2020-2021学年河南省洛阳市八年级（上）期末数学试卷（解析版）

这是一份2020-2021学年河南省洛阳市八年级（上）期末数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年河南省洛阳市八年级（上）期末数学试卷
　
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）以下四家银行的标志图中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列运算中正确的是（　　）
A．x2÷x8=x﹣4 B．a•a2=a2 C．（a3）2=a6 D．（3a）3=9a3
3．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣2 B．x＜2 C．x≠2 D．x≠﹣2
4．（3分）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　）
A．2xy+6xz+3=2x（y+3z）+3 B．（x+6）（x﹣6）=x2﹣36
C．﹣2x2﹣2xy=﹣2x（x+y） D．3a2﹣3b2=3（a2﹣b2）
5．（3分）化简正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是（　　）

A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
7．（3分）如图，已知△ABE≌△ACD，下列选项中不能被证明的等式是（　　）

A．AD=AE B．DB=AE C．DF=EF D．DB=EC
8．（3分）如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E．如果AD=1，BC=6，那么CE等于（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
9．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，∠C=20°，AB+BD=AC，将△ABD沿AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点记为点E．那么∠B等于（　　）

A．80° B．60° C．40° D．30°
10．（3分）如图，已知，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④AC=2CD．其中正确的有（　　） 个．

A．1 B．2 C．3 D．4
　
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（3分）写出点M（﹣2，3）关于x轴对称的点N的坐标　 　．
12．（3分）石墨烯目前是世界上最薄、最坚硬的纳米材料，其理论厚度仅0.00000000034米，这个数用科学记数法表示为　 　．
13．（3分）若等腰三角形的一个内角比另一个内角大30°，则这个等腰三角形的顶角的度数为　 　．
14．（3分）如图，△ABC中，点D在边BC上，若AB=AD=CD，∠BAD=100°，则∠C=　 　度．

15．（3分）如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC=84°，则∠BDC=　 　．

　
三、解答题（共75分）
16．（8分）计算
（1）（a﹣1）2﹣a（a+2）
（2）（x﹣6）（x+4）+（3x+2）（2﹣3x）
17．（8分）解决下列两个问题：
（1）如图1，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5．EF垂直且平分BC．点P在直线EF上，直接写出PA+PB的最小值，并在图中标出当PA+PB取最小值时点P的位置；
解：PA+PB的最小值为　 　．
（2）如图2．点M、N在∠BAC的内部，请在∠BAC的内部求作一点P，使得点P到∠BAC两边的距离相等，且使PM=PN．（尺规作图，保留作图痕迹，无需证明）

18．（9分）先化简（1﹣）÷，然后从﹣2≤a≤2的范围内选取一个合适的整数作为a的值代入求值．
19．（9分）如图，DE∥BC，点A为DC的中点，点B，A，E共线，求证：DE=CB．

20．（9分）某市为节约水资源，从2016年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费比2015年上涨．小红家2015年8 月的水费是18元，而2016年8月的水费是33元．已知小红家2016年8月的用水量比2015年8月的用水量多5m3，求该市2015年居民用水的价格．
21．（10分）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）
（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为　 　；
（2）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．

22．（11分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在斜边AB上，且AD=AC，过点B作BE⊥CD交直线CD于点E．[来源:学科网ZXXK]
（1）求∠BCD的度数；
（2）作AF⊥CD于点F，求证：△AFD≌△CEB．
（3）请直接写出CD与BE的数量关系（不需证明）．

23．（11分）问题情境：如图①，在△ABD与△CAE中，BD=AE，∠DBA=∠EAC，AB=AC，易证：△ABD≌△CAE．（不需要证明）
特例探究：如图②，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．求证：△ABD≌△CAE．
归纳证明：如图③，在等边△ABC中，点D、E分别在边CB、BA的延长线上，且BD=AE．△ABD与△CAE是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．
拓展应用：如图④，在等腰三角形中，AB=AC，点O是AB边的垂直平分线与AC的交点，点D、E分别在OB、BA的延长线上．若BD=AE，∠BAC=50°，∠AEC=32°，求∠BAD的度数．

　

2020-2021学年河南省洛阳市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）以下四家银行的标志图中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，故错误；
B、不是轴对称图形，故正确；
C、是轴对称图形，故错误；
D、不轴对称图形，故错误．
故选：B．
　
2．（3分）下列运算中正确的是（　　）
A．x2÷x8=x﹣4 B．a•a2=a2 C．（a3）2=a6 D．（3a）3=9a3
【解答】解：A、底数不变指数相减，故A错误；
B、底数不变指数相加，故B错误；
C、底数不变指数相乘，故C正确；
D、积的乘方等于乘方的积，故D错误；
故选：C．
　
3．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣2 B．x＜2 C．x≠2 D．x≠﹣2
【解答】解：∵分式有意义，
∴x+2≠0，即x≠﹣2．
故选：D．
　
4．（3分）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　）
A．2xy+6xz+3=2x（y+3z）+3 B．（x+6）（x﹣6）=x2﹣36
C．﹣2x2﹣2xy=﹣2x（x+y） D．3a2﹣3b2=3（a2﹣b2）
【解答】解：
A、在等式的右边最后计算的是和，不符合因式分解的定义，故A不正确；
B、等式从左边到右边属于整式的乘法，故B不正确；
C、等式从左边到右边把一个多项式化成两个整式积的形式，符合因式分解的定义，故C正确；
D、多项式a2﹣b2仍然可以继续分解为（a+b）（a﹣b），故D属于分解不彻底，故D不正确；
故选：C．
　
5．（3分）化简正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：原式==x+1，
故选：C．
　
6．（3分）如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是（　　）

A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
【解答】解：由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，
故选：B．
　
7．（3分）如图，已知△ABE≌△ACD，下列选项中不能被证明的等式是（　　）

A．AD=AE B．DB=AE C．DF=EF D．DB=EC
【解答】解：
∵△ABE≌△ACD，
∴AB=AC，AD=AE，∠B=∠C，故A正确；
∴AB﹣AD=AC﹣AE，即BD=EC，故D正确；
在△BDF和△CEF中

∴△BDF≌△CEF（ASA），
∴DF=EF，故C正确；
故选：B．
　
8．（3分）如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E．如果AD=1，BC=6，那么CE等于（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：∵在△ABC中，∠B=∠C=60°，
∴∠A=60°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=30°，
∵AD=1，
∴AE=2，
∵BC=6，
∴AC=BC=6，
∴CE=AC﹣AE=6﹣2=4，
故选：B．
　
9．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，∠C=20°，AB+BD=AC，将△ABD沿AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点记为点E．那么∠B等于（　　）

A．80° B．60° C．40° D．30°
【解答】解：根据折叠的性质可得BD=DE，AB=AE．
∵AC=AE+EC，AB+BD=AC，
∴DE=EC．
∴∠EDC=∠C=20°，
∴∠AED=∠EDC+∠C=40°．
∴∠B=∠AED=40°
故选：C．
　
10．（3分）如图，已知，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④AC=2CD．其中正确的有（　　） 个．

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△EBC中，，
∴△ABD≌△EBC（SAS），①正确；
②∵BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA，
∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE=∠BDA，AD=EC，[来源:学,科,网]
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，②正确；
③由②得：∠BDC=∠BEA，
又∵∠ADE=∠BDC，
∴∠ADE=∠BEA，
∴AD=AE，
∴AD=AE=EC，③正确；
④∵AD=AE=EC，AE+CE＞AD+CD，
∴AD＞CD，
∴AC≠2CD，故④错误，
故选：C．

　
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（3分）写出点M（﹣2，3）关于x轴对称的点N的坐标　（﹣2，﹣3）　．
【解答】解：∵M（﹣2，3），
∴关于x轴对称的点N的坐标（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）
　
12．（3分）石墨烯目前是世界上最薄、最坚硬的纳米材料，其理论厚度仅0.00000000034米，这个数用科学记数法表示为　3.4×10﹣10　．
【解答】解：0.00 000 000 034=3.4×10﹣10，
故答案为：3.4×10﹣10．
　
13．（3分）若等腰三角形的一个内角比另一个内角大30°，则这个等腰三角形的顶角的度数为　80°或40°　．
【解答】解：在△ABC中，设∠A=x，∠B=x+30°，分情况讨论：
当∠A=∠C为底角时，2x+（x+30°）=180°，解得x=50°，顶角∠B=80°；
当∠B=∠C为底角时，2（x+30）+x=180°，解得x=40°，顶角∠A=40°．
故这个等腰三角形的顶角的度数为80°或40°．
故答案为：80°或40°．
　
14．（3分）如图，△ABC中，点D在边BC上，若AB=AD=CD，∠BAD=100°，则∠C=　20　度．

【解答】解：∵若AB=AD=CD，∠BAD=100°，
∴∠B=∠ADC=（180°﹣100°）=40°，
又∵在等腰三角形ADC中，∠ADB是三角形ADC的外角，
∴∠BDA=∠DAC+∠C，
又∵∠C=∠DAC，
∴∠C=×40°=20°，
故答案为：20．
　
15．（3分）如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC=84°，则∠BDC=　96°　．

【解答】解：过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BOC的平分线，
∴DE=DF，
∵DP是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，[来源:学.科.网]
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）．
∴∠BDE=∠CDF，[来源:Z§xx§k.Com]
∴∠BDC=∠EDF，
∵∠DEB=∠DFC=90°，
∴∠EAF+∠EDF=180゜，
∵∠BAC=84°，
∴∠BDC=∠EDF=96°，
故答案为：96°．

　
三、解答题（共75分）
16．（8分）计算
（1）（a﹣1）2﹣a（a+2）
（2）（x﹣6）（x+4）+（3x+2）（2﹣3x）
【解答】解：（1）（a﹣1）2﹣a（a+2）[来源:学科网]
=a2﹣2a+1﹣a2﹣2a
=﹣4a+1；
（2）（x﹣6）（x+4）+（3x+2）（2﹣3x）
=x2﹣2x﹣24+4﹣9x2
=﹣8x2﹣2x﹣20．
　
17．（8分）解决下列两个问题：
（1）如图1，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5．EF垂直且平分BC．点P在直线EF上，直接写出PA+PB的最小值，并在图中标出当PA+PB取最小值时点P的位置；
解：PA+PB的最小值为　4　．
（2）如图2．点M、N在∠BAC的内部，请在∠BAC的内部求作一点P，使得点P到∠BAC两边的距离相等，且使PM=PN．（尺规作图，保留作图痕迹，无需证明）

【解答】解：（1）点P的位置如图所示：

∵EF垂直平分BC，
∴B、C关于EF对称，
设AC交EF于D，
∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，即最小值为4．
故答案为4．
（2）如图，①作∠AOB的平分线OE，②作线段MN的垂直平分线GH，GH交OE于点P，则点P即为所求．

　
18．（9分）先化简（1﹣）÷，然后从﹣2≤a≤2的范围内选取一个合适的整数作为a的值代入求值．
【解答】解：原式=•
=．
当a=0时，原式==2．
　
19．（9分）如图，DE∥BC，点A为DC的中点，点B，A，E共线，求证：DE=CB．

【解答】证明：∵DE∥BC，
∴∠D=∠C，∠E=∠B．
∵点A为DC的中点，
∴DA=CA．
在△ADE和△ACB中，
，
∴△ADE≌△ACB．
∴DE=CB．
　
20．（9分）某市为节约水资源，从2016年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费比2015年上涨．小红家2015年8 月的水费是18元，而2016年8月的水费是33元．已知小红家2016年8月的用水量比2015年8月的用水量多5m3，求该市2015年居民用水的价格．
【解答】解：设2015年居民用水价格为x元/m3，则2016年1月起居民用水价格为（1+）x元/m3．…（1分）
依题意得：﹣=5．
解得x=1.8．
检验：当x=1.8时，（1+）x≠0．
所以，原分式方程的解为x=1.8．
答：2015年居民用水价格为1.8元/m3．
　
21．（10分）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）
（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为　（m+2n）（2m+n）　；
（2）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．

【解答】解：（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）；
故答案为：（m+2n）（2m+n）；

（2）依题意得，2m2+2n2=58，mn=10，
∴m2+n2=29，
∵（m+n）2=m2+2mn+n2，
∴（m+n）2=29+20=49，
∵m+n＞0，
∴m+n=7，
∴．图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为42cm．
　
22．（11分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在斜边AB上，且AD=AC，过点B作BE⊥CD交直线CD于点E．
（1）求∠BCD的度数；
（2）作AF⊥CD于点F，求证：△AFD≌△CEB．
（3）请直接写出CD与BE的数量关系（不需证明）．

【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵AD=AC，
∴∠ACD=∠ADC==67.5°，
∴∠BCD=90°﹣67.5°=22.5°；
（2）
∵AD=AC，
∴CF=FD=CD，∠FAD=CAB=22.5°，
∵∠ADC=67.5°，
∴∠BDE=67.5°，
∴∠DBE=22.5°，
∴∠CBE=67.5°，
在△AFD和△CEB中，
，
∴△AFD≌△CEB，
（3）CD=2BE，理由如下；
∵△AFD≌△CEB，
∴BE=DF，
∴CD=2BE．
　
23．（11分）问题情境：如图①，在△ABD与△CAE中，BD=AE，∠DBA=∠EAC，AB=AC，易证：△ABD≌△CAE．（不需要证明）
特例探究：如图②，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．求证：△ABD≌△CAE．
归纳证明：如图③，在等边△ABC中，点D、E分别在边CB、BA的延长线上，且BD=AE．△ABD与△CAE是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．
拓展应用：如图④，在等腰三角形中，AB=AC，点O是AB边的垂直平分线与AC的交点，点D、E分别在OB、BA的延长线上．若BD=AE，∠BAC=50°，∠AEC=32°，求∠BAD的度数．

【解答】特例探究：
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°，
在△ABD与△CAE中，，
∴△ABD≌△CAE（SAS）；

解：归纳证明：△ABD与△CAE全等．理由如下：
∵在等边△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠BAC=60°，
∴∠DBA=∠EAC=120°．
在△ABD与△CAE中，，
∴△ABD≌△CAE（SAS）；

拓展应用：∵点O在AB的垂直平分线上，
∴OA=OB，
∴∠OBA=∠BAC=50°，
∴∠EAC=∠DBC．
在△ABD与△CAE中，，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴∠BDA=∠AEC=32°，
∴∠BAD=∠OBA﹣∠BDA=18°．