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2020-2021学年四川省泸州市泸县八年级（上）期末数学试卷（解析版）
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这是一份2020-2021学年四川省泸州市泸县八年级（上）期末数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了比一比，看谁填得最好，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年四川省泸州市泸县八年级（上）期末数学试卷
一、你是最聪明的，该怎样选你一定很清楚吧（每小题2分，共20分）
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．4，5，9 C．6，8，10 D．5，15，8
2．某种感冒病毒的直径为0.0000000031米，用科学记数法表示为（ ）
A．3.1×10﹣9米 B．3.1×109米 C．﹣3.1×109米 D．0.31×10﹣8米
3．下列计算正确的是（ ）
A．a•a2=a2 B．（a2）2=a4 C．a2•a3=a6 D．（a2b）3=a2•a3
4．三角形的两个内角分别为60°和80°，则它的第三个内角的度数是（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
5．下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图案是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下列算式计算结果为x2﹣4x﹣12的是（ ）
A．（x+2）（x﹣6） B．（x﹣2）（x+6） C．（x+3）（x﹣4） D．（x﹣3）（x+4）
8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，点D在BC上，且BD=AB，连接AD，则∠CAD等于（ ）
A．30° B．36° C．38° D．45°
9．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．x2+x+1 B．x2+2x+1 C．x2+2x﹣1 D．x2﹣2x﹣1
10．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P，则下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②△ABC的面积等于四边形CDOE面积的2倍；③OD=OE；④CE+CD=BC，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、比一比，看谁填得最好（每小题2分，共20分）
11．若分式的值为0，则x的值等于 ．
12．六边形的内角和等于 度．
13．在平面直角坐标系中，点P的坐标是（3，﹣2），则点P关于y轴对称的对称点的坐标是 ．
14．若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为 cm．
15．已知xm=6，xn=4，则xm+n的值为 ．
16．分解因式：a4﹣16= ．
17．已知，则的值是 ．
18．如图，在△ABC中，AC=BC，△ABC的外角∠ACE=100°，则∠A= 度．
19．如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需填一个即可）
20．用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，则第n个图案中正三角形的个数为 （用含n的代数式表示）．
三、解答题（每小题5分，共15分）
21．计算：．
22．因式分解：（x﹣y）3﹣4（x﹣y）．
23．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，若∠A=30°，CD=3．
（1）求∠BDC的度数．
（2）求AC的长度．
四、（每小题5分，共15分）
24．先化简，再求值：（a+2b）2+（a+b）（b﹣a），其中a=2，b=﹣1．
25．解方程：．
26．已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED．
五、（每小题7分，共14）
27．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）作出△ABC关于y对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
28．已知：如图，BE⊥CD于点E，BE=DE，BC=DA．判断DF与BC的位置关系，并说明理由．
六、（每小题8分，共16分）
29．列方程解应用题
为了迎接春运高峰，铁路部门日前开始调整列车运行图，2015年春运将迎来“高铁时代”．甲、乙两个城市的火车站相距1280千米，加开高铁后，从甲站到乙站的运行时间缩短了11小时，大大方便了人们出行．已知高铁行使速度是原来火车速度的3.2倍，求高铁的行驶速度．
30．（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：①∠AEB的度数为 ；②线段AD，BE之间的数量关系为 ．
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
2020-2021学年四川省泸州市泸县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、你是最聪明的，该怎样选你一定很清楚吧（每小题2分，共20分）
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．4，5，9 C．6，8，10 D．5，15，8
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形任意两边之和都大于第三边逐个判断即可．
【解答】解：A、1+2=3，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误；
B、4+5=9，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误；
C、6+8＞10，6+10＞8，8+10＞6，符合三角形三边关系定理，故本选项正确；
D、5+8＜15，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误；
故选C．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理的应用，主要考查学生对三角形的三边关系定理的理解能力，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
2．某种感冒病毒的直径为0.0000000031米，用科学记数法表示为（ ）
A．3.1×10﹣9米 B．3.1×109米 C．﹣3.1×109米 D．0.31×10﹣8米
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000000031=3.1×10﹣9，
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a•a2=a2 B．（a2）2=a4 C．a2•a3=a6 D．（a2b）3=a2•a3
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
【分析】根据同底数幂的乘法，可判断A、C，根据幂的乘方，可判断B，根据积的乘方，可判断D．
【解答】解：A a•a2=a3，故A错误；
B （a2）2=a4，故B正确；
C a2•a3=a5，故C错误；
D（a2b）3=a6b3，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了幂的乘方与积得乘方，幂的乘方底数不变指数相乘，积得乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
4．三角形的两个内角分别为60°和80°，则它的第三个内角的度数是（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【考点】三角形内角和定理．
【分析】因为三角形的内角度数和是180°，已知两个内角，先用减法求出第三个内角的度数由此得解．
【解答】解：180°﹣60°﹣80°=40°．
故选D．
【点评】此题主要考查三角形的内角和，关键是根据三角形的内角和是180度解答．
5．下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简分式．
【分析】要判断分式是否是最简分式，只需判断它能否化简，不能化简的即为最简分式．
【解答】解：A.不能约分，是最简分式，
B. =，
C. =，
D. =﹣1，
故选：A．
【点评】此题考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
6．如图案是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】轴对称图形．
【专题】常规题型．
【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可得解．
【解答】解：第一个图形是轴对称图形；
第二个图形不是轴对称图形；
第三个图形不是轴对称图形；
第四个图形是轴对称图形．
所以轴对称图形有第一个与第四个共2个图形．
故选B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
7．下列算式计算结果为x2﹣4x﹣12的是（ ）
A．（x+2）（x﹣6） B．（x﹣2）（x+6） C．（x+3）（x﹣4） D．（x﹣3）（x+4）
【考点】多项式乘多项式．
【分析】利用十字相乘法分解因式即可得到结果．
【解答】解：x2﹣4x﹣12=（x+2）（x﹣6），
则（x+2）（x﹣6）=x2﹣4x﹣12．
故选A．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．
8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，点D在BC上，且BD=AB，连接AD，则∠CAD等于（ ）
A．30° B．36° C．38° D．45°
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠B，∠BAD，然后根据∠CAD=∠BAC﹣∠BAD计算即可得解．
【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=108°，
∴∠B=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣108°）=36°，
∵BD=AB，
∴∠BAD=（180°﹣∠B）=（180°﹣36°）=72°，
∴∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=108°﹣72°=36°．
故选B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，等边对等角的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
9．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．x2+x+1 B．x2+2x+1 C．x2+2x﹣1 D．x2﹣2x﹣1
【考点】因式分解-运用公式法．
【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出即可．
【解答】解：A、x2+x+1，无法分解因式，故此选项错误；
B、x2+2x+1=（x+1）2，故此选项错误；
C、x2+2x﹣1，无法分解因式，故此选项错误；
D、x2﹣2x﹣1，无法分解因式，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
10．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P，则下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②△ABC的面积等于四边形CDOE面积的2倍；③OD=OE；④CE+CD=BC，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】结论①错误．因为图中全等的三角形有3对；
结论②正确．由全等三角形的性质可以判断；
结论③正确．利用全等三角形的性质可以判断．
结论④正确．利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断．
【解答】解：结论①错误．理由如下：
图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．
由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．
∵OC⊥AB，OD⊥OE，
∴∠AOD=∠COE．
在△AOD与△COE中，
，
∴△AOD≌△COE（ASA）．
同理可证：△COD≌△BOE．
结论②正确．理由如下：
∵△AOD≌△COE，
∴S△AOD=S△COE，
∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC，
即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．
结论③正确，理由如下：∵△AOD≌△COE，
∴OD=OE；
[来源:学*科*网Z*X*X*K]
结论④正确，理由如下：
∵△AOD≌△COE，
∴CE=AD，
∵AB=AC，
∴CD=EB，
∴CD+CE=EB+CE=BC．
综上所述，正确的结论有3个．
故选：C．
【点评】本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形的判定与性质等重要几何知识点．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
二、比一比，看谁填得最好（每小题2分，共20分）
11．若分式的值为0，则x的值等于 1 ．
【考点】分式的值为零的条件．
【专题】计算题．
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【解答】解：由分式的值为零的条件得x2﹣1=0，x+1≠0，
由x2﹣1=0，得x=﹣1或x=1，
由x+1≠0，得x≠﹣1，
∴x=1，
故答案为1．
【点评】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
12．六边形的内角和等于 720 度．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
【解答】解：（6﹣2）•180=720度，则六边形的内角和等于720度．
【点评】解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．
13．在平面直角坐标系中，点P的坐标是（3，﹣2），则点P关于y轴对称的对称点的坐标是 （﹣3，﹣2） ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出答案．
【解答】解：点P的坐标是（3，﹣2），则点P关于y轴对称的对称点的坐标是：（﹣3，﹣2）．
故答案为：（﹣3，﹣2）．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键．
14．若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为 35 cm．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为7cm和14cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：①14cm为腰，7cm为底，此时周长为14+14+7=35cm；
②14cm为底，7cm为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去．
故其周长是35cm．
故答案为：35．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
15．已知xm=6，xn=4，则xm+n的值为 24 ．
【考点】同底数幂的乘法．
【专题】计算题；实数．
【分析】原式逆用同底数幂乘法法则变形，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵xm=6，xn=4，
∴xm+n=xm•xn=6×4=24．
故答案为：24．
【点评】此题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．分解因式：a4﹣16= （a+2）（a﹣2）（a2+4） ．
【考点】因式分解-运用公式法．
【分析】根据平方差公式进行分解即可，注意分解因式要彻底．
【解答】解：a4﹣16=（a2﹣4）（a2+4）=（a+2）（a﹣2）（a2+4）．
故答案为：（a+2）（a﹣2）（a2+4）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确记忆平方差公式是解题关键．
17．已知，则的值是 ﹣2 ．
【考点】分式的加减法．
【分析】先把所给等式的左边通分，再相减，可得=，再利用比例性质可得ab=﹣2（a﹣b），再利用等式性质易求的值．
【解答】解：∵﹣=，
∴=，
∴ab=2（b﹣a），
∴ab=﹣2（a﹣b），
∴=﹣2．
故答案是：﹣2．
【点评】本题考查了分式的加减法，解题的关键是通分，得出=是解题关键．
18．如图，在△ABC中，AC=BC，△ABC的外角∠ACE=100°，则∠A= 50 度．
【考点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质．[来源:学科网ZXXK]
【分析】根据等角对等边的性质可得∠A=∠B，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠A+∠B=∠ACE，
∴∠A=∠ACE=×100°=50°．
故答案为：50．
【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等边对等角的性质，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
19．如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是 ∠A=∠F或AC∥EF或BC=DE（答案不唯一） ．（只需填一个即可）
【考点】全等三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】要判定△ABC≌△FDE，已知AC=FE，AD=BF，则AB=CF，具备了两组边对应相等，故添加∠A=∠F，利用SAS可证全等．（也可添加其它条件）．
【解答】解：增加一个条件：∠A=∠F，
显然能看出，在△ABC和△FDE中，利用SAS可证三角形全等（答案不唯一）．
故答案为：∠A=∠F或AC∥EF或BC=DE（答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定；判定方法有ASA、AAS、SAS、SSS等，在选择时要结合其它已知在图形上的位置进行选取．
20．用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，则第n个图案中正三角形的个数为 4n+2 （用含n的代数式表示）．
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】分析可知规律是每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个．
【解答】解：第一个图案正三角形个数为6=2+4；
第二个图案正三角形个数为2+4+4=2+2×4；
第三个图案正三角形个数为2+2×4+4=2+3×4；
…；
第n个图案正三角形个数为2+（n﹣1）×4+4=2+4n=4n+2．
故答案为：4n+2．
【点评】此题考查了平面图形，主要培养学生的观察能力和空间想象能力．
三、解答题（每小题5分，共15分）
21．计算：．
【考点】分式的混合运算．
【分析】根据运算顺序，先算括号里面的，再约分即可．
【解答】解：原式=÷
=•
=．
【点评】本题考查了分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．
22．因式分解：（x﹣y）3﹣4（x﹣y）．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题；因式分解．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=（x﹣y）[（x﹣y）2﹣4]=（x﹣y）（x﹣y+2）（x﹣y﹣2）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
23．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，若∠A=30°，CD=3．[来源:学_科_网]
（1）求∠BDC的度数．[来源:学_科_网]
（2）求AC的长度．
【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【分析】（1）由AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，根据线段垂直平分线的性质，易得AD=BD，即可求得∠ABD的度数，又由三角形外角的性质，即可求得答案；
（2）易得△BCD是含30°角的直角三角形的性质，继而求得BD的长，则可求得答案．
【解答】解：（1）∵AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=30°，
∴∠BDC=∠ABD+∠A=60°；
（2）∵在△ABC中，∠C=90°，∠BDC=60°，
∴∠CBD=30°，
∴BD=ACD=2×3=6，
∴AD=BD=6，
∴AC=AD+CD=9．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
四、（每小题5分，共15分）
24．先化简，再求值：（a+2b）2+（a+b）（b﹣a），其中a=2，b=﹣1．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】计算题．
【分析】原式利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=a2+4ab+4b2+b2﹣a2=4ab+5b2，
当a=2，b=﹣1时，原式=﹣8+5=﹣3．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25．解方程：．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题；分式方程及应用．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：分式方程去分母，得（x﹣1）（x+2）﹣（x2﹣4）=8，
解这个方程，得x=6，
经检验，x=6是原方程的根，
则原方程的解为x=6．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
26．已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】由∠1=∠2可得：∠EAD=∠BAC，再有条件AB=AE，∠B=∠E可利用ASA证明△ABC≌△AED，再根据全等三角形对应边相等可得BC=ED．
【解答】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，
即：∠EAD=∠BAC，
在△EAD和△BAC中，
∴△ABC≌△AED（ASA），
∴BC=ED．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．
五、（每小题7分，共14）
27．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）作出△ABC关于y对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
【考点】作图-轴对称变换．
【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特点画出△A1B1C1，并写出点C1的坐标即可；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特点画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标即可．
【解答】解：（1）如图所示，点C1的坐标（3，﹣2）；
（2）如图2所示，点C2的坐标 （﹣3，2）．
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于坐标轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
28．已知：如图，BE⊥CD于点E，BE=DE，BC=DA．判断DF与BC的位置关系，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】利用HL证明Rt△BEC与Rt△AED全等，再利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：垂直关系，理由如下：
∵BE⊥CD于点E，
在Rt△BEC与Rt△AED中，
，
∴Rt△BEC≌Rt△AED（HL），
∴∠B=∠D，
∵∠D+∠EAD=90°，∠EAD=∠FAB，
∴∠B+∠FAB=90°，
∴DF⊥BC．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用HL证明Rt△BEC与Rt△AED全等．
六、（每小题8分，共16分）
29．列方程解应用题
为了迎接春运高峰，铁路部门日前开始调整列车运行图，2015年春运将迎来“高铁时代”．甲、乙两个城市的火车站相距1280千米，加开高铁后，从甲站到乙站的运行时间缩短了11小时，大大方便了人们出行．已知高铁行使速度是原来火车速度的3.2倍，求高铁的行驶速度．
【考点】分式方程的应用．
【分析】根据题意，设原来火车的速度是x千米/时，进而利用从甲站到乙站的运行时间缩短了11小时，得出等式求出即可．
【解答】解：设原来火车的速度是x千米/时，根据题意得：
﹣=11，
解得：x=80，
经检验，是原方程的根且符合题意．
故80×3.2=256（km/h）．
答：高铁的行驶速度是256km/h．
【点评】此题主要考查了分式的方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．
30．（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：①∠AEB的度数为 60° ；②线段AD，BE之间的数量关系为 AD=BE ．
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形．
【分析】（1）易证∠ACD=∠BCE，即可求证△ACD≌△BCE，根据全等三角形对应边相等可求得AD=BE，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB的大小；
（2）易证△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC，进而可以求得∠AEB=90°，即可求得DM=ME=CM，即可解题．
【解答】解：（1）∵∠ACB=∠DCE，∠DCB=∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠CEB=∠ADC=180°﹣∠CDE=120°，
∴∠AEB=∠CEB﹣∠CED=60°；
（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM，
理由：如图2，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．[来源:学科网]
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∵点A、D、E在同一直线上，
∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME．
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM，
∴AE=AD+DE=BE+2CM．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证△ACD≌△BCE是解题的关键．
2020-2021学年四川省泸州市泸县八年级（上）期末数学试卷
一、你是最聪明的，该怎样选你一定很清楚吧（每小题2分，共20分）
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．4，5，9 C．6，8，10 D．5，15，8
2．某种感冒病毒的直径为0.0000000031米，用科学记数法表示为（ ）
A．3.1×10﹣9米 B．3.1×109米 C．﹣3.1×109米 D．0.31×10﹣8米
3．下列计算正确的是（ ）
A．a•a2=a2 B．（a2）2=a4 C．a2•a3=a6 D．（a2b）3=a2•a3
4．三角形的两个内角分别为60°和80°，则它的第三个内角的度数是（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
5．下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图案是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下列算式计算结果为x2﹣4x﹣12的是（ ）
A．（x+2）（x﹣6） B．（x﹣2）（x+6） C．（x+3）（x﹣4） D．（x﹣3）（x+4）
8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，点D在BC上，且BD=AB，连接AD，则∠CAD等于（ ）
A．30° B．36° C．38° D．45°
9．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．x2+x+1 B．x2+2x+1 C．x2+2x﹣1 D．x2﹣2x﹣1
10．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P，则下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②△ABC的面积等于四边形CDOE面积的2倍；③OD=OE；④CE+CD=BC，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、比一比，看谁填得最好（每小题2分，共20分）
11．若分式的值为0，则x的值等于 ．
12．六边形的内角和等于 度．
13．在平面直角坐标系中，点P的坐标是（3，﹣2），则点P关于y轴对称的对称点的坐标是 ．
14．若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为 cm．
15．已知xm=6，xn=4，则xm+n的值为 ．
16．分解因式：a4﹣16= ．
17．已知，则的值是 ．
18．如图，在△ABC中，AC=BC，△ABC的外角∠ACE=100°，则∠A= 度．
19．如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需填一个即可）
20．用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，则第n个图案中正三角形的个数为 （用含n的代数式表示）．
三、解答题（每小题5分，共15分）
21．计算：．
22．因式分解：（x﹣y）3﹣4（x﹣y）．
23．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，若∠A=30°，CD=3．
（1）求∠BDC的度数．
（2）求AC的长度．
四、（每小题5分，共15分）
24．先化简，再求值：（a+2b）2+（a+b）（b﹣a），其中a=2，b=﹣1．
25．解方程：．
26．已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED．
五、（每小题7分，共14）
27．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）作出△ABC关于y对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
28．已知：如图，BE⊥CD于点E，BE=DE，BC=DA．判断DF与BC的位置关系，并说明理由．
六、（每小题8分，共16分）
29．列方程解应用题
为了迎接春运高峰，铁路部门日前开始调整列车运行图，2015年春运将迎来“高铁时代”．甲、乙两个城市的火车站相距1280千米，加开高铁后，从甲站到乙站的运行时间缩短了11小时，大大方便了人们出行．已知高铁行使速度是原来火车速度的3.2倍，求高铁的行驶速度．
30．（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：①∠AEB的度数为 ；②线段AD，BE之间的数量关系为 ．
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
2020-2021学年四川省泸州市泸县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、你是最聪明的，该怎样选你一定很清楚吧（每小题2分，共20分）
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．4，5，9 C．6，8，10 D．5，15，8
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形任意两边之和都大于第三边逐个判断即可．
【解答】解：A、1+2=3，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误；
B、4+5=9，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误；
C、6+8＞10，6+10＞8，8+10＞6，符合三角形三边关系定理，故本选项正确；
D、5+8＜15，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误；
故选C．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理的应用，主要考查学生对三角形的三边关系定理的理解能力，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
2．某种感冒病毒的直径为0.0000000031米，用科学记数法表示为（ ）
A．3.1×10﹣9米 B．3.1×109米 C．﹣3.1×109米 D．0.31×10﹣8米
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000000031=3.1×10﹣9，
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a•a2=a2 B．（a2）2=a4 C．a2•a3=a6 D．（a2b）3=a2•a3
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
【分析】根据同底数幂的乘法，可判断A、C，根据幂的乘方，可判断B，根据积的乘方，可判断D．
【解答】解：A a•a2=a3，故A错误；
B （a2）2=a4，故B正确；
C a2•a3=a5，故C错误；
D（a2b）3=a6b3，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了幂的乘方与积得乘方，幂的乘方底数不变指数相乘，积得乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
4．三角形的两个内角分别为60°和80°，则它的第三个内角的度数是（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【考点】三角形内角和定理．
【分析】因为三角形的内角度数和是180°，已知两个内角，先用减法求出第三个内角的度数由此得解．
【解答】解：180°﹣60°﹣80°=40°．
故选D．
【点评】此题主要考查三角形的内角和，关键是根据三角形的内角和是180度解答．
5．下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简分式．
【分析】要判断分式是否是最简分式，只需判断它能否化简，不能化简的即为最简分式．
【解答】解：A.不能约分，是最简分式，
B. =，
C. =，
D. =﹣1，
故选：A．
【点评】此题考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
6．如图案是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】轴对称图形．
【专题】常规题型．
【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可得解．
【解答】解：第一个图形是轴对称图形；
第二个图形不是轴对称图形；
第三个图形不是轴对称图形；
第四个图形是轴对称图形．
所以轴对称图形有第一个与第四个共2个图形．
故选B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
7．下列算式计算结果为x2﹣4x﹣12的是（ ）
A．（x+2）（x﹣6） B．（x﹣2）（x+6） C．（x+3）（x﹣4） D．（x﹣3）（x+4）
【考点】多项式乘多项式．
【分析】利用十字相乘法分解因式即可得到结果．
【解答】解：x2﹣4x﹣12=（x+2）（x﹣6），
则（x+2）（x﹣6）=x2﹣4x﹣12．
故选A．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．
8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，点D在BC上，且BD=AB，连接AD，则∠CAD等于（ ）
A．30° B．36° C．38° D．45°
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠B，∠BAD，然后根据∠CAD=∠BAC﹣∠BAD计算即可得解．
【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=108°，
∴∠B=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣108°）=36°，
∵BD=AB，
∴∠BAD=（180°﹣∠B）=（180°﹣36°）=72°，
∴∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=108°﹣72°=36°．
故选B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，等边对等角的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
9．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．x2+x+1 B．x2+2x+1 C．x2+2x﹣1 D．x2﹣2x﹣1
【考点】因式分解-运用公式法．
【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出即可．
【解答】解：A、x2+x+1，无法分解因式，故此选项错误；
B、x2+2x+1=（x+1）2，故此选项错误；
C、x2+2x﹣1，无法分解因式，故此选项错误；
D、x2﹣2x﹣1，无法分解因式，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
10．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P，则下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②△ABC的面积等于四边形CDOE面积的2倍；③OD=OE；④CE+CD=BC，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】结论①错误．因为图中全等的三角形有3对；
结论②正确．由全等三角形的性质可以判断；
结论③正确．利用全等三角形的性质可以判断．
结论④正确．利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断．
【解答】解：结论①错误．理由如下：
图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．
由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．
∵OC⊥AB，OD⊥OE，
∴∠AOD=∠COE．
在△AOD与△COE中，
，
∴△AOD≌△COE（ASA）．
同理可证：△COD≌△BOE．
结论②正确．理由如下：
∵△AOD≌△COE，
∴S△AOD=S△COE，
∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC，
即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．
结论③正确，理由如下：∵△AOD≌△COE，
∴OD=OE；
[来源:学*科*网Z*X*X*K]
结论④正确，理由如下：
∵△AOD≌△COE，
∴CE=AD，
∵AB=AC，
∴CD=EB，
∴CD+CE=EB+CE=BC．
综上所述，正确的结论有3个．
故选：C．
【点评】本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形的判定与性质等重要几何知识点．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
二、比一比，看谁填得最好（每小题2分，共20分）
11．若分式的值为0，则x的值等于 1 ．
【考点】分式的值为零的条件．
【专题】计算题．
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【解答】解：由分式的值为零的条件得x2﹣1=0，x+1≠0，
由x2﹣1=0，得x=﹣1或x=1，
由x+1≠0，得x≠﹣1，
∴x=1，
故答案为1．
【点评】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
12．六边形的内角和等于 720 度．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
【解答】解：（6﹣2）•180=720度，则六边形的内角和等于720度．
【点评】解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．
13．在平面直角坐标系中，点P的坐标是（3，﹣2），则点P关于y轴对称的对称点的坐标是 （﹣3，﹣2） ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出答案．
【解答】解：点P的坐标是（3，﹣2），则点P关于y轴对称的对称点的坐标是：（﹣3，﹣2）．
故答案为：（﹣3，﹣2）．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键．
14．若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为 35 cm．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为7cm和14cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：①14cm为腰，7cm为底，此时周长为14+14+7=35cm；
②14cm为底，7cm为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去．
故其周长是35cm．
故答案为：35．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
15．已知xm=6，xn=4，则xm+n的值为 24 ．
【考点】同底数幂的乘法．
【专题】计算题；实数．
【分析】原式逆用同底数幂乘法法则变形，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵xm=6，xn=4，
∴xm+n=xm•xn=6×4=24．
故答案为：24．
【点评】此题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．分解因式：a4﹣16= （a+2）（a﹣2）（a2+4） ．
【考点】因式分解-运用公式法．
【分析】根据平方差公式进行分解即可，注意分解因式要彻底．
【解答】解：a4﹣16=（a2﹣4）（a2+4）=（a+2）（a﹣2）（a2+4）．
故答案为：（a+2）（a﹣2）（a2+4）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确记忆平方差公式是解题关键．
17．已知，则的值是 ﹣2 ．
【考点】分式的加减法．
【分析】先把所给等式的左边通分，再相减，可得=，再利用比例性质可得ab=﹣2（a﹣b），再利用等式性质易求的值．
【解答】解：∵﹣=，
∴=，
∴ab=2（b﹣a），
∴ab=﹣2（a﹣b），
∴=﹣2．
故答案是：﹣2．
【点评】本题考查了分式的加减法，解题的关键是通分，得出=是解题关键．
18．如图，在△ABC中，AC=BC，△ABC的外角∠ACE=100°，则∠A= 50 度．
【考点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质．[来源:学科网ZXXK]
【分析】根据等角对等边的性质可得∠A=∠B，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠A+∠B=∠ACE，
∴∠A=∠ACE=×100°=50°．
故答案为：50．
【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等边对等角的性质，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
19．如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是 ∠A=∠F或AC∥EF或BC=DE（答案不唯一） ．（只需填一个即可）
【考点】全等三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】要判定△ABC≌△FDE，已知AC=FE，AD=BF，则AB=CF，具备了两组边对应相等，故添加∠A=∠F，利用SAS可证全等．（也可添加其它条件）．
【解答】解：增加一个条件：∠A=∠F，
显然能看出，在△ABC和△FDE中，利用SAS可证三角形全等（答案不唯一）．
故答案为：∠A=∠F或AC∥EF或BC=DE（答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定；判定方法有ASA、AAS、SAS、SSS等，在选择时要结合其它已知在图形上的位置进行选取．
20．用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，则第n个图案中正三角形的个数为 4n+2 （用含n的代数式表示）．
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】分析可知规律是每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个．
【解答】解：第一个图案正三角形个数为6=2+4；
第二个图案正三角形个数为2+4+4=2+2×4；
第三个图案正三角形个数为2+2×4+4=2+3×4；
…；
第n个图案正三角形个数为2+（n﹣1）×4+4=2+4n=4n+2．
故答案为：4n+2．
【点评】此题考查了平面图形，主要培养学生的观察能力和空间想象能力．
三、解答题（每小题5分，共15分）
21．计算：．
【考点】分式的混合运算．
【分析】根据运算顺序，先算括号里面的，再约分即可．
【解答】解：原式=÷
=•
=．
【点评】本题考查了分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．
22．因式分解：（x﹣y）3﹣4（x﹣y）．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题；因式分解．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=（x﹣y）[（x﹣y）2﹣4]=（x﹣y）（x﹣y+2）（x﹣y﹣2）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
23．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，若∠A=30°，CD=3．[来源:学_科_网]
（1）求∠BDC的度数．[来源:学_科_网]
（2）求AC的长度．
【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【分析】（1）由AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，根据线段垂直平分线的性质，易得AD=BD，即可求得∠ABD的度数，又由三角形外角的性质，即可求得答案；
（2）易得△BCD是含30°角的直角三角形的性质，继而求得BD的长，则可求得答案．
【解答】解：（1）∵AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=30°，
∴∠BDC=∠ABD+∠A=60°；
（2）∵在△ABC中，∠C=90°，∠BDC=60°，
∴∠CBD=30°，
∴BD=ACD=2×3=6，
∴AD=BD=6，
∴AC=AD+CD=9．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
四、（每小题5分，共15分）
24．先化简，再求值：（a+2b）2+（a+b）（b﹣a），其中a=2，b=﹣1．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】计算题．
【分析】原式利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=a2+4ab+4b2+b2﹣a2=4ab+5b2，
当a=2，b=﹣1时，原式=﹣8+5=﹣3．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25．解方程：．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题；分式方程及应用．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：分式方程去分母，得（x﹣1）（x+2）﹣（x2﹣4）=8，
解这个方程，得x=6，
经检验，x=6是原方程的根，
则原方程的解为x=6．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
26．已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】由∠1=∠2可得：∠EAD=∠BAC，再有条件AB=AE，∠B=∠E可利用ASA证明△ABC≌△AED，再根据全等三角形对应边相等可得BC=ED．
【解答】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，
即：∠EAD=∠BAC，
在△EAD和△BAC中，
∴△ABC≌△AED（ASA），
∴BC=ED．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．
五、（每小题7分，共14）
27．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）作出△ABC关于y对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
【考点】作图-轴对称变换．
【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特点画出△A1B1C1，并写出点C1的坐标即可；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特点画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标即可．
【解答】解：（1）如图所示，点C1的坐标（3，﹣2）；
（2）如图2所示，点C2的坐标 （﹣3，2）．
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于坐标轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
28．已知：如图，BE⊥CD于点E，BE=DE，BC=DA．判断DF与BC的位置关系，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】利用HL证明Rt△BEC与Rt△AED全等，再利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：垂直关系，理由如下：
∵BE⊥CD于点E，
在Rt△BEC与Rt△AED中，
，
∴Rt△BEC≌Rt△AED（HL），
∴∠B=∠D，
∵∠D+∠EAD=90°，∠EAD=∠FAB，
∴∠B+∠FAB=90°，
∴DF⊥BC．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用HL证明Rt△BEC与Rt△AED全等．
六、（每小题8分，共16分）
29．列方程解应用题
为了迎接春运高峰，铁路部门日前开始调整列车运行图，2015年春运将迎来“高铁时代”．甲、乙两个城市的火车站相距1280千米，加开高铁后，从甲站到乙站的运行时间缩短了11小时，大大方便了人们出行．已知高铁行使速度是原来火车速度的3.2倍，求高铁的行驶速度．
【考点】分式方程的应用．
【分析】根据题意，设原来火车的速度是x千米/时，进而利用从甲站到乙站的运行时间缩短了11小时，得出等式求出即可．
【解答】解：设原来火车的速度是x千米/时，根据题意得：
﹣=11，
解得：x=80，
经检验，是原方程的根且符合题意．
故80×3.2=256（km/h）．
答：高铁的行驶速度是256km/h．
【点评】此题主要考查了分式的方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．
30．（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：①∠AEB的度数为 60° ；②线段AD，BE之间的数量关系为 AD=BE ．
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形．
【分析】（1）易证∠ACD=∠BCE，即可求证△ACD≌△BCE，根据全等三角形对应边相等可求得AD=BE，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB的大小；
（2）易证△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC，进而可以求得∠AEB=90°，即可求得DM=ME=CM，即可解题．
【解答】解：（1）∵∠ACB=∠DCE，∠DCB=∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠CEB=∠ADC=180°﹣∠CDE=120°，
∴∠AEB=∠CEB﹣∠CED=60°；
（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM，
理由：如图2，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．[来源:学科网]
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∵点A、D、E在同一直线上，
∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME．
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM，
∴AE=AD+DE=BE+2CM．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证△ACD≌△BCE是解题的关键．
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