12分）如图①，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上异于B和C的任意一点，过点P作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，过点C作CF⊥AB于F，求证：PD+PE=CF．

（1）有下面两种证明思路：（一）如图②，连接AP，由△ABP于△ACP面积之和等于△ABC的面积证得PD+PE=CF．（二）如图②，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证明：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．

请你选择其中的一种证明思路完成证明：

（2）探究：如图③，当点P在BC的延长线上时，其它条件不变，探究并证明PD、PE和CF间的数量关系；

（3）猜想：当点P在CB的延长线上时，其它条件不变，猜想PD、PE和CF间的数量关系（不要求证明）

2020-2021学年湖北省恩施州利川市八年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将该选择项目的字母代表填涂在答题卷的相应位置上）

1．（3分）计算（﹣x2）3的结果是（　　）

A．﹣x6 B．x6 C．﹣x5 D．﹣x8

【解答】解：（﹣x2）3=﹣x6，

故选：A．

2．（3分）四边形的内角和为（　　）

A．180° B．360° C．540° D．720°

【解答】解：四边形的内角和=（4﹣2）•180°=360°．

故选：B．

3．（3分）用科学记数法表示数0.000301正确的是（　　）

A．3×10﹣4 B．30.1×10﹣8 C．3.01×10﹣4 D．3.01×10﹣5

【解答】解：0.000301=3.01×10﹣4，

故选：C．

4．（3分）下列图案中，不是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：A、是轴对称图形，故错误；

B、是轴对称图形，故错误；

C、不是轴对称图形，故正确；

D、是轴对称图形，故错误．

故选：C．

5．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．﹣a×（﹣a）2=a3 B．a×（﹣a）3=a4 C．a6÷（2a）2=a3 D．a6÷（2a）2=a4

【解答】解：A、﹣a×（﹣a）2=﹣a3，故原题计算错误；

B、a×（﹣a）3=﹣a4，故原题计算错误；

C、a6÷（2a）2=a4，故原题计算错误；

D、a6÷（2a）2=a4，故原题计算正确；

故选：D．

6．（3分）若等腰三角形的底角是顶角的2倍，则这个等腰三角形的底角的度数是（　　）

A．36° B．72° C．36°或72° D．无法确定的

【解答】解：设顶角为x度，则底角为2x度，

则：x+2x+2x=180，

解得：x=36，

∴2x=72，

故选：B．

7．（3分）若分式有意义，则a满足的条件是（　　）

A．a≠1的实数 B．a为任意实数

C．a≠1或﹣1的实数 D．a=﹣1

【解答】解：∵分式有意义，

∴a﹣1≠0，

解得：a≠1．

故选：A．

8．（3分）下列各式中的最简分式是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：A、=，此选项不符合题意；

B、=，此选项不符合题意；[来源:Zxxk.Com]

C、=，此选项不符合题意；

D、是最简分式，此选项符合题意；

故选：D．

9．（3分）分解因式x4﹣1的结果是（　　）

A．（x+1）（x﹣1） B．（x2+1）（x2﹣1） C．（x2+1）（x+1）（x﹣1） D．（x+1）2（x﹣1）2

【解答】解：x4﹣1=（x2）2﹣12

=（x2+1）（x2﹣1）

=（x2+1）（x+1）（x﹣1），

故选：C．

10．（3分）如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的高，∠BDE=∠CDF=30°，在下列结论中：①△ABD≌△ACD；②2DE=2DF=AD；③△ADE≌△ADF；④4BE=4CF=AB．正确的个数是（　　）

[来源:学#科#网]

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：∵等边△ABC中，AD是BC边上的高，

∴BD=DC，AB=AC，∠B=∠C=60°，

在△ABD与△ACD中

，

∴△ABD≌△ACD，故①正确；

在△ADE与△ADF中

，

∴△ADE≌△ADF，故③正确；

∵在Rt△ADE与Rt△ADF中，

∠EAD=∠FAD=30°，

∴2DE=2DF=AD，故②正确；

同理2BE=2CF=BD，

∵AB=2BD，

∴4BE=4CF=AB，故④正确；

故选：D．

11．（3分）如图，将两块相同的三角板（含30°角）按图中所示位置摆放，若BE交CF于D，AC交BE于M，AB交CF于N，则下列结论中错误的是（　　）

A．∠EAC=∠FAB B．∠EAF=∠EDF C．△ACN≌△ABM D．AM=AN

【解答】解：∵△ABE≌△AFC，

∴∠EAB=∠CAF，AC=AB，∠C=∠B，

∴∠EAC=∠FAB，故A正确；

在△ACN与△ABM中，

∴△ACN≌△ABM，故C正确；

∴AM=AN，故D正确；

故选：B．

12．（3分）A、B两地相距48km，一艘轮船从A地顺流航行至B地，比从B地逆流航行至A地少用2h，已知水流速度为5km/h，求该轮船在静水中的航行速度是多少km/h？若设该轮船在静水中的速度为xkm/h，则可列方程（　　）

A．﹣=2 B．﹣﹣=2

C．﹣=2 D． +=2

【解答】解：由题意可得，﹣=2，

故选：A．

二、填空题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分。不要求写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷的相应位置上）

13．（3分）分解因式：2a3+8a2b+8ab2=　2a（a+2b）2　．

【解答】解：原式=2a（a2+4ab+4b2）

=2a（a+2b）2．

故答案为：2a（a+2b）2．

14．（3分）若分式的值为零，则m，n满足的条件是　m=n且m、n均不为零　．

【解答】解：∵分式的值为零，

∴m﹣n=0且m+n≠0．

解得：m=n且m、n均不为零．

故答案为：m=n且m、n均不为零．

15．（3分）一个等腰三角形的边长分别是4cm和7cm，则它的周长是　15cm或18cm　．

【解答】解：①当腰是4cm，底边是7cm时，能构成三角形，

则其周长=4+4+7=15cm；

②当底边是4cm，腰长是7cm时，能构成三角形，

则其周长=4+7+7=18cm．

故答案为：15cm或18cm．

16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，E是斜边AB的中点，点P为AC边上一动点，若Rt△ABC的直角边AC=4，则PB+PE的最小值等于　4　．

【解答】解：如图所示，作点B关于AC的对称点D，连接PD，则PB=PD，

∴PB+PE=PD+PE，

当E，P，D在同一直线上时，PB+PE的最小值即为线段DE的长，

∵Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，E是斜边AB的中点，

∴AB=2BE=2BC=BD，∠ABC=∠DBE，

∴△ABC≌△DBE，

∴DE=AC=4，

∴PB+PE的最小值等于4，

故答案为：4．

三、简答题（本大题共有8个小题，共72分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤）

17．（8分）计算（a﹣3b）（a+3b）﹣（﹣a﹣2b）（a﹣2b）

【解答】解：原式=a2﹣9b2﹣（4b2﹣a2）

=2a2﹣13b2．

18．（8分）解方程：﹣1=

【解答】解：去分母，得：x﹣2﹣（3x+5）=﹣1，

去括号，得：x﹣2﹣3x﹣5=﹣1，

移项、合并，得：﹣2x=6，

系数化为1，得：x=﹣3，

经检验x=﹣3是分式方程的解，

∴x=﹣3．

19．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=

【解答】解：原式=•=•=，

当x=时，原式=3．

20．（8分）计算（）2•﹣÷

【解答】解：原式=•﹣•=﹣=﹣==．

21．（8分）如图，AB∥CD，E是BC的中点，DE平分∠ADC，DE的延长线交AB于点F，求证：AE平分∠DAF[来源:Z_xx_k.Com]

【解答】证明：∵CD∥AB，

∴∠C=∠EBF，

∵E是BC中点，

∴CE=EB，

在△DCE和△FBE中，

，

∴△DEC≌△FEB，

∴DE=EF，

∵DE平分∠ADC，

∴∠ADE=∠CDE=∠F，

∴AD=AF，

∴AE平分∠DAF．

22．（10分）等腰三角形两腰上的中线相等吗？试证明你的结论

【解答】解：结论：相等；

理由：已知：△ABC中，AB=AC，AD=DC，AE=EB，

求证：BD=CE．

证明：∵AB=AC，AD=DC，AE=EB，

∴DC=BE，∠DCB=∠EBC．

∵BC=CB，

∴△BDC≌△CEB（SAS）．

∴BD=CE．

即等腰三角形的两腰上的中线相等．

23．（10分）从甲地到乙地有120千米，一辆小车与一辆卡车同时从甲地出发，沿相同路线开往乙地，已知小车的速度是卡车的1.5倍，结果小车比卡车提前30分钟到达乙地．求小车和卡车的行驶速度各是多少？

【解答】解：设卡车的行驶速度为x千米/时，则小车的行驶速度为1.5x千米/时，

根据题意得：﹣=，

解得：x=80，

经检验，x=80是原方程的解，且符合题意，

∴1.5x=120．

答：小车的行驶速度为120千米/时，卡车的行驶速度为80千米/时．

24．（12分）如图①，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上异于B和C的任意一点，过点P作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，过点C作CF⊥AB于F，求证：PD+PE=CF．

（1）有下面两种证明思路：（一）如图②，连接AP，由△ABP于△ACP面积之和等于△ABC的面积证得PD+PE=CF．（二）如图②，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证明：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．

请你选择其中的一种证明思路完成证明：

（2）探究：如图③，当点P在BC的延长线上时，其它条件不变，探究并证明PD、PE和CF间的数量关系；

（3）猜想：当点P在CB的延长线上时，其它条件不变，猜想PD、PE和CF间的数量关系（不要求证明）

【解答】解：（1）如图②，连接AP，

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，

∴S△ABP=AB•PD，S△ACP=AC•PE，S△ABC=AB•CF，

∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，

∴AB•PD+AC•PE=AB•CF，

又AB=AC，

∴PD+PE=CF；

（2）PD﹣PE=CF[来源:Zxxk.Com]

如图③，连接AP，

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，

∴S△ABP=AB•PD，S△ACP=AC•PE，S△ABC=AB•CF，

∵S△ABP﹣S△ACP=S△ABC，

∴AB•PD﹣AC•PE=AB•CF，

又∵AB=AC，

∴PD﹣PE=CF；

（3）PD﹣PE=CF

如图4，连接AP，

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，

∴S△ABP=AB•PD，S△ACP=AC•PE，S△ABC=AB•CF，

∵S△ACP﹣S△ABP=S△ABC，

∴AC•PE﹣AB•PD=AB•CF，

又∵AB=AC，

∴PE﹣PD=CF；